專題02用樣本估計總體（期末必考專項講解與訓練）-備戰(zhàn)2021-2022學年高一數學下學期期末考試精品Word版含解析

一．理論基礎1．作頻率分布直方圖的步驟(1)求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)．(2)決定組距與組數．(3)將數據分組．(4)列頻率分布表．(5)畫頻率分布直方圖．2．頻率分布折線圖和總體分布的密度曲線(1)頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各個相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結起來，就得到頻率分布折線圖．(2)總體分布的密度曲線：將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，那么相應的頻率折線圖趨于一條光滑曲線，稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線．3．莖葉圖統(tǒng)計中還有一種被用來表示數據的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長出來的數．4．標準差和方差(1)標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離．(2)標準差：s＝eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2]).(3)方差：s2＝eq\f(1,n)(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2](xn是樣本數據，n是樣本容量，eq\x\to(x)是樣本平均數)．【知識拓展】1．頻率分布直方圖的特點(1)頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標之差表示組距，縱坐標表示eq\f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f(頻率,組距).(2)頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，因為在頻率分布直方圖中組距是一個固定值，所以各小長方形高的比也就是頻率比．(3)頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數據頻率分布的兩種形式，前者準確，后者直觀．2．平均數、方差的公式推廣(1)若數據x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數是meq\x\to(x)＋a.(2)數據x1，x2，…，xn的方差為s2.①數據x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數據ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.二.通法提煉題型一頻率分布直方圖的繪制與應用例1某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機調查了40個用戶，根據用戶對產品的滿意度評分，得到A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數分布表．A地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖①B地區(qū)用戶滿意度評分的頻數分布表滿意度評分分組50,60)60,70)70,80)80,90)90,100]頻數2814106(1)在圖②中作出B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度(不要求計算出具體值，給出結論即可)．B地區(qū)用戶滿意度評分的頻率分布直方圖圖②(2)根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意估計哪個地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意的概率大？說明理由．【解析】(1)如圖所示．(1)為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數據(單位：kPa)的分組區(qū)間為12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，如圖是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數為________．【答案】12【解析】志愿者的總人數為eq\f(20,0.16＋0.24×1)＝50，所以第三組人數為50×0.36＝18，有療效的人數為18－6＝12.(2)某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽出60名學生，將其物理成績(均為整數)分成六段40,50)，50,60)，…，90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：①求分數在70,80)內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；②統(tǒng)計方法中，同一組數據常用該組區(qū)間的中點值作為代表，據此估計本次考試中的平均分．題型二莖葉圖的應用例2(1)為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數據(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖．考慮以下結論：①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；③甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差；④甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差．其中根據莖葉圖能得到的統(tǒng)計結論的編號為________．(2)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數據的中位數為15，乙組數據的平均數為16.8，則x，y的值分別為__________．【答案】(1)①④(2)5,8(2)由莖葉圖及已知得x＝5，又乙組數據的平均數為16.8，即eq\f(9＋15＋10＋y＋18＋24,5)＝16.8，解得y＝8.引申探究1．本例(2)中條件不變，試比較甲、乙兩組哪組成績較好．解由原題可知x＝5，則甲組平均分為eq\f(9＋12＋15＋24＋27,5)＝17.4.而乙組平均分為16.8，所以甲組成績較好．2．在本例(2)條件下：①求乙組數據的中位數、眾數；②求乙組數據的方差．解①由莖葉圖知，乙組中五名學生的成績?yōu)?,15,18,18,24.故中位數為18，眾數為18.②s2＝eq\f(1,5)(9－16.8)2＋(15－16.8)2＋(18－16.8)2×2＋(24－16.8)2]＝23.76.思維升華莖葉圖的優(yōu)缺點由莖葉圖可以清晰地看到數據的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數據，沒有任何信息損失，第二點是莖葉圖便于記錄和表示．其缺點是當樣本容量較大時，作圖較煩瑣．某市為了考核甲，乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民．