機械優(yōu)化設(shè)計方法

關(guān)于機械優(yōu)化設(shè)計方法第1頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第一章：緒論優(yōu)化設(shè)計（OptimumDesign)是60年代發(fā)展起來的一門新的設(shè)計方法，是最優(yōu)化技術(shù)和計算技術(shù)在設(shè)計領(lǐng)域中應(yīng)用的結(jié)果。

解析法數(shù)值計算法優(yōu)化方法微分求極值迭代逼近最優(yōu)值計算機優(yōu)化設(shè)計第2頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五

機械優(yōu)化設(shè)計是使某項機械設(shè)計在規(guī)定的各種設(shè)計限制條件下，優(yōu)選設(shè)計參數(shù)，使某項或幾項設(shè)計指標(biāo)獲得最優(yōu)值。什么叫機械優(yōu)化設(shè)計工程設(shè)計上的“最優(yōu)值”(Optimum)或“最佳值”系指在滿足多種設(shè)計目標(biāo)和約束條件下所獲得的最令人滿意和最適宜的值。第3頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五一、從傳統(tǒng)設(shè)計到優(yōu)化設(shè)計

機械設(shè)計一般需要經(jīng)過調(diào)查研究(資料檢索)、擬訂方案(設(shè)計模型)、分析計算(論證方案)、繪圖和編制技術(shù)文件等一系列的工作過程。圖1-1傳統(tǒng)的機械設(shè)計過程第4頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖1－3機械優(yōu)化設(shè)計過程框圖第5頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五優(yōu)化設(shè)計與傳統(tǒng)設(shè)計相比，具有如下三個特點：(1)設(shè)計的思想是最優(yōu)設(shè)計；(2)設(shè)計的方法是優(yōu)化方法；(3)設(shè)計的手段是計算機。二、機械優(yōu)化設(shè)計的發(fā)展概況近幾十年來，隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃論和電子計算機的迅速發(fā)展而產(chǎn)生的，它首先在結(jié)構(gòu)設(shè)計、化學(xué)工程、航空和造船等部門得到應(yīng)用。1.優(yōu)化設(shè)計的應(yīng)用領(lǐng)域第6頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五國內(nèi)近年來才開始重視，但發(fā)展迅速，在機構(gòu)綜合、機械的通用零部件的設(shè)計、工藝設(shè)計方面都得到應(yīng)用。2.目前機械優(yōu)化設(shè)計的應(yīng)用領(lǐng)域在機械設(shè)計方面的應(yīng)用較晚，從國際范圍來說，是在上世紀(jì)60年代后期才得到迅速發(fā)展的。優(yōu)化設(shè)計本身存在的問題和某些發(fā)展趨勢主要有以下幾方面：第7頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五1)目前優(yōu)化設(shè)計多數(shù)還局限在參數(shù)最優(yōu)化這種數(shù)值量優(yōu)化問題。結(jié)構(gòu)型式的選擇還需進(jìn)一步研究解決。第8頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五2)優(yōu)化設(shè)計這門新技術(shù)在傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)中普及率還不高。3)把優(yōu)化設(shè)計與CAD、專家系統(tǒng)結(jié)合起來是優(yōu)化設(shè)計發(fā)展的趨勢之一。第9頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五三、本課程的主要內(nèi)容1.建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型2.選擇合適的優(yōu)化方法3.編制計算機程序，求得最佳設(shè)計參數(shù)第10頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第一章機械優(yōu)化設(shè)計概述第一節(jié)應(yīng)用實例機械優(yōu)化設(shè)計問題來源于生產(chǎn)實際。現(xiàn)在舉典型實例來說明優(yōu)化設(shè)計的基本問題。圖1-1所示的人字架由兩個鋼管構(gòu)成，其頂點受外力2F=3×N。人字架的跨度2B=152cm,鋼管壁厚T=0.25cm,鋼管材料的彈性模量E=2.1×Mpa，材料密度ρ=7.8×

/，許用壓應(yīng)力=420MPa。求在鋼管壓應(yīng)力不超過許用壓應(yīng)力和失穩(wěn)臨界應(yīng)力的條件下，人字架的高h(yuǎn)和鋼管平均直徑D，使鋼管總質(zhì)量m為最小。第11頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖2-2人字架的受力第12頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五人字架的優(yōu)化設(shè)計問題歸結(jié)為：使結(jié)構(gòu)質(zhì)量但應(yīng)滿足強度約束條件穩(wěn)定約束條件第13頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五鋼管所受的壓力失穩(wěn)的臨界力鋼管所受的壓應(yīng)力第14頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五鋼管的臨界應(yīng)力強度約束條件可以寫成穩(wěn)定約束條件可以寫成第15頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五人字架的總質(zhì)量這個優(yōu)化問題是以D和h為設(shè)計變量的二維問題，且只有兩個約束條件，可以用解析法求解。除了解析法外，還可以采用作圖法求解。第16頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五

1-3人字架優(yōu)化設(shè)計的圖解第17頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第三節(jié)優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型一、設(shè)計變量

