水文統(tǒng)計的基本知識

第四章水文統(tǒng)計的基本知識

§4—1概述§4—2概率的基本概念與定理§4—3隨機變量及其概率分布§4—4頻率計算§4—5相關分析§4—1概述一、水文現(xiàn)象的必然性和偶然性1、必然性水循環(huán)降水徑流一般可以通過成因分析，建立數(shù)學物理方程，并利用它來求解。例如：用水量平衡方程確定徑流量。2、偶然性如：河流某斷面每年汛期出現(xiàn)的最大洪峰流量或年徑流量在數(shù)量上，有的年份大，有的年份小，事先無法確定。

二、概率預估§4—2概率的基本概念與定理

一、事件事件：指隨機試驗的結果。它可以是數(shù)量性質(zhì)的，如年雨量的數(shù)值等；也可以是屬性性質(zhì)的，如天氣的陰、晴等。

事件的分類1、必然事件：如果在試驗前就可斷定某一事件在試驗結果中必然發(fā)生，則該事件為必然事件。如：洪水來水位2、不可能事件：如果在試驗前就可斷定某一事件在試驗結果中不會發(fā)生，則該事件稱不可能事件。如：洪水來水位事件的分類3、隨機事件：某種事件在試驗結果中可以發(fā)生也可以不發(fā)生，這種事件稱隨機事件。如：某河渠斷面處下一年出現(xiàn)的最大洪峰流量值。二、概率為比較隨機事件出現(xiàn)（或不出現(xiàn)）的可能性大小，而賦予的一種數(shù)量指標。計算公式：式中：P（A）———定條件下出現(xiàn)隨機事件A的概率；

n——在試驗中所有可能結果總數(shù)；

m——有利于A事件的可能結果數(shù)。

因為0≤m≤n，所以0≤P(A)≤1當m=n，P（A）=1，則事件A為必然事件；當m=0，P（A）=0則事件A為不可能事件；當0<m<n,0<P（A）<1則A為隨機事件。只適用于所謂“古典概型事件”。水文事件不屬于古典概型事件。三、頻率

事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率當事件次數(shù)n不大時，頻率不穩(wěn)定，n充分大后，頻率失去隨機性，以微小的擺動接近常數(shù)0.5。

頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系概率表達事件客觀上出現(xiàn)與可能性大小，是個理論值，對于簡單事件，事先可以確定；頻率是通過若干次試驗后才能求得的經(jīng)驗值，事先不能確定。當試驗次數(shù)愈大，頻率愈接近概率。因此當試驗次數(shù)足夠多時，可以用事件發(fā)生的頻率來代替事件的概率。

四、概率的加法定理和乘法定理互斥事件（互不相容事件）：兩個不可能同時發(fā)生的事件。獨立事件：兩個事件的發(fā)生互不影響。1、概率加法定理

兩個互斥事件和的概率等于這兩個事件的概率的和。即：P（A+B）=P（A）+P（B）式中，P（A+B）——事件A與B之和的概率。非互斥事件：P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

2、概率乘法定理對于兩個獨立事件，該兩項事件同時發(fā)生的概率等于這兩個事件概率的乘積，即：P（AB）=P（A）·P（B）不獨立事件：P（AB）=P（A）P（B/A）

P（AB）=P（B）P（A/B）式中，P（B/A）——事件B在事件A已發(fā)生情況下的概率，簡稱為B的條件概率。實例某地區(qū)位于甲、乙二河的匯合點，當任一河流泛濫時，該地區(qū)就會被淹沒。設在某個時期內(nèi)，甲河泛濫的概率P（A）=0.1；乙河泛濫的概率P（B）=0.2；又知當甲河泛濫時，乙河泛濫的概率P（B/A）=0.3。求這個時期內(nèi)該地區(qū)被淹沒的概率。又當乙河泛濫時，甲河泛濫的概率是多少？解：因A、B事件相容且不獨立，故該地區(qū)被淹沒的概率為：

