四面體的性質(zhì)

,這四個(gè)三角形圍(如圖1)。它有四個(gè)頂點(diǎn)，六條棱,空間四邊形的知.1B.C圖1△CDAABCD中，AB平面BCDBHCHC圖2P,且這三條棱和頂點(diǎn)所,則這頂點(diǎn)B圖3,四個(gè)面.DBCDAH,CHCDAC，H為垂足(如圖2）。連結(jié)B,這四個(gè)三角形圍(如圖1)。它有四個(gè)頂點(diǎn)，六條棱,空間四邊形的知.1B.C圖1△CDAABCD中，AB平面BCDBHCHC圖2P,且這三條棱和頂點(diǎn)所,則這頂點(diǎn)B圖3,四個(gè)面.DBCDAH,CHCDAC，H為垂足(如圖2）。連結(jié)BH，CH，則BH為CDBD△A的垂心。BD，；,所以H是C平面BCD.連結(jié)BH，CH，DH，則,DHBDBBCDADBC，過A作D的垂心。由性質(zhì)2知。根據(jù)三垂線定理得BCAB。CDACH，BDAD,BC。

不在一直線上的三點(diǎn)可以連成一個(gè)三角形，不共面的四點(diǎn)可以連成四個(gè)三角形

成的幾何體叫做四面體

研究四面體的有關(guān)性質(zhì)可以加深對(duì)四面體A識(shí)的理解，有利于提高熟練運(yùn)用知識(shí)的能力

性質(zhì)1：四面體中相對(duì)的棱所在的直線是異面直線。如圖

中AB和CD,BC和AD，AC和BD都是異面直線。

性質(zhì)2:四面體中，若一個(gè)頂點(diǎn)在對(duì)面內(nèi)射影是這個(gè)三角形

的垂心,則四面體的三組對(duì)棱分別互相垂直

證明：如圖2的四面體中，設(shè)頂點(diǎn)A在面BCD內(nèi)的射影H

是

BH

性質(zhì)3:四面體中，若有兩組對(duì)棱互相垂直，則第三組對(duì)棱也互

相垂直。

證明：設(shè)四面體

AH

AB在平面BCD內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理的逆定理，

同理

根據(jù)性質(zhì)2，3立即可以得到:

性質(zhì)4：四面體中，若一個(gè)頂點(diǎn)在它對(duì)面內(nèi)的射影是這個(gè)面的

中心,則其余各頂點(diǎn)在其對(duì)面內(nèi)的射影也分別是這些面的中心。

利用全等三角形的判定和性質(zhì)，可以證明下面兩條性質(zhì)：

性質(zhì)5：四面體中,若交于同一頂點(diǎn)的三條棱相等，則這個(gè)

頂點(diǎn)在對(duì)面內(nèi)的射影是這個(gè)三角形的外心

對(duì)面所成的角相等.反之也真。

特別地，若這個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)的面是一個(gè)直角三角形

的射影是直角三角形斜邊的中點(diǎn)。

性質(zhì)6：四面體中,若一個(gè)頂點(diǎn)在對(duì)面內(nèi)的射影是這個(gè)三角

形的內(nèi)心，則頂點(diǎn)到對(duì)面三角形三條邊的距離相等，且以這三

角形三角形三條邊為棱的三個(gè)二面角相等。

1

,則這個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)面是一個(gè)銳角三角形。APB，則是AB22ABAC22

a2b0.b2BAC,則這頂點(diǎn)所對(duì)的三角形面積的平方ABCDDADC1ADB△b2CDCDRt△CDM2S△(a2(a2bADBBPC2ABC中最大內(nèi)角AC2)(a2a290DB,DC2ADBDMMDACDDMDM2ABCb2)2S2△CPAa2.根據(jù)余弦定理，有BC2c2)a2c2，，DA，且DAab，S△中作，。2(1ABa2ba2b2b2cBDC90PAb2BC(b2c2△a,DB1BDCABDBCD圖4CD222S2△。，，c2)ABCb，DC2,則，∴2a2b2CM)2b2cc2aCDAa,則這個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)面是一個(gè)銳角三角形。APB，則是AB22ABAC22

a2b0.b2BAC,則這頂點(diǎn)所對(duì)的三角形面積的平方ABCDDADC1ADB△b2CDCDRt△CDM2S△(a2(a2bADBBPC2ABC中最大內(nèi)角AC2)(a2a290DB,DC2ADBDMMDACDDMDM2ABCb2)2S2△CPAa2.根據(jù)余弦定理，有BC2c2)a2c2，，DA，且DAab，S△中作，。2(1ABa2ba2b2b2cBDC90PAb2BC(b2c2△a,DB1BDCABDBCD圖4CD222S2△。，，c2)ABCb，DC2,則，∴2a2b2CM)2b2cc2aCDAaPB2是銳角三角形。c（如bc，S△DM平面ADBa2b22,b2D1CDAab。2c2c2a)bPCc2，CA2。Ba2ba2b22，2ca。A2cc2Cb2c,不妨設(shè)a2△2。顯然BC是c2aABC的最大邊，2.

證明：如圖3，設(shè)

a≤b≤cAB

BAC△

cosBAC

(a2b2

a2a2

所以

性質(zhì)8：四面體中，若交于同一頂點(diǎn)的三條棱分別兩兩垂直

等于其余三個(gè)三角形面積的平方和。

證明：設(shè)四面體中，

DB

圖4），則S△

在a2

∵

∴

在中，

CM

∴

1414S2△

2

和四面體的對(duì)棱AC，BD都平行,且分別交AB,BC，CD，DA于E，.BD∥平面EH∥FG∥GFEH90圖5,AEEFBEABACBAEHEFGH1ABCDABCADABCD平面ABCABCDP△PA△△ABCDEFGH平面BDBD，EF∥是小于或等于的角，則n，BD，則。m，EFEH時(shí),SCDDADABBAC.BACABC中，交于△ABC的面積和△a,PBb，PCABC中，PCK，HHG∥FEH和AC和四面體的對(duì)棱AC，BD都平行,且分別交AB,BC，CD，DA于E，.BD∥平面EH∥FG∥GFEH90圖5,AEEFBEABACBAEHEFGH1ABCDABCADABCD平面ABCABCDP△PA△△ABCDEFGH平面BDBD，EF∥是小于或等于的角，則n，BD，則。m，EFEH時(shí),SCDDADABBAC.BACABC中，交于△ABC的面積和△a,PBb，PCABC中，PCK，HHG∥FEH和AC成1(1EFsinEFGH，18090，60P點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，P在HABc，PHA面積有最大值和最小值？最大值和最小值各是多少？ABCDAC是異面直線BD，角（這里，)nFEH最大，這時(shí)E,F，G，H分別是所在棱的中點(diǎn)BCAC。BAD，ABC的射影是的面積的比例中項(xiàng).d60平面EFGH。Bm，n，(1.，CADBADH。求證：△。求證:，EHEDF均為定值）。設(shè))mnBD60，ABCADPAB1aBACsin。求證：AC45C1245AC。AD，求二面角1b2,。求證：AD1c26,PCB的大d2平面ABCPC。,且4，動(dòng)點(diǎn)K在線段

F，G,H，問四邊形EFGH在什么位置時(shí)面積最大

解:∵

∴

同理

∴四邊形EFGH是平行四邊形。

不妨設(shè)

AC所成的角。

AB