在優(yōu)化設(shè)計的過程中，不斷進(jìn)行修改、調(diào)整，一直處于變化的參數(shù)稱為設(shè)計變量。設(shè)計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示：第18頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖2-4設(shè)計空間第19頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五二、約束條件一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。約束性能約束側(cè)面約束針對性能要求只對設(shè)計變量的取值范圍限制（又稱邊界約束）（按性質(zhì)分）按數(shù)學(xué)表達(dá)形式分：第20頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五約束等式約束不等式約束可行域：凡滿足所有約束條件的設(shè)計點，它在設(shè)計空間的活動范圍。一般情況下，其設(shè)計可行域可表示為：第21頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖2-5二維問題的可行域第22頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五三、目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計變量的函數(shù)，是設(shè)計中所追求的目標(biāo)。如：軸的質(zhì)量，彈簧的體積，齒輪的承載能力等。

在優(yōu)化設(shè)計中，用目標(biāo)函數(shù)的大小來衡量設(shè)計方案的優(yōu)劣，故目標(biāo)函數(shù)也可稱評價函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)的一般表示式為：第23頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五

優(yōu)化設(shè)計的目的就是要求所選擇的設(shè)計變量使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最佳值，即使通常目標(biāo)函數(shù)單目標(biāo)設(shè)計問題多目標(biāo)設(shè)計問題

目前處理多目標(biāo)設(shè)計問題的方法是組合成一個復(fù)合的目標(biāo)函數(shù)，如采用線性加權(quán)的形式，即第24頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五四、優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型

優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型是對優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)抽象。優(yōu)化設(shè)計問題的一般數(shù)學(xué)表達(dá)式為：第25頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五數(shù)學(xué)模型的分類：(1)按數(shù)學(xué)模型中設(shè)計變量和參數(shù)的性質(zhì)分：確定型模型隨機型模型設(shè)計變量和參數(shù)取值確定設(shè)計變量和參數(shù)取值隨機(2)按目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的性質(zhì)分：a.目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是設(shè)計變量的線形函數(shù)稱為線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型一般為：第26頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五b.若目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計變量的二次函數(shù)、約束是線性函數(shù)，則為二次規(guī)劃問題。其一般表達(dá)式為：第27頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五五、優(yōu)化問題的幾何解釋無約束優(yōu)化：在沒有限制的條件下，對設(shè)計變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點。其極小點在目標(biāo)函數(shù)等值面的中心。約束優(yōu)化：在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點。其極小點在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。第28頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第29頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第30頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第31頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第32頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第33頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第四節(jié)優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法求解優(yōu)化問題的方法：解析法數(shù)值法數(shù)學(xué)模型復(fù)雜時不便求解可以處理復(fù)雜函數(shù)及沒有數(shù)學(xué)表達(dá)式的優(yōu)化設(shè)計問題第34頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖1-11尋求極值點的搜索過程第35頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)機械設(shè)計問題一般是非線性規(guī)劃問題。實質(zhì)上是多元非線性函數(shù)的極小化問題，因此，機械優(yōu)化設(shè)計是建立在多元函數(shù)的極值理論基礎(chǔ)上的。機械優(yōu)化設(shè)計問題分為：無約束優(yōu)化約束優(yōu)化無條件極值問題條件極值問題第36頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第一節(jié)多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)

從多元函數(shù)的微分學(xué)得知，對于一個連續(xù)可微函數(shù)f(x)在某一點的一階偏導(dǎo)數(shù)為：，，，…它表示函數(shù)f(x)值在點沿各坐標(biāo)軸方向的變化率。有一個二維函數(shù)，如圖2-1所示。第37頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖2-1函數(shù)的方向?qū)?shù)第38頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五其函數(shù)在點沿d方向的方向?qū)?shù)為第39頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五二、二元函數(shù)的梯度對于二維函數(shù)在點處的梯度設(shè)為d方向的單位向量，則有第40頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五即第41頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五三、多元函數(shù)的梯度沿d方向的方向向量即第42頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖2-5梯度方向與等值面的關(guān)系第43頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五若目標(biāo)函數(shù)f(x)處處存在一階導(dǎo)數(shù)，則極值點的必要條件一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，即滿足此條件僅表明該點為駐點，不能肯定為極值點，即使為極值點，也不能判斷為極大點還是極小點，還得給出極值點的充分條件設(shè)目標(biāo)函數(shù)在點至少有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則在這一點的泰勒二次近似展開式為：第二節(jié)多元函數(shù)的泰勒展開第44頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五為N維函數(shù)f(x)在點處的Hesse矩陣第45頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五泰勒展開寫成向量矩陣形式∵∵第46頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五（1）▽F(X*)=0；必要條件（2）Hesse矩陣G(X*)為正定。充分條件多元函數(shù)f(x)在處取得極值，則極值的條件為為無約束極小點的充分條件其Hesse矩陣G(X*)為正定的。則極小點必須滿足為無約束優(yōu)化問題的極值條件第47頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五同學(xué)考慮二元函數(shù)在處取得極值的充分必要條件。各階主子式大于零例：求函數(shù)的極值第48頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第四節(jié)凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃前面我們根據(jù)函數(shù)極值條件確定了極小點則函數(shù)f(x)在附近的一切x均滿足不等式所以函數(shù)f(x)在處取得局部極小值，稱為局部極小點。而優(yōu)化問題一般是要求目標(biāo)函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)的全局極小點。函數(shù)的局部極小點是不是一定是全局極小點呢？第49頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖2-7下凸的一元函數(shù)第50頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五一、凸集的線段都全部包含在該集合內(nèi)，就稱該點集為凸集，否則為非凸集。一個點集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點第51頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五凸集的性質(zhì)二、凸函數(shù)函數(shù)f(x）為凸集定義域內(nèi)的函數(shù)，若對任何的及凸集域內(nèi)的任意兩點存在如下不等式：第52頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五稱是定義在凸集上的一個凸函數(shù)。第53頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五三、凸性條件1.根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)（函數(shù)的梯度）來判斷函數(shù)的凸性設(shè)f(x)為定義在凸集R上，且具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件是對凸集R內(nèi)任意不同兩點，不等式恒成立。2.根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)（

