2022版?zhèn)鋺?zhàn)老高考一輪復(fù)文科數(shù)學(xué)課后限時(shí)集訓(xùn)32 數(shù)列的概念與簡單表示法 作業(yè)

數(shù)列的概念與簡單表示法建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1．已知數(shù)列eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(7)，…，eq\r(2n－1)，eq\r(2n＋1)，則3eq\r(5)是這個(gè)數(shù)列的()A．第20項(xiàng) B．第21項(xiàng)C．第22項(xiàng) D．第23項(xiàng)C[由題意知，數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝eq\r(2n＋1)，令eq\r(2n＋1)＝3eq\r(5)得n＝22，故選C.]2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為()A．15B．16C．49D．64A[當(dāng)n＝8時(shí)，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則an＝()A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1C[當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2，所以an＝2n.]4．(2019·石家莊模擬)若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，則a2020的值為()A．2 B．－3C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)D[由題意知，a2＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，a3＝eq\f(1－3,1＋3)＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq\f(1,3)，a5＝eq\f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2，a6＝eq\f(1＋2,1－2)＝－3，…，因此數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列，∴a2020＝a505×4＝a4＝eq\f(1,3).故選D.]5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝3,2an＋1＝an＋1，則an＝()A．2n－2＋1 B．21－n＋1C．2n＋1 D．22－n＋1D[由2an＋1＝an＋1得2(an＋1－1)＝an－1，即an＋1－1＝eq\f(1,2)(an－1)，又a1＝3，∴數(shù)列{an－1}是首項(xiàng)為a1－1＝2，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，∴an－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝22－n，∴an＝22－n＋1，故選D.]二、填空題6．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(2,3)n2－eq\f(1,3)n，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝.eq\f(4,3)n－1[當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝eq\f(1,3).當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(2,3)n2－eq\f(1,3)n－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)n－12－\f(1,3)n－1))＝eq\f(4n,3)－1.又a1＝eq\f(1,3)適合上式，則an＝eq\f(4,3)n－1.]7．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝.eq\f(1,n)[由an＝eq\f(n－1,n)an－1得eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n)，∴an＝eq\f(an,an－1)×eq\f(an－1,an－2)×…×eq\f(a2,a1)×a1＝eq\f(n－1,n)×eq\f(n－2,n－1)×…×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,n).當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1適合上式．故an＝eq\f(1,n).]8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝.(n－1)2[由題意知an－an－1＝2n－3(n≥2)，則an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1＝eq\f(n－12n－2,2)＝(n－1)2.]三、解答題9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.[解](1)因?yàn)閍5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也適合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝6，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2.由于a1不適合此式，所以an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2×3n－1＋2，n≥2.))10．已知Sn為正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且滿足Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[解](1)由Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an(n∈N*)，可得a1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)a1，解得a1＝1；S2＝a1＋a2＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,2)a2，解得a2＝2；同理a3＝3，a4＝4.(2)Sn＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)＋eq\f(1,2)an，①當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n－1)＋eq\f(1,2)an－1，②①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an＝n.1．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足aeq\o\al(2,n＋1)－an＋1an－2aeq\o\al(2,n)＝0，且a1＝2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝2n－1B．a(chǎn)n＝3n－1C．a(chǎn)n＝2n D．a(chǎn)n＝3nC[∵aeq\o\al(2,n＋1)－an＋1an－2aeq\o\al(2,n)＝0，∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0.∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴an＋1＋an＞0，∴an＋1－2an＝0，即an＋1＝2an(n∈N*)，∴數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列．∵a1＝2，∴an＝2n.]2．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}中，eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝eq\f(nn＋1,2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n2C．a(chǎn)n＝eq\f(n,2) D．a(chǎn)n＝eq\f(n2,2)B[∵eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝eq\f(nn＋1,2)，∴eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an－1)＝eq\f(nn－1,2)(n≥2)，兩式相減得eq\r(an)＝eq\f(nn＋1,2)－eq\f(nn－1,2)＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，①又當(dāng)n＝1時(shí)，eq\r(a1)＝eq\f(1×2,2)＝1，a1＝1，適合①式，∴an＝n2，n∈N*.故選B.]3．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝.－eq\f(1,n)[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)＝1，即eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1.又eq\f(1,S1)＝－1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列．∴eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq\f(1,n).]4．(2016·全國卷Ⅲ)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．[解](1)由題意可得a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,4).(2)由aeq\o\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).故{an}是首項(xiàng)為1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，因此an＝eq\f(1,2n－1).1．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且aeq\o\al(2,n)－9＝4(Sn－n)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝.2n＋3[當(dāng)n＝1時(shí)，aeq\o\al(2,1)－9＝4(a1－1)，得a1＝5或a1＝－1(舍去)．當(dāng)n≥2時(shí)，aeq\o\al(2,n－1)－9＝4(Sn－1－n＋1)，所以aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝4an－4，整理得(an－2)2＝aeq\o\al(2,n－1).因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an－2＝an－1，即an－an－1＝2(n≥2)，所以數(shù)列{an}是以5為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an＝5＋(n－1)×2＝2n＋3.]2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋4.(1)若k＝－5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)對于n∈N*，都有an＋1>an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．[解](1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.因?yàn)閚∈N*，所以n＝2,3，所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.因?yàn)閍n＝n2－5