高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大題專練《橢圓中的定值問題（一）》突破解析

一輪復(fù)習(xí)大題專練59—橢圓（定值問題）1．已知離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)及右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)、，且．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，是直線上異于的點(diǎn)，且，證明：點(diǎn)在定直線上．（1）解：由題意，橢圓的離心率為，則，所以，又橢圓的左頂點(diǎn)及右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)、，且，則，所以，，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立可得，，設(shè)，，，，不妨設(shè)，，則，因?yàn)?，則，設(shè)，則，若點(diǎn)在，之間，則，所以，則，即，因?yàn)楫愑邳c(diǎn)，即，所以，此時(shí)，則軸，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)在，外側(cè)，則，所以，則，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，所以點(diǎn)在定直線上．2．已知原點(diǎn)到橢圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)連線的距離為．（1）求橢圓的離心率；（2）直線過點(diǎn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，求證：直線與的斜率之和為定值．解：（1）橢圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)連線的方程為，所以，解得，則離心率；（2）由（1）可得點(diǎn)，根據(jù)題意可得直線的斜率一定存在，不妨設(shè)直線，即，橢圓方程可化為，聯(lián)立可得，設(shè)，，，，則，，又，所以，所以直線與的斜率之和為定值．3．已知橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過橢圓的右焦點(diǎn)與坐標(biāo)軸不垂直的直線交于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，且為垂足．問：是否存在定點(diǎn)，使得的長為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意得：，，化簡得，故的方程為：，將代入橢圓的方程得：，所以，解得：，所以，所以橢圓的方程：；（2）設(shè)，，，，，，直線的方程為，則直線與軸的交點(diǎn)為，由，，得又，，所以，故的方程為，由得：，所以直線的方程為，即，所以直線過定點(diǎn)，所以在以為直徑的圓上，所以存在定點(diǎn)，使的長為定值．4．已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且有，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，求證：．（Ⅰ）解：橢圓的離心率為，可得，在△中，，，．，解得，，，則橢圓的方程為：．（6分）（Ⅱ）證明：當(dāng)直線斜率為0時(shí)，易知成立，當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，，，，，，消去有，，所以，綜上可知不論直線的斜率是否為0，總有．（12分）5．設(shè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，過定點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（與，不重合），證明：直線，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．解：（1）由題意可得，解得：，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）證明：由（1）可得，，設(shè)過點(diǎn)的直線為，設(shè)，，，，聯(lián)立，整理可得：，△，且，，直線的方程：，直線方程為：，兩條直線聯(lián)立①，將，，②聯(lián)立兩條直線方程：，③，①③聯(lián)立，所以直線，的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為橢圓上一點(diǎn)，射線，分別交橢圓于點(diǎn)，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．解：（1）由題意可知，，且，所以，，，所以橢圓方程為；（2）①當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，由對稱性不妨設(shè)點(diǎn)，