決策理論與方法第5章多屬性決策、多目標(biāo)及序貫決策

決策理論與方法第5章多屬性決策、多目標(biāo)及序貫決策多屬性決策分析—多目標(biāo)決策什么是多目標(biāo)決策問題？(例如購買衣服時(shí)，款式、價(jià)格、顏色、質(zhì)量等可能都是決策目標(biāo))。多目標(biāo)決策問題的特點(diǎn)：決策問題的目標(biāo)多于一個(gè)；多個(gè)目標(biāo)間不可公度(non-commensurable)，即各目標(biāo)沒有統(tǒng)一的衡量標(biāo)準(zhǔn)，難以比較；各目標(biāo)之間存在矛盾。一般將決策變量離散、決策方案有限的多目標(biāo)決策問題稱為多屬性(Multi-attribute)決策問題；而將決策變量連續(xù)、有無限決策方案的多目標(biāo)決策問題稱為多目標(biāo)(Multi-objective)決策問題。兩者又可以統(tǒng)稱為多準(zhǔn)則(Multi-criterion)決策問題。2022/10/182多屬性決策分析—相關(guān)術(shù)語屬性(Attribute)：備選方案的特征、品質(zhì)或性能參數(shù)(如描述服裝的款式、顏色、布料、質(zhì)量、價(jià)格)，也稱為指標(biāo)。指標(biāo)體系(IndexSystems)：一系列互相聯(lián)系、互相補(bǔ)充的指標(biāo)所組成的統(tǒng)一整體。指標(biāo)體系往往由多層組成(習(xí)慣上稱為一級(jí)指標(biāo)、二級(jí)指標(biāo)等)，層次結(jié)構(gòu)分為樹狀結(jié)構(gòu)和網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，其中以樹狀結(jié)構(gòu)最常用。一級(jí)指標(biāo)總目標(biāo)二級(jí)指標(biāo)三級(jí)指標(biāo)2022/10/183多屬性決策分析—相關(guān)術(shù)語目標(biāo)(Objective)：決策人的愿望或決策人所希望達(dá)到的、努力的方向(如物美價(jià)廉)。在多目標(biāo)決策中，目標(biāo)是求極值的對(duì)象，是需要優(yōu)化的函數(shù)式。目的(Goal)：在特定時(shí)間、空間狀態(tài)下，決策人的期望，是目標(biāo)的具體數(shù)值表現(xiàn)。目標(biāo)和目的常混用。準(zhǔn)則(Criterion)：判斷的標(biāo)準(zhǔn)或度量事物價(jià)值的原則及檢驗(yàn)事物合意性的規(guī)則，兼指屬性和目標(biāo)。2022/10/184多屬性決策分析—求解過程2022/10/185多屬性決策分析—目標(biāo)與屬性在多目標(biāo)決策中，決策目標(biāo)常用目標(biāo)集、目標(biāo)遞階分層結(jié)構(gòu)以及屬性集描述；目標(biāo)遞階分層結(jié)構(gòu)的最下層目標(biāo)要用一個(gè)或多個(gè)屬性來描述；不同的方案對(duì)應(yīng)的各屬性值存在差異，也就導(dǎo)致目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的差異，因此可借此來評(píng)價(jià)方案的優(yōu)劣；替代屬性：某些目標(biāo)無法用屬性值直接度量時(shí)，需要使用替代屬性對(duì)目標(biāo)進(jìn)行度量。如師資隊(duì)伍的質(zhì)量可以用學(xué)歷結(jié)構(gòu)、職稱結(jié)構(gòu)、專業(yè)結(jié)構(gòu)、科研能力等替代屬性來衡量。(尋找“替代屬性/替代變量”在科學(xué)研究中是非常重要的)2022/10/186多屬性決策分析—目標(biāo)與屬性屬性選擇的要求：每個(gè)屬性是可測(cè)和可理解的；屬性集是最小完備集：既要能夠描述決策問題的所有(重要)方面，又不能有冗余；屬性的測(cè)量值是可運(yùn)算的；屬性集內(nèi)的各屬性相互獨(dú)立、可分解。但在實(shí)際決策中，上述要求很難達(dá)到，這也正是我們開展決策理論與方法研究的動(dòng)力源。