Hesse矩陣)來判斷函數(shù)的凸性第54頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五設(shè)f(x)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(x)在R上為凸函數(shù)的充要條件Hesse矩陣在R上處處半正定。四、凸規(guī)劃對于約束優(yōu)化問題若都為凸函數(shù)，則此問題為凸規(guī)劃。第55頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五凸規(guī)劃的性質(zhì)：1.若給定一點，則集合為凸集。2.可行域為凸集3.凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解第56頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第五節(jié)等式約束優(yōu)化問題的極值條件約束優(yōu)化等式約束不等式約束求解這一問題的方法消元法拉格朗日乘子法第57頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五1.消元法（降維法）以二元函數(shù)為例討論。二、拉格朗日乘子法（升維法）對于具有L個等式約束的n維優(yōu)化問題處有將原來的目標(biāo)函數(shù)作如下改造：第58頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五拉格朗日函數(shù)待定系數(shù)新目標(biāo)函數(shù)的極值的必要條件例2-4用拉格朗日乘子法計算在約束條件的情況下，目標(biāo)函數(shù)的極值點坐標(biāo)。第59頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第六節(jié)不等式約束優(yōu)化問題的極值條件在工程中大多數(shù)優(yōu)化問題，可表示為不等式約束條件的優(yōu)化問題。有必要引出非線性優(yōu)化問題的重要理論，是不等式約束的多元函數(shù)的極值的必要條件。庫恩-塔克（Kuhn-Tucker）條件一、一元函數(shù)在給定區(qū)間上的極值條件一元函數(shù)f(x)在給定區(qū)間[a,b]上的極值問題，可以寫成下列具有不等式約束條件的優(yōu)化問題：第60頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五拉格朗日乘子法，除了可以應(yīng)用于等式的極值問題，還可以用于不等式的極值問題。需引入松弛變量，將不等式約束變成等式約束。設(shè)a1和b1為兩個松弛變量，則上述的不等式約束可寫為：第61頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五則該問題的拉格朗日函數(shù)根據(jù)拉格朗日乘子法，此問題的極值條件：第62頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五由（起作用約束）（不起作用約束）同樣，來分析起作用何不起作用約束。因此，一元函數(shù)在給定區(qū)間的極值條件，可以表示為：第63頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五多元庫恩-塔克條件分析極值點在區(qū)間的位置，有三種情況第64頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五當(dāng)時，此時，則極值條件為第65頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五當(dāng)時，此時則極值條件為即第66頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五當(dāng)時，此時，則極值條件為即第67頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五從以上分析可以看出，對應(yīng)于不起作用的約束的拉格朗日乘子取零值，因此可以引入起作用約束的下標(biāo)集合。一元函數(shù)在給定區(qū)間的極值條件，可以改寫為：極值條件中只考慮起作用的約束和相應(yīng)的乘子。第68頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五二、庫恩-塔克條件仿照一元函數(shù)給定區(qū)間上極值條件的推導(dǎo)過程，可以得到具有不等式約束多元函數(shù)極值條件：用起作用約束的下標(biāo)集合表示第69頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五用梯度形式表示，可得或庫恩-塔克條件的幾何意義：在約束極小點處，函數(shù)的負(fù)梯度一定能表示成所有起作用約束在該點梯度的非負(fù)線性組合。第70頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五下面以二維問題為例，說明K-T條件的幾何意義第71頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五從圖中可以看出，處在和角錐之內(nèi)，即線性組合的系數(shù)為正，是在取得極值的必要條件。第72頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五三、庫恩-塔克條件應(yīng)用舉例若給定優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為K-T條件第73頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第74頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第三章一維搜索方法采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求函數(shù)極值點的迭代計算：K+1次迭代的搜索方向搜索的最佳步長因子當(dāng)搜索方向給定，求最佳步長就是求一元函數(shù)的極值。稱為一維搜索。是優(yōu)化搜索方法的基礎(chǔ)。求解一元函數(shù)的極小點，可用解析法。第75頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五上式求α的極值，即求α導(dǎo)數(shù)為零。則從上式看，需要求導(dǎo)進(jìn)行計算，對于函數(shù)關(guān)系復(fù)雜的，解析法十分不便。數(shù)值法的基本思路：確定的搜索區(qū)間，在不斷縮小區(qū)間，最終獲得近似值。第76頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第二節(jié)搜索區(qū)間的確定和區(qū)間消去法原理一、確定搜索區(qū)間的外推法第77頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖3-2正向搜索的外推法第78頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖3-3反向搜索的外推法第79頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五三、區(qū)間消去法原理第80頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第81頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五為了避免多計算函數(shù)值，將第三種情況合并到前兩種情況中。第82頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五三、一維搜索方法的分類從前面的分析可知，每次縮短區(qū)間，只需要在區(qū)間內(nèi)在插入一點并計算其函數(shù)值。而插入點的位置，可以由不同的方法來確定。就形成了不同的一維搜索方法。一維搜索方法分類試探法插值法黃金分割法二次插值法第三節(jié)一維搜索的試探法最常用的一維搜索試探法是黃金分割法，又稱0.618法。第83頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五要求插入點a1、a2的位置相對于區(qū)間[a,b]兩端點具有對稱性。除對稱要求外，黃金分割法還要求在保留下來的區(qū)間再插入一點所形成的區(qū)間新三段，與原來區(qū)間的三段具有相同的比例分布。第84頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五2所謂的“黃金分割”是指將一線段分成兩段的方法，使整段長與較長段的長度比值等于較長段與較短段的比值，即第85頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第86頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第四節(jié)一維搜索的插值方法假定要在某一區(qū)間內(nèi)尋找函數(shù)的極小點的位置，雖然沒有函數(shù)表達(dá)式，但能夠給出若干試驗點處的函數(shù)值。