FIR濾波器設(shè)計知識講座

DigtlalSignalProcessing——UsingMATLABFIR濾濾波器設(shè)設(shè)計數(shù)字頻率率w的概概念定義：其中：Ω=2πf為模擬擬角頻率率T:抽樣樣時間間間隔，fs:抽抽樣頻率率所以數(shù)字濾波波器設(shè)計必須須給出抽樣頻頻率數(shù)字頻率的2π等價于模擬抽抽樣頻率Ωs=2πfs按照Nyquist抽樣樣定理，基帶帶信號的頻率率特性只能限限于|w|<ws/2=π的范圍數(shù)字濾波器幅幅度響應(yīng)(1)π數(shù)字低通濾波器1數(shù)字高通濾波器數(shù)字濾波器幅幅度響應(yīng)(2)11數(shù)字帶通數(shù)字帶阻7.1概概論濾波器設(shè)計：：給定技術(shù)要要求設(shè)計系統(tǒng)統(tǒng)設(shè)計步驟：確定技術(shù)要求求：由具體應(yīng)應(yīng)用條件決定定提供一個逼近近要求的濾波波器的表述根據(jù)表述實現(xiàn)現(xiàn)濾波器下面討論時我我們均假設(shè)技技術(shù)要求已知知7.1.1技技術(shù)要要求的給定幅度要求：絕對指標(biāo)要求求：對幅度響響應(yīng)|H(ejw)|給出要求求相對指標(biāo)要求求：以分貝dB形式給出出相位要求：線線性相位一、絕對指標(biāo)標(biāo)要求(1)Passbandripple通帶波紋Stopbandripple阻帶波紋Transitionband過渡帶絕對指標(biāo)(2)頻帶[0,wp]稱為通帶passband,δ1是在理想通帶帶響應(yīng)上可以以接受的容度度（或波紋））頻帶[ws,pi]稱為阻帶stopband,δ2是相應(yīng)的阻帶帶容度（或波波紋）頻帶[wp,ws]稱為過渡帶transitionband,在這個頻帶內(nèi)內(nèi)幅度響應(yīng)不不作要求二、相對指指標(biāo)要求(1)0相對指標(biāo)(2)Rp:以dB計的通帶波波紋As:以dB計的阻帶衰衰減兩種指標(biāo)之間間的關(guān)系：Rp和As的計算見P214ex7.1&ex7.2三、為什么只只討論低通濾濾波器(LPF)上述指標(biāo)都是是針對低通濾濾波器的其他類型的頻頻率選擇性濾濾波器(如高高通或帶通)也能給出類類似要求濾波器設(shè)計最最重要的參數(shù)數(shù)是頻帶容限限和頻帶邊緣緣頻率四、技術(shù)指標(biāo)標(biāo)舉例設(shè)計一個低通通濾波器，它它具有一個通通帶[0,wp]，通帶內(nèi)內(nèi)頻帶容限為為δ1(或Rp，單單位dB)，一個阻帶[ws,pi]，阻帶內(nèi)容容度為δ2(或As,單單位dB)最后求得結(jié)果果是得出濾波波器的系統(tǒng)函函數(shù)H(z)或差分方程程五、FIR濾濾波器的優(yōu)點點相位響應(yīng)可以以真正線性系統(tǒng)絕對穩(wěn)定定，設(shè)計相對對容易高效實現(xiàn)可用DFT實實現(xiàn)實際應(yīng)用時，，我們感興趣趣的是線性相位的FIR濾波波器六、線性相位位響應(yīng)的優(yōu)點點設(shè)計問題中僅僅有實數(shù)運算算時延固定，沒沒有時延失真真對長為M的濾濾波器，運算算次數(shù)只有M/2量級7.2線線性相位位FIR濾波波器性質(zhì)包括脈沖和頻頻率響應(yīng)的形形狀，系統(tǒng)函函數(shù)零點的位位置設(shè)h(n)是是長為M的脈脈沖響應(yīng)，0≤n≤M-1，則在原點z=0處有(M-1)階零零點，在z平平面其它處有有M-1個零點，頻頻率響應(yīng)函數(shù)數(shù)可寫為線性相位的脈脈沖響應(yīng)形狀狀(1)因為頻率響應(yīng)應(yīng)函數(shù)具有線線性相位這里是恒定相位位延遲(constantphasedelay)，由第6章知知，h(