人教版選擇性必修第一冊(cè)第二章4單擺學(xué)案2

［定位?學(xué)習(xí)目標(biāo)］.知道單擺是一種理想化模型,理解單擺模型的條件,能將實(shí)際問題中的對(duì)象和過程轉(zhuǎn)化為單擺模型。.能通過理論推導(dǎo),判定單擺小角度振動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。.在探究單擺的周期與擺長(zhǎng)的定量關(guān)系時(shí),能分析數(shù)據(jù)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、形成合理的結(jié)論,能用已有的物理知識(shí)解釋相關(guān)現(xiàn)象。知識(shí)點(diǎn)一單擺的回復(fù)力.單擺的組成：由細(xì)線和小球組成。.理想化模型⑴細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略。(2)小球的直徑與線的長(zhǎng)度相比可以忽略。.單擺的回復(fù)力⑴回復(fù)力的來源:如下圖，擺球的重力沿圓弧切線方向的分力。⑵回復(fù)力的特點(diǎn)：當(dāng)擺角很小時(shí),sin9-0所以單擺的回復(fù)力V可表示為F二-子x,即擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比,方向總指向平衡位置,所以單擺在擺角很小的情況下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。.生活中,我們經(jīng)?？梢姂覓炱饋淼奈矬w在豎直平面內(nèi)擺動(dòng),這樣擺動(dòng)的裝置叫單擺，請(qǐng)舉幾例。答案:生活中常常看到擺鐘、秋千等都在豎直平面內(nèi)做擺動(dòng),理想情況下都可看成單擺模型。

A.兀B.兀A.兀B.兀LsinOC.JiD.兀7gsinO'gcos0解析：因?yàn)樾∏蚱x平衡位置,最大擺角小于5。，小球的運(yùn)動(dòng)可以看作類單擺運(yùn)動(dòng)，根據(jù)等效重力作用下mgsin。=mg',T二2五小球回到最低點(diǎn)所需的最短時(shí)間為廿9Ji三，應(yīng)選C。27gsm01.（教材第47頁第3題改編）如下圖是兩個(gè)理想單擺的振動(dòng)圖像。以下說法正確的選項(xiàng)是（D）A.甲、乙兩個(gè)擺的擺長(zhǎng)之比為1：2B.甲擺的速度為零時(shí)，乙擺的速度最大C.甲擺的加速度最小時(shí)，乙擺的速度最小D.t=2s時(shí)，甲擺的重力勢(shì)能最小，乙擺的動(dòng)能最小解析:根據(jù)振動(dòng)圖像知，甲、乙兩個(gè)單擺的周期分別為T甲二4s,T乙二8s,由單擺的周期公式T二2n知，單擺的擺長(zhǎng)之比L甲：L乙，甲2：T72=l：4,故A錯(cuò)誤;根據(jù)振動(dòng)圖像知，甲擺的速度為零即處于最高點(diǎn)時(shí)，乙擺并未出現(xiàn)在平衡位置,其速度不是最大值，甲擺的加速度最小為零即處于最低點(diǎn)時(shí)，乙擺并不總是出現(xiàn)在最高點(diǎn),其速度并不是總為零，故B、C錯(cuò)誤;廿2s時(shí)，甲擺處在最低點(diǎn)，重力勢(shì)能最小，乙擺處在最高點(diǎn)速度為零,其動(dòng)能為零,故D正確。2.（2021?浙江杭州月考）擺長(zhǎng)是1m的單擺在某地區(qū)的周期是2s,那么在同一地區(qū)（D）A.擺長(zhǎng)是0.5m的單擺的周期是0.707sB.擺長(zhǎng)是0.5m的單擺的周期是1sC.周期是1s的單擺的擺長(zhǎng)為2mD.周期是4s的單擺的擺長(zhǎng)為4m解析:擺長(zhǎng)是1m的單擺的周期是2s,根據(jù)單擺的周期公式T二2兀R可知，當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭二萼二兀2m/s；擺長(zhǎng)是0.5m的單擺的周期T乙L=2jt口二2九X忸s=1.414s,故A、B錯(cuò)誤；周期是1s的單擺的\97n2擺長(zhǎng)12二%=*01=0.25m,周期是4s的單擺的擺長(zhǎng)L二典二二4#4#4tiz4#m=4m,故C錯(cuò)誤,D正確。3.如下圖,將擺長(zhǎng)為L(zhǎng)的單擺放在一升降機(jī)中,假設(shè)升降機(jī)以加速度a向上勻加速運(yùn)動(dòng),求單擺的擺動(dòng)周期。