(新高考)高考數學一輪復習考點練習09《函數的定義域與值域》（解析版）

考點09函數的定義域與值域【命題解讀】掌握常見函數的定義域以及值域，【基礎知識回顧】常見函數的定義域：(1)分式函數中分母不等于零.(2)偶次根式函數被開方式大于或等于0.(3)一次函數、二次函數的定義域為R.(4)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定義域均為R.(5)y＝tanx的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈R且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).(6)函數f(x)＝xα的定義域為{x|x∈R且x≠0}.2、求值域常用的方法：圖像法；配方法；換元法；分離變量法；反解法；單調性法；基本不等式法，求導；1、（2020·棗莊市第三中學月考）函數的定義域為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】要使函數有意義，則，得，即或，即函數的定義域為，故選：．2、函數的y＝eq\r(－x2－6x－5)值域為()A.[0，＋∞)B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(2，＋∞)【答案】B【解析】設μ＝－x2－6x－5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ≥0))，則原函數可化為：y＝eq\r(μ).又∵μ＝－x2－6x－5＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3))2＋4≤4，∴0≤μ≤4，故eq\r(μ)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2))，∴函數y＝eq\r(－x2－6x－5)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2)).故選B.3、函數y＝f(x)的圖象是如圖所示的折線段OAB，其中A(1，2)，B(3，0)，函數g(x)＝x·f(x)，那么函數g(x)的值域為()A．[0，2] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2))) D．[0，4]【答案】B【解析】由題圖可知，直線OA的方程是y＝2x；因為kAB＝eq\f(0－2,3－1)＝－1，所以直線AB的方程為y＝－(x－3)＝－x＋3.所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,－x＋3，1<x≤3，))所以g(x)＝x·f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1，,－x2＋3x，1<x≤3.))當0≤x≤1時，g(x)＝2x2，此時函數g(x)的值域為[0，2]；當1<x≤3時，g(x)＝－x2＋3x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,4)，顯然，當x＝eq\f(3,2)時，函數g(x)取得最大值eq\f(9,4)；當x＝3時，函數g(x)取得最小值0.此時函數g(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,4))).綜上可知，函數g(x)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(9,4))).故選B.4、（多選題）下列函數中定義域是SKIPIF1<0的有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】對于SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0，定義域為SKIPIF1<0，滿足題意；對于SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0，定義域為SKIPIF1<0，不滿足題意；對于SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0，定義域為SKIPIF1<0，滿足題意；對于SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0，定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不滿足題意．故選：SKIPIF1<0．5（2020屆江蘇省南通市四校聯盟高三數學模擬）函數SKIPIF1<0的定義域為__________【答案】SKIPIF1<0【解析】根據題意，由于函數SKIPIF1<0，則使得原式有意義的x的取值范圍滿足4x-3>1,4x-3SKIPIF1<0,故可知所求的定義域為SKIPIF1<0?？枷蛞磺蠛瘮档亩x域例1、（2020·山東省東明縣實驗中學月考）函數的定義域是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數，知解之得：故選：B變式1、（2020屆江蘇省南通市海門中學高三上學期10月檢測）函數SKIPIF1<0的定義域為_____【答案】SKIPIF1<0【解析】根據題意，由于函數SKIPIF1<0，則使得原式有意義的x的取值范圍滿足4x-3>1,4x-3SKIPIF1<0,故可知所求的定義域為SKIPIF1<0。變式2、若函數y＝eq\f(mx－1,mx2＋4mx＋3)的定義域為R，則實數m的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))【答案】D【解析】∵函數y＝eq\f(mx－1,mx2＋4mx＋3)的定義域為R，∴mx2＋4mx＋3≠0，∴m＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠0，,Δ＝16m2－12m<0，))即m＝0或0<m<eq\f(3,4)，∴實數m的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).變式3、已知函數f(x)的定義域為(－1，1)，則函數g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定義域為()A．(－2，0) B．(－2，2)C．(0，2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))【答案】C【解析】由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<\f(x,2)<1，,－1<x－1<1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<x<2，,0<x<2，))∴0<x<2，∴函數g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定義域為(0，2)．方法總結：求函數定義域的類型及求法(1)已知函數的解析式，則構造使解析式有意義的不等式(組)求解.(2)對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構成的不等式(組)求解.(3)若已知f(x)的定義域為[a，b]，則f(g(x))的定義域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域.考向二函數的值域求下列函數的值域．(1)y＝eq\f(2x－1,x＋1)，x∈[3，5]；(2)y＝eq\f(x2－4x＋5,x－1)(x>1)．