可分離變量的微分方程(8)課件

1、轉(zhuǎn)化 可分離變量微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二節(jié)第二節(jié)解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第十二章 第十二章 一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yg和和)(xf是是連連續(xù)續(xù)的的, dxxfdyyg)()(設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函

2、函數(shù)數(shù),CxFyG )()(為微分方程的解為微分方程的解.分離變量法分離變量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12lnCxy .2為為所所求求通通解解xCey 二、典型例題二、典型例題.0)()(2通通解解求求方方程程例例 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 則則, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解為通解為解解 求方程求方程

3、的通解的通解.0d)1(d)1(22 yxyxyx解解 分離變量分離變量xxxyyyd1d122 兩端積分兩端積分 yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy )1(ln)1ln(22xCy )1(122xCy 為方程的通解為方程的通解.Cln21 隱式通解隱式通解 xxxd12解解xxyyyd1dln1 xxyyd1lndln1Cxylnlnlnln Cxln Cxy lnCxey 通解為通解為.ln 的的通通解解求求方方程程yyyx 兩端積分兩端積分解解,ddtM由題設(shè)條件由題設(shè)條件)0(dd衰變系數(shù)衰變系數(shù) MtMtMMdd ,dd tMM ,00MMt 代代入入,lnlnCtM

4、即即00CeM 得得C teMM 0分離變量分離變量負(fù)號(hào)是由于當(dāng)負(fù)號(hào)是由于當(dāng) t 增加時(shí)增加時(shí)M單調(diào)減少單調(diào)減少,tCeM 通解通解特解特解例例3 3衰變問題衰變問題. .衰變速度與未衰變?cè)雍克プ兯俣扰c未衰變?cè)雍縈成成正比正比,00MMt 已已知知求衰變過程中鈾含量求衰變過程中鈾含量 M (t)隨時(shí)間隨時(shí)間 t 變化的規(guī)律變化的規(guī)律.衰變規(guī)律衰變規(guī)律衰變速度衰變速度例例求游船上的傳染病人數(shù)求游船上的傳染病人數(shù).一只游船上有一只游船上有800人人,12小時(shí)后有小時(shí)后有3人發(fā)病人發(fā)病.故感染者不能被及時(shí)隔離故感染者不能被及時(shí)隔離. 設(shè)傳染病的傳播速度與受感染的人數(shù)及未受感染的設(shè)傳染病的傳播

5、速度與受感染的人數(shù)及未受感染的人數(shù)之積成正比人數(shù)之積成正比.一名游客患了某種傳染病一名游客患了某種傳染病,由于這種傳染病沒有早期癥狀由于這種傳染病沒有早期癥狀,直升機(jī)將在直升機(jī)將在60至至72小時(shí)小時(shí)將疫苗運(yùn)到將疫苗運(yùn)到,試估算疫苗運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù)試估算疫苗運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù).解解用用 y ( t )表示發(fā)現(xiàn)首例病人后表示發(fā)現(xiàn)首例病人后 t 小時(shí)時(shí)的小時(shí)時(shí)的感染人感染人數(shù)數(shù),)(800ty 表示表示 t 刻刻未受感染的人數(shù)未受感染的人數(shù),由題意由題意,得得),(ykyty 800dd其中其中k 0為比例常數(shù)為比例常數(shù).可分離變量微分方程可分離變量微分方程分離變量分離變量,d)800(

6、dtkyyy , 1)0( y初始條件初始條件:3)12( y,d)800(dtkyyy 即即,dd800118001tkyyy 兩邊積分兩邊積分,得得,)800ln(ln80011Cktyy 通解通解ktCey8001800 ).(1800CeC , 1)0( y初始條件初始條件3)12( y由由初始條件初始條件, 1)0( y得得.799 C再由再由, 3)12( y便可確定出便可確定出 k800所以所以.7991800)(09176. 0tety 2397799ln121 .09176. 0 .7991800)(09176. 0tety 直升機(jī)將在直升機(jī)將在60至至72小時(shí)將疫苗運(yùn)到小時(shí)

