對流擴散問題的有限體積法課件

對流-擴散問題的有限體積法第八講流體仿真與應(yīng)用對流-擴散問題的有限體積法第八講流體仿真與應(yīng)用對流—擴散問題的有限體積法

◆通用形式流動與傳熱問題守恒形式的輸運方程瞬變項

對流項源項

擴散項◆穩(wěn)態(tài)的對流-擴散問題的守恒方程

對流—擴散問題的有限體積法◆通用形式流動與傳熱問題守恒形式一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆一維無源項的穩(wěn)態(tài)對流-擴散

◆流動過程同時必須滿足連續(xù)性方程

一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆一維無源項的穩(wěn)態(tài)對流-擴一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆一維穩(wěn)態(tài)問題有限體積法連續(xù)性方程

當時，對擴散項采用中心差分，則對流-擴散積分方程一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆一維穩(wěn)態(tài)問題有限體積法連一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆中心差分格式均勻網(wǎng)格

一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆中心差分格式均勻網(wǎng)格一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆中心差分格式通用的形式

中心差分格式在擴散問題中，精度較高，收斂性也較好。但當有對流時，對控制容積界面處的輸運量如果采用相鄰兩節(jié)點的平均計算值，在一定條件下將出現(xiàn)不合理的結(jié)果。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆中心差分格式通用的形式一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆中心差分格式（例子）節(jié)點增加到20個結(jié)果一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆中心差分格式（例子）節(jié)點一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)通常，離散方程的誤差都是因離散而引起，當網(wǎng)格步長無限小時，各種誤差都會消失。然而，在實際計算中，考慮到經(jīng)濟性（計算時間和所占的內(nèi)存）都只能用有限個控制容積進行離散。因此，格式需要滿足一定的物理性質(zhì)，計算結(jié)果才能令人滿意。在數(shù)學(xué)上，一個離散格式必須要引起很小的誤差（包括離散誤差和舍入誤差）才能收斂于精確解，即要求離散格式必須要穩(wěn)定或網(wǎng)格必須滿足穩(wěn)定性條件。

在物理上，離散格式所計算出的解必須要有物理意義，對于得到物理上不真實的解的離散方程，其數(shù)學(xué)上精度再高也沒有價值。主要的物理性質(zhì)包括：守恒性、有界性和遷移性。

一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)通常，離散一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——守恒性所謂守恒，就是說通過一個控制容積的界面離開該控制容積、進入相鄰的控制容積的某通量相等。為保證在整個求解域上的每個控制容積上的某通量守恒，則通過相同的界面該通量的表達式應(yīng)有相同的形式。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——守恒性一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——守恒性用有限體積法建立離散方程時，在下列條件下滿足守恒要求

①微分方程具有守恒形式；②在同一界面上各物理量及一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——守恒性一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——守恒性滿足守恒性的離散方程不僅使計算結(jié)果與原問題在物理上保持一致，而且還可以使對任意體積（由許多個控制容積構(gòu)成的計算區(qū)域）的計算結(jié)果具有對計算區(qū)域取單個控制容積上的格式所估計的誤差。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——守恒性一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——有界性迭代法收斂的充分條件在所有節(jié)點至少有一個節(jié)點為節(jié)點P的凈系數(shù)，如無源項時在內(nèi)部節(jié)點它實際就是，有源項時在內(nèi)部節(jié)點和邊界點它就是，為P點所有相鄰節(jié)點的系數(shù)的和。

對內(nèi)部節(jié)點來說，無源項時該收斂條件取“=”，有源項時該收斂條件取“<”，而對邊界節(jié)點必須要取“<”。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——有界性一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——有界性若離散格式產(chǎn)生的各節(jié)點系數(shù)能夠滿足上面的收斂條件，則離散方程組的節(jié)點系數(shù)矩陣為對角占優(yōu)的，從而保證能收斂。為保證離散方程組的節(jié)點系數(shù)矩陣對角占優(yōu)，對源項的線性化處理應(yīng)保證使取負值（取負值，則，從而保證了在邊界節(jié)點滿足收斂條件取“<”。）對角占優(yōu)是滿足有界性的特征。對于有界性的必要條件是：離散方程的各系數(shù)應(yīng)個有相同的符號，一般為正。如果離散格式不滿足有界性條件，則其解可能不會收斂；若收斂，則可能會振蕩。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——有界性一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——遷移性在對流-擴散問題中，引入一個控制容積的Peclet數(shù)，它表征對流與擴散的相對大小一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——遷移性一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——遷移性③當Pe為有限大小時，對流和擴散同時影響一個節(jié)點的上、下游相鄰節(jié)點。隨著Pe的增加，下游受的影響逐漸增大，而上游受的影響逐漸變小。①，即純擴散，無對流。

②，即純對流，無擴散。

一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——遷移性一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆中心差分格式的性質(zhì)由必要條件知：假設(shè)，從而滿足有界性的必要條件。如果，則為負數(shù)，不符合有界性的必要條件?！跏睾阈?/p>

□有界性

對流-擴散問題的中心差分格式滿足守恒性。離散方程內(nèi)部節(jié)點：由連續(xù)性方程，因此，在所有內(nèi)部節(jié)點滿足收斂條件。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆中心差分格式的性質(zhì)由必要一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆中心差分格式的性質(zhì)中心差分格式的截斷誤差為2階，精度較高，但有條件地滿足有界性，當時穩(wěn)定。對給定的流體和，取決于流速u和網(wǎng)格步長。時，則要求u和很小。因此，它有一定的局限性?！踹w移性◆中心差分格式的特點由于該格式在計算P點對流和擴散通量時對各個方向的相鄰節(jié)點的影響都考慮到了，而沒有考慮到對流與擴散的相對大小。因此，在高Pe時不滿足遷移性要求。中心差分格式的缺點是，它不能識別流動的方向。

