中考數(shù)學(xué)平行四邊形綜合題及詳細答案

一.平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.四邊形ABCD是正方形，AC與BD,相交于點0,點E、F是直線AD±兩動點，且AE=DF,CF所在直線與對角線BD所在直線交于點G,連接AG,直線AG交BE于點H.（1）如圖1，當(dāng)點E、F在線段AD上時，①求證：ZDAG=ZDCG：②猜想AG與BE的位置關(guān)系，并加以證明：（2）如圖2,在（1）條件下，連接H0,試說明H0平分ZBHG；（3）當(dāng)點E、F運動到如圖3所示的位置時，其它條件不變，請將圖形補充完整，并直接寫出ZBH0的度數(shù).【答案】（1）①證明見解析：②AG丄BE.理由見解析；（2）證明見解析；（3）ZBHO=45°.【解析】試題分析：（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得DA=DC,ZADB=ZCDB=45%則可根據(jù)“SAS”證明AADG^aCDG,所以ZDAG=ZDCG：②根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB二DC,ZBAD=ZCDA=90%根據(jù)"SAS〃證明△ABE雯△DCF,則ZABE=ZDCF,由于ZDAG二ZDCG,所以ZDAG二ZABE,然后利用ZDAG+ZBAG=90°得到ZABE+ZBAG=90%于是可判斷AG丄BE；（2）如答圖1所示，過點0作0M丄BE于點M,ON丄AG于點N,證明△AON雯△BOM,可得四邊形OMHN為正方形，因此H0平分ZBHG結(jié)論成立；（3）如答圖2所示，與（1）同理，可以證明AG丄BE；過點0作0M丄BE于點M,ON丄AG于點N,構(gòu)造全等三角形AAON雯△BOM,從而證明OMHN為正方形，所以H0平分ZBHG,即ZBHO=45°.試題解析：（1）①???四邊形ABCD為正方形，???DA二DC,ZADB=ZCDB=45°,在厶ADG和厶CDG中AD=CDaADG=乙CDGDG=DG???△ADG竺△CDG（SAS）,???ZDAG=ZDCG：②AG丄BE.理由如下：???四邊形ABCD為正方形，???AB二DC,ZBAD=ZCDA=90°,在厶ABE和厶DCF中AB=DClBAF=乙CDFAE=DF???△ABE竺△DCF(SAS),???ZABE=ZDCF,???ZDAG=ZDCG,???ZDAG=ZABE,???ZDAG+ZBAG=90°,???ZABE+ZBAG=90%???ZAHB=90°,???AG丄BE；(2)由(1)可知AG丄BE.如答圖1所示，過點O作OM丄BE于點M,ON丄AG于點N,則四邊形OMHN為矩形.又???OA丄OB,???ZAON=ZBOM????ZAON+ZOAN=90%ZBOM+ZOBM=90°,???ZOAN=ZOBM?在厶AON與厶BOM中，LOAN=乙OBMOA=OB'乙AON=LBOM???△AON婁△BOM(AAS)????OM=ON,矩形OMHN為正方形，???HO平分ZBHG?(3)將圖形補充完整,如答圖2示,ZBHO=45°.答圖2與(1)同理，可以證明AG丄BE.過點0作0M丄BE于點M,ON丄AG于點N,與(2)同理，可以證明AAON雯△BOM,可得OMHN為正方形，所以HO平分ZBHG,???ZBHO=45°?考點：1.四邊形綜合題；2、全等三角形的判定與性質(zhì)；3、正方形的性質(zhì)2.如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=4,過對角線中點O的直線分別交AB,CD邊于點E,F?求證：四邊形BEDF是平行四邊形；當(dāng)四邊形BEM是菱形時，求EF的長.【答案】(1)證明見解析；(2)二3【解析】分析：(1)根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，判定△BOE妥△DOF(ASA),得出四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結(jié)論；(2)在RtAADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE,由勾股定理求出BD,得出0B,再由勾股定理求出EO,即可得出EF的長.詳解：(1)證明：???四邊形ABCD是矩形，O是BD的中點，ZA=90%AD=BC=4tABIIDC,OB=OD,???ZOBE=ZODF,在厶BOE和厶DOF中，AOBE=ZODF<OB=ODZBOE=ZDOF???△BOE雯△DOF(ASA),???四邊形BEDF是平行四邊形；(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，BD丄EF,設(shè)BE=x,則DE=x,AE=6-x,在RtAADE中，DE2=AD2+AE2,/.x2=42+(6-x)2,13解得：x=3???