我們可以根據(jù)這些點處的函數(shù)值，利用插值的方法建立函數(shù)的近似表達(dá)式，進(jìn)而求處函數(shù)的極小點，作為原來函數(shù)的極小點的近似值。這種方法稱作插值法，也稱函數(shù)逼近法。一、牛頓法（切線法）一維搜索函數(shù)，假定一給出極小點的一個較好的近似點，因為一個連續(xù)可微的函數(shù)在極小點附近與一個二次函數(shù)很接近，因此，在點附近用一個二次函數(shù)逼近。第87頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五求二次函數(shù)的極小點作為極小點的新近似點即依次繼續(xù)下去，可得牛頓法迭代公式：第88頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五牛頓法的幾何解釋：第89頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五牛頓法的計算步驟：給定初始點，控制誤差，并令k=0。1）計算2）求3)若則求得近似解，停止計算，否則作4。4）令轉(zhuǎn)1。第90頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五優(yōu)點：收斂速度快。缺點：每一點都要進(jìn)行二階導(dǎo)數(shù)，工作量大；要求初始點離極小點不太遠(yuǎn)，否則有可能使極小化發(fā)散或收斂到非極小點。二、二次插值（拋物線法）利用在單谷區(qū)間中的函數(shù)值，作出如下的二次插值多項式它應(yīng)滿足條件（1）第91頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五從極值的必要條件求得（2）（3）要求出系數(shù)和，聯(lián)立方程組（1）、（2）、（3）。第92頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五令所以則第93頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第94頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第95頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第96頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第97頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第四章無約束優(yōu)化方法第一節(jié)概述從第一章列舉的機械設(shè)計問題，大多數(shù)實際問題是約束優(yōu)化問題。約束優(yōu)化問題的求解——轉(zhuǎn)化為一系列的無約束優(yōu)化問題實現(xiàn)的。因此，無約束優(yōu)化問題的解法是優(yōu)化設(shè)計方法的基本組成部分，也是優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。無約束優(yōu)化問題的極值條件第98頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五解析法數(shù)值法數(shù)學(xué)模型復(fù)雜時不便求解可以處理復(fù)雜函數(shù)及沒有數(shù)學(xué)表達(dá)式的優(yōu)化設(shè)計問題搜索方向問題是無約束優(yōu)化方法的關(guān)鍵。各種無約束優(yōu)化方法的區(qū)別：確定搜索方向的方法不同。無約束優(yōu)化方法分類利用目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)利用目標(biāo)函數(shù)值（最速下降法、共軛梯度法、牛頓法）（坐標(biāo)輪換法、鮑威爾等）第99頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第100頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第二節(jié)最速下降法優(yōu)化設(shè)計追求目標(biāo)函數(shù)值最小，若搜索方向取該點的負(fù)梯度方向，使函數(shù)值在該點附近的范圍內(nèi)下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代算法：以負(fù)梯度方向為搜索方向，所以稱最速下降法或梯度法。搜索方向確定為負(fù)梯度方向，還需確定步長因子即求一維搜索的最佳步長，既有第101頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個迭代點上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰兩個搜索方向互相垂直。第102頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第103頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五例4-1求目標(biāo)函數(shù)的極小點。第104頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第105頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第三節(jié)牛頓型方法在第三章中，我們已經(jīng)討論了一維搜索的牛頓方法。得出一維情況下的牛頓迭代公式對于多元函數(shù)，在泰勒展開，得設(shè)為函數(shù)的極小點，根據(jù)極值的必要條件第106頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五這是多元函數(shù)求極值的牛頓法迭代公式。例4-2用牛頓法求的極小值。對牛頓法進(jìn)行改進(jìn)，提出“阻尼牛頓法”第107頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第108頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第四節(jié)共軛方向及共軛方向法為了克服最速下降法的鋸齒現(xiàn)象，提高收斂速度，發(fā)展了一類共軛方向法。搜索方向是共軛方向。一、共軛方向的概念共軛方向的概念是在研究二次函數(shù)時引出的。首先考慮二維情況第109頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五如果按最速下降法，選擇負(fù)梯度方向為搜索方向，會產(chǎn)生鋸齒現(xiàn)象。為避免鋸齒的發(fā)生，取下一次的迭代搜索方向直接指向極小點，如果選定這樣的搜索方向，對于二元二次函數(shù)只需進(jìn)行兩次直線搜索就可以求到極小點。第110頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五應(yīng)滿足什么條件？對于二次函數(shù)在處取得極小點的必要條件等式兩邊同乘得是對G的共軛方向。第111頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五三、共軛方向法1、選定初始點，下降方向和收斂精度ε，k=0。2、沿方向進(jìn)行一維搜索，得3、判斷是否滿足，若滿足則打印否則轉(zhuǎn)4。4、提供新的共軛方向，使5、置，轉(zhuǎn)2。第112頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第113頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第五節(jié)共軛梯度法共軛梯度法是共軛方向法的一種，共軛向量有迭代點的負(fù)梯度構(gòu)造出來，所以稱共軛梯度法。從點出發(fā)，沿G某一共軛方向作一維搜索,到達(dá)而在點、處的梯度分別為：第114頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五得出共軛方向與梯度之間的關(guān)系。此式表明沿方向進(jìn)行一維搜索，其終點與始點的梯度值差與的共軛方向正交。第115頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖4-9共軛梯度法的幾何說明第116頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第117頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第六節(jié)變尺度法變尺度法的基本思想：前面討論的梯度法和牛頓法，它們的迭代公式可以看作下列公式的特例。變尺度法是對牛頓法的修正，它不是計算二階導(dǎo)數(shù)的矩陣和它的逆矩陣，而是設(shè)法構(gòu)造一個對稱正定矩陣H來代替Hesse矩陣的逆矩陣。并在迭代過程中，使其逐漸逼近H-1