解析:單擺的平衡位置在豎直位置,假設(shè)擺球相對(duì)升降機(jī)靜止,那么擺球受重力mg和繩拉力F,根據(jù)牛頓第二定律F-mg二ma,此時(shí)擺球的視重mg'二F二m(g+a),所以單擺的等效重力加速度g‘二土二mg+a,因而單擺的周期為T=2hE。g+ci答案：2兀2.判斷以下擺動(dòng)模型是不是單擺,為什么？g+ci答案:模型①不是單擺,因?yàn)橄鹌そ钌扉L(zhǎng)不可忽略。模型②不是單擺,因?yàn)槔K子質(zhì)量不可忽略。模型③不是單擺,因?yàn)槔K長(zhǎng)不是遠(yuǎn)大于球的直徑。模型④不是單擺,因?yàn)閼尹c(diǎn)不固定，因而擺長(zhǎng)在發(fā)生變化。模型⑤是單擺。知識(shí)點(diǎn)二單擺的周期.定性探究單擺的振幅、質(zhì)量、擺長(zhǎng)對(duì)周期的影響⑴探究方法:控制變量法。⑵實(shí)驗(yàn)結(jié)論。①擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，周期越大。②單擺的周期與擺球質(zhì)量和振幅無去。.周期公式(1)提出：周期公式是荷蘭物理學(xué)家惠里斯首先提出的。⑵公式:單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T與擺長(zhǎng)1的二次方根成正比,與重力加速度R的二次方根成反比,而與振幅、擺球質(zhì)量無差,§PT=2兀R792020年11月24日“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器成功發(fā)射，12月1日，在月球正面預(yù)選著陸區(qū)成功著陸，12月17日，“嫦娥五號(hào)”返回器攜帶月球樣品在預(yù)定區(qū)域安全著陸,首次實(shí)現(xiàn)從月球采集樣本帶回地球,為我國(guó)探月工程中“繞、落、回”三步戰(zhàn)略畫上完美句號(hào)。假設(shè)“嫦娥五號(hào)，，將一單擺帶到月球上,請(qǐng)問其做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期與在地球上相比應(yīng)怎樣變化?為什么？答案:變大，因?yàn)樵虑蛲獗淼闹亓铀俣萭比地球的小，由T=2n2可79知，g減小,T增大。要點(diǎn)一單擺的回復(fù)力如下圖為家庭用的擺鐘的擺錘的振動(dòng)簡(jiǎn)化圖,一根細(xì)線上端固定，下端連接一個(gè)金屬小球,用手使小球偏離豎直方向一定夾角，然后由靜止釋放。探究：（1）小球在振動(dòng)過程中受到哪些力的作用？⑵小球振動(dòng)的回復(fù)力由什么力提供？⑶小球經(jīng)過平衡位置時(shí)單擺所受的合力是否為0?單擺的回復(fù)力就是單擺所受的合力嗎？答案：（1）小球受重力和細(xì)線的拉力作用。⑵回復(fù)力由重力沿圓弧切線方向的分力提供。⑶單擺的運(yùn)動(dòng)可看作圓周運(yùn)動(dòng),單擺經(jīng)過平衡位置時(shí)單擺所受的合力不為0,因?yàn)槔椭亓Φ暮狭μ峁┫蛐牧Α：狭Σ皇腔貜?fù)力。.單擺的回復(fù)力⑴擺球受力:如下圖,擺球受細(xì)線拉力和重力作用。⑵向心力來源:細(xì)線對(duì)擺球的拉力和擺球重力沿徑向的分力的合力，BPFn二F「mgcos0=m—oL⑶回復(fù)力來源:擺球重力沿圓弧切線方向的分力F=mgsin0提供了使擺球振動(dòng)的回復(fù)力。.單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的推證在擺角很小時(shí)，sin。仁。仁昌又回復(fù)力F=mgsin。，所以單擺的回復(fù)力為F二-等x（式中x表示擺球偏離平衡位置的位移,1表示單擺的擺長(zhǎng),負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F與位移x的方向相反），由此可知回復(fù)力符合F=-kx,單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。［例1］關(guān)于做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的單擺，以下說法正確的選項(xiàng)是（C）A.擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)所受合力為零B.擺球所受合力的大小跟擺球相對(duì)平衡位置的位移大小成正比C.只有在最高點(diǎn)時(shí)，回復(fù)力才等于重力和擺線拉力的合力D.