^=^AD2+AB2=2713.???BD丄EF,3點睛：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理，證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵3?如圖,四邊形ABCD中,ZBCD二ZD二90。,E是邊的中點?己知AD4AB=2.設(shè)BC=x,CD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；當(dāng)Z8=70°時，求AAEC的度數(shù)；當(dāng)為直角三角形時，求邊BC的長.【答案】(1))，=丁-好+2兀+3(0<x<3)：(2)ZAECJ05。：(3)邊BC的長為2或1+廬.2【解析】試題分析：(1)過A作丄BC于H,得到四邊形ADCH為矩形.在中，由勾股定理即可得出結(jié)論.(2)取CD中點7",連接花，則花是梯形中位線，得ETWAD,ET±CD,ZAET=^8=70°.又AD=AE=lf得到ZAED=ZADE=ZDET=35\由E7■垂直平分CD,得ZCETNDET=35。,即可得到結(jié)論.(3)分兩種情況討論：①當(dāng)ZAEC=90°時，易知ACBE里△CAE里△CAD.得ZBCE=30°,解NABH即可得到結(jié)論.②當(dāng)ZCAE=90°時，易知△CDA-BCA,由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論.試題解析：解：(1)過A作刖丄BC于H.由ZDMBCX90。,得四邊形ADCH為矩形.在△弘H中,AB=2,ZBHA=90\AH=y9HB=\x-l\9/.22=/+|x-l|\則y=y/-x2+2x+3(Ovxv3)取CD中點7",聯(lián)結(jié)花，則花是梯形中位線，得ETWAD,ET±CD,/.ZAET=AB=70°?又AD=AE=19:.ZAED二ZADEMDET=35°.由ET垂直平分CD,得ZCET=ZDET=35。,???ZAEC=70°+35°=105°?分兩種情況討論：①當(dāng)ZAEC=90°時，易知ACBE里△CAE里△CAD.得ZBCE=30°,則在△ABH中，Z8=60%ZAHB二90。，AB=2,得BH=1,于是BC=2?②當(dāng)ZCAE=90°時，易知△CDA-△BCA,又AC=y/BC2~AB2=y]X2-4^rlIADCA141±>/17/厶々、ACCBVPTJx2易知ZACR90。，所以邊BC的長為上竝.2綜上所述：邊BC的長為2或匕空.點睛：本題是四邊形綜合題.考查了梯形中位線，相似三角形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握梯形中常見的輔助線作法.4?如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AC=60cm,ZA=60°，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是t秒(0<t<15)?過點D作DF丄BC于點F,連接DE,EF.（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如呆能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由：（3）當(dāng)t為何值時，ADEF為直角三角形？請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）能，t=10；（3）匸匕或12.2【解析】【分析】（1）利用t表示出CD以及AE的長，然后在直角ACDF中，利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長，即可證明；（2）易證四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，據(jù)此即可列方程求得t的值；（3）△DEF為直角三角形,分ZEDF=90°和ZDEF=90°兩種情況討論.【詳解】解：（1）證明：???在RtAABC中，ZC=90°-ZA=30°,11AB=—AC=—x60=30cm,22?.?CD=4t,AE=2t,又???在RtACDF中，ZC=30°,1???DF二一CD=2t,DF=AE：2（2）能，???DFIIAB,DF=AE,???四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)AD=AE時,四邊形AEFD是菱形，即60-4t=2t,解得：t=10,.?.當(dāng)t=10時，AEFD是菱形；（3）若ADEF為直角三角形，有兩種情況：①如圖1,ZEDF=90°,DEIIBC,