實例

P（A+B）＝P（A）+P（B）-P（AB）＝P（A）+P（B）-P（A）P（B/A）＝0.1+0.2-0.1×0.3

＝0.27本節(jié)小結一、事件的分類二、概率、頻率及二者的區(qū)別和聯(lián)系三、概率的加法定理和乘法定理§4—3隨機變量及其概率分布

一、隨機變量1、定義：隨試驗結果而發(fā)生變化的量?？傮w：某種隨機變量所取數(shù)值的全體。樣本：從總體中不帶主觀成分任意抽取的一部分。樣本容量：樣本所包含的項數(shù)。水文現(xiàn)象中的隨機變量，一般是指某種水文特征值，如某站的年降水量等。它們的總體通常是無限的，而樣本則是指有限期間的實測水文數(shù)列。2、隨機變量的分類（1）離散型：隨機變量只能取得區(qū)間內(nèi)某些間斷的離散數(shù)值。例如，擲一顆骰子。（2）連續(xù)型：隨機變量可以取得一個有限區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值。水文資料中的數(shù)據(jù)大都如此。例如，某河流量，可以在零與極限流量間變化，因而流量可以等于零至極限流量間的任何實數(shù)值。二、隨機變量的概率分布隨機變量取得各個可能值的機會不同，其取值與概率有一定的對應關系。如：P（X=x1）=P1、……P（X=xn）=Pn

一般將這種對應關系稱為隨機變量的概率分布規(guī)律，簡稱分布律。分布律的概念只有離散型隨機變量才有。連續(xù)型隨機變量只能以區(qū)間概率來分析其概率分布規(guī)律。除此，通常還研究隨機變量X的取值均大于x的概率，將其表示為P（X>x）,它與P（X<x）可以相互轉換。

實例北京站具有104年實測年降水量資料，現(xiàn)按下列步驟進行統(tǒng)計分析。

序號年降水量出現(xiàn)次數(shù)（年）頻率（%）組內(nèi)平均（組距頻率密度△X=200mm）△

P/△X

組內(nèi)累積組內(nèi)△P累積（10－4/mm）

頻率P

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）11500～1300.1110.950.950.47521300～1100.1120.951.90.47531100～900.1131512.514.46.254900～700.1213620.234.610.15700～500.1397537.572.118.756500～300.1251002496.1127300～100.141043.91001.958合計104

100

計算步驟（1）將年降水量分組，并統(tǒng)計各組出現(xiàn)次數(shù)和累積次數(shù)。擬定分組距離△X=200mm，列于表中。累積次數(shù)表示年雨量大于或等于該組下限值x的出現(xiàn)次數(shù)。（2）計算各組出現(xiàn)的頻率、累積頻率及組內(nèi)平均頻率密度。計算步驟（3）繪圖。以各組平均頻率密度為橫坐標，以年雨量X為縱坐標，按組繪成直方圖。這種頻率密度隨隨機變量取值x變化的圖形，稱為頻率密度圖。如果資料年數(shù)無限增多，組距無限縮小，頻率密度直方圖就會變成光滑的連續(xù)曲線，稱為隨機變量的概率密度曲線

。計算步驟

以累積頻率P為橫坐標，以年降水量X為縱坐標，繪制階梯形實折線。這種表示大于或等于x的累積頻率隨隨機變量取值x變化的圖形，稱為頻率分布圖。同樣，如資料年數(shù)無限增多，組距無限縮小，實折線就會變成S形的光滑連續(xù)曲線，交稱之為隨機變量的概率分布曲線。

概率密度曲線和概率分布曲線示意圖

概率密度函數(shù)

概率密度曲線的函數(shù)式用f(x)表示，并稱為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。整個曲線與X軸所包圍的面積表示概率為1。f(x)dx概率分布函數(shù)

概率分布曲線的函數(shù)式用

F（X）表示，稱為概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。F（X）表示隨機變量取值大于某一指定x值的概率。分布函數(shù)F（X）是密度函數(shù)f(x)的積分函數(shù)。F(xi)

在水文計算中，一般不繪制水文變量的概率密度曲線，而繪制概率分布曲線。水文上習慣稱概率分布曲線為頻率曲線，稱概率密度曲線為頻率密度曲線或簡稱為密度曲線。三、隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)

統(tǒng)計參數(shù)：能用來說明隨機變量統(tǒng)計規(guī)律特性的某些特征數(shù)字，稱為統(tǒng)計參數(shù)。

1、算術平均數(shù)

均值對密度曲線和頻率曲線的影響f(x)三、隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)2、均方差σ與變差系數(shù)CV

對于均值相等的不同系列，它們的離散程度可用均方差σ來衡量。

對于均值不同的系列，它們的離散程度可用變差系數(shù)CV來衡量。

ki為模比系數(shù)。變差系數(shù)CV對密度曲線和頻率曲線的影響

f(x)實例三、隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)3、偏態(tài)系數(shù)CSCS是衡量隨機變量分布在均值兩邊是否對稱以及不對稱（偏態(tài)）程度的參數(shù)，是無因次數(shù)。當隨機變量在均值兩邊分布對稱時，

