(新高考)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義09《概率、隨機(jī)變量及其分布列》(解析版)

09概率、隨機(jī)變量及其分布列核心考點(diǎn)讀高考設(shè)問知考法命題解讀古典概型、幾何概型【2020新課標(biāo)Ι文】設(shè)O為正方形SKIPIF1<0的中心，在SKIPIF1<0中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（）1.隨機(jī)事件的概率、古典概型的考查多以選擇或填空的形式命題，中低檔難度；2.概率模型多考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、相互獨(dú)立事件、互斥事件及對(duì)立事件等；對(duì)離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的考查是重點(diǎn)中的“熱點(diǎn)”.隨著新一輪課程改革，“數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)建?！睂?huì)不斷加大考查力度.【2019新課標(biāo)Ⅱ文】生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為()【2018新課標(biāo)Ⅰ】如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形SKIPIF1<0的斜邊SKIPIF1<0，直角邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）條件概率及相互獨(dú)立事件的概率【2020新高考全國(guó)5】某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）【2019新課標(biāo)Ⅰ】甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是_________．【2020天津卷】已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為eq\f(1,2)和eq\f(1,3).假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為______；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為______.【2020新課標(biāo)Ι理19】甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為SKIPIF1<0，（1）求甲連勝四場(chǎng)概率；（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率．隨機(jī)變量的分布列、均值與方差【2018新課標(biāo)Ⅲ】某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為SKIPIF1<0，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)SKIPIF1<0為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）【2017新課標(biāo)Ⅱ】一批產(chǎn)品的二等品率為SKIPIF1<0，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取SKIPIF1<0次，SKIPIF1<0表示抽到的二等品件數(shù)，則SKIPIF1<0．(2019·天津卷)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為eq\f(2,3).假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)略．概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題【2016新課標(biāo)I】某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記SKIPIF1<0表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，SKIPIF1<0表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).（I）求SKIPIF1<0的分布列；（=2\*ROMANII）若要求SKIPIF1<0，確定SKIPIF1<0的最小值；（=3\*ROMANIII）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？核心考點(diǎn)一古典概型、幾何概型1.古典概型的概率公式：P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(事件A中所含的基本事件數(shù),試驗(yàn)的基本事件總數(shù)).2.幾何概型的概率公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）,試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）).1.【2020新課標(biāo)Ι文】設(shè)O為正方形SKIPIF1<0的中心，在SKIPIF1<0中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】如圖，從SKIPIF1<05個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0共SKIPIF1<0種不同取法，3點(diǎn)共線有:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0共2種情況，由古典概型的概率計(jì)算公式知，取到3點(diǎn)共線的概率為SKIPIF1<0．故選A．2．【2018新課標(biāo)Ⅰ】如圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形SKIPIF1<0的斜邊SKIPIF1<0，直角邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】解法1：設(shè)直角三角形SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對(duì)的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則區(qū)域I的面積即SKIPIF1<0的面積，為SKIPIF1<0，區(qū)域Ⅱ的面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由幾何概型的知識(shí)知SKIPIF1<0，故選A．解法2：不妨設(shè)SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以區(qū)域I的面積即SKIPIF1<0的面積，為SKIPIF1<0，區(qū)域Ⅱ的面積SKIPIF1<0，區(qū)域Ⅲ的面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0．根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選A．1.【2019新課標(biāo)Ⅱ文】生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過該指標(biāo)的概率為()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)其中做過測(cè)試的3只兔子為SKIPIF1<0，剩余的2只為SKIPIF1<0，則從這5只中任取3只的所有取法有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共10種．其中恰有2只做過測(cè)試的取法有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，共6種，所以恰有2只做過測(cè)試的概率為SKIPIF1<0，故選B．2．【2017新課標(biāo)Ⅰ】如圖，正方形SKIPIF1<0內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）．A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，由題意可知太極圖的黑色部分的面積是圓的面積的一半，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算，所求概率為SKIPIF1<0．選B．核心考點(diǎn)二條件概率及相互獨(dú)立事件的概率1.條件概率.在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率：P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).2.相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)·P(B).3.若事件A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，P(eq\o(A,\s\up3(－)))＝1－P(A).1．