2022/10/187多屬性決策分析—目標(biāo)與屬性例：某流域水資源項(xiàng)目建設(shè)目標(biāo)(指標(biāo)體系)及屬性2022/10/188多屬性決策分析—問題的符號(hào)表示MA=<X,A,Θ,V,,f>X表示方案集，X={x1,x2,…,xm}A表示屬性集，A={a1,a2,…,an}Θ表示狀態(tài)集，Θ={1,2,…,k}V表示值集，所有可能取值的集合:Θ→V，分布函數(shù)，確定各狀態(tài)發(fā)生的可能性f:X×A→V，目標(biāo)函數(shù)，確定各方案對(duì)應(yīng)的屬性值2022/10/189多屬性決策分析—問題的符號(hào)表示例：給定自然狀態(tài)的多屬性決策問題方案集發(fā)電作物船運(yùn)COD水流失土流失景點(diǎn)數(shù)動(dòng)物植物減災(zāi)x18.945557.2827734115887x27.662476.4768245121354x39.246679.59180339124992022/10/1810多屬性決策分析—屬性值預(yù)處理剩下的問題是我們?nèi)绾卧u(píng)價(jià)方案的優(yōu)劣。屬性值預(yù)處理的目標(biāo)是規(guī)范化各屬性值，使其能夠真正體現(xiàn)方案優(yōu)劣的實(shí)際價(jià)值。屬性值類型：效益型指標(biāo)：屬性值越大越好；成本型指標(biāo)：屬性值越小越好；中性指標(biāo)：屬性值取某一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹底顑?yōu)，過大、過小都不合適。2022/10/1811多屬性決策分析—屬性值預(yù)處理預(yù)處理主要有兩項(xiàng)任務(wù)：非量綱化：通過某種方法消除量綱的選用對(duì)決策或評(píng)價(jià)結(jié)果的影響。歸一化：不同屬性的屬性值取值范圍存在很大差別，為了真實(shí)反映各屬性值的價(jià)值，需要將屬性值統(tǒng)一變換到[0,1]區(qū)間上以消除屬性取值范圍的差異對(duì)決策或評(píng)價(jià)結(jié)果的影響。2022/10/1812多屬性決策分析—屬性值預(yù)處理設(shè)fi(a)為方案i的a屬性值，記fmax=max(fi(a))，fmin=min(fi(a))線性變換效益型。變換z:fi(a)→zi(a)定義為：zi(a)=fi(a)/fmax；成本型。變換z:fi(a)→zi(a)定義為：zi(a)=1-fi(a)/fmax；或者變換z:fi(a)→zi(a)定義為：zi(a)=fmin/fi(a)。標(biāo)準(zhǔn)0-1變換效益型。zi(a)=(fi(a)-fmin)/(fmax-fmin)；成本型。zi(a)=(fmax-fi(a))/(fmax-fmin)。向量規(guī)范化：zi(a)=fi(a)/(ifin(a))1/n(n可以取1或2)。2022/10/1813多屬性決策分析—屬性值預(yù)處理ji人均論著(a1)科研經(jīng)費(fèi)(a3)逾期畢業(yè)率(a4)10.00001.00000.000020.03700.78800.714230.18520.20700.485740.07410.57590.228651.00000.05681.0000ji人均論著(a1)科研經(jīng)費(fèi)(a3)逾期畢業(yè)率(a4)逾期畢業(yè)率(a4)10.03571.00000.00000.255320.07140.80000.53190.545530.21430.25200.36170.400040.10710.60000.17020.307751.00000.05680.74471.0000ji人均論著(a1)生師比(a2)科研經(jīng)費(fèi)(a3)逾期畢業(yè)率(a4)10.5550004.721.0740002.233.01012603.041.5430003.9514.022841.2fmax1450004.7fmin0.52841.2(f2)1/214.4471887.25ji人均論著(a1)科研經(jīng)費(fèi)(a3)逾期畢業(yè)率(a4)10.03460.69560.648220.06930.55650.303430.20780.17530.413740.10390.41740.537850.96950.03950.1655線性變換標(biāo)準(zhǔn)0-1變換向量變換2022/10/1814多屬性決策分析—屬性值預(yù)處理中性屬性(最優(yōu)值為給定區(qū)間)規(guī)范化策略下極限f0上極限f0最優(yōu)區(qū)間f1