一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆中心差分格式的性質(zhì)中心差一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆迎風(fēng)格式迎風(fēng)格式（UpwindDifferencingScheme）在確定控制容積界面上的值時就考慮了流動的方向性，其思想為：在控制容積界面上對流項的取上游節(jié)點處的值，稱之為第二類迎風(fēng)格式。中心差分格式的缺點是，它不能識別流動的方向，控制容積界面上的值取相鄰上、下游節(jié)點的平均值。當對流作用較強時，這樣的處理就與其物理特征（某點的值受上游的影響，而不受下游的影響）不一致了。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆迎風(fēng)格式迎風(fēng)格式（Up一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆迎風(fēng)格式一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆迎風(fēng)格式一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆迎風(fēng)格式在控制容積界面上對流項的取其上游節(jié)點處的值一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆迎風(fēng)格式在控制容積界面一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆迎風(fēng)格式通用形式

一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆迎風(fēng)格式通用形式一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆迎風(fēng)格式的特點迎風(fēng)格式滿足守恒性。離散方程的系數(shù)均為正，滿足有界性條件，同時也滿足遷移性要求。因此，它能夠取得比較好的解。其主要缺點是精度較低，為一階截斷誤差格式。當流動方向和網(wǎng)格線不一致時計算誤差較大，此時它的解類似于擴散問題，因而被稱為偽擴散。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆迎風(fēng)格式的特點迎風(fēng)格式一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆混合格式中心差分格式精度較高，但不具有遷移性。迎風(fēng)格式滿足離散方程的3個性質(zhì)要求，但精度較低。

Spalding（1972）把這2種格式結(jié)合起來，提出了混合格式（HybridDifferencingScheme）：在時應(yīng)用具有二階精度的中心差分格式，在時應(yīng)用迎風(fēng)格式。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆混合格式中心差分格式精度一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆混合格式在每個控制容積上各界面的Pe數(shù)，如左側(cè)界面上單位面積穿過左側(cè)界面的凈通量混合格式的離散方程在低Pe時，對對流項和擴散項都采用了中心差分格式；在高Pe時，對對流項采用了迎風(fēng)格式，而令擴散項為0。

一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆混合格式在每個控制容積上一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆混合格式通用形式

一維無源穩(wěn)態(tài)對流-擴散問題混合差分格式各系數(shù)

當流動方向和坐標（x）同向時，u為正，反之為負。

一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆混合格式通用形式一維無一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆混合格式的特點混合格式兼具中心差分格式和迎風(fēng)差分格式的優(yōu)點，具有守恒性、有界性和遷移性。其缺點是按Taylor級數(shù)展開后截斷誤差為一階，精度不高。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆混合格式的特點混合格式兼一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆冪指數(shù)格式Patankar（1981）提出了一種冪指數(shù)格式（Power-lawDifferencingScheme）對一維問題，它比混合格式精度高。

擴散項取0用一個多項式計算穿過控制容積界面的通量，如左側(cè)單位面積的凈通量計算一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆冪指數(shù)格式Patanka一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆冪指數(shù)格式一維無源穩(wěn)態(tài)對流-擴散問題冪指數(shù)格式各系數(shù)計算

通用形式

冪指數(shù)格式的性質(zhì)與混合格式類似，不過精度更高。FLUENT4.2曾取該格式為默認格式。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆冪指數(shù)格式一維無源穩(wěn)態(tài)對一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆對流-擴散問題的高階差分格式——QUICK格式QUICK（QuadraticUpstreamInterpolationforConvectiveKinetics）格式，它采用了上游三點加權(quán)的二次插值來計算控制界面容積界面上的值，即界面上的值由界面兩側(cè)的2個節(jié)點及其上游的另一個節(jié)點的二次插值來計算。

對于均勻網(wǎng)格，節(jié)點i和i-1之間的界面處（記作i-1/2）的值可按下式計算

一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆對流-擴散問題的高階差分一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆對流-擴散問題的高階差分格式——QUICK格式w和e界面的值的QUICK格式計算式

對流項采用上式離散，擴散項采用中心差分格式離散。則QUICK格式的一維對流-擴散問題的離散方程一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆對流-擴散問題的高階差分一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆QUICK格式通用形式一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆QUICK格式通用形式一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆QUICK格式w和e界面的值的QUICK格式計算式

對流項采用上式離散，擴散項采用中心差分格式離散。則QUICK格式的一維對流-擴散問題的離散方程，

一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆QUICK格式w和e界面一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆QUICK格式通用形式一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆QUICK格式通用形式一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆QUICK格式兩種條件通用形式一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆QUICK格式兩種條件通一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆QUICK格式的特點QUICK格式滿足守恒性，因為它在計算控制容積界面上的值都采用了相同形式的二次插值表達式。它的Taylor級數(shù)截斷誤差具有三階精度。此外，滿足遷移性和有界性的充分條件。對于有界性的必要條件它有條件地滿足由于QUICK格式涉及4個相鄰節(jié)點，因此它離散后的線性方程組的系數(shù)矩陣不是三角陣，TDMA算法不能應(yīng)用。

一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆QUICK格式的特點QU一維穩(wěn)態(tài)對流—擴散問題的有限體積法◆QUICK格式改進一維穩(wěn)態(tài)對