圖11則AD=2AE,即60-4t=2x2t,解得：t=—,則AE=2AD,即2t=2（60—40,解得：t=12,綜上所述，當(dāng)皆蘭或12時，ADEF為直角三角形.25.已知矩形紙片OBCD的邊OB在x軸上，OD在y軸上，點C在第一彖限，且OB=8,OD=6.現(xiàn)將紙片折疊，折痕為EF（點E,F是折痕與矩形的邊的交點），點P為點D的對應(yīng)點，再將紙片還原。（I）若點P落在矩形OBCD的邊OB上，如圖①，當(dāng)點E與點O重合時，求點F的坐標(biāo)；如圖②，當(dāng)點E在OB上，點F在DC±時，EF與DP交于點G,若OP=7,求點F的坐標(biāo)：（口）若點P落在矩形OBCD的內(nèi)部，且點E,F分別在邊0D,邊DC上，當(dāng)0P取最小值時，求點P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）。

<85\（86、【答案】（I）①點F的坐標(biāo)為（6,6）；②點F的坐標(biāo)為-—>6；（II）PI114丿3>丿【解析】【分析】（I）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得/.ZDOF=ZPOF=45\再由矩形的性質(zhì)，即可求出F的坐標(biāo)；②由折疊的性質(zhì)及矩形的特點，易得4DGF三氐PGE,得到DF=PE,再加上平行，可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對角線垂直，得出口DEPF是菱形，設(shè)菱形的邊長為x,在RtzXODE中，由勾股定理建立方程即可求解；（口）當(dāng)O,P,F點共線時0P的長度最短.【詳解】解：（I）①???折痕為EF,點P為點D的對應(yīng)點.?.ADOF三APOFZDOF=ZPOF=45’???四邊形OBCD是矩形，ZODF=90°ZDFO=ZDOF=45°..DF=DO=6點F的坐標(biāo)為（6,6）②???折痕為EF,點P為點D的對應(yīng)點.DG=PG,EF1PD???四邊形OBCD是矩形，DCHOB,:.ZFDG=ZEPG；ZDGF=APGE:.\DGF=^PGE:.DF=PE?:DF//PE???四邊形DEPF是平行四邊形.

?.?EF丄PD,.?.□DEPF是菱形.設(shè)菱形的邊長為x,則=EP=x???OPT,:.OE=7—x,在RtzXODE?中，由勾股定理得0D-+QB2=DE2???62+(7-X)2=x2解得*善???點F的坐標(biāo)為【點睛】此題考查了幾何折疊問題、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)進行解答，屬于中考壓軸題.6.在正方形ABCD中,點E,F分別在邊BC,CD±,且ZEAF=ZCEF=45°.⑴將△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到△ABG（如圖①），求證：△AEG竺△AEF；（2）若直線EF與AB,AD的延長線分別交于點M,N（如圖②），求證：EF2=ME2+NF2；（3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），請你直接寫出線段EF,圖①【答案】（1）證明見解析:EF圖①【答案】（1）證明見解析:EF2=2BE2+2DF2.圖③【解析】試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG,ZEAF=ZGAE=45°,故可證△AEG雯△AEF；（2）將4ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG,連結(jié)GM.由（1）知△AEG雯“AEF,則EG二EF.再由△BME、△DNF、ACEF均為等腰直角三角形，得出CE=CF,BE=BM,NF=^DF,然后證明ZGME=90°,MG二NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等屋代換即可證明EF2=ME2+NF2：（3）將厶ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90%得到△ABG,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADF雯“ABG,則DF=BG,再證明△AEG雯△AEF,得出EG二EF,由EG二BG+BE,等量代換得到EF二BE+DF?試題解析：⑴???△ADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AABG,/.AF=AG,ZFAG=90°,???zEAF=45\???ZGAE=45°,在厶AGE與厶AFE中,AG=AF/LGAE=FAE=45°AE=AE（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為a?將AADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。,得到AABG,連結(jié)GM.貝ADF雯aABG,DF=BG?由⑴知厶AEG妥△AEF,???EG=EF.???ZCEF=45°,???△BME.△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，???CE=CF,BE=BM,NF=^DF,a-BE=a-DF,???BE二DF,???BE=BM=DF=BG,???ZBMG=45°,???ZGME=45°+45°=90°,???EG2=ME2+MG2,???EG二EF,MG=^BM=^DF=NFt???EF2=ME2+NF2；(3)EF2=2BE2+2DF2.