(新高考)高考數(shù)學(xué)三輪沖刺解答題核心考點練第4講《等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合》（解析版）

第4講等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合高考預(yù)測一：等差等比的證明1．已知數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立．（Ⅰ）證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（Ⅱ）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0證明：對SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0是等差數(shù)列，公差為2．SKIPIF1<0解：由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2．已知數(shù)列SKIPIF1<0是首項為1的等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）證明數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）令SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0，公比為3的等比數(shù)列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，（2）由（1）知，SKIPIF1<0，又?jǐn)?shù)列SKIPIF1<0是首項為1的等差數(shù)列，SKIPIF1<0的公差為1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．3．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）證明SKIPIF1<0是等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【解析】解：（1）根據(jù)題意，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等比數(shù)列，公比SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．4．已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和；（2）證明，對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．【解析】（1）解：由SKIPIF1<0，以及SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．（2）證明：對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．把SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．高考預(yù)測二：等差等比的交匯問題5．在等差數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）對任意SKIPIF1<0，將數(shù)列SKIPIF1<0中落入?yún)^(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0內(nèi)的項的個數(shù)記為SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【解析】解：（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0中落入?yún)^(qū)間SKIPIF1<0，SKIPIF1<0內(nèi)的項的個數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．6．已知SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列．（1）若SKIPIF1<0，是否存在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0？說明理由；（2）找出所有數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使對一切SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，并說明理由；（3）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試確定所有的SKIPIF1<0，使數(shù)列SKIPIF1<0中存在某個連續(xù)SKIPIF1<0項的和是數(shù)列SKIPIF1<0中的一項，請證明．【解析】解：（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理后，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為整數(shù)，SKIPIF1<0不存在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使等式成立．（2）設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0都成立，且SKIPIF1<0為等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0都成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對SKIPIF1<0都成立，SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（常數(shù)），即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，矛盾．綜上所述，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使對一切SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由二項展開式可得整數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0存在整數(shù)SKIPIF1<0滿足要求．故當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，命題成立．7．已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求滿足SKIPIF1<0的所有正整數(shù)SKIPIF1<0的值．【解析】解：（1）因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,上式對SKIPIF1<0也成立，故SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0等價為SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0,則有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,則有SKIPIF1<0,綜上可得,不等式成立的SKIPIF1<0或2．8．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，并分別寫出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的表達(dá)式；（2）是否存在自然數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0