n)是對稱脈沖沖響應(yīng)因此，h(n)關(guān)于對稱，根據(jù)據(jù)M的奇偶有有兩種對稱類類型線性相位的脈脈沖響應(yīng)形狀狀(1)線性相位的脈脈沖響應(yīng)形狀狀(2)第二類線性相相位滿足條件件相位響應(yīng)不通通過原點，但但斜率恒為常數(shù)，此此時稱群時延(groupdelay)，可知h(n)是反對稱脈脈沖響應(yīng)h(n)仍然然關(guān)于對稱，根據(jù)據(jù)M的奇偶有有兩種對稱類類型線性相位的脈脈沖響應(yīng)形狀狀(2)對應(yīng)頻率響應(yīng)應(yīng)特性H(ejw)將M為奇和偶偶數(shù)結(jié)合對稱稱和反對稱的的情況，得得到四種類型型的線性FIR濾波器對應(yīng)每種類型型其頻率響應(yīng)應(yīng)特性都有獨獨特性質(zhì)，令令其中，Hr(w)是連續(xù)續(xù)的振幅響應(yīng)函數(shù)，可正可可負(fù)的實函數(shù)數(shù)相位響應(yīng)是一一個不連續(xù)函函數(shù)例：設(shè)脈沖響響應(yīng)為h(n)={1，1，1，1}，求出并并畫出頻率響響應(yīng)解：頻率響應(yīng)應(yīng)函數(shù)為由方程可得：：I類線性相位位：對稱脈沖沖響應(yīng)，M為為奇數(shù)這種情況下，，beta=0，alpha=(M-1)/2是整數(shù)h(n)=h(M-1-n)，0≤n≤≤M-1將兩式比較可可得：II類線性相相位:對稱脈脈沖響應(yīng)，M為偶數(shù)這種情況下，，beta=0，alpha=(M-1)/2不是整數(shù)h(n)=h(M-1-n)，0≤n≤≤M-1注意：Hr(pi)=0,因此不不能采用這種種類型設(shè)高通or帶阻濾波器III類線性性相位：反對對稱脈沖響應(yīng)應(yīng)，M為奇數(shù)數(shù)這種情況下，，beta=pi/2，，alpha=(M-1)/2是整整數(shù)h(n)=-h(M-1-n)，0≤n≤M-1Hr(0)=Hr(pi)=0,因因此這種濾濾波器不適合合設(shè)計低通或高通濾波器exp(jpi/2)=j，這種特性非常常適合設(shè)計希爾伯特變換換器和微分器器IV類線性相相位：反對稱稱脈沖響應(yīng)，，M為偶數(shù)這種情況和II類似，有有Hr(0)=0andexp(jpi/2)=j.因此這種類型型適合用于設(shè)設(shè)計數(shù)字希爾伯特特變換器和微微分器MATLAB實現(xiàn)Hr_type1:求I類線性相相位的Hr(w)調(diào)用格式：[Hr,w,a,L]=Hr_type1(h)Hr_type2:求II類線性性相位的Hr(w)調(diào)用格式：[Hr,w,b,L]=Hr_type2(h)Hr_type3:求III類線線性相位的Hr(w)調(diào)用格式：[Hr,w,c,L]=Hr_type3(h)Hr_type4:求IV類線性性相位的Hr(w)調(diào)用格式：[Hr,w,d,L]=Hr_type4(h)小結(jié)了解了線性相相位FIR濾波器的各種種特性，便可可根據(jù)實際需需要選擇合適適的FIR濾濾波器，同時時設(shè)計時要遵遵循有關(guān)約束束條件。如：第第3、、4種種情況況，對對于任任何頻頻率都都有固固定的的π/2相移，，一般般微分分器及及90°相相移器器采用用這兩兩種情情況，，而選選頻性性濾波波器則則用第第1、、2種種情況況。(1)設(shè)計計線性性相位位的低低通DigtalFilter從幅度度特性性考慮慮，只只能選選擇第第1種種或第第2種種第一種種：第二種種(2)設(shè)計計線性性相位位的高高通DF從幅度度特性性看，，可用用第一一種或或第四四種第一種種第四種種(3)設(shè)計計線性性相位位的帶帶阻DF從幅度度特性性考慮慮，只只能選選擇第第一種種(4)設(shè)計計線性性相位位的帶帶通DF從幅度度特性性考慮慮，可可以選選擇任任一種種線性相相位濾濾波器器的零零點位位置對實序序列而而言，，零點點是共軛出現(xiàn)的的;對對稱稱序列列而言言，零零點是是鏡像出現(xiàn)的的;令q=z–1,f(q)的的系數(shù)數(shù)與f(z)剛剛好倒倒序.