。由于對稱矩陣H在迭代過程中是不斷修正改變的，它對于一般尺度的梯度起到改變尺度的作用，因此H又稱變尺度矩陣。第118頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五一、尺度矩陣的概念變量的尺度變換是放大或縮小各個坐標(biāo)。通過尺度變換可以把函數(shù)的偏心程度降低到最低限度。對于一般二次函數(shù)如果進(jìn)行尺度變換第119頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五則在新的坐標(biāo)系中，函數(shù)的二次項變?yōu)檫x擇這樣變換的目的：降低二次項的偏心程度。若矩陣G是正定的，則總存在矩陣Q使使得函數(shù)偏心度變?yōu)榱?。用Q-1

右乘等式兩邊，得再用Q左乘等式兩邊，得所以第120頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五說明二次函數(shù)矩陣G的逆矩陣，可以通過尺度變換矩陣Q求得。這樣，牛頓法迭代過程中的牛頓方向可寫成：三、變尺度法的一般步驟第121頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第122頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第七節(jié)坐標(biāo)輪換法坐標(biāo)輪換法是每次搜索只允許一個變量變化，其余變量保持不變，即沿坐標(biāo)方向輪流進(jìn)行搜索的尋優(yōu)方法。它把多變量的優(yōu)化問題輪流地轉(zhuǎn)化成單變量的優(yōu)化問題。因此又稱變量輪換法。

其基本原理是將一個多維的無約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列較低維的最優(yōu)化問題來求解，簡單地說，就是先將(n-1)個變量固定不動，只對第一個變量進(jìn)行一維搜索得到最優(yōu)點x1（1）。然后，又保持(n-1)個變量不變，再對第二個變量進(jìn)行一維搜索到x2（1）等等。第123頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第124頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖4－12坐標(biāo)輪換法原理圖（動畫演示）第125頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五2.搜索方向與步長的確定（1）搜索方向的確定對于第k輪第i次的計算第k輪第I次的迭代方向，它輪流取n維坐標(biāo)的單位向量。第126頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五3.搜索步長的確定關(guān)于值通常有以下幾種取法（1）加速步長法（2）最優(yōu)步長法最優(yōu)步長法就是利用一維最優(yōu)搜索方法來完成每一次迭代，即此時可以采用0.618方法或二次插值方法來計算的值。第127頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖4－13加速步長法的搜索路線第128頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五圖4－14最優(yōu)步長法的搜索路線第129頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五4.坐標(biāo)輪換法存在的問題圖4－15坐標(biāo)輪換法在各種不同情況下的效能（a）搜索有效；（b）搜索低效；（c）搜索無效第130頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第八節(jié)Powell法（方向加速法）

Powell法是利用共軛方向可以加速收斂的性質(zhì)所形成的一種搜索算法。一、共軛方向的生成第131頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第132頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五二、基本算法第133頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五三、改進(jìn)的算法在鮑維爾基本算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點和終點所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原來向量組中的第一個向量，而不管它的“好壞”。改進(jìn)的算法是：首先判斷原向量組是否需要替換。如需要替換，在產(chǎn)生新的向量。第134頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第135頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五

第六章約束優(yōu)化方法

根據(jù)求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法兩類。

機械優(yōu)化設(shè)計的問題，大多屬于約束優(yōu)化設(shè)計問題，其數(shù)學(xué)模型為：

直接解法是在滿足不等式約束的可行設(shè)計區(qū)域內(nèi)直接求出問題的約束最優(yōu)解。

屬于這類方法的有：隨機實驗法、隨機方向搜索法、復(fù)合形法、可行方向法等。第136頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五