～f21zfzi(a)=(1)fi(a)≤f0，0(2)f0<fi(a)<f1，1-(f1-fi(a))/(f1-f0)(3)f1≤fi(a)≤f2，1(4)f2<fi(a)<f0，1-(fi(a)-f2)/(f0-f2)(5)fi(a)≥f0，02022/10/1815多屬性決策分析—屬性值預(yù)處理ji生師比(a2)生師比z(a2)設(shè)：f0=2,f1=5,f2=6,f0=12151.0000270.83333100.3333440.6666520.0000ji生師比(a2)Temp(a2)生師比z(a2)(1)E=5.6000（均值）(2)Tempi(a)=(fi(a)-E)/E(3)應(yīng)用線性變換或標(biāo)準(zhǔn)0-1變換或向量變換。本例是采用線性變換。zi(a)=1-tempi(a)/max(tempi(a))150.10710.8636270.25000.68183100.78570.0000440.28570.6364520.64290.18182022/10/1816多屬性決策分析—屬性值預(yù)處理異常(outlier)處理。對(duì)同一個(gè)屬性a，若各方案的值差異極大或某方案的值相對(duì)其他方案出現(xiàn)明顯的偏離，如按一般方法規(guī)范化，在評(píng)價(jià)時(shí)該屬性的影響將被不恰當(dāng)?shù)胤糯螅ㄈ缜袄械恼撝豁?xiàng)，方案5的值是14，顯著大于其他4個(gè)方案）。因此需要采用特別方法處理，處理方法有很多，下面介紹一種常用方法。設(shè)定一個(gè)轉(zhuǎn)換后的期望值（均值）：M(0.5～0.75)作變換z：fi(a)→zi(a)，zi(a)=(fi(a)-E)×(1-M)/(fmax-E)+M其中E為當(dāng)前屬性值的均值；fmax為當(dāng)前屬性值的最大值2022/10/1817多屬性決策分析—屬性值預(yù)處理2022/10/1818多屬性決策分析—屬性值預(yù)處理專家評(píng)分范圍差異的處理。當(dāng)一組專家對(duì)若干方案進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，由于習(xí)慣不同，各自的評(píng)分范圍可能存在較大差異，需要進(jìn)行規(guī)范化處理。映射區(qū)間定義：[M0,M*]定義映射z：fi(a)→zi(a)，zi(a)=M0+(M*-M0)(fi(a)-fmin)/(fmax-fmin)一般取M0=0，M*=1。對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)0-1轉(zhuǎn)換。2022/10/1819多屬性決策分析—屬性值預(yù)處理兩個(gè)不同專家對(duì)方案1-5評(píng)價(jià)結(jié)果(百分制)如下表。ji專家1(a)專家2(a)專家1(z(a))專家2(z(a))174910.84210.8750265810.36840.4583360700.10530.0000477941.00001.0000558720.00000.08332022/10/1820多屬性決策分析—權(quán)重確定當(dāng)決策者面對(duì)多個(gè)目標(biāo)時(shí)，存在目標(biāo)的重要性不同的問題，這就需要引入權(quán)(Weight)的概念加以解決。權(quán)是目標(biāo)重要性的數(shù)量化表示，它的作用有：決策人對(duì)目標(biāo)的重視程度；各目標(biāo)屬性值的差異程度；各目標(biāo)屬性值的可靠程度。權(quán)重確定方法：兩兩比較法。對(duì)不同目標(biāo)的重要性進(jìn)行兩兩比較，形成一個(gè)判斷矩陣。但判斷矩陣存在兩方面的一致性問題：(1)a1/a2=3,a2/a3=2a1/a3=6?(2)不同專家間的一致性問題a2(1)/a3(1)=2a2(2)/a3(2)=2?2022/10/1821多屬性決策分析—權(quán)重確定判斷矩陣的構(gòu)造假設(shè)屬性ai的權(quán)記為wi，則wij=wi/wj為判斷矩陣A的第i行第j列元素。A=[wij]n×n在實(shí)際決策中，wi是未知的，需要借助專家的評(píng)價(jià)。我們用專家的評(píng)價(jià)結(jié)果aij=ai/aj代替wij。aij=ai/aj的取值如下：=1：同等重要=3：目標(biāo)i略重要于目標(biāo)j=5：目標(biāo)i比目標(biāo)j重要(相當(dāng)重要)=7：目標(biāo)i比目標(biāo)j明顯重要=9：目標(biāo)i相對(duì)目標(biāo)j絕對(duì)重要=2,4,6,8：上述兩個(gè)相鄰判斷的中間值2022/10/1822多屬性決策分析—權(quán)重確定最小二乘法確定權(quán)重。由于用aij代替wij，兩者之間可能存在誤差ij=(wjaij-wi)。利用最小二乘法，得到下列二次規(guī)劃方程：