由于h(n)的的系數(shù)數(shù)是對對成的的，倒倒序并并不會會改變變系數(shù)數(shù).如果zk是多項項式的的根，，則則pk=zk-1也是.對稱系系數(shù)多多項式式的鏡鏡像零零點如果zk滿足多多項式式:h0+h1zk-1+h2zk-2+..+hM-2zk-M+2+hM-1zk-M+1=0此時hM-1=h0,hM-2=h1,…那么rk=zk–1同樣會會滿足足方程程h0+h1rk+h2rk2+……+h1rkM-2+h0rkM-1=h0zkM-1+h1zkM-2+……+h2zk2+h1zk+h0=zkM-1(h0+h1zk-1+……+h1zk-M+2+h0zk–M+1)=01/z11/conj(z1)z1conj(z1)特殊的的如果零零點為為實數(shù)，則只只有兩個零點：：z2,1/z2如果零零點在在單位圓圓上且為虛數(shù)，則只只有兩個零點z3,z3*如果零零點在在單位圓圓上且為實數(shù)，則只只有一個零點z47.3窗窗口口設(shè)計計法設(shè)計步步驟給定要要求設(shè)設(shè)計的的理想想濾波波器的的頻率率響應(yīng)應(yīng)Hd(ejw)設(shè)計一一個FIR濾波波器頻頻率響響應(yīng)H(ejw)由于設(shè)設(shè)計是是在時時域中中進(jìn)行行，使使所設(shè)設(shè)計濾濾波器器的h(n)去去逼近近理想想單位位取樣樣響應(yīng)應(yīng)序列列hd(n)理想濾濾波器器的頻頻率響響應(yīng)Hd(ejw)設(shè)希望望設(shè)計計的濾濾波器器傳輸輸函數(shù)數(shù)為Hd(ejw)，對對應(yīng)脈脈沖響響應(yīng)為為hd(n)，則則它們們滿足足關(guān)系系：若已知Hd(ejw)，即可可求出出hd(n)，再經(jīng)經(jīng)過z變換換，就就可以以求出出系統(tǒng)統(tǒng)函數(shù)數(shù)H(z)，從而而設(shè)計計出系系統(tǒng)一般情情況下下，Hd(ejw)逐段恒恒定，在邊界頻頻率處處有不不連續(xù)續(xù)點，因而而hd(n)是無限時時寬的，且且是非非因果果序列列。例：理理想低低通濾濾波器器的傳傳輸函函數(shù)Hd(ejw)無失真真的理理想低低通的的傳輸輸函數(shù)數(shù)為相應(yīng)的的單位位取樣樣響應(yīng)應(yīng)hd(n)由上式式可知知，hd(n)無限長長，且為為非因果果序列理想低低通濾濾波器器的Hd(ejw)和h(n)波形設(shè)實際際實現(xiàn)現(xiàn)的低低通濾濾波器器單位位取樣樣響應(yīng)應(yīng)為h(n)，，長為為N，，其系系統(tǒng)函函數(shù)設(shè)計過過程相相當(dāng)于于找到到一個個有限限長序序列h(n)，去逼逼近理理想低低通的的hd(n)，這必必然會會引入入誤差差———頻域域的吉吉布斯斯(Gibbs)效應(yīng)應(yīng)(截截斷斷效效應(yīng)應(yīng))后果果：：引引起起通通帶帶和和阻阻帶帶內(nèi)內(nèi)的的波波動動效效應(yīng)應(yīng)，，尤尤其其是是使使阻阻帶帶衰衰減減減減小小設(shè)計計實實現(xiàn)現(xiàn)一一個個FIR濾濾波波器器H(ejw)例：：設(shè)設(shè)計計截截止止頻頻率率wc=/3時時延延為為6的的具具有有線線性性相相位位的的FIR低低通通濾波波器器為了了構(gòu)構(gòu)造造一一個個長長為為N的線線性性相相位位濾濾波波器器，，只只有有將將hd(n)截取取一一段段，，并并保保證證對對(N-1)/2對稱稱設(shè)截截取取的的段段用用h(n)表