【解析】(1)(方法1)(單調性法)由y＝eq\f(2x－1,x＋1)＝2－eq\f(3,x＋1)，結合函數的圖像可知，函數在[3，5]上是單調遞增函數，∴ymax＝eq\f(3,2)，ymin＝eq\f(5,4)，故所求函數的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))).(方法2)(反表示法)由y＝eq\f(2x－1,x＋1)，得x＝eq\f(1＋y,2－y).∵x∈[3，5]，∴3≤eq\f(1＋y,2－y)≤5，解得eq\f(5,4)≤y≤eq\f(3,2)，即所求函數的值域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))).(2)(基本不等式法)令t＝x－1，則x＝t＋1(t>0)，∴y＝eq\f(（t＋1）2－4（t＋1）＋5,t)＝eq\f(t2－2t＋2,t)＝t＋eq\f(2,t)－2(t>0)．∵t＋eq\f(2,t)≥2eq\r(t·\f(2,t))＝2eq\r(2)，當且僅當t＝eq\r(2)，即x＝eq\r(2)＋1時，等號成立，故所求函數的值域為[2eq\r(2)－2，＋∞)．變式1、(2019·深圳調研)函數y＝|x＋1|＋|x－2|的值域為________．(2)若函數f(x)＝－eq\f(a,x)＋b(a>0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，則a＝________，b＝________．(3)函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值為________．【答案】(1)[3，＋∞)(2)1eq\f(5,2)(3)2【解析】(1)圖象法函數y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x＋1，x≤－1，,3，－1<x<2，,2x－1，x≥2.))作出函數的圖象如圖所示．根據圖象可知，函數y＝|x＋1|＋|x－2|的值域為[3，＋∞)．(2)單調性法∵f(x)＝－eq\f(a,x)＋b(a>0)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上是增函數，∴f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，f(x)max＝f(2)＝2.即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a＋b＝\f(1,2)，,－\f(a,2)＋b＝2，))解得a＝1，b＝eq\f(5,2).(3)當x≥1時，函數f(x)＝eq\f(1,x)為減函數，所以f(x)在x＝1處取得最大值，為f(1)＝1；當x<1時，易知函數f(x)＝－x2＋2在x＝0處取得最大值，為f(0)＝2.故函數f(x)的最大值為2.變式2、函數f(x)＝eq\f(x2＋4,x)的值域為________________．【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞)【解析】當x>0時，f(x)＝x＋eq\f(4,x)≥4，當且僅當x＝2時取等號；當x<0時，－x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x)))≥4，即f(x)＝x＋eq\f(4,x)≤－4，當且僅當x＝－2取等號，所以函數f(x)的值域為(－∞，－4]∪[4，＋∞)．變式3、(1)函數f(x)＝x＋2eq\r(1－x)的最大值為________；(2)函數y＝x－eq\r(4－x2)的值域為________．【答案】(1)2(2)[－2eq\r(2)，2]【解析】(1)設eq\r(1－x)＝t(t≥0)，所以x＝1－t2.所以y＝f(x)＝x＋2eq\r(1－x)＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.所以當t＝1即x＝0時，ymax＝f(x)max＝2.(2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2，所以設x＝2cosθ(θ∈[0，π])，則y＝2cosθ－eq\r(4－4cos2θ)＝2cosθ－2sinθ＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，因為θ＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))，所以y∈[－2eq\r(2)，2]．變式4、.(2015福建)若函數SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)的值域是SKIPIF1<0，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；又函數SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實數SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．方法總結：1.求函數的值域方法比較靈活，常用方法有：(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求值域；(2)圖像法：先作出函數的圖像，再觀察其最高點、最低點，得到值域；(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值，得出值域；(4)導數法：先求導，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結合端點值，再用相應的方法求值域；(5)換元法：對比較復雜的函數可通過換元轉化為熟悉的函數，再用相應的方法求1、(2014山東)函數SKIPIF1<0的定義域為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．2、(2012山東)函數的定義域為A．B．C．D．【答案】B【解析】故選B．3、.(2012課標，文16)設函數f(x)=eq\f((x+1)2+sinx,x2+1)的最大值為M，最小值為m，則M+m=____【答案】2【解析】SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是奇函數，∵SKIPIF1<0最大值為M，最小值為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值為M-1，最小值為SKIPIF1<0－1，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=2.3、（2017浙江）若函數SKIPIF1<0在區(qū)間[0，1]上的最大值是SKIPIF1<0，最小值是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．與SKIPIF1<0有關，且與SKIPIF1<0有關B．與SKIPIF1<0有關，但與SKIPIF1<0無關C．與SKIPIF1<0無關，且與SKIPIF1<0無關D．與SKIPIF1<0無關，但與SKIPIF1<0有關【答案】B【解析】函數SKIPIF1<0的對稱軸為SKIPIF1<0，①當SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②當SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③當SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．綜上，SKIPIF1<0的值與SKIPIF1<0有關，與SKIPIF1<0無關．選B．4、（2020北京11）函數SKIPIF1<0