2022年3月福建省福州市高三質(zhì)檢(一模)數(shù)學(xué)試卷含答案

數(shù)學(xué)試題（數(shù)學(xué)試題（PAGE24頁）準(zhǔn)考證號 姓名（在此卷上答題無效）20223月福州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（完卷時間120分鐘；滿分150分）注意事項(xiàng)：答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名．考姓名是否一致．第卷第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2BⅡ卷用第卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．zzi4iz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于3. 的折線統(tǒng)計圖：3. 的折線統(tǒng)計圖：則下列結(jié)論中不正確的是A．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600B．乙的日步數(shù)星期四比星期三增加了1倍以上C．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均值大于乙D．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙 2.已知A30BA．x2y2C．x2y22

第二象限 C．第三象限 D．第四象限0C03，則△ABC外接圓的方程為B．x2y24D．x2y244. 0aba1b1”的a bA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件P是半徑為3cm的圓形砂輪邊緣上的一個質(zhì)點(diǎn)，它從初始位置P0

開始，按逆時yPOπ3xyPOπ3x2xOyPOx0于時間t（s）的函數(shù)關(guān)系式為3sin y tπ3sin

π，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)3y3sinπtπ323 323 y

tπ

y3sinπtπ3sin4 323 323從集合12的非空子集中任取兩個不同的集合A和B若A B則不同的取法共有A．42種 B．36種 C．30種 D．15種已知平面向量abc均為單位向量，且ab1，則abbc的最大值為1

1

C．1 D．34 2 210cm、寬8cm的長方形的紙片，將紙片沿著一條直線折疊，折痕（線段）SS．若1 2S:S1

1:3，則折痕長的最大值為892934cm B．10cm C．2 cm D．2 cm892934二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．x2 y2已知橢圓C: 1的左、右焦點(diǎn)分別為FF，P為C上一點(diǎn)，則4 3 1 2C的離心率為2

△PF

的周長為52 12F

＜90

1≤PF≤31 2 1已知等差數(shù)列an

的前n項(xiàng)和為Sn

，公差d0．若Sn

S，則6a1

＜0 B．d＜0

C．a(chǎn)6

0 D．S ≤013設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx為奇函數(shù)，fxx1時，fxx21，則下列結(jié)論正確的是

73

fx7為奇函數(shù)2 4 fx在68上為減函數(shù) D．方程fxlgx0僅有6個實(shí)數(shù)解已知正四面體ABCD的棱長為3，其外接球的球心為OEAEAB（0＜1，過點(diǎn)E作平面平行于AC和BD，設(shè)分別與該正四面體的棱BC，CDDA相交于點(diǎn)FGH，則EFGH的周長為定值1當(dāng)2EFGH為正方形1 13當(dāng)3截球O42四棱錐AEFGH的體積的最大值為 23第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答．在試題卷上作答，答案無效．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．已知函數(shù)fxa xlnx在x1處取得極值，則實(shí)數(shù)a ．如圖，一個正六棱柱的茶葉盒，底面邊長為10cm，高為20cm則這個茶葉盒的表面積約為 cm2（精確到0.1，31.732）寫出一個使等式 sinsinπ

cos 2的值cosπ66 66 為 ．已知拋物線C:y24xFF的動直線l交CAA分別作C的切線ll，l與l1 2 1

交于點(diǎn)P．經(jīng)探究可知點(diǎn)P必在一條定直線上，其方程為 ；記l，l1 2

yMN，若l的傾斜角為30，則四邊形PMFN的面積為 （本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17. （10分）已知數(shù)列

的前n項(xiàng)和為Sn

，

1，a2

2

n

Sn1

4a．n（1）求a；n1 1（2）求證：

1 ＜2．a(chǎn)1 a1 2

a1n數(shù)學(xué)試題（第3頁共4頁）18. （12分）記△ABC的內(nèi)角ABC所對的邊分別為ac，已知bsinCsinC 3cosC，Aπ．3求c；在下列三個條件中選擇一個作為補(bǔ)充條件，判斷該三角形是否存在？若存在，求出三角形的面積；若不存在，說明理由．2①BC邊上的中線長為 ，②AB邊上的中線長為7，③三角形的周長為6．2注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．19. （12分）ABCAB

EABFBC上，且ACBC3BF．

111ABF平面CCE；11 1若ABCAA2ABEABF的體積為1 113，求CEABF所成角的正弦值．9 1120. （12分）n（nN，且n2次抽獎，1 2每次中獎的概率為，不中獎的概率為，且各次抽獎相互獨(dú)立．規(guī)定第1次抽獎時，若3 3中獎則得10分，否則得5分．第2次抽獎，從以下兩個方案中任選一個：方案①：若中獎則得30分，否則得0分；方案②：若中獎則獲得上一次抽獎得分的兩倍，否則得532次抽獎所選方案，直到抽獎結(jié)束．如果n2案？并說明理由．記顧客甲第i