示示，，則則其中中W(n)：長長為為N的窗窗函函數(shù)數(shù)(這這里里取取矩矩形形序序列列)當(dāng)當(dāng)τ=(N-1)/2時，，截截取取的的h(n)對(N-1)/2對稱稱，，保保證證設(shè)設(shè)計計的的濾濾波波器器具具有有線線性性相相位位這里里，，hd(n)是以以n=6為為中中心心偶偶對對稱稱的的無無限限長長序序列列現(xiàn)用用一一個個有有限限長長N=13的的因因果果序序列列h(n)逼逼近近它它最簡單的的方法：：給hd(n)加矩形窗窗RN(n)，即令W(n)=RN(n)，，則低通濾波波器脈沖沖響應(yīng)波波形截斷斷處理示示意圖截斷處理理后，由由于h(n)滿足對稱稱脈沖響響應(yīng)，所所以一定定滿足第第一類線線性相位位設(shè)計步驟驟先由Hd(ejw)求付里葉葉反變換換hd(n).砍頭去尾尾。因為我們們要設(shè)計計FIR濾波器器h(n)必須滿足足：因果性：：t<0時，h(n)=0-->砍頭頭線性相位位：要求求h(n)中心對稱稱或反對對稱，由由于砍頭頭，所以以必須去去尾，讓讓它們中心對稱稱。即用有限限長的h(n)去逼近無無限長的的hd(n).利用卷積積過程。。即h(n)=W(n)××hd(n)可見窗函函數(shù)序列列的形狀狀及長度度的選擇擇是設(shè)計計關(guān)鍵。。窗口法設(shè)設(shè)計數(shù)字字濾波器器主要任務(wù)務(wù)：尋找找最有效效的方法法截斷hd(n)，即用一個有有限長度度的窗口口函數(shù)序序列W(n)來截取hd(n)，使H(ejw)最逼近Hd(ejw)通過加窗窗可得到到不同類類型的數(shù)數(shù)字濾波波器數(shù)字低通通數(shù)字高通通數(shù)字帶通通數(shù)字帶阻阻數(shù)字低通通設(shè)h(n)是長為N，以τ=(N-1)/2為中心偶偶對稱的的函數(shù)h(n)的設(shè)計根據(jù)前面面討論可可知，低低通濾波波器只能能選擇對對稱脈沖沖響應(yīng)當(dāng)N為奇奇數(shù)時，，設(shè)計第第一種情情況的線線性相位位低通DF當(dāng)N為偶偶數(shù)時，，設(shè)計第第二種情情況的線線性相位位低通DF設(shè)選用矩矩形窗，，即設(shè)計舉例例：用矩形窗窗設(shè)計截截止頻率率wc=/3的的具有線線性相位位的FIR低通通濾波器若取N=13，，為奇數(shù)數(shù)，則對對稱脈沖沖響應(yīng)若取N=12，，為偶數(shù)數(shù)，則數(shù)字高通通理想的線線性相位位高通DF的頻頻率特性性為：其幅度特特性：1沖激響應(yīng)應(yīng)理想高通通濾波器器沖激響響應(yīng)加窗處理理后的數(shù)數(shù)字濾波波器沖激激響應(yīng)分析因為為為偶函函數(shù)，W(n)為常數(shù)數(shù)當(dāng)N為奇奇數(shù)時，，對應(yīng)第第一種線線性相位位，h(n)=h(N-1-n)為為對稱脈脈沖響應(yīng)應(yīng)當(dāng)N為偶偶數(shù)時，，對應(yīng)第第四種線線性相位位，h(n)=-h(N-1-n)為反對對稱脈沖沖響應(yīng)取矩形窗窗時，W(n)=RN(n)取N=13，為為奇數(shù)，，則取N=12，為為偶數(shù)，，則理想數(shù)字字帶通濾濾波器理想的線線性相位位帶通DF的頻率特性性為：1其沖激響應(yīng)應(yīng)hd(n)加矩形窗處處理后，得得到分析：若選擇相位位有相移的的理想帶通通DF頻率特性為為：此時的脈沖沖響應(yīng)加矩形窗處處理后分析此時的h(n)一定定為反對稱稱序列當(dāng)N為奇數(shù)數(shù)時，對應(yīng)應(yīng)第三種線線性相位，，當(dāng)N為偶數(shù)數(shù)時，對應(yīng)應(yīng)第四種線線性相位，，7.4加加窗對對系統(tǒng)頻率率響應(yīng)的影影響根據(jù)頻域卷卷積定理，，加窗后，，濾波器的的頻率響應(yīng)應(yīng)現(xiàn)在我們以以低通濾波波器為例來來討論：加窗后，頻頻率響應(yīng)發(fā)發(fā)生了什么么變化加什么樣的的窗，可以以使變化減減至最小7.4.1矩矩形窗矩形窗口的的頻率特性性為用幅度響應(yīng)應(yīng)和相位響響應(yīng)的乘積積表示為矩形窗（2）當(dāng)w很小時，當(dāng)w很大時，WR(w)為周期函數(shù)數(shù)主瓣矩形窗處理理后的頻率率響應(yīng)根據(jù)頻域卷卷積定理可可得Wr(w-wc)Wr(w-wc+2π/N)Wr(w-wc-2π/N)加窗后的低低通濾波器器頻譜幾個特殊頻頻率點w=0處，，響應(yīng)值為為窗函數(shù)數(shù)頻譜Wr(w-θ)和理想低低通濾波器器頻率特性性Hd(θ)的乘積的的積分，可可近似看作作Wr(θ)在-π到π的全部積分分面積w=wc處處，Hd(θ)剛好與Wr(w-θ)的一半重重疊，因此此H(wc)=0.5H(0)w=wc-2π/N處，Wr(w-θ)的全部主主瓣在Hd(θ)的通帶之之內(nèi)，因此此卷積結(jié)果果有最大值值，頻率響響應(yīng)出現(xiàn)正正肩峰w=wc+2π/N處，Wr(w-θ)的全部主主瓣在Hd(θ)的通帶之之外，通帶帶內(nèi)的旁瓣瓣負(fù)的面積積大于正的的面積，因因此卷積結(jié)結(jié)果有最負(fù)負(fù)值，頻率率響應(yīng)出現(xiàn)現(xiàn)負(fù)肩峰幾個特殊頻頻率點（2）當(dāng)w>wc+2π/N后，Wr(w-θ)的左邊旁旁瓣的起伏伏部分掃過過通帶，卷卷積值圍繞繞零值而波波動當(dāng)w<wc+2π/N時，Wr(w-θ)的右旁瓣瓣進(jìn)入通帶帶，卷積值值圍繞H(0)而波波動加矩形窗對對理想低通通濾波器的的影響使理想頻率率特性不連連續(xù)點處邊邊沿加寬，，形成過渡渡帶，過渡渡帶的寬度度等于窗的的頻譜主瓣瓣寬度4π/N在截止頻率率wc的兩兩邊處處，，H(w)出現(xiàn)肩峰峰，肩峰的的兩側(cè)形成成起伏振蕩蕩，振蕩幅幅度取決于于旁瓣相對對幅度，振振蕩多少，，取決于旁旁瓣的多少少增加截取長長度，則主主瓣附近的的窗的頻率率響應(yīng)可見改變N，只能改改變窗的主主瓣寬度，，w坐標(biāo)的的比例和Wr(w)的絕對值值大小，而而不能改變變主瓣與旁旁瓣的相對對比例矩形窗的頻頻譜示意圖圖各種窗函數(shù)數(shù)矩形窗階段段造成府肩肩峰為8.95%，，阻帶最小小衰減為21dB，，不符合工工程需要為了加大阻阻帶衰減，，只能改善善窗函數(shù)形形狀，使窗窗譜盡量逼逼近沖擊函函數(shù)，即絕絕大部分能能量集中在在頻譜中點點一般窗函數(shù)數(shù)滿足兩項項要求：窗譜主瓣盡可能能的窄，以得到較較陡的過渡渡帶盡量減少最大旁瓣的相對幅度一般而言，，上面兩項項要求不能能同時滿足足矩形窗三角形(BARTLETT)窗升余弦窗（（漢寧Hanning窗）-1左移右移倒余弦升余弦窗（（漢寧Hanning窗）-2升余弦窗（（漢寧Hanning窗）-3由于頻譜是是由三個互互有頻移的的不同幅值值的矩形窗窗函數(shù)相加加而成，這這樣使旁瓣瓣大大抵消消，從而能能量相當(dāng)有有效地集中中在主瓣內(nèi)內(nèi)。其代價:主主瓣加寬一一倍，可達(dá)達(dá)到減少肩肩峰，余振振，提高阻阻帶衰減。。缺點：過過濾帶加大大改進(jìn)的升余余弦窗(漢漢明Hanning窗)-1其頻譜函數(shù)數(shù)為其幅度函數(shù)數(shù)為改進(jìn)的升余余弦窗（漢漢明Hamming窗）-2二階升余弦弦窗(布拉拉克曼Blackman窗)凱塞窗（Kaiser窗）以上幾種窗窗函數(shù)是各各以一定主主瓣加寬為為代價，來來換取某種種程度的旁旁瓣抑制，，而凱窗則則是：全面地反映映主瓣與旁旁瓣衰減之之間的交換換關(guān)系，可以在它們們兩者之間間自由地選選擇它們的的比重。濾波器階數(shù)數(shù)(長度)M的選擇擇

