21 平面向量的實(shí)際意義和基本概念

2．1向量的實(shí)際意義和基本概念一、復(fù)習(xí)引入：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會遇到很多量，其中一些量在取定單位后用一個實(shí)數(shù)就可以表示出來，如長度、質(zhì)量等.還有一些量，如我們在物理中所學(xué)習(xí)的位移，是一個既有大小又有方向的量，這種量就是我們本章所要研究的向量.向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，向量和數(shù)一樣也能進(jìn)行運(yùn)算，而且用向量的有關(guān)知識還能有效地解決數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中的很多問題，在這一章，我們將學(xué)習(xí)向量的概念、運(yùn)算及其簡單應(yīng)用.這一節(jié)課，我們將學(xué)習(xí)向量的有關(guān)概念.二、講解新課：向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量注意：1。數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小?2。從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，向量就成為一套優(yōu)良通性的數(shù)學(xué)體系，用以研究空間性向量的表示方法：用有向線段表示；③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB；用字母a、③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB；④向量AB的大小一一長度稱為向量的模，記作|AB|.零向量、單位向量概念：①長度為0的向量叫零向量，記作0+0的方向是任意的注意0與0的區(qū)別②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義;（2）向量a、b、c平行，記作a〃b〃c.相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量a與b相等，記作a=b；2）零向量與零向量相等；3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與．有．向．線．段．的．起．點(diǎn)．無．關(guān)．.共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.探究：1.對向量概念的理解要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向線段這一概念?在線段AB的兩個端點(diǎn)中，我們規(guī)定了一個順序，A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)，我們就說線段AB具有射線AB的方向，具有方向的線段就叫做有向線段?通常有向線段的終點(diǎn)要畫箭頭表示它的方向，以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的有向線段記為AB，需要學(xué)生注意的是：AB的字母是有順序的,起點(diǎn)在前終點(diǎn)在后，所以我們說有向線段有三個要素：起點(diǎn)、方向、長度.既有大小又有方向的量，我們叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用點(diǎn)（起點(diǎn)），比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我們現(xiàn)在所學(xué)的向量一般指后者.向量不能比較大小我們知道，長度相等且方向相同的兩個向量表示相等向量，但是兩個向量之間只有相等關(guān)系，沒有大小之分，“對于向量a,b,a>b，或avb”這種說法是錯誤的.實(shí)數(shù)與向量不能相加減，但實(shí)數(shù)與向量可以相乘.初學(xué)向量的同學(xué)很可能認(rèn)為一個實(shí)數(shù)與一個向量之間可進(jìn)行加法或者減法，這是錯誤的.實(shí)數(shù)與向量之間不能相加減，但可相乘，相乘的意義就是幾個相等向量相加.4．向量與有向線段的區(qū)別：（1） 向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點(diǎn)無關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2） 有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段三、例題講解題型一向量概念理解例1.下列說法正確的是（）向量可以比較大小坐標(biāo)平面內(nèi)的x軸和y軸都是向量向量就有有向線段體積、面積和時間都不是向量練習(xí).下列個量中不是向量的是（ ）A.浮力B.風(fēng)速C.位移D.密度題型二向量的幾何表示例2?如圖，B是線段AC上的一點(diǎn)，分別以不同的點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，可以寫成多少個向量。

例3.給出下列說法：1)向量AB的長度和向量BA的長度相等(2)有向線段就是向量，向量就是有向線段向量的大小與方向無關(guān)?向量的?？梢员容^大小其中正確的的有—練習(xí)1.把平面上一切單位向量的始點(diǎn)放在同一點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是()B.一段圓弧 C. D.一個單位圓練習(xí)2.下列說法中錯．誤．的是( )B.B.零向量的長度為0D.零向量的方向是任意的C.零向量與任一向量平行題型三相等向量與共線向量例4.如圖，設(shè)0是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量0A、OB、OC相等的向量?例4.練習(xí)1.給出下列四個命題，其中正確的個數(shù)是()(1)若(1)若a//b，則a=b(2)若IaI=lbl，則a=b(3)若(3)若a=b，則aLib(4)若Io!Ibl，則a豐bA.1B.2C.3A.1B.2C.3D.4練習(xí)2.下列說法正確的是()A.方向相同或相反的向量是平行向量A.方向相同或相反的向量是平行向量C.長度相等的向量叫做有向線段單位向量的長度為1D.共線向量是在同一條直線上的向量練習(xí)3.如圖，O是正方形ABCD對角線的交點(diǎn)，四邊形OAED,OCFB都是正方形，在圖中所示的向量中：(1)分別寫出與AO,BO相等的向量；(2)寫出與AO共線的向量;寫出與AO模相等的向量;(4)向量AO與CO是否相等?【課后作業(yè)】在△ABC中,AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則（ ）A.AB與AC共線B.DE與CB共線C.AD與AE相等D.AD與BD相等下列命題正確的是（）A.向量AB與BA是兩平行向量 B.若a、b都是單位向量，則a=b若AB=DC，則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同下列說法正確的是（）A、 數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小.B、 方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小C、向量的大小與方向有關(guān). D、向量的?？梢员容^大小.給出下列六個命題：①兩個向量相等，貝怕們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若Ia1=1bI，則a=b；若AB=DC，則四邊形ABCD是平行四邊形； -- --平行四邊形ABCD中，一定有AB=DC；若m=n，n=k，則m=k； 口b…b^c，則a^c.其中不正確的命題的個數(shù)為（）A、2個?B、3個 云、4個~D、5個? ??設(shè)O是正方形ABCD的中心，則向量AO,BO,OC,OD是（）A、相等的向量 B、平行的向量C、有相同起點(diǎn)的向量 D、模相等的向量—判斷下列各命題的真假：（1） 向量AB的長度與向量BA的長度相等；（2） 向量Q與向量b平行，則Q與b的方向相同或相反；（3） 兩個有共同起點(diǎn)的而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同；（4） 兩個有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；（5） 向量AB和