（i12n，并且選擇方案②．請直接寫iE(

i

EXi

)的遞推關(guān)系式，并求E(X8

)（精確到0.1） 參考數(shù)據(jù)：270.059 3 21. （12分）xOyC:x2y21F為直線lx1上一點(diǎn)，3 6過F作TF的垂線分別交C的左、右支于PQ兩點(diǎn)，交l于點(diǎn)A．證明：直線OTPQ；PA3QFTF2的值．22. （12分）已知函數(shù)fxexaxsinxbxc的圖象與x軸相切于原點(diǎn)．求bc的值；若fx在0π上有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．?dāng)?shù)學(xué)試題（第4頁共4頁）數(shù)學(xué)參考答案與評分細(xì)則（第數(shù)學(xué)參考答案與評分細(xì)則（第11頁共11頁）準(zhǔn)考證號 姓名（在此卷上答題無效）20223月福州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)參考答案及評分細(xì)則評分說明：內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分。解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。只給整數(shù)分?jǐn)?shù)。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．B5．D

2．D6．C

3．B7．B

4．A8．C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．9．CD 10．BD 12．ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．

14．1719.615．π（答案不唯一，ππkZ任取一個值均可）8 8 2四、解答題：本大題共6小題，共70分．17. （10分）

16．x1，4【考查意圖】本小題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n10分．【解答】（1）由Sn2

Sn1n

得an2

4an

． 1分所以，當(dāng)na2k1

，2k1所以數(shù)列a2k1

是首項(xiàng)為a1

1，公比為4的等比數(shù)列， 2分故a2k1

14k1，即a2k1

22k222k． 3分n

kN*時，同理可得a2k

2

122k

． 4分所以an

2n1（nN*）． 5分2 1 1

1 ＜1

···········································7（）證明：由（

）知an

， 分 2n11 2 1a1所以1 1a1a1 a11 2 n＜10112

1

·························································8分2111 2

2

2

2112＜1

························································································9分2． 10分11218. （12分）12分．【解答】由bsinCsinC 3cosC得csinB2sin(Cπ)， 3分3又Aπ，ABCπ,3所以csinB2sinB2sinB， 5分而0Bπ，故sinB0，故c2． 6分（2）選①，2方法一：設(shè)BC邊上的中線為AD，則AD ．22由cosADBcosADC

AD2BD2AB2AD2CD2AC2

， 7分2ADBD 2ADCD1 a2 1 a2 即24424b2，即a22b26， 9分 由余弦定理a2b2c2cosA得a2b24， 10分即b220， 11分該方程無實(shí)數(shù)解，故符合條件的三角形不存在 12分方法二：設(shè)BC邊上的中線為AD，則AD1(ABAC)， 8分2

1(AB22ABACAC2， 9分41 1 1 即2442b2b2，即b2b20， 111 1 1 易知該方程無實(shí)數(shù)解，故符合條件的三角形不存在 12分方法三：如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．故C點(diǎn)坐標(biāo)為bcosπ,bsinπ，即1b，3b，B點(diǎn)坐標(biāo)為， 8分3 3

2 2 所以BC邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為11b，3b， 9分 4 4 23BC 1 2 23

2 2由 邊上的中線長為222

得14b

4b 2

， 10分 整理得b220， 11分該方程無實(shí)數(shù)解，故符合條件的三角形不存在 12分選②，7設(shè)AB邊上的中線為CF，則CF ．7在ACF中，由余弦定理得CF2AF2AC22ACAFcosA，π即71AC221ACcos ， 8分π3整理得AC2AC60， 9分解得AC3或AC2（舍去） 10分故△ABC的面積S選③，

1ACABsinA132 12分3332 2 2 2333依題意得ABBCCA6，由（1）知AB2，所以BCCA4 7分在△ABCBC2AB2CA22ABCAcosA，1所以CB222CA222 CA，12即CB24CA22CA， 9分所以(4CA)24CA22CA，3解得，BCCA2 10分3所以△ABCS19. （12分）

1ACABsinA122 32 2 23

.·························12分12分．【解析】（1）在直三棱柱ABCABC111

CC1

ABC，111∴CC1

AB11

， 1分∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，且ACBC，∴ABCE， 2分∵AB∥AB11

，∴ABCE， 3分11∵CE CC1

C，∴AB平面CCE， 4分11 1ABABF，11 11∴平面ABF平面CCE； 5分11 1（2）∵ABC60ACBC，∴△ABC為正三角形．ABtAA1

2AB2t，由（1）可得，CE平面ABBA，1133依題意得BF1BC，故點(diǎn)F到平面ABBA的距離為1CE1 t t，···6分333 11 3 3 2 61 1∴S ABAA tt2，2 1 23331 1333∴V V S t t2 t t3， 7分1111EAB1111

FAB

3

6 3 6 184 3zB1C1EByFCx∵三棱錐4 3zB1C1EByFCx11 9 A3431343∴ t3 ，解得t2． 8分18 9以E為原點(diǎn)，分別以ECEBAA1