名稱近似過渡帶寬精確過渡帶寬最小阻帶衰減矩形4π/M1.8π/M21dB巴特利特8π/M6.1π/M25dB漢寧8π/M6.2π/M44dB哈明8π/M6.6π/M51dB布萊克曼12π/M11π/M74dB取Kaiser窗時時設(shè)定beta,再再用kaiserord函數(shù)求得MMatlab實現(xiàn)現(xiàn)W=boxcar(M):產(chǎn)產(chǎn)生M點的矩形形窗W=triang(M):產(chǎn)產(chǎn)生M點的的Bartlett窗W=hanning(M)產(chǎn)產(chǎn)生生M點的Hanning窗W=hamming(M)產(chǎn)產(chǎn)生M點的Hamming窗W=blackman(M)產(chǎn)生生M點的Blackman窗窗W=kaiser(M,beta)產(chǎn)產(chǎn)生beta值的的M點Kaiser窗Examples例：設(shè)計一一個數(shù)字FIR低通通濾波器，，技術(shù)指標(biāo)標(biāo)如下:wp=0.2π，Rp＝0.25dB，ws＝＝0.3ππ，As＝＝50dB首先查表選選擇滿足阻阻帶衰減的的窗函數(shù)從中選擇最最合適的(過渡帶較較小的)調(diào)用MATLAB函函數(shù)進(jìn)行設(shè)設(shè)計驗證設(shè)計濾濾波器是否否滿足通帶帶波紋如果不能滿滿足，則換換用過渡帶帶較大的，，重復(fù)以上上步驟如果滿足，，則設(shè)計成成功頻率采樣設(shè)設(shè)計法(1)設(shè)計原理：：系統(tǒng)函數(shù)數(shù)H(z)能夠從頻率率響應(yīng)H(ejw)的樣本H(k)中恢復(fù)基本思想：：已知理想想低通濾波波器Hd(ejw)，選取濾波波器長度為為M，在[0，2π]區(qū)間以M等分頻率對對Hd(ejw)采樣得H(k)，再由其離離散傅里葉葉反變換h(n)得系統(tǒng)函數(shù)數(shù)H(z)h(n)=IDFT[H(k)]可用函數(shù)ifft計算頻率采樣設(shè)計計法(2)特點：采樣頻率點上上近似誤差為為0其它頻率點上上的近似誤差差取決于理想想響應(yīng)的形狀狀，理想響應(yīng)應(yīng)愈陡峭，近近似誤差越大大靠近通帶邊緣緣的誤差較大大，通帶內(nèi)誤誤差較小分類：直接設(shè)計法：：直接利用基基本思想，在在近似誤差上上不給出任何何條件最優(yōu)設(shè)計法：：通過改變過過渡帶內(nèi)的樣樣本值將阻帶帶內(nèi)誤差減至至最小PhaseforType1&2PhaseforType3&4直接設(shè)計法(Naivedesignmethods)設(shè)計思想：令H(k)=Hd(ej2πk/M)，k=0,1,…,M-1，用h(n)=IDFT[H(k)]求得脈沖響應(yīng)應(yīng)h(n)例：用頻率采采樣法設(shè)計一一個數(shù)字FIR低通濾波波器，技術(shù)指指標(biāo)如下:wp=0.2π，Rp＝＝0.25dB，ws＝＝0.3π，，As＝50dB分析：取M=20，使在wp處有一個樣本本，即k=2wp=0.2π=(2π/20)2下一個樣本在在ws，即在k=3wp=0.3π=(2π/20)3這樣通帶內(nèi)[0≤w≤wp]內(nèi)有3個樣樣本，在阻帶帶[ws≤w≤π]內(nèi)有7個樣樣本Hr(k)=[1,1,1,0,……,0,1,1]共15個零由于M=20，α=(M-1)/2=9.5，為II類線線性相位濾波波器再由IDFT可得h(n)MATLAB編程解得M=20;alpha=(M-1)/2;l=0:M-1;w1=(2*pi/M)*l;Hrs=[1,1,1,zeros(1,15),1,1];Hdr=[1,1,0,0];wdl=[0,0.25,0.25,1];k1=0:floor((M-1)/2);k2=floor((M-1)/2)+1:M-1;angH=[-alpha*(2*pi)/M*k1,alpha*(2*pi)/M*(M-k2)];H=Hrs.