7、將疫苗運(yùn)到,試估算疫苗運(yùn)試估算疫苗運(yùn)到時(shí)患此傳染病的人數(shù)到時(shí)患此傳染病的人數(shù).下面計(jì)算下面計(jì)算72,60 t小時(shí)時(shí)的小時(shí)時(shí)的感染者人數(shù)感染者人數(shù) )60(y )72(y從上面數(shù)字可看出從上面數(shù)字可看出,在在72小時(shí)疫苗運(yùn)到時(shí)小時(shí)疫苗運(yùn)到時(shí), 感感染的人數(shù)將是染的人數(shù)將是60小時(shí)感染人數(shù)的小時(shí)感染人數(shù)的2倍倍.病流行時(shí)及時(shí)采取措施是至關(guān)重要的病流行時(shí)及時(shí)采取措施是至關(guān)重要的.可見在傳染可見在傳染,18879918006009176. 0 e.38579918007209176. 0 e例例 4 有高為有高為1米的半球形容器米的半球形容器, 水從它的底部小水從它的底部小孔流出孔流出, 小孔橫截面積

8、為小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米(如圖如圖). 開始開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水時(shí)容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器求水從小孔流出過程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離)隨時(shí)隨時(shí)間間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.解解 由力學(xué)知識(shí)得由力學(xué)知識(shí)得,水從孔口流水從孔口流出的流量為出的流量為,262. 0ghSdtdVQ 流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 設(shè)在微小的時(shí)間間隔設(shè)在微小的時(shí)間間隔,dttt 水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,dhh ,2dhrdV 則則,200)

9、100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比較比較(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即為未知函數(shù)的微分方程即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量可分離變量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為解解例例5 5 某車間體積為某車間體積為12000立方米立方米, 開始時(shí)空氣中開始時(shí)空氣中含有含有 的的 , 為了降低車間內(nèi)空

10、氣中為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量的含量, 用一臺(tái)風(fēng)量為每秒用一臺(tái)風(fēng)量為每秒2000立方米的鼓風(fēng)機(jī)立方米的鼓風(fēng)機(jī)通入含通入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時(shí)以同樣的同時(shí)以同樣的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出風(fēng)量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)問鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)6分分鐘后鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后設(shè)鼓風(fēng)機(jī)開動(dòng)后 時(shí)刻時(shí)刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內(nèi)內(nèi),2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 2CO的通入量的通入量2CO的排出量

11、的排出量2CO的改變量的改變量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO分離變量法步驟分離變量法步驟: :1、分離變量、分離變量;2、兩端積分、兩端積分-隱式通解隱式通解.三、小結(jié)三、小結(jié)思考題思考題求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考題解答思考題解答, 02cos2cos yxyxdx

12、dy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 為所求解為所求解.一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解求下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .練練 習(xí)習(xí) 題題三、質(zhì)量三

13、、質(zhì)量克克為為1的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng), ,這外力這外力和時(shí)間成正比和時(shí)間成正比, ,和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度成反比. .在在10 t秒時(shí)秒時(shí), ,速度等于速度等于秒秒厘厘米米/50, ,外力為外力為2/4秒秒厘米厘米克克 , ,問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過了一分鐘后的速度是多少? ?四、 小船從河邊四、 小船從河邊處處點(diǎn)點(diǎn) 0出發(fā)駛向?qū)Π冻霭l(fā)駛向?qū)Π? (兩岸為平行直線兩岸為平行直線).).設(shè)設(shè)a船速為船速為, ,船行方向始終與河岸垂直船行方向始終與河岸垂直, ,設(shè)河寬設(shè)河寬h為為, ,河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離河中任意點(diǎn)處的水流速度與該點(diǎn)到兩岸距離的乘積成正比的乘積成正比( (比例比例k系系數(shù)數(shù)為為).).求小船的航行路求小船的航行路線線 . .練