CS=0，稱正態(tài)分布；若分布不對稱，當正離差的立方占優(yōu)勢時，

CS>0，為正偏分布；當負離差的立方占優(yōu)勢時，

CS<0，稱負偏分布。偏態(tài)系數(shù)CS

對密度曲線的影響

水文現(xiàn)象大都屬正偏分布，即CS>0。通常密度曲線的峰偏左，且CS愈大愈偏左。偏態(tài)系數(shù)CS

對頻率曲線的影響反映在頻率曲線上，CS>0時，曲線向上凹，且CS

愈大，凹勢愈顯著，即上段愈陡，而下段愈平緩。四、抽樣誤差抽樣誤差：由隨機抽樣而引起的誤差。均方誤計算公式：四、抽樣誤差樣本統(tǒng)計參數(shù)的抽樣誤差隨樣本均方差σ、離差系數(shù)CV及偏態(tài)系數(shù)CS的增大而增大。但隨樣本容量n的增大而減小。結論：

樣本系列愈長，抽樣誤差愈小，樣本對總體的代表性愈好。

矩法按下式估算統(tǒng)計參數(shù)的方法一般稱為矩法。本節(jié)小結一、基本概念1、總體2、樣本3、樣本容量二、隨機變量分類及其概率分布三、概率密度曲線和概率分布曲線四、概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)五、隨機變量的統(tǒng)計參數(shù)（計算公式、各自對密度曲線和頻率曲線的影響）六、矩法§4—4頻率計算

頻率計算是用來分析研究某種隨機變量出現(xiàn)不同數(shù)值可能性的數(shù)學工具。水文計算中，常常要知道大于某一水文特征值的頻率是多少，換句話說，也就是要提供相應于一定頻率的水文數(shù)據(jù)。這就要進行頻率計算，要根據(jù)水文變量的樣本系列來確定頻率分布曲線?！?—4頻率計算一、經(jīng)驗頻率曲線（一）經(jīng)驗頻率的計算公式經(jīng)驗頻率：是指根據(jù)實測樣本資料所求得的大于或等于某一水文變量的概率。計算公式：式中：P——大于或等于某一變量值x的經(jīng)驗頻率；

m——x由大到小排列的序號；

n——觀測資料的總次數(shù)，即樣本容量。

經(jīng)驗頻率的修正公式

公式有不合理之處。例如當m=n時，p=100%，這種情況不可能。修正公式：（二）經(jīng)驗頻率曲線的繪制及其在應用中的問題

1、繪制經(jīng)驗頻率曲線（1）將實測的樣本系列按由大到小排列；（2）用式計算出各項x的經(jīng)驗頻率；（3）以水文變量X為縱坐標，以經(jīng)驗頻率P為橫坐標，在概率格紙上點繪各相應坐標點（pi,xi）；（4）徒手目估通過點群中心連成一條光滑曲線，即得水文變量X的經(jīng)驗頻率曲線。

2、經(jīng)驗頻率曲線的應用

根據(jù)設計要求的頻率P，查出工程設計所需的水文數(shù)據(jù)xP。即：

PxP。（三）頻率與重現(xiàn)期的關系重現(xiàn)期：是指某一隨機事件在很長時期內(nèi)平均多少年出現(xiàn)一次（多少年一遇）的意思，也即平均的重現(xiàn)間隔期。頻率P與重現(xiàn)期T的關系：1、當研究洪水或暴雨問題時，重現(xiàn)期指在很長時期N年內(nèi)，出現(xiàn)大于某水文變量XP事件的平均重現(xiàn)間隔期。（三）頻率與重現(xiàn)期的關系例如：當P=1%時，代入下式

得T=100年，稱為百年一遇洪水。2、當研究枯水問題時，重現(xiàn)期是指在很長時期（N年）內(nèi)，出現(xiàn)小于某水文變量XP事件的平均重現(xiàn)間隔期。

二、理論頻率曲線理論頻率曲線：是指用數(shù)學方程式表示的頻率曲線。根據(jù)經(jīng)驗，與水文資料配合較好的線型是

皮爾遜Ⅲ型曲線。皮Ⅲ型頻率密度曲線是一條一端有限、一端無限的不對稱單峰正偏曲線。

皮Ⅲ型頻率密度曲線示意圖皮Ⅲ型頻率密度曲線的密度函數(shù)

在工程水文中，需要推求的是頻率分布曲線，因此還必須對密度函數(shù)進行積分。頻率計算時，一般是要計算指定累積頻率P所相應的隨機變量取值xP。當CV、CS已定，則xP僅與p有關，可以由p來求xP。但用上式很麻煩，因此進行變量代換，事先制成數(shù)表，可使計算簡化。取標準化變量:

只要假定一個CS值，便可算出一組p和φP的對應值。假定不同的CS值，求得各種p～φP關系，就能制成Ⅲ型曲線的離均系數(shù)φP值表。頻率計算時，由給定的CS及p查φP

值表，求得φP

。令模比系數(shù)因此通常還可以進一步制成皮Ш型曲線的KP值表。根據(jù)給定的CV及CS（CS以CV的若干倍計），就可查得指定p的KP值。實例

根據(jù)某地年雨量資料，已求得統(tǒng)計參數(shù)：

=1000mm,CV=0.50,CS=2CV=1.0,若該地年雨量的分布符合皮Ш型分布，試求P=1%時的年雨量。解法一:,查附表一，得ф=3.02，解法二：

三、現(xiàn)行水文頻率計算方法——配線法

配線法：經(jīng)驗頻率點子與理論頻率曲線相擬合的方法，稱為適點配線法，簡稱配線法或適線法。配線法步驟：1、在機率格紙上點繪經(jīng)驗頻率點據(jù)。2、假定一組參數(shù)、CV

、CS，作為初試值。為減少假定的盲目性，、CV的初試值，可采由樣本資料按矩法公式算出的值；至于CS，因公式抽樣誤差大，一般根據(jù)經(jīng)驗選定CS和CV的倍比值。3、選定線型，一般選用皮Ш型曲線分布。

配線法步驟4、根據(jù)、CV

、CS的初試值，通過φP值表或KP表進行適當?shù)挠嬎慵纯傻玫筋l率曲線。將此曲線畫在繪有經(jīng)驗點的機率格紙上，目估與經(jīng)驗點配合的情況，若不理想，則修改參數(shù)，再次進行計算。由矩法計算誤差較小，一般可不作修改，主要調(diào)整CV及CS/CV值。5、最后根據(jù)頻率曲線與經(jīng)驗點據(jù)的配合情況，從中選擇一條與經(jīng)驗點據(jù)配合最佳的曲線作為采用曲線。相應于該曲線的參數(shù)便可看作是總體參數(shù)的估值。配線法的優(yōu)點配線法層次清楚，圖象明顯，方法靈活，操作容易，所以應用廣泛。實質(zhì)：通過樣本的分布去估計總體的分布。實例

某水文站有18年的實測年徑流資料，見表4—2中第（1）、（2）欄。試根據(jù)該資料用矩法初選參數(shù)，用適線法推求10年一遇的設計年徑流量。解：為使工作條理化，并便于檢查校核，宜列表計算。1、將原始資料按大小次序排列，列入（3）、（4）欄。2、用式計算經(jīng)驗頻率，列入（7）欄，并由（4）、（7）欄對應值在機率格紙上繪出經(jīng)驗頻率點子。實例實例3、計算系列的均值，

4、計算各項模比系數(shù)，列入（5）欄，其總和應等于n。但由于四舍五入的影響，允許尾數(shù)上略有盈虧。5、計算各項（Ki-1）2,列入（6）欄。

6、求得7、一般由上式計算的CV值偏小，故初選CV=0.25，并假定Cs=3CV=0.75，查Kp值表，得相應于各種頻率p的Kp值，如表4—3中第(2)欄。再由求得QP值。填入（3）欄。表4—3理論頻率曲線選配計算表

實例根據(jù)表4—3中第（1）、（3）欄的對應數(shù)據(jù)點繪理論頻率曲線，發(fā)現(xiàn)理論頻率曲線的中段與經(jīng)驗頻率點據(jù)配合較好，但頭部和尾部在經(jīng)驗頻率點的上方。8、改變參數(shù)，重新配線。根據(jù)第一次適線結果，均值和CV不變，減小Cs值。取Cs=2CV，再查Kp值表，計算Qp值，將Kp、Qp列于表4—3中第（4）、（5）欄，再次點繪理論頻率曲線，發(fā)現(xiàn)理論頻率曲線與經(jīng)驗點據(jù)配合較好，即作為最后采用的理論頻率曲線。9、由配線圖或表4—3，查得P＝10％對應的設計年徑流量為Qp＝1290m3/s。

本節(jié)小結一、經(jīng)驗頻率計算公式二、經(jīng)驗頻率曲線的繪制及應用三、重現(xiàn)期的概念四、頻率與重現(xiàn)期的關系五、百年一遇洪水的含義六、區(qū)分經(jīng)驗頻率曲線與理論頻率曲線七、配線法步驟§4—5相關分析