如圖所示，延長EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，將AADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AAGH,連結(jié)HM,HE.由(1〉知厶AEH竺△AEF,則由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2又/.EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,即2(DF2+BE2)=EF2考點：四邊形綜合題7.⑴如圖①，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,過點O作直線EF丄BD,交AD于點E,交BC于點F,連接BE、DF,且BE平分ZABD.求證：四邊形BFDE是菱形；直接寫出ZEBF的度數(shù)；(2)把⑴中菱形BFDE進行分離研究，如圖②，點G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連接GD,H為GD的中點，連接FH并延長，交ED于點J,連接IJ、IH、IF、IG.試探究線段IH與FH之間滿足的關(guān)系，并說明理由；⑶把⑴中矩形ABCD進行特殊化探究，如圖③，當(dāng)矩形ABCD滿足AB=AD時，點E是對角線AC上一點，連接DE、EF、DF,使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于點G.請直接寫出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.【答案】(1)①詳見解析；②60。.(2)/H=JlFH；(3)EG2=AG2+CE2.【解析】【分析】(1)①由NDOEXBOF,推出EO=OF,VOB=OD,推出四邊形EBFD是平行四邊形,再證明EB=ED即町.②先證明AABD=2^ADB,推出Z>408=30°,延長即可解決問題.IH=y/3FH?只要證明是等邊三角形即可.結(jié)論：EG2=AG2+CE2.如圖3中，將氐A(chǔ)DG繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△DCM,先證明厶DEG里△DEM,再證明△ECA4是直角三角形即可解決問題.【詳解】(1)①證明：如圖1中，???四邊形ABCD是矩形，???ADIIBC,OB=OD,???ZEDO=ZFBO,在厶DOE和厶BOF中，ZEDO=ZFBO<OD=OB,ZEOD=ZBOF???△DOE^△BOF,???EO=OF,JOB=OD,???四邊形EBFD是平行四邊形，???EF丄BD,OB=OD,???EB=ED,???四邊形EBFD是菱形.②???BE平分ZABD,ZABE=Z.EBD,???EB=ED,???ZEBD=ZEDB,???ZABD=2ZADB9???ZABD+ZADB=90。,??.ZADB=30。，ZABD=60°9???ZABE=ZEBO=ZOBF=30°9???ZEBF=60°.結(jié)論：/H=JjFH.理由：如圖2中，延長BE到M,使得EM=Eh連接MA???四邊形FBFD是菱形，ZB=60°,???EB=BF=ED,DEWBF,???ZFGH.在△DH丿和△GHF中，ZDHG=ZGHF<DH=GH,\zJDH=ZFGH???△DHJ里△GHF,???DJ=FG,JH=HF.???EJ=BG=EM=BI,.??be=im=bf,???ZMEJ=A8=60%???△ME丿是等邊三角形，/.MJ=EM=NI,ZM=ZB=60°在厶B/FfflAMJI中，BI=MJ<ZB=ZM,BF=IM???△BIF里△MJI.???IJ=IF,ZBFI=ZMIJ,???HJ=HF9???IH丄JF,???ZBF/+ZBIF=120°9???ZMIJ+ZB/F=120\/.ZJ/F=60°,???△丿/F是等邊三角形，在RtAIHF中，???ZIHF=90。,ZIFH=60°,.??zFIH=30。,???IH=FH.結(jié)論：EG2=AG2^CE2.???AFED四點共圓，???ZEDF=ZD4E=45。，ZADC=9Q\???ZADF+ZEDC=45°,

