黑龍江省大慶市肇源縣部分學校2022-2023學年九年級上學期第一次聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

第23頁/共23頁2022-2023學年度上學期第一次月考試卷初四數(shù)學一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.在中，、、，則的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由勾股定理求出，再由正切的定義完成求解．【詳解】解：由勾股定理知：，，故答案選：A．【點睛】本題考查勾股定理和正切的定義，準確求解是解題的關鍵．2.拋物線與軸的交點個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】把代入求解即可得到交點坐標，也可以利用圖像解決．【詳解】解：令，得，拋物線與軸的交點是，故選：B．【點睛】本題考查圖像交點個數(shù)，可以直接求解，也可以圖像法解決，因為所有的二次函數(shù)與y軸有且只有一個交點．3.拋物線、的共同性質．①都是開口向上．②都以點為頂點．③都以軸為對稱軸．④都關于軸對稱．其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線的性質直接回答即可．【詳解】解：根據(jù)兩個函數(shù)知道其二次項系數(shù)a的絕對值相等，所以拋物線的開口向上，拋物線的開口向下，故①錯誤；都關于y軸對稱，頂點都為原點．∴②③正確，共2個；故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，解題的關鍵是了解形如的拋物線的性質．4.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折起，使頂點C落在C′處，若AB=4，DE=8，則sin∠C′ED為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由折疊可知，C′D=CD=4，再根據(jù)正弦的定義即可得出答案．【詳解】解：∵紙片ABCD是矩形，∴CD=AB，∠C=90°，由翻折變換的性質得，C′D=CD=4，∠C′=∠C=90°，∴．故選：B．【點睛】本題可以考查銳角三角函數(shù)的運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊．5.如圖，將ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，則tanA的值是（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】首先構造以∠A為銳角的直角三角形，然后利用正切的定義即可求解．【詳解】解：連接BD，如圖所示：根據(jù)網(wǎng)格特點可知，，∴，∵，，∴在Rt△ABD中，tanA＝＝，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，構造直角三角形是本題的關鍵．6.已知，點、、都在函數(shù)的圖像上，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】二次函數(shù)拋物線向下，且對稱軸為y軸，根據(jù)在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大即可判斷縱坐標的大?。驹斀狻俊叨魏瘮?shù)y＝?x2，∴該二次函數(shù)的拋物線開口向下，且對稱軸為：x＝0，即y軸．∵a＜?1，∴a?1＜a＜a＋1＜0，∵在對稱軸的左側，y隨x的增大而增大，∴．故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點坐標特征及二次函數(shù)的性質，比較簡單．7.在同一坐標系中，畫函數(shù)、、的圖象，它們共同特點是（）A.開口向上 B.都是關于軸對稱的拋物線，且隨的增大而增大C.開口大小相同 D.都關于軸對稱的拋物線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線圖象和性質，逐項判斷即可求解．【詳解】解：的圖像開口向上，對稱軸為y軸，在對稱軸右側的拋物線，且隨的增大而增大；的圖像開口向下，對稱軸為y軸，故A選項錯誤，不符合題意；在對稱軸右側的拋物線，且隨的增大而減小，故B選項錯誤，不符合題意；∵，∴三個拋物線開口大小不相同，故C選項錯誤，不符合題意；的圖像開口向上，對稱軸為y軸，故D選項正確，符合題意；故選：D【點睛】本題主要考查了拋物線的圖象和性質，熟練掌握拋物線的圖象和性質是解題的關鍵．