Minijij2=ij(wjaij-wi)2St:iwi=1，wi>0(i=1,2,…,n)利用拉格朗日法可將該優(yōu)化問題轉(zhuǎn)為求解下列方程組：2022/10/1823多屬性決策分析—權(quán)重確定Matlab求解：Functionweight(A)D=diag(diag(A'*A)+1)-A-A';n=length(A);Row1=ones(n,1);Col1=ones(1,n);D=[DRow1;Col10];B=zeros(n,1);B=[B;1];W=inv(D)*B2022/10/1824多屬性決策分析—權(quán)重確定特征向量法：因?yàn)锳W=nW，n為A的最大特征值。當(dāng)判斷矩陣A的估計(jì)存在誤差時(shí)，則A中元素值的變化帶來最大特征值的變化，記此時(shí)的最大特征值為max，則AW=maxW，W為A關(guān)于最大特征值max的特征向量，對(duì)W進(jìn)行歸一化處理即得到權(quán)重向量。Matlab函數(shù)：[V,D]=eig(A)，返回的V為特征向量矩陣；D為特征值矩陣。2022/10/1825多屬性決策分析—權(quán)重確定Satty近似算法：A中每行元素連乘并開n次方，記為wi*；求權(quán)重：wi=wi*/iwi*；A中每列元素求和：Sj=iaij；計(jì)算最大特征值max=iwiSi判斷矩陣A的一致性檢驗(yàn)一致性指標(biāo)CI(ConsistencyIndex)：CI=|max-n|/(n-1)隨機(jī)指標(biāo)RI(RandomIndex)：用隨機(jī)方法構(gòu)造判斷矩陣，經(jīng)過500次以上的重復(fù)計(jì)算，求出一致性指標(biāo)并加以平均得到。一致性比率CR(ConsistencyRatio)：CR=CI/RI。CR≤0.1，一致性好；CR>0.1，一致性差。2022/10/1826多屬性決策分析—權(quán)重確定例：設(shè)判斷矩陣為A，求權(quán)重。特征向量法最小二乘法Satty近似算法w10.15840.15690.1685w20.18930.18010.1891w30.19800.15080.1871w40.04830.03920.0501w50.15030.09920.1501w60.25580.37370.2550max6.42085.94596.4431CI0.08420.01080.0886CR0.06790.00870.07152022/10/1827多屬性決策分析—決策方法一般加權(quán)和法將屬性表值cij規(guī)范化，得zij；i=1～m;j=1～n。確定各指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，wj；j=1～n。計(jì)算各方案的綜合指標(biāo)Ci=jwjzij。最后根據(jù)Ci大小排出各方案的優(yōu)劣。一般加權(quán)和法的使用條件（實(shí)際上很難滿足）指標(biāo)體系為樹狀結(jié)構(gòu)；每個(gè)屬性的邊際價(jià)值是線性的(優(yōu)劣與屬性值大小成正比)；任意兩個(gè)指標(biāo)的相互價(jià)值都是獨(dú)立的；屬性間的完全可補(bǔ)償性：一個(gè)方案的某屬性無論多差都可用其他屬性來補(bǔ)償（一個(gè)方案優(yōu)于另一個(gè)方案并不要求在所有屬性上都優(yōu)）。2022/10/1828多屬性決策分析—決策方法AHP法(層次分析法，Satty)：在實(shí)際決策中并不是所有指標(biāo)的值都是容易測(cè)量的，但不同方案的這些指標(biāo)的優(yōu)劣性是可以比較的。Satty提出了一種層次分析法(AnalyticHierarchyProcess)來解決此類問題。