格林公式及其應(yīng)用

第三節(jié)一、格林公式

三、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件格林公式及其應(yīng)用

二、格林公式簡單應(yīng)用四、小結(jié)引言?！R公式：特點：格林公式特點：在平面閉區(qū)域D上的二重積分可通過沿閉區(qū)域D的邊界曲線L上的曲線積分來表達(dá).兩者共性（實質(zhì)）：把內(nèi)部問題轉(zhuǎn)化為邊界問題來處理.區(qū)域D分類單連通區(qū)域(無“洞”區(qū)域)多(復(fù))連通區(qū)域(有“洞”區(qū)域)域D邊界L的正向:域的內(nèi)部靠左【定理1】

設(shè)區(qū)域D

是由分段光滑正向曲線L

圍成,則有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一、格林公式【應(yīng)用格林公式時應(yīng)注意】1.積分曲線L必須是封閉曲線，取D的正向邊界.2.（三條缺一不可）3.D可為單連通域，也可為復(fù)連通域；當(dāng)D為復(fù)連通域時，L包括D的所有正向邊界.推論:正向閉曲線L

所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積二、格林公式簡單應(yīng)用【例1】設(shè)L是分段光滑的閉曲線,證明【證】

令則利用格林公式,得1.簡化曲線積分xyoLAB其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).【解】

為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍圓周區(qū)域為D,

則【例3】計算原式其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點的三角形閉域.【解】

令,則利用格林公式,有有多種取法,則選最簡單的2.

簡化二重積分【例4】

計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.【解】令設(shè)L所圍區(qū)域為D,由格林公式知【例5】計算由于P,Q在(0,0)點無定義，不滿足格林公式條件記L和

lˉ

所圍的區(qū)域為,

在D內(nèi)作圓周取逆時針方向，對區(qū)域應(yīng)用格林公式得為了使用格林公式3.

計算平面面積【解】三、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件GyxoBA【定理2】

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點都有與路徑無關(guān),只與起止點有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價:在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即根據(jù)定理2,若在某區(qū)域內(nèi)則2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,3)可用積分法求du=

Pdx

+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;【說明】【例7】【解】是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).【解Ⅰ】則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。［利用曲線積分與路徑無關(guān)］設(shè)【注】所取起點不同，所求函數(shù)的最后結(jié)果中的常數(shù)可能不同.【例8】驗證【解Ⅱ】［不定積分法］(求原函數(shù)的方法)由于故由(1)式得求導(dǎo)得結(jié)合(2)式得在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.

【證】

令則由定理2

可知存在原函數(shù)【例9】驗證或還可用不定積分法【解】【例10】如圖與路徑無關(guān)四、小結(jié)1.格林公式2.等價條件在

D

內(nèi)與路徑無關(guān).在

D

內(nèi)有對D

內(nèi)任意閉曲線L