2023屆“西南匯”聯(lián)考高三上學期開學考試數(shù)學（理）試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆“西南匯”聯(lián)考高三上學期開學考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．設(shè)集合，?，則（

）A．? B．? C．? D．?【答案】B【分析】先求出，從而判斷四個選項的正誤.【詳解】由題意，得?，則.故選：B2．設(shè)復數(shù)?滿足?，則?（

）A．? B．? C．? D．?【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復數(shù)的定義，以及復數(shù)模公式，即可求解.【詳解】設(shè)則即即解得故選：C.3．函數(shù)?的零點共有（

）A．?個 B．?個 C．?個 D．?個【答案】C【分析】分別討論與時的解得個數(shù)即可.【詳解】當?時?無解；當?時，?有解?綜上，函數(shù)?有?個零點.故選：C.4．已知正方體?中，?分別為?的中點，則（

）A．? B．?C．? D．?【答案】D【分析】建立空間直角坐標系，然后計算相應(yīng)的數(shù)量積即可確定垂直關(guān)系.【詳解】建立如圖坐標系，不妨設(shè)正方體的棱長為.則∴，得到故.故選：D.5．已知的內(nèi)角的對邊分別是，則“”是“是鈍角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由結(jié)合余弦定理求出，求出?為鈍角，充分性得證，再舉出反例推出必要性不成立.【詳解】?，由余弦定理得：，即?為鈍角，故充分性成立，若鈍角三角形中?為鈍角，則?為銳角，?，即有?，故必要性不成立.故選：A.6．已知函數(shù)?，下列說法正確的是（

）A．?的最小正周期是?B．?的圖像關(guān)于直線?對稱C．?在區(qū)間?上單調(diào)遞增D．?的圖像可由?的圖像向左平移?個單位得到【答案】D【分析】利用輔助角公式對恒等變形，從而求出最小正周期判斷A，利用整體代入法可判斷B與C，根據(jù)圖像平移判斷D.【詳解】，得，故A選項錯誤；令，直線不為其對稱軸，故B選項錯誤；當，時，單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，故C選項錯誤；將的圖像向左移個單位得.故D選項正確.故選：D.7．已知?均為單位向量，且滿足?，命題?，命題?，則下列命題恒為真命題的是（

）A．? B．?C．? D．?【答案】B【分析】根據(jù)已知可求得的夾角和的夾角相等，進而可求解.【詳解】由可得，，又因為均為單位向量，所以的夾角和的夾角相等，作圖知命題必有一個為真命題，故恒為真命題的是.故選：B.8．的最小值為（

）A．? B．? C．? D．?【答案】A【分析】由誘導公式以及基本不等式即可求最值.【詳解】因為，原式.當且僅當時，取等號.故選：A9．已知一個定義在上的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求導可得為增函數(shù)，且，再求解與的解集，結(jié)合的奇偶性求解即可.【詳解】由題意，得則?單調(diào)遞增，又，所以?當?時，?；當?時，?.?時，?的解集為?.又?為奇函數(shù)，?為偶函數(shù)，?的解集為?.故選：D10．已知某校高三年級共?人，按照順序從?到?編學號.為了如實了解學生“是否有帶智能手機進入校園的行為”，設(shè)計如下調(diào)查方案：先從裝有?個黑球和?個白球的不透明盒子中隨機取出?個球，如果是白球，回答問題一；否則回答問題二.問題如下：一、你的學號的末位數(shù)字是奇數(shù)嗎？二、你是否有帶智能手機進入校園的行為？現(xiàn)在高三年級?人全部參與調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計：有?人回答“否”，其余人回答“是”.則該校高三年級“帶智能手機進入校園”的人數(shù)大概為（

）A．? B．? C．? D．?【答案】B【分析】根據(jù)題意，按比例將1400人分為840人和560人，其中840人中將有420人回答“否”，則則?人中有?(人)回答“否”，?人回答“是”，則可求出問是否帶手機的回答是的人數(shù)所占的比例，從而可求出該校高三年級“帶智能手機進入校園”的人數(shù).【詳解】根據(jù)題意，?人分為?（人）和?（人），?人中將有?人回答“否”，則?人中有?(人)回答“否”，?人回答“是”，則問是否帶手機的回答是人數(shù)約占?，該校高三年級“帶智能手機進入校園”的人數(shù)約為?（人）.故選：B11．單位正四面體的外接球內(nèi)接的最大正三角形邊長為（

）A．? B．?C．? D．?【答案】C【分析】先求得外接球半徑，然后計算外接球內(nèi)接的最大正三角形邊長即可.【詳解】如圖為單位正四面體.過點作面的垂線交面于點為外接球球心，則為的中心，則，在中，.設(shè)，則在中，，解得.外接球內(nèi)接的最大正三角形即為球的大圓的內(nèi)接正三角形，由正弦定理可得邊長為.故選：C12．?，則（