構(gòu)造關(guān)于指標(biāo)權(quán)重的判斷矩陣，求出各指標(biāo)的權(quán)重wj，并檢驗(yàn)判斷矩陣的一致性；構(gòu)造每個(gè)方案關(guān)于各指標(biāo)優(yōu)劣性的判斷矩陣，從而得到各方案關(guān)于該指標(biāo)的規(guī)范化屬性值z(mì)ij；（如果方案關(guān)于該指標(biāo)的值是可測(cè)的，則不需要構(gòu)造此指標(biāo)的判斷矩陣）計(jì)算各方案的綜合指標(biāo)Ci=jwjzij。根據(jù)Ci的優(yōu)劣確定方案的優(yōu)劣。2022/10/1829多屬性決策分析—決策方法根據(jù)下圖所描述的指標(biāo)體系，如果完全使用AHP法進(jìn)行決策，需要構(gòu)造多少個(gè)判斷矩陣？()162022/10/1830多屬性決策分析—決策方法加權(quán)和與加權(quán)積的綜合決策法：加權(quán)和要求指標(biāo)具有線性可加（可補(bǔ)償）性，但在實(shí)際決策中有些指標(biāo)之間是不可補(bǔ)償?shù)模藭r(shí)方案關(guān)于這類指標(biāo)的優(yōu)劣可用加權(quán)積法。例如，設(shè)方案的優(yōu)劣可由四個(gè)一級(jí)指標(biāo)A,B,C,D評(píng)判，其中A,B滿足可加性，C,D滿足可加性，但A、B與C、D間不滿足可加性，則可用下面的加權(quán)和與加權(quán)積的綜合決策法確定各方案的優(yōu)劣：(wAzA+wBzB)×(wCzC+wDzD)2022/10/1831多屬性決策分析—決策方法逼近理想解排序方法(TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution,TOPSIS)：借助多屬性問題的理想解和負(fù)理想解給方案集X中的各方案排序。在多屬性決策中，每個(gè)屬性都有一個(gè)最優(yōu)值，也有一個(gè)最差值。取所有屬性的最優(yōu)值構(gòu)造一個(gè)虛擬方案x*，同時(shí)取所有屬性的最差值構(gòu)造另一個(gè)虛擬方案x0，則稱x*為理想解，x0為負(fù)理想解。TOPSIS法就是將各實(shí)際方案與理想解和負(fù)理想解進(jìn)行比較，離理想解越近、離負(fù)理想解越遠(yuǎn)的方案越好。2022/10/1832多屬性決策分析—決策方法TOPSIS法求解步驟用向量規(guī)范法求得規(guī)范決策矩陣：zij=cij/(icij)1/2確定各屬性的權(quán)重系數(shù)W={w1,w2,…,wn}確定理想解和負(fù)理想解：zj*=maxi(zij)(效益型屬性)或mini(zij)(成本型屬性)zj0=mini(zij)(效益型屬性)或maxi(zij)(成本型屬性)計(jì)算各方案到理想解和負(fù)理想解的加權(quán)距離di*=(j(wjzij-wjzj*)2)1/2di0=(j(wjzij-wjzj0)2)1/2計(jì)算綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)Ci=di0/(di0+di*)按Ci的大小對(duì)各方案排序，Ci越大方案越優(yōu)，否則越劣。2022/10/1833多屬性決策分析—決策方法權(quán)重0.20.30.40.1簡(jiǎn)單加權(quán)和

屬性方案人均論著(a1)生師比(a2)科研經(jīng)費(fèi)(a3)逾期畢業(yè)率(a4)10.03571.00001.00000.00000.7071420.07140.83330.80000.53190.6374630.21430.33330.25200.36170.2798240.10710.66660.60000.17020.4784251.00000.00000.05680.74470.29719TOPSISdi*di0Ci10.03460.66660.69560.64820.19310.32990.630820.06930.55550.55650.30340.19190.26790.582730.20780.22220.17530.41370.29140.09560.247140.10390.44440.41740.53780.21950.20230.479650.96950.00000.03950.16550.32990.19310.3692x*0.96950.66660.69560.1655x00.03460.00000.03950.64822022/10/1834多屬性決策分析—決策方法TOPSIS法的邊界問題x*x02022/10/1835多屬性決策分析—決策方法級(jí)別高于關(guān)系的構(gòu)造由決策人設(shè)定各屬性的權(quán)重系數(shù)W={w1,w2,…,wn}；對(duì)給定的兩個(gè)方案xi和xk進(jìn)行和諧性檢驗(yàn)：(設(shè)每個(gè)屬性都是效益型指標(biāo)）屬性集分類：J+(xi,xk)={j|j{1,…,n},(xi)j>(xk)j}；J=(xi,xk)={j|j{1,…,n},(xi)j=(xk)j}；J-(xi,xk)={j|j{1,…,n},(xi)j<(xk)j}；計(jì)算和諧指數(shù)：2022/10/1836多屬性決策分析—決策方法和諧性檢驗(yàn)：選定0.5<1，若I’ik1,Iik，則通過和諧性檢驗(yàn)。越大，決策者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小。非不和諧性檢驗(yàn)：這里的不和諧性是指當(dāng)兩個(gè)方案的某個(gè)屬性值的差異常大時(shí)還能夠用其他屬性加以補(bǔ)償（即所謂完全補(bǔ)償性）。非不和諧性則只承認(rèn)部分補(bǔ)償。因此ELECTRE方法由決策人給每個(gè)屬性j設(shè)定一個(gè)閾值dj，當(dāng)(xk)j-(xi)jdj時(shí)，則不再接受其他屬性的補(bǔ)償，決策人不再承認(rèn)xiOxk。確定級(jí)別高于關(guān)系：I’ik1,Iik，且對(duì)所有j，有(xk)j-(xi)j<dj

，則xiOxk。2022/10/1837多屬性決策分析—決策方法級(jí)別高于關(guān)系圖的繪制將每個(gè)方案用平面上的一個(gè)點(diǎn)代替；若xiOxk，則以xi為起點(diǎn)，以xk為終點(diǎn)繪制一條有向弧；重復(fù)繪制所有的級(jí)別高于關(guān)系，得到級(jí)別高于關(guān)系圖。級(jí)別高于關(guān)系圖是決策的依據(jù)，具體排序辦法請(qǐng)參閱相關(guān)資料。在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的決策方法有ELECTRE-Ⅰ法,Ⅱ法，Ⅲ法，Ⅳ法，TRI法；PROMETHEE-Ⅰ法,Ⅱ法等。2022/10/1838多目標(biāo)決策分析—問題描述多目標(biāo)決策問題是指決策變量連續(xù)、存在無數(shù)決策方案的多準(zhǔn)則決策問題。其一般形式為：決策規(guī)則：DR{f1(x),f2(x),…,fn(x)}x表示一種方案，且xX={xRN|gk(x)0,k=1,2,…,m,x0}問題共包含n個(gè)目標(biāo)，每個(gè)目標(biāo)可能受N個(gè)屬性影響，所有屬性必須滿足一定的約束條件（共計(jì)m+N個(gè)約束）。多目標(biāo)決策分析就是根據(jù)給定的決策規(guī)則（體現(xiàn)了決策人的偏好）從可行方案集X中找出最佳調(diào)和解xC。f1(x)f2(x)…fn(x)x1…xN2022/10/1839多目標(biāo)決策分析—決策方法多目標(biāo)決策問題主要使用多目標(biāo)規(guī)劃方法進(jìn)行求解。DEA方法(DataEnvelopmentAnalysis)：在多目標(biāo)決策分析中，除多目標(biāo)優(yōu)化問題外，還有一類多目標(biāo)評(píng)價(jià)問題：對(duì)于多個(gè)同質(zhì)的管理系統(tǒng)(決策單元)，如果已知各系統(tǒng)投入和產(chǎn)出，如何評(píng)價(jià)這些系統(tǒng)的優(yōu)劣，或者說相對(duì)有效性？問題描述：設(shè)有n個(gè)決策單元，每個(gè)決策單元都有m種資源投入，第j個(gè)決策單元第i種投入指標(biāo)的投入量記為xij>0(已知)；每個(gè)決策單元均有p種產(chǎn)出，第j個(gè)決策單元第r種產(chǎn)出量記為yrj>0(已知)。vi、ur分別表示第i種投入指標(biāo)和第r種產(chǎn)出指標(biāo)的權(quán)系數(shù)，需要通過建模得到。如何評(píng)價(jià)這n個(gè)決策單元的相對(duì)有效性？