根據這50位市民對這兩部門的評分(評分越高表明市民的評價越高)，繪制莖葉圖如下：(1)分別估計該市的市民對甲，乙兩部門評分的中位數；(2)分別估計該市的市民對甲，乙兩部門的評分高于90的概率；(3)根據莖葉圖分析該市的市民對甲，乙兩部門的評價．題型三用樣本的數字特征估計總體的數字特征例3甲、乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖．(1)分別求出兩人得分的平均數與方差；(2)根據圖和上面算得的結果，對兩人的訓練成績作出評價．某工廠36名工人的年齡數據如下表.工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數據為44，列出樣本的年齡數據；(2)計算(1)中樣本的均值eq\x\to(x)和方差s2；(3)36名工人中年齡在eq\x\to(x)－s與eq\x\to(x)＋s之間的有多少人？所占的百分比是多少(精確到0.01%)?【解析】(1)44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)eq\x\to(x)＝eq\f(44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37,9)＝40.s2＝eq\f(1,9)(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－40)2＋(37－40)2＋(44－40)2＋(43－40)2＋(37－40)2]＝eq\f(100,9).(3)40－eq\f(10,3)＝eq\f(110,3)，40＋eq\f(10,3)＝eq\f(130,3)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(110,3)，\f(130,3)))的有23個，占63.89%.三．歸納總結1．用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布；難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應用．在計數和計算時一定要準確，在繪制小矩形時，寬窄要一致．通過頻率分布表和頻率分布直方圖可以對總體作出估計．2．莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用來描述樣本數據的分布情況的．莖葉圖由所有樣本數據構成，沒有損失任何樣本信息，可以隨時記錄；而頻率分布表和頻率分布直方圖則損失了樣本的一些信息，必須在完成抽樣后才能制作．3．若取值x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均值為x1p1＋x2p2＋…＋xnpn；若x1，x2，…，xn的平均數為eq\x\to(x)，方差為s2，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數為aeq\x\to(x)＋b，方差為a2s2.四、鞏固練習1．下圖是某公司10個銷售店某月銷售某產品數量(單位：臺)的莖葉圖，則數據落在區(qū)間22,30)內的頻率為________.【答案】0.42．某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其均值和方差分別為eq\x\to(x)和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的均值和方差分別為____________．【答案】eq\x\to(x)＋100，s2【解析】eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)＝eq\x\to(x)，yi＝xi＋100，所以y1，y2，…，y10的均值為eq\x\to(x)＋100，方差不變．3．某班的全體學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為20,40)，40,60)，60,80)，80,100]．若低于60分的人數是15，則該班的學生人數是________．【答案】50【解析】由頻率分布直方圖，知低于60分的頻率為(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴該班學生人數n＝eq\f(15,0.3)＝50.4．在某次測量中得到的A樣本數據如下：42,43,46,52,42,50，若B樣本數據恰好是A樣本數據每個都減5后所得數據，則A，B兩樣本的數字特征對應相同的是__________．【答案】標準差5.如圖是某青年歌手大獎賽上七位評委為甲、乙兩名選手打出的分數的莖葉圖(其中m為數字0～9中的一個)，去掉一個最高分和一個最低分后，甲、乙兩名選手得分的平均數分別為a1、a2，則一定有________．①a1>a2②a2>a1③a1＝a2④a1，a2的大小與m的值有關【答案】②【解析】去掉一個最高分和一個最低分后，甲選手葉上的數字之和是20，乙選手葉上的數字之和是25，故a2>a1.6．樣本中共有五個個體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為___________．【答案】2【解析】由題意可知樣本的平均值為1，所以eq\f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，解得a＝－1，所以樣本的方差為eq\f(1,5)(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.7．將某選手的9個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數的平均分為91.現(xiàn)場作的9個分數的莖葉圖后來有1個數據模糊，無法辨認，在圖中以x表示：則7個剩余分數的方差為________．【答案】eq\f(36,7)【解析】由題意知eq\f(87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋91,7)＝91，解得x＝4.所以s2＝eq\f(1,7)(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(1,7)(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝eq\f(36,7).8．從某小學隨機抽取100名學生，將他們的身高(單位：厘米)數據繪制成頻率分布直方圖(如圖)．由圖中數據可知a＝____________.若要從身高在120,130)，130,140)，140,150]三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項活動，則從身高在140,150]內的學生中選取的人數應為________．【答案】0.03039．某校高一某班的某次數學測試成績(滿分為100分)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖，據此解答下列問題：(1)求分數在50,60]的頻率及全班人數；(2)求分數在80,90]之間的頻數，并計算頻率分布直方圖中80,90]間的矩形的高．【解析】(1)分數在50,60]的頻率為0.008×10＝0.08.由莖葉圖知，分數在50,60]之間的頻數為2，所以全班人數為eq\f(2,0.08)＝25.(2)分數在80,90]之間的頻數為25－2－7－10－2＝4，頻率分布直方圖中80,90]間的矩形的高為eq\f(4,25)÷10＝0.016.10．某工廠對一批產品