*exp(j*angH);h=real(ifft(H,M));[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,1);[Hr,ww,a,L]=Hr_Type2(h);最優(yōu)設(shè)計法(Optimumdesignmethod)設(shè)計方法：增增大取樣點數(shù)數(shù)M，并讓過渡樣樣本作為自由由樣本，改變變他們的值以以得到在給定定M的條件下下的最大衰減減及過渡帶寬寬例：利用最優(yōu)優(yōu)設(shè)計法設(shè)計計一個比上例例更好的低通通濾波器增加取樣點數(shù)數(shù)M=40，以使過渡帶帶內(nèi)(0.2π<w<0.3π)有一個樣本本，在k=5和k=35處，用T表示示這兩個樣本本值，其中0<T<1，，則以采樣的的振幅響應(yīng)Hr=[1,1,1,1,1,T,0,……,0,T,1,1,1,1]共29個零由于alpha=(M-1)/2=19.5，，相位響應(yīng)的的樣本是現(xiàn)在我們考慮慮如何選取T值，以得到到更好的最小小阻帶衰減首先我們選取取通帶和阻帶帶幅度的中值值0.5用MATLAB編程解得得MATLAB程序M=40;alpha=(M-1)/2;l=0:M-1;w1=(2*pi/M)*l;Hrs=[1,1,1,1,1,0.5,zeros(1,29),0.5,1,1,1,1];Hdr=[1,1,0,0];wdl=[0,0.25,0.25,1];k1=0:floor((M-1)/2);k2=floor((M-1)/2)+1:M-1;angH=[-alpha*(2*pi)/M*k1,alpha*(2*pi)/M*(M-k2)];H=Hrs.*exp(j*angH);h=real(ifft(H,M));[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,1);[Hr,ww,a,L]=Hr_Type2(h);結(jié)論：通過改變一個個樣本值，我我們得到一種種更好的設(shè)計計實際系統(tǒng)的過過渡帶往往很很小，只有一一到兩個樣本本，只需優(yōu)化化較少的樣本本就可以獲得得最大的最小小阻帶衰減這等小于使最最大旁瓣幅度度最小化，因因此這類優(yōu)化化問題也稱最最大最小化問問題(minimaxproblem)最優(yōu)過渡值表表見文獻(xiàn)19的附錄B最優(yōu)等波紋設(shè)設(shè)計法窗口設(shè)計法和和頻率采樣設(shè)設(shè)計法的缺陷陷設(shè)計過程不能能將邊緣頻率率wp和wc精確給定不能夠同時標(biāo)標(biāo)定波紋因子子δ1和δ2，近似誤差在頻頻帶區(qū)間上不不是均勻分布布的，靠近頻頻帶邊緣誤差差愈大，遠(yuǎn)離離頻帶邊緣誤誤差愈小上述缺陷的克克服對線性相位FIR濾波器而言，，可以導(dǎo)出一一組條件，使使最大近似誤誤差最小化的的意義下設(shè)計計的解達(dá)到最最優(yōu)(最大值值最小誤差或或Chebyshev誤差)滿足這種條件件的濾波器稱稱為等波紋濾濾波器，其近近似誤差在通通帶和阻帶均均勻分布，且且實現(xiàn)相同性性能濾波器時時階數(shù)更低最大最小問題題的建立線性相位FIR濾波器4種情況的頻頻率響應(yīng)都能能寫為如下形形式其中beta和Hr(w)的表達(dá)式在表表7.2(P.265)中給出出利用三角函數(shù)數(shù)恒等式，可可將上面每個個Hr(w)表達(dá)式寫成成一個w的函數(shù)Q(w)和一個余弦和和的函數(shù)P(w).其中四種情況下的的Q(w)，L和P(w)由表7.3(P.279)給出Chebyshev近近似問題分析的目的是是為了對4種種情況有Hr(w)的共同形形式.這將將使問題的