間接解法是將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束優(yōu)化問題來解的一種方法。

由于間接解法可以選用已研究比較成熟的無約束優(yōu)化方法，并且容易處理同時具有不等式約束和等式約束的問題。因而在機械優(yōu)化設(shè)計得到廣泛的應(yīng)用。間接解法中具有代表性的是懲罰函數(shù)法。

直接解法的基本思想：

在由m個不等式約束條件gu(x)≤0所確定的可行域φ內(nèi)，選擇一個初始點x(0)，然后確定一個可行搜索方向S，且以適當(dāng)?shù)牟介L沿S方向進(jìn)行搜索，取得一個目標(biāo)函數(shù)有所改善的可行的新點x(1)，即完成了一次迭代。以新點為起始點重復(fù)上述搜索過程，每次均按如下的基本迭代格式進(jìn)行計算：

第137頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五x(k+1)＝x(k)+α(k)S(k)(k=0,1,2,…)逐步趨向最優(yōu)解，直到滿足終止準(zhǔn)則才停止迭代。第138頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五直接解法的原理簡單，方法實用，其特點是：1）由于整個過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因此，迭代計算不論何時終止，都可以獲得比初始點好的設(shè)計點。2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域為凸集，則可獲得全域最優(yōu)解，否則，可能存在多個局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點不同，而搜索到不同的局部最優(yōu)解。3）要求可行域有界的非空集。第139頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五a)可行域是凸集；b)可行域是非凸集第140頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五間接解法的求解思路：將約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來，構(gòu)成一個新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個或一系列的無約束優(yōu)化問題。新目標(biāo)函數(shù)加權(quán)因子然后對新目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無約束極小化計算。第141頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第142頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第二節(jié)隨機方向法隨機方向法的基本思路：在可行域內(nèi)選擇一個初始點，利用隨機數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個隨機方向，并從中選擇一個能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機方向作為搜索方向d。從初始點x0出發(fā)，沿d方向以一定步長進(jìn)行搜索，得到新點X，新點x應(yīng)滿足約束條件且f(x)<f(x0)，至此完成一次迭代?；舅悸啡鐖D所示。隨機方向法程序設(shè)計簡單，搜索速度快，是解決小型機械優(yōu)化問題的十分有效的算法。第143頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第144頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五一、隨機數(shù)的產(chǎn)生下面介紹一種常用的產(chǎn)生隨機數(shù)的數(shù)學(xué)模型首先令取r=2657863，按一下步驟計算：令若則若則若則則（0，1）之間的隨機數(shù)第145頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五在任意(a,b)區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù)二、初始點的選擇

隨機方向法的初始點x0必須是一個可行點，既滿足全部不等式約束條件。初始點可以通過隨機選擇的方法產(chǎn)生。1）輸入設(shè)計變量的下限值和上限值，即2）在區(qū)間（0，1）內(nèi)產(chǎn)生n個偽隨機數(shù)3）計算隨機點x的各分量第146頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五4）判別隨機點x是否可行，若隨機點可行，用x代替x0為初始點；若非可行點，轉(zhuǎn)到步驟2）重新產(chǎn)生隨機點，只到可行為止。三、可行搜索方向的產(chǎn)生產(chǎn)生可行隨機方向的方法：從k個隨機方向中，選取一個較好的方向。其計算步驟為：1）在(-1,1)區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生偽隨機數(shù)，得隨機單位向量第147頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五2)取一試驗步長a0，按下式計算k個隨機點3）檢驗k個隨機點是否為可行點，除去非可行點，計算余下的可行點的目標(biāo)函數(shù)值，比較其大小，選出目標(biāo)函數(shù)最小的點XL

。4)比較XL

和X0兩點的目標(biāo)函數(shù)值，若f(XL)<f(X0)，則取XL

和X0連線方向為可行搜索方向；若f(XL)>f(X0)，則步長α0

縮小，專步驟1）重新計算，直至f(XL)<f(X0)為止。如果α0

縮小到很小，仍然找不到一個XL，使f(XL)<f(X0)則說明X0是一個局部極小點，此時可更換初始點，轉(zhuǎn)步驟1）。第148頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五產(chǎn)生可行搜索方向的條件為：則可行搜索方向為：四、搜索步長的確定步長由加速步長法確定。第149頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五五、隨機方向法的計算步驟第三節(jié)復(fù)合形法復(fù)合形法是求解約束優(yōu)化問題的一種重要的直接解法。

它的基本思路是在可行域內(nèi)構(gòu)造一個具有k個頂點的初始復(fù)合形。對該復(fù)合形各頂點的目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行比較，找到目標(biāo)函數(shù)最大的頂點（最壞點），然后按一定的法則求出目標(biāo)函數(shù)值有所下降的可行的新點，并用此點代替最壞點，構(gòu)成新的復(fù)合形，復(fù)合形的形狀沒改變一次，就向最優(yōu)點移動一步，直至逼近最優(yōu)點。

