合肥工業(yè)大學電磁場和電磁波孫玉發(fā)版第4章答案及解析

..第四章習題解答★[4.1]如題4.1圖所示為一長方形截面的導體槽,槽可視為無限長,其上有一塊與槽相絕緣的蓋板,槽的電位為零,上邊蓋板的電位為,求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解根據(jù)題意,電位滿足的邊界條件為①；②；③題4.1圖根據(jù)條件①和②,電位的通解應取為由條件③,有題4.1圖兩邊同乘以,并從0到對積分,得到故得到槽內(nèi)的電位分布4.2兩平行無限大導體平面,距離為,其間有一極薄的導體片由到。上板和薄片保持電位,下板保持零電位,求板間電位的解。設在yoyboydy題4.2圖薄片平面上,從到,電位線性變化,yoyboydy題4.2圖解應用疊加原理,設板間的電位為其中,為不存在薄片的平行無限大導體平面間〔電壓為的電位,即；是兩個電位為零的平行導體板間有導體薄片時的電位,其邊界條件為：①②③；根據(jù)條件①和②,可設的通解為；由條件③有兩邊同乘以,并從0到對積分,得到故得到4.4如題4.4圖所示的導體槽,底面保持電位,其余兩面電位為零,求槽內(nèi)的電位的解。解根據(jù)題意,電位滿足的邊界條件為題4.4圖題4.4圖②③根據(jù)條件①和②,電位的通解應取為；由條件③,有兩邊同乘以,并從0到對積分,得到；故得到★[4.5]一長、寬、高分別為、、的長方體表面保持零電位,體積內(nèi)填充密度為的電荷。求體積內(nèi)的電位。解在體積內(nèi),電位滿足泊松方程〔1長方體表面上,電位滿足邊界條件。由此設電位的通解為,代入泊松方程〔1,可得由此可得或；〔2由式〔2,得；故★[4.6]如題4.6圖所示的一對無限大接地平行導體板,板間有一與軸平行的線電荷,其位置為。求板間的電位函數(shù)。解由于在處有一與軸平行的線電荷,以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域,則這兩個區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上,可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度。題4.6題4.6圖①,②,③,由條件①和②,可設電位函數(shù)的通解為由條件③,有〔1〔2由式〔1,可得〔3；將式〔2兩邊同乘以,并從到對積分,有〔4由式〔3和〔4解得故b題4.7圖4.7如題4.7b題4.7圖解由于在處有一與軸平行的線電荷,以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域,則這兩個區(qū)域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上,可利用函數(shù)將線電荷表示成電荷面密度,電位的邊界條件為①,,②,③由條件①和②,可設電位函數(shù)的通解為由條件③,有〔1〔2由式〔1,可得〔3將式〔2兩邊同乘以,并從到對積分,有〔4由式〔3和〔4解得故,,若以為界將場空間分割為和兩個區(qū)域,則可類似地得到*4.8如題4.8圖所示,在均勻電場中垂直于電場方向放置一根無限長導體圓柱,圓柱的半徑為。求導體圓柱外的電位和電場以及導體表面的感應電荷密度。解在外電場作用下,導體表面產(chǎn)生感應電荷,圓柱外的電位是外電場的電位與感應電荷的電位的疊加。由于導體圓柱為無限長,所以電位與變量無關。在圓柱面坐標系中,外電場的電位為〔常數(shù)的值由參考點確定,而感應電荷的電位應與一樣按變化,而且在無限遠處為0。由于導體是等位體,所以滿足的邊界條件為①②由此可設由條件①,有于是得到,故圓柱外的電位為若選擇導體圓柱表面為電位參考點,即,則。導體圓柱外的電場則為導體圓柱表面的電荷面密度為*4.11如題4.11圖所示,一無限長介質(zhì)圓柱的半徑為、介電常數(shù)為,在距離軸線處,有一與圓柱平行的線電荷,計算空間各部分的電位。