???ZADF=ZCDM,???ZCDM+ZCDE=45°=ZEDG,在△DEM和△DEG中，DE=DE<ZEDG=乙EDM,DG=DM???△DEG里△DEM.???GE=EM.???ZDCM=ZD4G=ZACD=45\AG=CM,???ZECM=90°???EC2+CM2=EM\???EG=EM,AG=CM..??GE2=AG2^CE2.【點睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想思考問題.&圖1、圖2是兩張形狀、人小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1>每個小正方形的頂點叫做格點.（1）在圖1中畫出等腰直角三角形MON,使點N在格點上，且ZMON=90°；（2）在圖2中以格點為頂點畫一個正方形ABCD,使正方形ABCD面積等于（1）中等腰直角三角形MON面枳的4倍，并將正方形ABCD分割成以格點為頂點的四個全等的直角三角形和一個正方形，且正方形ABCD面積沒有剩余（畫出一種即可）?r-?r?r-?r??r??■r,?1iI???1a??_J...1r?11i??】—1111?i??r?i?t?e?t?111?1?i1'1??????IJA/.：111111?.L-.1.-41119\o?■??1??L■.L..1._...J1II??■1?t1a?111?????圖1【答案】（1）作圖參見解析；（2）作圖參見解析.【解析】試題分析：（1）過點0向線段0M作垂線，此直線與格點的交點為N,連接MN即可:（2）根據(jù)勾股定理畫出圖形即可?試題解析：（1）過點0向線段0M作垂線，此直線與格點的交點為N,連接MN,如圖1所示;

???■1'??1?丄丄?:11\嚴??A??:::匚丄-彩1??\?11?\'：：：0：:::1???1..J??圖1(2)等腰直角三角形MON面積是5,因此正方形面積是20,如圖2所示；于是根據(jù)勾股定理畫出圖3：9.在正方形ABCD中，動點已F分別從D,C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC,CB上移動.如圖①，當(dāng)點E自D向C,點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P,請你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由：如圖②，當(dāng)E,F分別移動到邊DC,CB的延長線上時，連接AE和DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎？(請你直接回答"是"或“否”，不須證明)如圖③，當(dāng)E,F分別在邊CD,BC的延長線上移動時，連接AE,DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；如圖④，當(dāng)E,F分別在邊DC,CB±移動時，連接AE和DF交于點P,由于點E,F的移動，使得點P也隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖.若AD=2,試求出線段CP的最小值.【答案】(1)AE二【答案】(1)AE二DF,AE丄DF；(2)是;E圖③圖④（3）成立，理由見解析；（4）CP=QC-QP=\Q-1.【解析】試題分析：（1）AE=DF,AE丄DF.先證得△ADE妥△DCF.由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF,ZDAE=ZCDF,再由等角的余角相等可得AE丄DF；（2）是.四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC,ZADE=ZDCF=90%DE=CF,所以△ADE^ADCF,于是AE=DF,ZDAE=ZCDF,因為ZCDF+ZADF=90°,ZDAE+ZADF=90°,所以AE丄DF：（3）成立.由（1）同理可證AE=DF,ZDAE=ZCDF,延長FD交AE于點G,再由等角的余角相等可得AE丄DF；（4）由于點P在運動中保持ZAPD=90%所以點P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點為Q，連接QC交弧于點P,此時CP的長度最小，再由勾股定理可得QC的長，再求CP即可.試題解析：（1）AE=DF,AE丄DF.理由：???四邊形ABCD是正方形，???AD=DC,ZADC=ZC=90°."W=DC在△ADE和△DCF中，JZADC二ZC,△ADE雯△DCF（SAS）.；DE=CF???AE=DF,ZDAE=ZCDF,由于ZCDF+ZADF=90\/.ZDAE+ZADF=90°.二AE丄DF：（2）是；（3）成立.理由：由（1）同理可證AE二DF,ZDAE=ZCDF延長FD交AE于點G,則ZCDF+ZADG=90°,???ZADG+ZDAE=90°.???AE丄DF；

由于點p在運動中保持zAPD=90。，???點P的路徑是一段以AD為直徑的弧,設(shè)AD的中點為Q,連接QC交弧于點P,此時CP的長度最小，在RtAQDC中，+QD?=Q+X=,???CP=QC-QP=\,5-1?考點：四邊形的綜合知識.10.已知點0是AABC內(nèi)任意一點，連接0A并延長到E,使得AE=OA,以O(shè)B,0C為鄰邊作-OBFC,連接OF與BC交于點H,再連接EF?（1）如圖1，若ZkABC為等邊三角形，求證：①EF丄BC；②EF=\,，7BC；（2）如圖2,若AABC為等腰直角三角形（BC為斜邊），猜想（1）中的兩個結(jié)論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論即可；若不成立，請你直接寫出你的猜想結(jié)果