由于復(fù)合形的形狀不必保持規(guī)則的圖形，對目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)無特殊要求，因此這種方法適應(yīng)性強，在機械優(yōu)化設(shè)計中應(yīng)用廣泛。第150頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第151頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五初始復(fù)合形生成的方法：1）由設(shè)計者決定k個可形點，構(gòu)成初始復(fù)合形。設(shè)計變量少時適用。2）由設(shè)計者選定一個可形點，其余的k-1個可形點用隨機法產(chǎn)生。第152頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五3）由計算機自動生成初始復(fù)合形的所有頂點。二、復(fù)合形法的搜索方法1.反射1）計算復(fù)合形各頂點的目標(biāo)函數(shù)值，并比較其大小，求出最好點XL、最壞點XH

及次壞點XG，即第153頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五2）計算除去最壞點XH

外的（k-1）個頂點的中心XC

3）從統(tǒng)計的觀點來看，一般情況下，最壞點XH和中心點XC的連線方向為目標(biāo)函數(shù)的下降方向。第154頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五4）判別反射點XR的位置

若XR

為可行點，則比較XR

和XH

兩點的目標(biāo)函數(shù)值，如果f(XR)<f(XH)，則用XR取代XH

，構(gòu)成新的復(fù)合形，完成一次迭代；如果f(XR)>=f(XH),則將α縮小0.7倍，重新計算新的反射點，若仍不行，繼續(xù)縮小α，直至f(XR)<f(XH)為止。

若為非可行點，則將α縮小0.7倍，直至可行為止。然后再重復(fù)可行點的步驟。2.擴張第155頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五3.收縮第156頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第157頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第158頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第五節(jié)懲罰函數(shù)法

懲罰函數(shù)法是一種很廣泛、很有效的間接解法。它的基本原理是將約束優(yōu)化問題中的不等式和不等式約束函數(shù)經(jīng)加權(quán)后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合為新的目標(biāo)函數(shù)——懲罰函數(shù)。

將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化問題。求解無約束優(yōu)化問題的極小值，從而得到原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。加權(quán)轉(zhuǎn)化項第159頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五

懲罰函數(shù)法是按一定的法則改變加權(quán)因子的值，構(gòu)成一系列的無約束優(yōu)化問題，求一系列無約束最優(yōu)解，并不斷地逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。因此又稱序列無約束極小化方法。常稱SUMT方法。根據(jù)它們在懲罰函數(shù)中的作用，分別稱障礙項和懲罰項。

障礙項的作用是當(dāng)?shù)c在可行域內(nèi)時，在迭代過程中將阻止迭代點越出可形域。

懲罰項的作用是當(dāng)?shù)c在非可行域或不滿足等式約束條件時，在迭代過程中將迫使迭代點逼近約束邊界或等式約束曲面。

按照懲罰函數(shù)在優(yōu)化過程中迭代點是否可行，分為：內(nèi)點法、外點法及混合法。第160頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五一、內(nèi)點懲罰函數(shù)法

內(nèi)點法將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，這樣它的初始點及后面的迭代點序列必定在可行域內(nèi)。

采用內(nèi)點法只能求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。轉(zhuǎn)化后的懲罰函數(shù)形式為：障礙項第161頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五障礙項的作用是阻止迭代點越出可行域。例6-5用內(nèi)點法求問題約束最優(yōu)解。第162頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第163頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五用內(nèi)點法求解，首先構(gòu)造內(nèi)點懲罰函數(shù)：用解析法對函數(shù)求極小值。求解得第164頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五不滿足約束條件，舍去。無約束極值點為：第165頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五下面介紹內(nèi)點法中的初始點、懲罰因子初值及其縮減系數(shù)的選取和收斂條件的確定。1.初始點的選取

初始點應(yīng)選離約束邊界較遠(yuǎn)的可行點。程序設(shè)計時，一般，考慮具有人工輸入、和計算機自動生成可行初始點的兩種功能。2.懲罰因子的初值的選取懲罰因子的初值選取應(yīng)適當(dāng)，否則會影響迭代計算的正常進(jìn)行。太大會影響迭代次數(shù)，太小會使懲罰函數(shù)的形態(tài)變壞，難以收斂到極值點。1）取r0=1，根據(jù)試算的結(jié)果，再決定增加或減少r0

值。第166頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五2）按經(jīng)驗公式

計算r0

值。這樣選取的r0

，可以是懲罰函數(shù)中的障礙項和原目標(biāo)函數(shù)的值大致相等，不會因障礙項的值太大則其支配作用，也不會因障礙項的值太小而被忽略掉。3.懲罰因子的縮減系數(shù)c的選取

在構(gòu)造序列懲罰函數(shù)時，懲罰因子r是一個逐次遞減到0的數(shù)列，相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為：第167頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五懲罰因子的縮減系數(shù)通常的取值范圍：0.1-0.7之間。4.收斂條件第168頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第169頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五

內(nèi)點法是將懲罰因數(shù)定義于可行域內(nèi)，而外點法與內(nèi)點法不同，是將懲罰項函數(shù)定義于可行區(qū)域的外部。序列迭代點從可行域外部逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點。二、外點懲罰函數(shù)法外點法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。對于約束優(yōu)化問題第170頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五懲罰因子，它是由小到大。懲罰項