解在線電荷作用下,介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化,介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位均為線電荷的電位與極化電荷的電位的疊加,即。線電荷的電位為〔1題4.11圖而極化電荷的電位滿足拉普拉斯方程,且是的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位和滿足的邊界條件為分別為題4.11圖①為有限值；②③時,由條件①和②可知,和的通解為〔2〔3將式〔1～〔3帶入條件③,可得到〔4〔5當時,將展開為級數(shù),有〔6帶入式〔5,得〔7由式〔4和〔7,有由此解得,；故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為〔8〔9討論：利用式〔6,可將式〔8和〔9中得第二項分別寫成為其中。因此可將和分別寫成為由所得結果可知,介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于〔0的線電荷的電位相同,而介質(zhì)圓柱外的電位相當于三根線電荷所產(chǎn)生,它們分別為：位于〔0的線電荷；位于的線電荷；位于的線電荷。*4.13在均勻外電場中放入半徑為的導體球,設〔1導體充電至；〔2導體上充有電荷。試分別計算兩種情況下球外的電位分布。解〔1這里導體充電至應理解為未加外電場時導體球相對于無限遠處的電位為,此時導體球面上的電荷密度,總電荷。將導體球放入均勻外電場中后,在的作用下,產(chǎn)生感應電荷,使球面上的電荷密度發(fā)生變化,但總電荷仍保持不變,導體球仍為等位體。設,其中,是均勻外電場的電位,是導體球上的電荷產(chǎn)生的電位。電位滿足的邊界條件為①時,；②時,,其中為常數(shù),若適當選擇的參考點,可使。由條件①,可設代入條件②,可得到,,若使,可得到〔2導體上充電荷時,令,有利用〔1的結果,得到4.14如題4.14圖所示,無限大的介質(zhì)中外加均勻電場,在介質(zhì)中有一個半徑為的球形空腔。求空腔內(nèi)、外的電場和空腔表面的極化電荷密度〔介質(zhì)的介電常數(shù)為。解在電場的作用下,介質(zhì)產(chǎn)生極化,空腔表面形成極化電荷,空腔內(nèi)、外的電場為外加電場與極化電荷的電場的疊加。設空腔內(nèi)、外的電位分別為和,則邊界條件為①時,；②時,為有限值；③時,,由條件①和②,可設,題4.14圖帶入條件題4.14圖,由此解得,所以空腔內(nèi)、外的電場為,空腔表面的極化電荷面密度為4.17一個半徑為的介質(zhì)球帶有均勻極化強度。〔1證明：球內(nèi)的電場是均勻的,等于；〔2證明：球外的電場與一個位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場相同,。題4.17圖解〔題4.17圖建立如題4.17圖所示的坐標系,則介質(zhì)球面上的極化電荷面密度為介質(zhì)球內(nèi)、外的電位和滿足的邊界條件為①為有限值；②；③；因此,可設球內(nèi)、外電位的通解為,由條件③,有,解得,于是得到球內(nèi)的電位,故球內(nèi)的電場為〔2介質(zhì)球外的電位為,其中為介質(zhì)球的體積。故介質(zhì)球外的電場為可見介質(zhì)球外的電場與一個位于球心的偶極子產(chǎn)生的電場相同。4.20一個半徑為的細導線圓環(huán),環(huán)與平面重合,中心在原點上,環(huán)上總電荷量為,如題4.20圖所示。證明：空間任意點電位為解以細導線圓環(huán)所在的球面把場區(qū)分為兩部分,分別寫出兩個場域的通解,并利用函數(shù)將細導線圓環(huán)上的線電荷表示成球面上的電荷面密度題4.20題4.20圖再根據(jù)邊界條件確定系數(shù)。設球面內(nèi)、外的電位分別為和,則邊界條件為：①為有限值；②③,根據(jù)條件①和②,可得和的通解為〔1,〔2代入條件③,有〔3〔4將式〔4兩端同乘以,并從0到對進行積分,得〔5其中由式〔3和〔5,解得,,代入式〔1和〔2,即得到★[4.22]如題4.22圖所示,一個點電