擺球在任意位置處，回復(fù)力都不等于重力和擺線拉力的合力解析:擺球經(jīng)過平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，但由于擺球做圓周運(yùn)動(dòng),經(jīng)過平衡位置,合力不為零,合力提供向心力，方向指向懸點(diǎn),A錯(cuò)誤;擺球所受回復(fù)力由重力沿圓弧切線方向的分力提供,重力沿?cái)[線方向的分力與擺線對(duì)擺球的拉力的合力提供向心力，所以擺球所受合力的大小跟擺球相對(duì)平衡位置的位移大小不成正比,B錯(cuò)誤;根據(jù)牛頓第二定律可知，擺球在最大位移處時(shí),速度為零，向心加速度為零,重力沿?cái)[線方向的分力等于擺線對(duì)擺球的拉力，回復(fù)力才等于重力和擺線拉力的合力,在其他位置時(shí),速度不為零,向心加速度不為零,重力沿?cái)[線方向的分力小于擺線對(duì)擺球的拉力，回復(fù)力不等于重力和擺線拉力的合力,C正確,D錯(cuò)誤。單擺模型中的回復(fù)力與平衡位置（1）回復(fù)力不是擺球所受的合力（只有在最高點(diǎn)時(shí)回復(fù)力才等于合力）O在平衡位置,擺球的回復(fù)力為零,但合力等于擺球的向心力,指向懸點(diǎn),不為零。⑵平衡位置具有向心加速度,最高點(diǎn)處具有切向加速度,擺球均不處于平衡狀態(tài)。［即時(shí)訓(xùn)練1］（多項(xiàng)選擇）一單擺做小角度擺動(dòng),其振動(dòng)圖像如下圖，以下說法正確的選項(xiàng)是（CD）3時(shí)刻擺球速度為零，擺球的合外力為零t2時(shí)刻擺球速度最大,懸線對(duì)它的拉力最小t3時(shí)刻擺球速度為零，擺球的回復(fù)力最大時(shí)刻擺球速度最大,懸線對(duì)它的拉力最大解析：由題圖可知匕時(shí)刻擺球在正向最大位移處,速度為零，回復(fù)力最大,合外力不為零,故A錯(cuò)誤;t2、t4時(shí)刻位移為零,說明擺球在平衡位置，擺球速度最大，向心加速度最大,懸線對(duì)它的拉力最大,故B錯(cuò)誤,D正確；t3時(shí)刻擺球在負(fù)向最大位移處,速度為零，回復(fù)力最大,故C正確。要點(diǎn)二單擺的周期及其應(yīng)用惠更斯利用擺的等時(shí)性創(chuàng)造了帶擺的計(jì)時(shí)器,叫擺鐘。擺鐘運(yùn)行時(shí)克服摩擦所需的能量由重錘勢(shì)能提供,運(yùn)動(dòng)的速率由鐘擺控制。旋轉(zhuǎn)鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿?cái)[桿上下移動(dòng),如下圖。根據(jù)以上情境請(qǐng)?zhí)骄恳韵聠栴}。探究：（1）一只冬天很準(zhǔn)的擺鐘到了夏天卻不準(zhǔn)了，是走快了還是慢了？⑵怎么調(diào)節(jié)才能重新準(zhǔn)確計(jì)時(shí)？答案：（1）由冬天到夏天，擺桿變長(zhǎng),周期變大,擺鐘走慢了。⑵應(yīng)將螺母上移。.擺長(zhǎng)1⑴實(shí)際的單擺擺球不可能是質(zhì)點(diǎn)，所以擺長(zhǎng)應(yīng)是從懸點(diǎn)到擺球球心的長(zhǎng)度，即「1'+91'為擺線長(zhǎng),d為擺球直徑。⑵等效擺長(zhǎng):擺長(zhǎng)是指擺動(dòng)圓弧的圓心到擺球球心的距離。如圖：甲在垂直紙面方向擺動(dòng),其擺長(zhǎng)為l=l.sina+?;乙在垂直紙面方向擺動(dòng)，其擺長(zhǎng)為1二Lsina+l2+^o.重力加速度g（1）假設(shè)單擺系統(tǒng)只處在重力場(chǎng)中且處于靜止?fàn)顟B(tài),g由單擺所處的空間位置決定，即g二罌,式中R為物體到地心的距離,g隨所在地表的位置R乙和高度的變化而變化。另外,在不同星球上M和R一般不同,g也不同。⑵等效重力加速度:假設(shè)單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài)（如加速、減速、完全失重狀態(tài)），那么一般情況下,g值等于擺球相對(duì)靜止在自己的平衡位置時(shí)，擺線所受的張力與擺球質(zhì)量的比值。［例2］如下圖，三根細(xì)線在。點(diǎn)處打結(jié),A、B端固定在同一水平面上相距為1的兩點(diǎn)上，使AAOB成直角三角形，ZBA0=30°,0C線長(zhǎng)是1,下端C點(diǎn)系著一個(gè)直徑可忽略的小球。（1）讓小球在紙面內(nèi)小角度擺動(dòng)，求單擺的周期是多少？