相關分析：分析研究兩個或兩個以上隨機變量之間的關系，稱作相關分析。一、相關關系的概念兩種變量之間的關系，一般分3種情況：1、完全相關2、零相關3、統(tǒng)計相關完全相關1、完全相關（函數(shù)關系），有兩個變量X、Y，對于變量X的每一個數(shù)值，變量Y都有一個（或多個）完全確定的數(shù)值和它對應，就稱兩變量為完全相關，即X與Y是函數(shù)關系。這種情況在水文現(xiàn)象中很少發(fā)生。零相關2、零相關（沒有關系）：如果兩個變量之間互不影響，互不相關，它們的關系點在圖上十分散亂，稱零相關或沒有關系。統(tǒng)計相關3、統(tǒng)計相關（相關關系）：兩變量間既不屬完全相關，也不屬零相關，而是介于這兩者之間的一種關系，在圖上的相關點稍有分散，但有明顯的分布趨勢，可用直線或曲線近似地配合，這種關系稱為統(tǒng)計相關或相關關系。在水文計算中進行相關分析，主要是：要判斷變量間相關關系的密切程度，以及相關的程度較高時，建立變量間的相關方程或相關線，用來由已知變量推求未知變量。頻率計算時，為擴大樣本容量提高水文系列的代表性，從而提高頻率計算成果的精度，常用相關分析法來插補延長短期水文系列。二、相關的種類相關關系按變量的多少可分為下面兩種類型：1、簡相關兩個變量間的相關關系稱簡相關或二元相關。在簡相關中，又有直線（線性）相關和曲線（非線性）相關兩種形式。2、復相關三個或三個以上變量的相關，稱復相關或多元相關。也可分直線相關和曲線相關兩種。在水文計算中，簡單直線相關的應用最為普遍。三、簡單直線相關

（一）相關圖解法

適用條件：如果相關點分布集中，可以直接利用作圖法求相關線及其相關方程。方法：相關線可根據(jù)點群分布趨勢，通過點群中心目估定出。它反映了兩變量間的平均關系。

目估定線時應注意的問題1、應使相關線兩側點據(jù)的離差大致相等；2、對離差較大的個別點不得輕率地改動或刪略，須查明原因，如果沒有錯誤或不合理處，定線時還要適當照顧，但不宜過分遷就，要全盤考慮相關點的總趨勢；3、相關線應通過同步系列的均值點（，）。

設相關直線方程為y=a+bx，可由圖上直接求得a、b。

a為直線在縱軸的截距，b為直線的斜率。根據(jù)確定的相關線或相關方程就可由x系列插補展延y系列。（二）相關計算法適用條件：（1）相關點的分布較分散，目估定線無把握；（2）精度要求較高。1、回歸方程式圖中，相關點（xi，yi）與直線在縱軸方向的離差：y=a+bx+△yyi-△y

直線與實測點能“最佳”擬合的條件是離差Δy的平方和為“最小”。即：為極小值。使上式取得極小值，應滿足：解得：而y倚x的回歸方程式為：式中：——x、y系列的平均值；

r——相關系數(shù)，表示x、y間關系的密切程度。

回歸線的斜率為，它稱作y倚x的回歸系數(shù)，記為，即。因此，只需算出和，回歸方程和回歸線就確定了。

同理，可推得x倚y的回歸方程式：2、回歸線的誤差

回歸線的誤差常用均方誤來表示，y倚x的均方誤為：

同樣，x倚y回歸線的均方誤為：

3、相關系數(shù)

對于直線相關，兩變量間的密切程度通常用相關系數(shù)來r表示，當時，為完全相關；當r=0

時，為零相關；當時，則為統(tǒng)計相關（相關關系）。其中，r>0為正相關，表示y隨x增大而增大；

r<0為負相關，表示y隨x的增大而減小。在統(tǒng)計相關中，愈接近1，說明兩變量間的相關程度愈密切。(三)相關分析中應注意的事項

1、首先必須分析論證變量間是否確實存在著成因上的聯(lián)系。要防止假相關。2、同期觀測資料不能太少。要求n>10或12，否則抽樣誤差太大，影響相關分析成果的可靠性。3、用來插補延長資料的相關關系要有較大的相關系數(shù)。一般認為，相關分析成果才可應用。(三)相關分析中應注意的事項4、用相關法展延系列時，還應盡量避免輾轉相關。5、在插補延長資料時，如需用到回歸線上無實測點據(jù)控制的外延部分，應特別慎重，尤其不能作過多的外延，一般不宜超過實際幅度的50%。6、回歸線的均方誤Sy小于的15％，相關系數(shù)的均方誤小于r的5％。實例

已知江蘇省某地區(qū)甲、乙兩站具有1965年及1967年～1983