《復(fù)變函數(shù)》復(fù)習(xí)提要：第6章

PAGEPAGE3復(fù)變函數(shù)期末復(fù)習(xí)提要第6章：解析函數(shù)的羅朗級(jí)數(shù)表示⒈了解雙邊冪級(jí)數(shù)的有關(guān)概念；⒉理解孤立奇點(diǎn)的概念，掌握判別孤立奇點(diǎn)類(lèi)別的方法；⒊了解羅朗定理，熟練掌握將函數(shù)在孤立奇點(diǎn)（無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)除外）展成羅朗級(jí)數(shù)的方法；⒋了解解析函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)定義6.1 稱(chēng)級(jí)數(shù) n c c nc(za) n c c(za)c(za) nn

(za)n z

0 1 n

（6.1）a與cn

(n0,1,2, 為復(fù)常數(shù)，稱(chēng)cn

(n0,12為雙定義6.2 若級(jí)在圓環(huán)rzaR(0rR)內(nèi)收斂則稱(chēng)此圓環(huán)為級(jí)數(shù)（6．1）的收斂圓環(huán)．類(lèi)似冪級(jí)數(shù)，雙邊冪級(jí)數(shù)有如下定理：定理6.1 若級(jí)數(shù)（6.1）的收斂圓環(huán)為G:rzaR(0rR)，則級(jí)數(shù)（6.1）在G內(nèi)絕對(duì)收斂，且在G內(nèi)每個(gè)較小的同心閉圓環(huán)G:rzaR(rrRR上一致收斂，其和函數(shù)在G內(nèi)為解析函數(shù)．定理6.2 若函數(shù)f(z)在圓環(huán)G:rzaR(0rR)內(nèi)解析則f(z)在G內(nèi)可展成雙邊冪級(jí)數(shù)為cn

(za)n （6.4）1其中1c n c

nf) a)n1

, n0,1,2, （6.5）這里的c為圓周a(rR)，并且系數(shù)cn

被f(z)及圓環(huán)G唯一確定．例1 試將f(z)(z

3z2)1在圓環(huán)1z2內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)．解f(z在圓環(huán)1z2f(z在該圓環(huán)內(nèi)可展成羅朗級(jí)數(shù)，且展式是唯一的．其次，利用展式

1 zn1z

, z11zf(z展成羅朗級(jí)數(shù)．由1z21z

n0z21及 z2故f(z)

1(z1)(z2)1 1z2z11 12(1

z)z(11)2 zzn2n1n0

1znn0

, 1z2例2試將f(z)

在點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)．z解首先，確定使在其中解析的點(diǎn)z0的最大去心鄰域?yàn)?展成羅朗級(jí)數(shù)，有f(z)

sinzz1 z2n1 ( z n0(z2n , 0zn0孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)定義6.3設(shè)點(diǎn)a為函數(shù)的奇點(diǎn)若在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域0zaR內(nèi)解析，則稱(chēng)點(diǎn)a的孤立奇點(diǎn)．6.4設(shè)點(diǎn)a的孤立奇點(diǎn)：a的羅朗級(jí)數(shù)的主要部分為零，則稱(chēng)點(diǎn)a的可去奇點(diǎn)；a的羅朗級(jí)數(shù)的主要部分有有限多項(xiàng)，設(shè)為c c m

c 1 ,c 01 za m則稱(chēng)點(diǎn)a的m級(jí)（階）極點(diǎn)；⑶若a的羅朗級(jí)數(shù)的主要部分有無(wú)限多項(xiàng)，則稱(chēng)點(diǎn)a為的本性奇點(diǎn)．z0為z0ezz1為sinzz z2 1z的本性奇點(diǎn)．函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的性質(zhì)⑴函數(shù)在可去奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的性質(zhì)6.3若點(diǎn)a的孤立奇點(diǎn)，則下列三個(gè)條件是等價(jià)的：①點(diǎn)a的可去奇點(diǎn)；②limc( )；za在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有界．⑵函數(shù)在極點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的性質(zhì)6.4若點(diǎn)a的孤立奇點(diǎn)，則下列三個(gè)條件是等價(jià)的．①點(diǎn)a的m級(jí)極點(diǎn)；②f(z)在點(diǎn)a的某個(gè)去心鄰域0zaR內(nèi)可表示為h(z)f(z) (za)m其中的h(z)在點(diǎn)a的鄰域zaR 內(nèi)解析，且h(a)0；a

1 的m級(jí)零點(diǎn)（可去奇點(diǎn)視作解析點(diǎn)時(shí)）．f(z)定理6.5 點(diǎn)a為函數(shù)f(z)的極點(diǎn)的充分必要條件是limf(z)za⑶函數(shù)在本性奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的性質(zhì)定理6.6 點(diǎn)a為函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn)的充分必要條件是limf(z)不存在，即當(dāng)zaza時(shí)，f(z)既不趨于有限值，也不趨于．定理6.7 若點(diǎn)a為f(z)的本性奇點(diǎn)，且f(z)在點(diǎn)a的充分小的鄰域內(nèi)不為零，則點(diǎn)1a必為 的本性奇點(diǎn)．f(z)例3 設(shè)f(z)ez)1，試求f(z)在復(fù)平面上的奇點(diǎn)，并判定其類(lèi)別．解首先，求f(z)的奇點(diǎn)．f(z)的奇點(diǎn)出自方程1ez0的解．解方程得

zLn(1)(2ki

, k0,1,2,若設(shè)zk

(2ki(k012 )zk

為f(z)的孤立奇點(diǎn)．另外，因ez)

zzk

0, ez

0zz