）A．? B．?C．? D．?【答案】A【分析】通過構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，再構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性后比較的大小，從而可得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造，，則，令，則，所以在上遞減，所以，所以，所以在上遞減，所以，所以，所以，即，所以，令（），則，所以在上遞增，所以，所以，所以，所以，即故?.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查比較大小，考查導數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.二、填空題13．已知函數(shù)?，則?____________.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計算可得.【詳解】解：因為，又，所以，所以?.故答案為：14．函數(shù)的一條過原點的切線方程為____________.【答案】【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，設(shè)切點為，即可求出切線的斜率，從而得到，令，，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，從而求出切線方程.【詳解】解：因為，所以，設(shè)切點為，則，所以?，即?，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以?，則，，所以函數(shù)?過原點的一條切線方程為?.故答案為：15．設(shè)?是拋物線?的焦點，點A?在拋物線?上，?，若?，則?____________.【答案】【分析】根據(jù)題意可得焦點F的坐標，進而可得，由，可得結(jié)合拋物線的定義可得A點的橫坐標，再代入拋物線的方程，即可得出答案.【詳解】由可知焦點，，∴?，∵，∴∴?點?到拋物線準線的距離為?.∵?拋物線的準線方程為?，∴點A的橫坐標∴?或?，∴?.故答案為：.16．已知正實數(shù)?滿足?，則?的最小值為____________.【答案】【分析】由?得=1，將?同乘，利用，代換得，結(jié)合導數(shù)研究增減性，進而可求最小值.【詳解】原式?，令?，則?，因為?，所以，當時，，在?上單調(diào)遞減；當時，，在??上單調(diào)遞增，故，將?代入?，得原式?.故答案為：【點睛】本題重點考查了利用導數(shù)求解函數(shù)最值，解題突破口在于利用“1”的妙用思路和進行整體代換，入手難度大，平時應(yīng)多加強此類題型積累.三、解答題17．在三棱錐中，平面平面是的中點.(1)證明：；(2)若，求二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)?【分析】（1）利用條件先證明平面，再證明；（2）建立空間直角坐標系，運用空間向量分別計算出平面平面和平面的法向量，再利用數(shù)量積算出二面角的大小.【詳解】(1)證明：由題意，平面平面，平面平面，∴平面，平面，平面，∴；又，且AD,DC均在面CDA內(nèi)，平面，平面，

；(2)以A為原點，AD為x軸，AB為y軸，過A點作平行于DC的直線為z軸，建立空間直角坐標系如下圖：由題意，得

,，顯然平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，則有，得，令，則，所以平面的一個法向量，則，則二面角的大小為；綜上，二面角的大小為.18．已知?的內(nèi)角?、、所對的邊分別為、、，，?.(1)求?；(2)若?，，求、?.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）將?代入（1）中兩式，得到，?，再分、兩種情況討論，分別求出、，再由，即可確定、，最后由余弦定理求出.【詳解】(1)解：因為，，由正弦定理得?，.?，又，?.(2)解：將?代入（1）中兩式，得，?.，?.當?時，解得?，；當?時，解得?，.又?，?，，.?，又，?.綜上，?，.19．記數(shù)列?前?項和為，.(1)證明：?為等差數(shù)列；(2)若?，記?為數(shù)列?的前?項積，證明：?.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，用替換，然后作差即可證明.（2）先由（1）中結(jié)論得到通項，從而得到，然后裂項放縮，即可得證.【詳解】(1)由題意，得?.則?.兩式相減，得?，即?，?是等差數(shù)列.(2)因為，由（1）知（也符合此式）故數(shù)列的通項公式為則所以故，得證.20．設(shè)橢圓，右焦點?，短軸長為2，直線?與軸的交點到右焦點的距離為?.(1)求?的方程；(2)點，均在?上，且滿足若?與?軸交點為?，求滿足條件的點?的坐標.【答案】(1)?(2)?或?或【分析】（1）由題知，再根據(jù)解方程即可得答案；（2）當?不平行?軸時，不妨設(shè)，進而聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理得，再根據(jù)已知得，進而分和兩種情況討論求解得，，，并檢驗判別式即可得答案.【詳解】(1)解：因為短軸長為2，直線?與軸的交點到右焦點的距離為所以，?所以，所以，橢圓?的方程為?.(2)解：當?軸時，此時點?不存在；當?不平行?軸時，不妨設(shè).聯(lián)立直線?和橢圓的方程，得則由韋達定理，得?.設(shè)?的中點為?，因為所以，?，其中為到直線的距離，所以，?.結(jié)合直線?和?，得?.所以，由可得，即若?，則?，將?代入?，解得?.此時，?.經(jīng)驗證，符合?，此時點?的坐標為?；若?，即?，解得.經(jīng)驗證：符合?，此時點?的坐標為?或?.綜上所述，符合條件的點?的坐標有?或?或?.21．設(shè)函數(shù)（?為常數(shù)）.(1)討論?的單調(diào)性；(2)若函數(shù)?有兩個不相同的零點?，證明:?.【答案】(1)在?上單調(diào)遞減，?上單調(diào)遞增.(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導后，再構(gòu)造函數(shù)，再次求導，可得在上單調(diào)遞增，再由，可求出的單調(diào)區(qū)間，（2）不妨設(shè)，轉(zhuǎn)化為只需證?，構(gòu)造函數(shù)?，利用導數(shù)求出其最大值小于零即可.【詳解】(1)由（），得，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以當時，，當時，，所以?在?上單調(diào)遞減，?上單調(diào)遞增.(2)由（1）的結(jié)論，不妨設(shè)?.又?均?，只需證?.構(gòu)造函數(shù)?.則，因為，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，而，所以取不到等號，所以，所以在上單遞增，所以，所以?恒成立，結(jié)論得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為只需證?，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求其最值即可，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.22．在平面直角坐標系?中，曲線?的參數(shù)方程是?(?為參數(shù))，正方形?的頂點均在?上，且?依逆時針次序排列，點?.(1)求?的普通方程及點?的坐標；(2)設(shè)?為?內(nèi)（包含邊界）任意一點，求?的最小值.【答案】(1)?，；?(2)4【分析】（1）消去參數(shù)得到普通方程，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合求出點?的坐標；（2）利用兩點