8.若，是一個三角形的兩個銳角，且滿足.則此三角形的形狀是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.無法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質可知，；根據(jù)都是銳角可知，從而判斷三角形的形狀．【詳解】∵，∴，，∴，，又∵，是一個三角形的兩個銳角，∴，，∴此三角形的形狀是等邊三角形．故選C．【點睛】考查了三角形的形狀問題、三角函數(shù)值和絕對值的非負性，熟記特殊角的三角函數(shù)值和絕對值的非負性是解答此題的關鍵．9.某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映，如果調整商品售價，每降價1元，每星期可多賣出20件，設每件商品降價元后，每星期售出商品的總銷售額為元，則與的函數(shù)表達式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)降價x元，則售價為元，銷售量為件，由等量關系：總銷售額=銷量×售價，列出函數(shù)解析式即可．【詳解】根據(jù)降價x元，則售價為元，銷售量為件，根據(jù)題意得，，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，掌握等量關系：總銷售額=銷量×售價，是解決本題的關鍵．10.如圖，Rt△OAB的頂點A（-2，4）在拋物線y=ax2上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標為（）A.(,) B.(2,2) C.(,2) D.(2,)【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，然后根據(jù)題意求得D（0，2），且DC∥x軸，從而求得P的縱坐標為2，代入求得的解析式即可求得P的坐標．【詳解】∵Rt△OAB的頂點A（?2，4）在拋物線y=ax2上，∴4＝4a，解得a＝1，∴拋物線為y=x2，∵點A（?2，4），∴B（?2，0），∴OB＝2，∵將Rt△OAB繞點O順時針旋轉90°，得到△OCD，∴D點在y軸上，且OD＝OB＝2，∴D（0，2），∵DC⊥OD，∴DC∥x軸，∴P點的縱坐標為2，令y=2，得2=x2，解得：x=±∵點P在第一象限，∴點P的坐標為：（，2）故答案為：C．【點睛】考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，坐標與圖形變化－旋轉，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點和點，則___________.【答案】4.5【解析】【分析】本題利用二次函數(shù)對稱性直接求出結果．【詳解】函數(shù)的對稱軸為y軸，且點和點關于y軸對稱，所以．故答案為：4.5．【點睛】本題考查二次函數(shù)的對稱性：關于對稱軸對稱的兩點函數(shù)值相等．12.如圖，在ABCD中，連接BD，，，，則ABCD的面積是________．【答案】【解析】【詳解】解：根據(jù)AD⊥BD，AB=4，sinA=，BD=3，然后根據(jù)勾股定理可求得AD=，因此可求△ABD的面積為，再根據(jù)平行四邊形的對角線分平行四邊形得到的三角形全等可求．考點：勾股定理，平行四邊形的面積13.已知二次函數(shù)的圖象開口向上，且頂點在y軸的負半軸上，請你寫出一個滿足條件的二次函數(shù)的表達式________．【答案】y=x2-2（答案不唯一）【解析】【詳解】∵二次函數(shù)的圖象開口向上，∴二次項系數(shù)為正數(shù)，∵頂點在y軸的負半軸上，∴設頂點坐標為(0，k)，則k<0，據(jù)此寫出二次函數(shù)的解析式為：y=x2-2（答案不唯一）．故答案為：y=x2-2（答案不唯一）．14.如圖所示，運載火箭從地面L處垂直向上發(fā)射，當火箭到達A點時，從位于地面R處的雷達測得AR的距離是40km，仰角是30°，n秒后，火箭到達B點，此時仰角是45°，則火箭在這n秒中上升的高度是_____km.【答案】20－20【解析】【詳解】分析：根據(jù)圖形，直接利用銳角三角函數(shù)的定義得出LR=AR×cos∠ARL，代入數(shù)據(jù)求出LR的長，接下來，利用銳角三角函數(shù)關系得出BL=LR×tan∠BRL，再利用AL=ARsin∠ARL，求出AL的值，進而得出答案.