【2020新高考全國(guó)5】某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【解析】記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件SKIPIF1<0，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件SKIPIF1<0，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件SKIPIF1<0，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為SKIPIF1<0．故選C．2.【2014新課標(biāo)Ⅱ】某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【解析】根據(jù)條件概率公式SKIPIF1<0，可得所求概率為SKIPIF1<0．故選A．3．【2020新課標(biāo)Ι理19】甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為SKIPIF1<0，（1）求甲連勝四場(chǎng)概率；（2）求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率．【解析】（1）記事件SKIPIF1<0甲連勝四場(chǎng)，則SKIPIF1<0；（2）記事件SKIPIF1<0為甲輸，事件SKIPIF1<0為乙輸，事件SKIPIF1<0為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為：SKIPIF1<0，所以，需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為SKIPIF1<0；（3）記事件SKIPIF1<0為甲輸，事件SKIPIF1<0為乙輸，事件SKIPIF1<0為丙輸，記事件SKIPIF1<0甲贏，記事件SKIPIF1<0丙贏，則甲贏的基本事件包括：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以甲贏的概率為SKIPIF1<0．由對(duì)稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為SKIPIF1<0．1．【2019新課標(biāo)Ⅰ】甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場(chǎng)四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績(jī)，甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6，客場(chǎng)取勝的概率為0.5，且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是______________．【解析】前四場(chǎng)中有一場(chǎng)客場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以SKIPIF1<0獲勝的概率是SKIPIF1<0前四場(chǎng)中有一場(chǎng)主場(chǎng)輸，第五場(chǎng)贏時(shí)，甲隊(duì)以SKIPIF1<0獲勝的概率是SKIPIF1<0綜上所述，甲隊(duì)以SKIPIF1<0獲勝的概率是SKIPIF1<02.【2020天津卷】已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為eq\f(1,2)和eq\f(1,3).假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為______；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為______.【解析】甲、乙兩球都落入盒子的概率P＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)；設(shè)事件A：“甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子”的對(duì)立事件是eq\o(A,\s\up6(－))：“甲、乙兩球都不落入盒子”，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(1,3)，所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).3．【2019新課標(biāo)Ⅱ】11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率．【解析】（1）X=2就是10∶10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X=4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．核心考點(diǎn)三隨機(jī)變量的分布列、均值與方差1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布：如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p，那么它在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.用X表示事件A在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)且P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.2.超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.超幾何分布的模型是不放回抽樣，超幾何分布中的參數(shù)是M，N，n.3.離散型隨機(jī)變量的均值、方差：(1)離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為：ξx1x2x3…xi…nPp1p2p3…pi…pn離散型隨機(jī)變量ξ的分布列具有兩個(gè)性質(zhì)：①pi≥0；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1，2，3，…，n).(2)E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望或均值.D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(xi－E(ξ))2·pi＋…＋(xn－E(ξ))2·pn叫做隨機(jī)變量ξ的方差.(3)數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì).①E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ).②X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).③X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).1．【2018新課標(biāo)Ⅲ】某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為SKIPIF1<0，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)SKIPIF1<0為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（）A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3【解析】由題意知，該群體的10位成員使用移動(dòng)支付的概率分布符合二項(xiàng)分布，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選B．2.【2019天津卷】設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為eq\f(2,3).假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.【解析】(1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率為eq\f(2,3)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，從而P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3－k)，k＝0，1，2，3.所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123Peq\f(1,27)eq\f(2,9)eq\f(4,9)eq\f(8,27)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝3×eq\f(2,3)＝2.(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(2,3)))，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}.由題意知事件{X＝3，Y＝1}與{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}與{Y＝1}，事件{X＝2}與{Y＝0}均相互獨(dú)立，從而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝eq\f(8,27)×eq\f(2,9)＋eq\f(4,9)×eq\f(1,27)＝eq\f(20,243).1．