正弦定理和余弦定理

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－cosBsinC－sinC＝0∵sinC＞0，∴eq\r(3)sinB－cosB－1＝0，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).∵B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,3)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝eq\r(2)∶1，c2＝b2＋eq\r(2)bc，則三內(nèi)角A，B，C的度數(shù)依次是_____解析由題意知a＝eq\r(2)b，a2＝b2＋c2－2bccosA，即2b2＝b2＋c2－2bccosA，又c2＝b2＋eq\r(2)bc，∴cosA＝eq\f(\r(2),2)，A＝45°，sinB＝eq\f(1,2)，B＝30°，∴C＝105°.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝2，cosC＝－eq\f(1,4)，3sinA＝2sinB，則c＝______解析由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝16，所以c＝4.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，則b＝______解析因?yàn)閟inB＝eq\f(1,2)且B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,6)或B＝eq\f(5π,6).又C＝eq\f(π,6)，B＋C<π，所以B＝eq\f(π,6)，A＝π－B－C＝eq\f(2π,3).又a＝eq\r(3)，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝eq\f(b,sin\f(π,6))，在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，則AB＝______解析∵A＝60°，AC＝2，BC＝eq\r(3)，設(shè)AB＝x，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，化簡得x2－2x＋1＝0，∴x＝1，即AB＝1.在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，則eq\f(b,c)＝________解析在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，將A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c代入，可得(eq\r(3)c)2＝b2＋c2－2bceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，整理得2c2＝b2＋bc，∵c≠0，∴等式兩邊同時除以c2，得2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＋eq\f(b,c)，可解得eq\f(b,c)＝1在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3eq\r(15)，b－c＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，則a的值為______解析∵cosA＝－eq\f(1,4)，0＜A＜π，∴sinA＝eq\f(\r(15),4)，S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)bc×eq\f(\r(15),4)＝3eq\r(15)，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＝64，∴a＝8.解答題在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，b2－a2＝eq\f(1,2)c2(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面積為3，求b的值．解(1)由b2－a2＝eq\f(1,2)c2及正弦定理得sin2B－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)sin2C.所以－cos2B＝sin2C.①又由A＝eq\f(π,4)，即B＋C＝eq\f(3,4)π，得－cos2B＝－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π－C))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－2C))＝sin2C＝2sinCcosC，②，由①②解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝eq\f(2\r(5),5)，cosC＝eq\f(\r(5),5)，因?yàn)閟inB＝sin(A＋C)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋C))，所以sinB＝eq\f(3\r(10),10)，由正弦定理得c＝eq\f(2\r(2),3)b，又因?yàn)锳＝eq\f(π,4)，eq\f(1,2)bcsinA＝3，所以bc＝6eq\r(2)，故b＝3.已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝eq\r(3)bsinA－acosB.(1)求角B；(2)若b＝2，△ABC的面積為eq\r(3)，求a，c.解(1)由a＝eq\r(3)bsinA－acosB及正弦定理，得sinA＝eq\r(3)sinB·sinA－sinA·cosB，∵0<A<π，∴sinA>0，∴eq\r(3)sinB－cosB＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，又∵0<B<π，∴－eq\f(π,6)<B－eq\f(π,6)<eq\f(5π,6)，∴B＝eq\f(π,3).(2)∵S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3)，∴ac＝4，①，又∵b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2＝8.②由①②聯(lián)立解得a＝c＝2.如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍．(1)求eq\f(sinB,sinC)；(2)若AD＝1，DC＝eq\f(\r(2),2)，求BD和AC的長．解(1)S△ABD＝eq\f(1,2)AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝eq\f(1,2)AC·ADsin∠CAD.因?yàn)镾△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC，由正弦定理可得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(1,2).(2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝eq\r(2).在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6，由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a－c＝eq\f(\r(6),6)b，sinB＝eq\r(6)sinC(1)求cosA的值；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))的值．解(1)△ABC中，由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，及sinB＝eq\r(6)sinC，可得b＝eq\r(6)c，又由a－c＝eq\f(\r(6),6)b，有a＝2c，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6c2＋c2－4c2,2\r(6)c2)＝eq\f(\r(6),4)(2)在△ABC中，由cosA＝eq\f(\r(6),4)，可得sinA＝eq\f(\r(10),4)于是，cos2A＝2cos2A－1＝－eq\f(1,4)，sin2A＝2sinA·cosA＝eq\f(\r(15),4)所以，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝cos2Acoseq\f(π,6)＋sin2Asineq\f(π,6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(15)－\r(3),8)已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則△ABC面積的最大值為．解析由正弦定理，可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)·c∵a＝2，∴a2－b2＝c2－bc，即b2＋c2－a2＝bc由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).由b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝4＋bc.∵b2＋c2≥2bc，即4＋bc≥2bc，∴bc≤4，∴S△ABC＝eq\f(1,2)bc·sinA≤eq\r(3)，即(S△ABC)max＝eq\r(3).在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB.(1)求角C的大??；(2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面積．解(1)由題意得eq\f(1＋cos2A,2)－eq\f(1＋cos2B,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，即eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(1,2)cos2A＝eq\f(\r(3),2)sin2B－eq\f(1,2)cos2B，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,6))).由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，所以2A－eq\f(π,6)＋2B－eq\f(π,6)＝π，即A＋B＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由c＝eq\r(3)，sinA＝eq\f(4,5)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(8,5)，由a＜c，得A＜C，從而cosA＝eq\f(3,5)，故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(4＋3\r(3),10)，所以，△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(8\r(3)＋18,25).在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知cosB＝eq\f(\r(3),3)，sin(A＋B)＝eq\f(\r(6),9)，ac＝2eq\r(3)，求sinA和c的值．解在△ABC中，由cosB＝eq\f(\r(3),3)，得sinB＝eq\f(\r(6),3)，因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝eq\f(\r(6),9).因?yàn)閟inC＜sinB，所以C＜B，可知C為銳角．所以cosC＝eq\f(5\r(3),9).因此sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(6),3)×eq\f(5\r(3),9)＋eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(6),9)＝eq\f(2\r(2),3).由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，可得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(\f(2\r(2),3)c,\f(\r(6),9))＝2eq\r(3)c，又ac＝2eq\r(3)，所以c＝1.專項(xiàng)能力提升在△ABC中，AC＝eq\r(7)，BC＝2，B＝60°，則BC邊上的高等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),2)C.eq\f(\r(3)＋\r(6),2)D.eq\f(\r(3)＋\r(39),4)解析設(shè)AB＝c，則由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB知7＝c2＋4－2c，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(負(fù)值舍去)．∴BC邊上的高為AB·sinB＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA∴cosA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝eq\f(π,2)或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC為等腰或直角三角形．在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若S△