詳解：在Rt△ALR中，AR=40km，∠ARL=30°，∵cos∠ARL=，∴LR=AR×cos∠ARL=40×cos30°≈20（km）.在Rt△BLR中，LR=20km，∠BRL=45°，∵tan∠BRL=，∴BL=LR×tan∠BRL=20×tan45°≈20×1=20（km），又∵sin∠ARL=，∴AL=ARsin∠ARL=40×sin30°=20（km），∴AB=BL-AL=（20-20）km.故答案為（20-20）km.點睛：本題重點考查解直角三角形的應用仰角俯角問題，解題的關鍵是熟熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念.15.如圖，平行于y軸的直線l被拋物線y＝x2+1、y＝x2﹣1所截．當直線l向右平移3個單位時，直線l被兩條拋物線所截得的線段掃過的圖形面積為_____平方單位．【答案】6【解析】【分析】由于拋物線y＝x2+1是y＝x2-1向上平移2個單位長度得到的，平行于y軸的直線l與2個函數(shù)圖象的交點縱坐標是個定值2，通過截補法可知陰影部分的面積是6平方單位．【詳解】解：拋物線y＝x2+1是y＝x2﹣1向上平移2個單位長度得到的，即|y1﹣y2|＝2．當直線l向右平移3個單位時，陰影部分的面積是，2×3＝6．故答案為6.【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象動態(tài)變化中的不變的量，本題的關鍵點是在能否看出陰影部分的面積通過截補法是個平行四邊形，直接2×3=6即可求出．16.一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則較小的銳角的正切值是___________.【答案】或【解析】分析】分兩種情況分別計算，即可求得．【詳解】解：當3和4是直角三角形的兩條直角邊時，故此時較小的銳角的正切值是；當斜邊長是4時，另一條直角邊長為：，故此時較小的銳角的正切值是，故較小的銳角的正切值是或，故答案為：或．【點睛】本題考查了求一個角的正切值，勾股定理，分類討論是解決本題的關鍵．17.已知，為等腰三角形的腰上的高，，，則的長為___________.【答案】或或【解析】【分析】分兩種情況，當為銳角時，當為鈍角時，利用勾股定理求解．【詳解】解：為等腰三角形的腰上的高，，，當為銳角時，如圖1，當時，，∴，，，；如圖2，當時，，∴．設，則，，解得，即；當為鈍角時，如圖3，當時，，∴，，．綜上所述，CD的長度為或或．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，勾股定理，分類討論是解答本題的關鍵．18.二次函數(shù)的圖象如圖，點O為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點B、C在二次函數(shù)的圖象上，四邊形OBAC為菱形，且∠OBA=120°，則菱形OBAC的面積為______．【答案】【解析】【詳解】解：連接BC與AO交于點D，∵四邊形OBAC為菱形∴AO⊥BC，∵∠OBA=120°∴∠AOB=30°，∵B的坐標為(1，)，∴OA=2OD=2，BC=2BD=2，∴菱形的面積=×AO×BC=×2×2=2.故答案為：考點：二次函數(shù)的性質三、解答題（本大題共10小題，共66分）19.計算（1）.（2）.【答案】（1）2；（2）．【解析】【分析】（1）準確計算特殊角的三角函數(shù)值即可；（2）注意去絕對值號時是否變號，的奇次冪結果仍是．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值的運算，去絕對值以及的大指數(shù)冪，準確記憶特殊角三角函數(shù)值是解題的關鍵．20.先化簡，再求代數(shù)式的值，其中.【答案】【解析】【詳解】解：原式當時21.如圖，某同學在樓房的A處測得荷塘的一端B處的俯角為，荷塘另一端處C、在同一條直線上，已知米，米，求荷塘寬為多少米？（結果保留根號）【答案】荷塘寬（米）【解析】【詳解】試題分析：解：如圖，（三角法）依題意得：°，在中，荷塘寬（米）（勾股法）依題意得：°，在中，，荷塘寬（米）答：荷塘寬為()米.考點：解直角三角形的應用點評：解直角三角形的應用，將實際問題轉化成解直角三角形，結合圖形找角與邊的關系，還應理解仰角和俯角等名稱的含義.22.已知拋物線經(jīng)過點．（1）判斷點是否在此拋物線上．（2）若點在此拋物線上，求點的坐標．【答案】（1）不在（2）或【解析】【分析】（1）將代入求得解析式，在當，求出函數(shù)值，即可得到解答；（2）將代入求得m，即可求得點的坐標．【小問1詳解】解：將點代入拋物線可得，即，則．當時，，所以點不在此拋物線上．