【2017新課標(biāo)Ⅱ】一批產(chǎn)品的二等品率為SKIPIF1<0，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取SKIPIF1<0次，SKIPIF1<0表示抽到的二等品件數(shù)，則SKIPIF1<0．【解析】由題意可得，抽到二等品的件數(shù)SKIPIF1<0，由二項(xiàng)分布的方差公式可得：SKIPIF1<0．2.4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)在此期間開展了一系列的讀書教育活動(dòng).為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)小組中隨機(jī)抽取10名學(xué)生參加問卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：小組甲乙丙丁人數(shù)91263(1)從參加問卷調(diào)查的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，求這兩名學(xué)生來自同一個(gè)小組的概率；(2)在參加問卷調(diào)查的10名學(xué)生中，從來自甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，用X表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)由已知得，問卷調(diào)查中，從四個(gè)小組中抽取的人數(shù)分別為3，4，2，1，從參加問卷調(diào)查的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名的取法共有Ceq\o\al(2,10)＝45種，這兩名學(xué)生來自同一小組的取法共有Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)＝10(種)，所以p＝eq\f(10,45)＝eq\f(2,9).(2)由(1)知，在參加問卷調(diào)查的10名學(xué)生中，來自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為3，2.X的可能取值為0，1，2.則P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,3)·Ceq\o\al(2－k,2),Ceq\o\al(2,5))(k＝0，1，2).∴P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).則隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f(1,10)eq\f(3,5)eq\f(3,10)故E(X)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＝eq\f(6,5).核心考點(diǎn)四概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題1.統(tǒng)計(jì)與概率的綜合應(yīng)用，意在考查考生的識(shí)圖能力和數(shù)據(jù)處理能力.此類問題多涉及相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率，在求解時(shí)，要明確基本事件的構(gòu)成.2.以統(tǒng)計(jì)圖表為背景的隨機(jī)變量分布列求解的關(guān)鍵：(1)根據(jù)頻率(數(shù))分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等圖表準(zhǔn)確求出隨機(jī)事件的頻率，并用之估計(jì)相應(yīng)概率；(2)出現(xiàn)多個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，應(yīng)注意分析隨機(jī)變量之間的關(guān)系，進(jìn)而由一個(gè)隨機(jī)變量的分布列推出另一個(gè)隨機(jī)變量的分布列.1．【2016新課標(biāo)I】某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記SKIPIF1<0表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，SKIPIF1<0表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).（I）求SKIPIF1<0的分布列；（=2\*ROMANII）若要求SKIPIF1<0，確定SKIPIF1<0的最小值；（=3\*ROMANIII）以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？【解析】（Ⅰ）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2，從而；；；；；；.所以的分布列為：16171819202122（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值為19.（Ⅲ）記表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元）.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.可知當(dāng)時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選.2．【2017新課標(biāo)Ⅲ理】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)求六月份這種酸奶一天的需求量SKIPIF1<0(單位：瓶)的分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為SKIPIF1<0(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量SKIPIF1<0(單位：瓶)為多少時(shí)，SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【解析】（1）由題意知，SKIPIF1<0所有的可能取值為200，300，500，由表格數(shù)據(jù)知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0的分布列為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若最高氣溫不低于25，則SKIPIF1<0；若最高氣溫位于區(qū)間SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若最高氣溫低于20，則SKIPIF1<0；因此SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若最高氣溫不低于20，則SKIPIF1<0；若最高氣溫低于20，則SKIPIF1<0；因此SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元．

1.為調(diào)研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為1∶4，且成績(jī)分布在[0，60]的范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖，如圖所示.其中，a，b，c構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400(1)求a，b，c的值；(2)填寫上面2×2列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)？(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學(xué)生中，任意抽取2名學(xué)生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】(1)由題意，得(a＋b＋c＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，而a，b，c構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所以(a＋2a＋4a＋0.018＋0.022＋0.025)×10＝1，解得a＝0.005.則b＝0.010，c＝0.020.(2)獲得“優(yōu)秀作文”的人數(shù)為400×0.005×10＝20.因?yàn)槲目粕c理科生人數(shù)之比為1∶4，所以文科生與理科生人數(shù)分別為80，320.故完成2×2列聯(lián)表如下：文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)61420不獲獎(jiǎng)74306380合計(jì)80320400由表中數(shù)據(jù)可得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(400×（6×306－14×74）2,20×380×80×320)≈1.316＜6.635，所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不