2022/10/1840多目標(biāo)決策分析—決策方法C2R(Charnes,Cooper,Rhodes)模型(第一個(gè)DEA模型)對(duì)每一個(gè)決策單元j，都定義一個(gè)效率評(píng)價(jià)指標(biāo)：hj稱為效率指標(biāo)，可通過對(duì)權(quán)系數(shù)取值的選擇使hj1。評(píng)價(jià)第j0個(gè)決策單元有效性的C2R模型為：2022/10/1841多目標(biāo)決策分析—決策方法模型轉(zhuǎn)化：將分式規(guī)劃轉(zhuǎn)變成線性規(guī)劃。令則分式規(guī)劃轉(zhuǎn)變?yōu)橄铝行问剑?022/10/1842多目標(biāo)決策分析—決策方法有效性分析：若線性規(guī)劃的最優(yōu)解0，0滿足條件則決策單元j0為弱DEA有效。若0>0，0>0也成立，則決策單元為DEA有效。xy=f(x)A:規(guī)模有效，技術(shù)有效C：技術(shù)有效生產(chǎn)函數(shù)曲線B：既不是規(guī)模有效也不是技術(shù)有效2022/10/1843序貫決策分析—問題描述序貫決策是一類多階段決策問題，前一階段的決策結(jié)果對(duì)后一階段決策直至最終決策產(chǎn)生影響，整個(gè)決策問題的求解需要采取多次行動(dòng)才能完成。將貝葉斯決策分析方法應(yīng)用于不同的決策階段，并根據(jù)各階段之間的關(guān)系可以獲得多階段決策問題的解。動(dòng)態(tài)規(guī)劃和馬爾可夫決策是兩類重要的多階段決策方法。2022/10/1844序貫決策分析—多階段決策經(jīng)過相互銜接、相互關(guān)聯(lián)的若干階段決策才能完成的決策任務(wù)稱為多階段決策。決策分析的關(guān)鍵：劃分決策階段、確定各階段狀態(tài)變量、尋找各階段之間的關(guān)系；采用從后向前的逆序歸納法進(jìn)行決策分析。決策方法：根據(jù)問題不同，可選用貝葉斯決策分析方法、多屬性決策方法或多目標(biāo)決策方法。2022/10/1845序貫決策分析—貝葉斯方法例：某公司計(jì)劃購買一種新產(chǎn)品專利，購置費(fèi)1萬元。若購置了專利，可選擇三種生產(chǎn)規(guī)模：大批量生產(chǎn)(a1)，中批量生產(chǎn)(a2)，小批量生產(chǎn)(a3)。市場(chǎng)銷售狀態(tài)為：{暢銷1,0.6;一般2,0.3;滯銷3,0.1}。根據(jù)歷年資料統(tǒng)計(jì)分析，新產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)的銷售收益矩陣如左下表。為了準(zhǔn)確掌握市場(chǎng)動(dòng)向，公司可投入0.5萬元開展試銷。根據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，產(chǎn)品歡迎度和銷售狀態(tài)之間的關(guān)系如右下表。試幫助該企業(yè)做如下決策：是否購買專利？(已知如果不購買專利，1萬元的投資收益為1.1萬元)購買專利后是否試銷？如何確定該公司的批量生產(chǎn)計(jì)劃？萬元123a142-3a233-2a3111123H1(歡迎)0.60.20.2H2(一般)0.30.60.3H3(不受歡迎)0.10.20.52022/10/1846序貫決策分析—貝葉斯方法解：這是一個(gè)三階段決策問題。第一階段確定是否購買專利，第二階段確定是否試銷，第三階段確定批量生產(chǎn)計(jì)劃。決策過程采取逆序歸納法，即先從第三階段開始。試銷：計(jì)算后驗(yàn)概率及各批量生產(chǎn)計(jì)劃的收益，得：試銷的期望收益為：0.44*3.406+0.39*2.620+0.17*1.53=2.7805H1H2H3p(Hi)0.440.390.17p(1|Hi)0.8180.4620.353p(2|Hi)0.1360.4620.353p(3|Hi)0.0460.0760.294H1H2H3a13.4062.5441.236a22.7702.6201.530a31.0001.0001.0002022/10/1847序貫決策分析—貝葉斯方法不試銷：結(jié)論：123期望p(i)0.60.30.1a142-32.7a233-22.5a31111購買專利不購買試銷不試銷H1,a1：3.406萬元H2,a2：2.620萬元H3,a2：1.530萬元a1：2.7萬元1.1萬元2022/10/1848序貫決策分析—Markov法有一類序貫決策問題，其狀態(tài)隨著時(shí)間變化而隨機(jī)變化，決策的任務(wù)就是根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)預(yù)測(cè)其未來某一時(shí)刻的狀態(tài)，如銷售狀態(tài)預(yù)測(cè)、股價(jià)預(yù)測(cè)等。