2.5.1-平面幾何中的向量方法

2.5平面向量應(yīng)用舉例2.5.1平面幾何中的向量方法2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)向量的相關(guān)概念及其形式定義形式坐標(biāo)形式數(shù)量積運(yùn)算向量的模向量的夾角垂直的判定共線的判定相等的判定a=λb2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)

向量在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行（共線）的條件a∥b

.(2)證明垂直問(wèn)題,常用向量垂直的條件a⊥b

.2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)利用夾角公式

(3)求夾角問(wèn)題

，

(4)求線段的長(zhǎng)度，可以用向量的線性運(yùn)算，向量的模|a|=

或|AB|=|AB|=

.2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)ABCD問(wèn)題：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，

你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC的長(zhǎng)度與鄰邊AB、AD的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？對(duì)角線DB？對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間有何關(guān)系？涉及到長(zhǎng)度問(wèn)題常?？紤]向量的數(shù)量積AB2AC2AD2DB22.5.1_平面幾何中的向量方法(1)ABCDAB2=a2AD2=b2設(shè)AB=a，AD=b，則AC=a+b，DB=a-b，分析：AC2=AC+AC=(a+b)(a-b)·=aa+ab+ba+bb····=a2+2ab+b2·DB2=a2-2ab+b2·同理DB2=AC

2+2(a2+b2)AB

2+AD2=2()平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等于兩條鄰邊長(zhǎng)的平方和的兩倍.2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)利用向量法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究集合之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)ABCDEFRT例2

如圖，ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)故AT=RT=TCABCDEFRT2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？GFF1F2θ2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)GFF1F2θ即F1、F2之間的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力∴當(dāng)θ由0°～180°逐漸增大時(shí)，由0°～90°逐漸增大，而的值逐漸縮小，因此逐漸增大解：設(shè)則由向量的平行四邊形法則、力的平衡及直角三角形的知識(shí)可知2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)GFF1F2θ當(dāng)θ=0，最小，最小值是當(dāng)θ時(shí)，

例3.

在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)例4.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的速度，水流速度，問(wèn)行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少？(精確到0.1min)2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)例4.如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m,一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的速度，水流速度，問(wèn)行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是多少？(精確到0.1min)思考：要使船行駛的時(shí)間最短，所用時(shí)間是多少？ABCD2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)例3

證明直徑所對(duì)的圓周角是直角ABCO已知：如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點(diǎn)。求證：∠ACB=90°證明：即，∠ACB=90°思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？xy2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)已知直線l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m，1)與l平行則實(shí)數(shù)m的值為（）A.-1B.1C.2D.-1或2D利用向量證明：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直ABCD2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)練習(xí)1、一船從某河的一岸駛向?qū)Π叮贋?，水速為已知船可垂直到達(dá)對(duì)岸，則（）2、已知作用在A點(diǎn)的三個(gè)力，A(1，1)則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(8,0)B.(9,1)C.(-1,9)D.(3,1)BB2.5.1_平面幾何中的向量方法(1)3、一個(gè)物體受到兩個(gè)相互垂直的力的作用，兩邊大小都為，則兩個(gè)力的合力的大小為