由懲罰項可知，當(dāng)?shù)c不可行時，懲罰項的值大于零。

當(dāng)?shù)c離約束邊界越遠(yuǎn)時，懲罰項愈大，這可看成是對迭代點不滿足約束條件的一種懲罰。轉(zhuǎn)化后的外點懲罰函數(shù)的形式為：第171頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第172頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五例6-6用外點法求問題約束最優(yōu)解。首先構(gòu)造外點懲罰函數(shù)：用解析法求解第173頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五求解得第174頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五外點法懲罰銀子按下式遞增遞增系數(shù)，通常取c=5-10。

與內(nèi)點法相反計算r0

值。選取的r0

太大則會使懲罰函數(shù)等值線偏心或變形，難以取得極小值。但r0太小，勢必增加迭代次數(shù)。經(jīng)驗計算一般取r0=1，c=10常?？梢匀〉脻M意的效果。也可以通過經(jīng)驗公式獲得r0

值第175頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五外點法的特點：

1．初始點可以任選，但應(yīng)使各函數(shù)有定義2．對等式約束和不等式約束均可適用3．僅最優(yōu)解為可行設(shè)計方案4．一般收斂較快5．初始罰因子要選擇得當(dāng)6．懲罰因子為遞增，遞增率c有c>1。內(nèi)點法的特點：

1．初始點必須為嚴(yán)格內(nèi)點 2．不適于具有等式約束的數(shù)學(xué)模型3．迭代過程中各個點均為可行設(shè)計方案4．一般收斂較慢5．初始罰因子要選擇得當(dāng)6．罰因子為遞減，遞減率c有0<c<1。 第176頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五三、混合懲罰函數(shù)法1.混合懲罰函數(shù)法及其算法步驟

在構(gòu)造懲罰函數(shù)時，可以同時包括障礙項與懲罰項，并將懲罰因子統(tǒng)一用r（k）表示：

由于內(nèi)點法容易處理不等式約束優(yōu)化設(shè)計問題，而外點法又容易處理等式約束優(yōu)化設(shè)計問題，因而可將內(nèi)點法與外點法結(jié)合起來，處理同時具有等式約束和不等式約束的優(yōu)化設(shè)計問題。第177頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五

這種同時處理等式和不等式約束的懲罰函數(shù)法稱為混合懲罰函數(shù)法?；旌蠎土P函數(shù)法與前述內(nèi)點法和外點法一樣，也屬于序列無約束極小化(SUMT)方法中的—種方法。第178頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五第八章機械優(yōu)化設(shè)計實例第一節(jié)應(yīng)用技巧一、機械優(yōu)化設(shè)計的一般過程機械設(shè)計的全過程一般可分為：1.建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型。2.選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法。3.編寫計算機程序。4.準(zhǔn)備必須的初始數(shù)據(jù)并上機計算。5.對計算機求得的結(jié)果進(jìn)行必要的分析。第179頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五二、建立數(shù)學(xué)模型的基本原則

數(shù)學(xué)模型的建立要求確切、簡潔的反映工程問題的客觀實際。數(shù)學(xué)模型的三要素：設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)、約束條件。1.設(shè)計變量的選擇

在充分了解設(shè)計要求的基礎(chǔ)上，應(yīng)根據(jù)各設(shè)計參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的影響程度分析其主次，應(yīng)盡量減少設(shè)計變量的數(shù)目，以簡化優(yōu)化設(shè)計問題。應(yīng)注意各設(shè)計變量應(yīng)相互獨立，否則會使目標(biāo)函數(shù)出現(xiàn)“山脊”或“溝谷”，給優(yōu)化帶來困難。第180頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五3.約束條件的確定2.目標(biāo)函數(shù)的確定

把最重要的指標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，其余的次要的指標(biāo)可作為約束條件。對于一般機械，可按重量最輕或體積最小的要求建立目標(biāo)函數(shù)；對應(yīng)力集中現(xiàn)象尤其突出的構(gòu)件，則以應(yīng)力集中系數(shù)最小為追求的目標(biāo)。對于精密儀器，應(yīng)按其精度最高或誤差最小的要求建立目標(biāo)函數(shù)。

約束條件是就工程設(shè)計本身而提出的對設(shè)計變量取值范圍的限制條件。第181頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五三、數(shù)學(xué)模型的尺度變換1.目標(biāo)函數(shù)的尺度變換第182頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五2.設(shè)計變量的尺度變換當(dāng)各設(shè)計變量之間在量級上相差很大時，在給定的搜索方向上各自的靈敏度相差也很大。靈敏度大的搜索變化快，靈敏度小的搜索變化慢。為了消除這種差別，可以對設(shè)計變量進(jìn)行重新標(biāo)度。使它成為無量綱或規(guī)格化的設(shè)計變量，這種處理稱設(shè)計變量的尺度變換。第183頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五3.約束函數(shù)的規(guī)格化約束函數(shù)的尺度變換稱規(guī)格化。

由于各約束函數(shù)所表達(dá)的意義不同，使得各約束函數(shù)值在量級上相差很大。

例如某熱壓機框架的優(yōu)化設(shè)計中，許用應(yīng)力為[σ]=150MPa，而下橫梁的許用撓度[δ]=0.5mm，約束函數(shù)為：第184頁，共203頁，2022年，5月20日，1點17分，星期五

兩者對數(shù)