【小問2詳解】解：根據(jù)題意將代入，得，解得．則點的坐標為或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，拋物線經(jīng)過點，即點的坐標滿足函數(shù)解析式，解決本題的關鍵是運用待定系數(shù)法求解析式．23.如圖所示，在銳角中，，，所對的邊分別是a，b，c，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】方法1：過點A作于點D，根據(jù)，可得，由此可得，由此可得結論；方法2：過點A作于點D，根據(jù)可得，由此可表示三角形的面積，根據(jù)面積相等可得相應等式，由此可得結論；方法3：作的外接圓，設的半徑為r，作直徑BD，連接CD，根據(jù)圓周角定理可得，由此可得結論．【詳解】解：方法1如圖所示，過點A作于點D，則，在中，，∴，在中，，∴，∴，∴．同理可證，．∴．方法2如圖所示，過點A作于點D，則，在中，在中，，∴，∴，同理可得，∴，∴，∴，∴．方法3如圖所示，作的外接圓，設的半徑為r，作直徑BD，連接CD．∵BD是的直徑，∴．∴，∴，同理可得，．∴．24.如圖，水庫大壩橫截面的迎水坡坡度（即與的長度之比）為，背水坡（即與的長度之比）為，大壩高．壩頂寬，求大壩橫截面的周長．【答案】【解析】【分析】根據(jù)坡度的定義得出，在中，勾股定理求得的長，繼而求得，同理求得，根據(jù)圖形可四邊形為矩形可得，進而結合圖形計算周長即可求解．【詳解】解：∵迎水坡坡度（與的長度之比）為，∵，∴．在中，，∵背水坡坡度（與的長度之比）為．∵，∴．在中，，由四邊形為矩形，可得，大壩橫截面的周長為．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握坡度的定義是解題的關鍵．25.如圖，拋物線與直線在第一象限內有一交點．你能求出點的坐標嗎？在軸上是否存在一點，使為等腰三角形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】點坐標為；符合條件的點的坐標是或或或．【解析】【分析】見解析.【詳解】解方程組得或，所以點坐標為；①當時，作軸于點，如圖，當時，是以為底等腰三角形，而，所以點坐標為．②當時，∵，∴，則.③當時，如圖，過點作于點．設．則．故，即，解得，即．綜上所述，符合條件的點的坐標是或或或．【點睛】會分類討論是解題的關鍵.26.已知二次函數(shù)與反比例函數(shù)的象圖有一個公共點.（1）求二次函數(shù)及反比例數(shù)的表達式.（2）能否找到自變量最大取值范圍，使二次函數(shù)，反比例函數(shù)的值在這個范圍內都隨的增大而減小？若能，寫出這個取值范圍？若不能，說明理由.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）直接根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）畫出函數(shù)圖形，根據(jù)圖像進行解答．【小問1詳解】解：把分別代入二次函數(shù)與反比例函數(shù)，解得，，∴二次函數(shù)表達式為，反比例函數(shù)表達式為；【小問2詳解】作出函數(shù)圖像，如圖所示：由圖像可知存在這樣的自變量的取值范圍，即當時，二次函數(shù)和反比例函數(shù)的函數(shù)值都隨的增大而減?。军c睛】本題考查了求二次函數(shù)解析式以及求反比例函數(shù)解析式，二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖形與性質，根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解本題的關鍵．27.如圖，在一筆直的海岸線上有A，B兩個觀測站，A觀測站在B觀測站的正東方向，有一艘小船在點P處，從A處測得小船在北偏西60°方向，從B處測得小船在北偏東45°的方向，點P到點B的距離是3千米．(注：結果有根號的保留根號）(1）求A，B兩觀測站之間的距離；(2）小船從點P處沿射線AP的方向以千米/時的速度進行沿途考察，航行一段時間后到達點C處，此時，從B測得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的時間．【答案】(1）(3+3)千米；(2）3小時．【解析】【詳解】試題分析：(1）過點P作PD⊥AB于點D，先解Rt△PBD，得到BD和PD的長，再解Rt△PAD，得到AD和AP的長，然后根據(jù)BD+AD=AB，即可求解；(2）過點B作BF⊥AC于點F，先解Rt△ABF，