的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Exyz，則

F 2 C 3,0,0

0,0,0

1

313

，

3,3,0，A ∴CE3,0,0 ， 11

0,2,0，

5 AF313,3AF313··············································································································9分AB11

F的法向量為nyz，nA

0，

2y0，3即 則 13即 nAF0，

x y4z0，3令z1，得n4 3,0,1， 10分∴cosCEn

CEn4 3CEn4 3

4 3， 11分1231237CEAB11

F所成角的正弦值為7

． 12分20. （12分）【考查意圖】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望、推斷與決策等基礎(chǔ)知識；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力與創(chuàng)新意識；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想；考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性．滿分12分．（）若甲第2次抽獎選方案①，兩次抽獎累計積分為，則的可能取值為4035105． 1分40)11=1，35)21=2，3 3 9 3 3 910)1225)224， 2分3 3 9 3 3 9所以E()40702020150． 3分9 9 9 9 9若甲第2次抽獎選方案②，兩次抽獎累計積分為，則的可能取值為30,15,10，則30)11=1，15)21+12=4，10)22=4，3 3 9 3 3 3 3 9 3 3 9306040130， 5分9 9 9 9因?yàn)镋＞E所以應(yīng)選擇方案①． 6分（2）依題意得E(X

i1

)2E(X3

)10， 7分3X10，5其分布列為1XX1105P1323E(X1

)20，則E(X3 1

)1010， 8分3E(X

i1

)2E(X3

10E3

i1

102EX3

1， 10分所以X為等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為10，公比為2． 11分i10 2

3 310 2所以E(X8

)10

( )7，故E(X3 3 8

( )7+109.8． 12分3 3方法二）同解法一． 6分（2）依題意得E(X

i1

)12E(X3

)252E(X3 3

)10， 7分3由（1）知EX2

70，則9EX8

2EX3

10322

2 10 103EX6

333

····························································8分26

10 2

24 3EX2

333 1 10分 702610

261分3··························································111分9 33

1231027109.8． 12分321. （12分）

3【考查意圖】本小題主要考查雙曲線的圖象和性質(zhì)、直線和雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想；考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性．滿分12分．【解答】方法一（）依題意，x 336

3，即F30， 1分設(shè)T1t，則直線PQ的方程為xty3， 2分xty3，由

得t2y21ty120，2x2y26Px

yQ

t210，，則48

故t21，21 1 2 2

2 2

＞0，yy y

， 3分1 2 2t21 1

2t21所以xx1 2

ty1

y62

6，2t21又直線PQ分別交C的左、右支于PQ兩點(diǎn)，1212 1212

96t2 1x

ty3 ty

t2yy

yy 91＜0，故t＞2 4分12122212122所以PQ中點(diǎn)為N 3 t ， 5分 2t21 2t21所以kON

tkOT

t，故OTN三點(diǎn)共線，即直線OT平分線段PQ． 6分（2）PA3QF得1x1

33x2

，即x1

2

8， 7分所以x1

x84x，①2 23x1

x84x2

，② 8分①②得3xx216xx641x

， 9分1 2 1 2 1236所以3 16

6 641696t2

， 10分2t212

2t21 2t21837 837解得t2

4 ，或t2 4 （舍去） 11分TF

44t21237． 12分36方法二（）依題意，依題意，36F

3，即F30， 1分PQ0y

x

20 1， （k ，T0 1， kykx由

2k2x2k2xk260， 得2x2y26

2k20，設(shè)Pxy Qx

，則36k

故k22，1 1 2 2 4

k2＞0，6k2 9k26xx xx ＜0，k2＜2． 4分1 2 k22 1

k22所以yy

kx

6

12k

2，PQ中點(diǎn)為N

6k ， 5分1 2 1 22

k22 k22 k22所以kON

，kk

，故OTN三點(diǎn)共線，即直線OT平分線段PQ． 6分k（2）PA3QF得1x1

33x2

x1

3x2

8， 7分所以3x2

8x2

6k2k22

3x2

8x2

9k26k22

0，故k22， 8分2227k28 9k262222k2即x2k2k2

23x2

2，7k282

7k28 9k26所以3 8

， 9分2k22

2k22

k22整理得1614641210， 10分k183k2 4

k1，或k

834

（舍去） 11分72 2 2 17此時，TF 132 0 41

12

． 12分22. （12分）

k

k2數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性．滿分12分．【解答（1）f(x)exa(sinxxcosx)b， 1分f(0)0，依題意， 3分f(0)0，1b0，即 解得b1，c1． 4分c0，（2）由f(xexaxxcosx1g(x)exaxxcosx1，g(x)exa2cosxxsinx，所以g(0)12a，①當(dāng)a1時，2，（）當(dāng)x0 π時，g(x)exa3sinxxcosx＞0，所以g(x)， 2··············································································································5分g00gπeππa0，22 2所以存在唯一實(shí)數(shù)x0 π，使得gx

0． 6分0 ， 0 2（）當(dāng)xππ