下面介紹一種Markov決策方法分析求解此類問題。雖然Markov過程是很嚴(yán)格的，實(shí)際管理問題并不能總是滿足其條件，但往往將其看作近似Markov過程也能得到很好的結(jié)果。2022/10/1849序貫決策分析—Markov法鏈及其狀態(tài)集：設(shè)m為隨機(jī)變量(如股價(jià))，稱隨機(jī)變量序列{m|m=1,2,...}為鏈，稱由m的全體狀態(tài)構(gòu)成的有限集為該鏈的狀態(tài)集(如上漲、持平、下跌)，記為N={N1,N2,...,Nn}。Markov鏈：設(shè)鏈{m|m=1,2,...}，其狀態(tài)為N={N1,N2,...,Nn}。若對(duì)于任意正整數(shù)k及i(1),i(2),...,i(k),i(k+1)n，條件概率等式：p{k+1=Ni(k+1)|1=Ni(1),...,k=Ni(k)}=p{k+1=Ni(k+1)|k=Ni(k)}成立，則稱鏈{m|m=1,2,...}為Markov鏈。說明：Markov鏈的特點(diǎn)是隨機(jī)變量在第k+1時(shí)刻出現(xiàn)某狀態(tài)的概率僅取決于其在第k時(shí)刻的狀態(tài)，而與k時(shí)刻之前的任何時(shí)刻的狀態(tài)無關(guān)，即無后效性。2022/10/1850序貫決策分析—Markov法例：如果股價(jià)狀態(tài)(u:上漲；e:持平；d:下跌)的變化序列構(gòu)成Markov鏈，則根據(jù)下列兩個(gè)序列：udeedu,duddeu預(yù)測(cè)下一個(gè)交易日為上漲的概率相同。齊次Markov鏈：設(shè){m|m=1,2,...}，其狀態(tài)為N={N1,N2,...,Nn}。對(duì)于任意正整數(shù)i,j,以及s,t,k，條件概率等式p{s+k=Nj|s=Ni}=p{t+k=Nj|t=Ni}成立，則稱此Markov鏈為齊次Markov鏈。ueue12468101335791112142022/10/1851序貫決策分析—Markov法狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率及轉(zhuǎn)移概率矩陣：設(shè)齊次Markov鏈{m|m=1,2,...}，狀態(tài)為N={N1,N2,...,Nn}。稱pij=p{s+1=Nj|s=Ni}為隨機(jī)變量從狀態(tài)Ni到Nj的轉(zhuǎn)移概率(即s時(shí)刻為Ni狀態(tài)時(shí)，s+1時(shí)刻為Nj狀態(tài)的概率)。稱對(duì)應(yīng)的矩陣P=(pij)n×n為轉(zhuǎn)移概率矩陣。顯然有：pij0;jpij=1。k步轉(zhuǎn)移概率及k步轉(zhuǎn)移概率矩陣：設(shè)齊次Markov鏈{m|m=1,2,...}，其狀態(tài)為N={N1,N2,...,Nn}。稱pij(k)=p{s+k=Nj|s=Ni}為隨機(jī)變量從狀態(tài)Ni經(jīng)k步轉(zhuǎn)移到Nj的轉(zhuǎn)移概率(即s時(shí)刻為Ni狀態(tài)時(shí)，s+k時(shí)刻為Nj狀態(tài)的概率)。稱對(duì)應(yīng)的矩陣P(k)=(pij(k))n×n為k步轉(zhuǎn)移概率矩陣。顯然有：pij(k)0;jpij(k)=1?？梢宰C明：P(k)=Pk2022/10/1852序貫決策分析—Markov法基于Markov過程的預(yù)測(cè)：設(shè)隨機(jī)變量遵從齊次Markov過程，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為P，且第k時(shí)刻隨機(jī)變量的各狀態(tài){N1,N2,...,Nn}的概率分布為u(k)=(u1(k),u2(k),...,un(k))T，則第s時(shí)刻(s>k)隨機(jī)變量的各狀態(tài)的概率分布為：u(s)=(Ps-k)Tu(k)特別地，若k=0(初始狀態(tài))，則有u(s)=(Ps)Tu(0)2022/10/1853序貫決策分析—Markov法