(2)讓小球垂直紙面小角度擺動(dòng),周期又是多少？解析：(1)讓小球在紙面內(nèi)擺動(dòng),在偏角很小時(shí),單擺做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，擺長(zhǎng)為0C的長(zhǎng)度，所以單擺的周期小2兀-o7g⑵讓小球垂直紙面擺動(dòng)，如下圖，由幾何關(guān)系可得00,二手1,等效4擺長(zhǎng)為1，=oc+oo7=1+—1,4所以周期答案：(1)211-(2)JI(4+卬7gN9涉及單擺周期問題的幾點(diǎn)考前須知(1)單擺的周期公式T=2五1中共涉及三個(gè)物理量一一周期T、擺長(zhǎng)1和當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭,只要兩個(gè)量,就可以求出第三個(gè)量。⑵改變單擺振動(dòng)周期的途徑。①改變單擺的擺長(zhǎng)。②改變單擺的重力加速度(如改變單擺的位置或讓單擺失重或超重)。⑶明確小角度情況下,單擺振動(dòng)周期與單擺的質(zhì)量和振幅無關(guān)。[即時(shí)訓(xùn)練2](2021?湖南長(zhǎng)沙聯(lián)考)把在北京調(diào)準(zhǔn)的擺鐘由北京移到赤道，那么擺鐘(B)A.變慢了，要使它恢復(fù)準(zhǔn)確,應(yīng)該增加擺長(zhǎng)B.變慢了，要使它恢復(fù)準(zhǔn)確,應(yīng)該減短擺長(zhǎng)C.變快了，要使它恢復(fù)準(zhǔn)確,應(yīng)該增加擺長(zhǎng)D.變快了，要使它恢復(fù)準(zhǔn)確,應(yīng)該減短擺長(zhǎng)解析:把調(diào)準(zhǔn)的擺鐘，由北京移至赤道,重力加速度變小,根據(jù)周期公式T=2Ji口,那么周期變長(zhǎng),鐘變慢了，要使它恢復(fù)準(zhǔn)確,應(yīng)該使T減小,即減短擺長(zhǎng)1。故A、C、D錯(cuò)誤,B正確。要點(diǎn)三單擺模型的拓展如下圖,詫為豎直面內(nèi)的光滑小圓弧（半徑為R）,且/1?R（或?qū)?yīng)圓心角NBOC很?。Ｌ骄浚海?）分析小球在詫間運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力情況。（2）小球在詫運(yùn)動(dòng)的周期為多少？答案：（1）受支持力和重力。⑵軌道支持力可以等效為單擺中的擺線拉力,故其運(yùn)動(dòng)為類單擺運(yùn)動(dòng)，等效擺長(zhǎng)為R。周期為丁二2兀艮.類單擺模型除了前面學(xué)習(xí)的單擺模型,有些物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與單擺的運(yùn)動(dòng)類似，該類物體的運(yùn)動(dòng)即為類單擺模型。.處理類單擺問題的方法⑴確認(rèn)符合類單擺模型的條件。⑵確定等效擺長(zhǎng)1。⑶確定等效重力加速度g'。（4）利用公式T二2兀三或簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律分析求解有關(guān)問題。［例3］如下圖，將小球甲、乙、丙（都可視為質(zhì)點(diǎn)）分別從A、B、C三點(diǎn)由靜止同時(shí)釋放,最后都到達(dá)豎直面內(nèi)圓弧的最低點(diǎn)D,其中甲從圓心A出發(fā)做自由落體運(yùn)動(dòng)，乙沿弦軌道從一端B（與圓心A等高）到達(dá)另一端D,丙沿圓弧軌道從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D,且C點(diǎn)很靠近D點(diǎn)。如果忽略一切摩擦阻力，那么以下判斷正確的選項(xiàng)是（A）A.甲球最先到達(dá)D點(diǎn)，乙球最后到達(dá)D點(diǎn)B.甲球最先到達(dá)D點(diǎn),丙球最后到達(dá)D點(diǎn)C.丙球最先到達(dá)D點(diǎn)，乙球最后到達(dá)D點(diǎn)D.甲球最先到達(dá)D點(diǎn),無法判斷哪個(gè)球最后到達(dá)D點(diǎn)解析:設(shè)圓的半徑為r,小球甲從A到D的過程中做自由落體運(yùn)動(dòng),所用時(shí)間tF區(qū)由幾何知識(shí)知NADB=0=45°,弦BD長(zhǎng)度為2rcos。，\9小球乙從B到D的過程中做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)加速度為geos0,所用時(shí)間t2二