5-1-1-奇數(shù)與偶數(shù)1.題庫教師版

教學(xué)目標(biāo)本講知識點屬于數(shù)論大板塊內(nèi)的“定性分析”部分，小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維模式大多為“純粹的定量計算，拿到一個題就先去試數(shù)，或者是找規(guī)律，在性質(zhì)分析層面幾乎為0，本講力求實現(xiàn)的一個主要目標(biāo)是提高孩子對數(shù)學(xué)的嚴(yán)密分析能力，培養(yǎng)孩子明白做題前有時要“先看能不能這么做，再去動手做”的思維模式。無論是小升初還是杯賽會經(jīng)常遇到，但不會單獨出題，而是結(jié)合其他知識點來考察學(xué)生綜合能力。知識點撥一、奇數(shù)和偶數(shù)的定義整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。通常偶數(shù)可以用2k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數(shù)。二、奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質(zhì)性質(zhì)1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)性質(zhì)2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)性質(zhì)3：偶數(shù)個奇數(shù)的和或差是偶數(shù)性質(zhì)4：奇數(shù)個奇數(shù)的和或差是奇數(shù)性質(zhì)5：偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)三、兩個實用的推論推論1：在加減法中偶數(shù)不改變運算結(jié)果奇偶性，奇數(shù)改變運算結(jié)果的奇偶性。推論2：對于任意2個整數(shù)a,b,有a+b與a-b同奇或同偶例題精講模塊一、奇數(shù)偶數(shù)基本概念及基本加減法運算性質(zhì)【例1】的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？【解析】在1至1993中，共有1993個連續(xù)自然數(shù)，其中997個奇數(shù)，996個偶數(shù)，即共有奇數(shù)個奇數(shù)，那么原式的計算結(jié)果為奇數(shù).【鞏固】得數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？【解析】偶數(shù)。原式中共有60個連續(xù)自然數(shù)，奇數(shù)開頭偶數(shù)結(jié)尾說明有30個奇數(shù)，為偶數(shù)個?！眷柟獭康脭?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？【解析】200至288共89個數(shù)，其中偶數(shù)比奇數(shù)多1，44個奇數(shù)的和是偶數(shù)；151至233共83個數(shù)，奇數(shù)比偶數(shù)多1，42個奇數(shù)，為偶數(shù)；偶數(shù)減去偶數(shù)仍為偶數(shù)。【例1】的計算結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)，為什么？【解析】特殊數(shù)字：“”．在這個算式中，所有做乘法運算的都是奇數(shù)偶數(shù)，所以它們的乘積都是偶數(shù)，這些偶數(shù)相加的結(jié)果還是偶數(shù)，只有是奇數(shù)，又因為奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)，所以這個題的計算結(jié)果是奇數(shù)．【鞏固】的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？【解析】在算式中，都出現(xiàn)了次，所以是偶數(shù)，而也是偶數(shù)，所以的和是偶數(shù)．【鞏固】東東在做算術(shù)題時，寫出了如下一個等式：，他做得對嗎？【解析】等式左邊是偶數(shù)，是奇數(shù)，是偶數(shù)，根據(jù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)，等式右邊是奇數(shù)，偶數(shù)不等于奇數(shù)，因此東東寫出的等式是不對的．【例2】能否在下式的“□”內(nèi)填入加號或減號，使等式成立，若能請?zhí)钊敕?，不能請說明理由（1）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝10（2）1□2□3□4□5□6□7□8□9＝27【解析】不能。很多學(xué)生拿到這個題就開始試數(shù)，試了半天也試不出來因為，這時給他講解，原式有5個奇數(shù)，無論經(jīng)加、減運算后結(jié)果一定是奇數(shù)。本小題是一個典型的奇偶性質(zhì)“先定性分析后定量計算的題目”（2）可以?；颉纠?】能否從四個3，三個5，兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22.1【解析】不能。因為不論如何選，選出的5個數(shù)均為奇數(shù)，5個奇數(shù)的和還是奇數(shù)，不可能等于22?！眷柟獭磕芊駨?、四個6，三個10，兩個14中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于44.2【解析】從性質(zhì)上看，選出5個偶數(shù)的和仍然是偶數(shù)。而從計算層面上考慮，假設(shè)等式可以成立，那么可以把題目中的數(shù)都除以2.那么本題相當(dāng)于：能否從、四個3，三個5，兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22.因為3，5，7都是奇數(shù)，而且5個奇數(shù)的和還是奇數(shù)，不可能等于偶數(shù)22，所以不能.【例4】一個自然數(shù)數(shù)分別與另外兩個相鄰奇數(shù)相乘，所得的兩個積相差150，那么這個數(shù)是多少？1【解析】由定義知道，相鄰兩個奇數(shù)相差2，那么說明150是這個未知自然數(shù)的兩倍，所以原自然數(shù)為75.【鞏固】一個偶數(shù)分別與其相鄰的兩個偶數(shù)相乘，所得的兩個乘積相差80，那么這三個偶數(shù)的和是多少？2【解析】由定義知道，相鄰兩個偶數(shù)相差2，那么80恰好是原偶數(shù)的4倍，即原來的偶數(shù)是20。而由題意知道原來的三個偶數(shù)分別18,20,22，它們的和是60?！纠?】多米諾骨牌是由塑料制成的1×2長方形，共28張，每張牌上的兩個1×1正方形中刻有“點”，點的個數(shù)分別為0，1，2，…，6個不等，其中7張牌兩端的點數(shù)一樣，即兩個0，兩個1，…，兩個6；其余21張牌兩端的點數(shù)不一樣，所謂連牌規(guī)則是指：每相鄰兩張牌必須有一端的點數(shù)相同，且以點數(shù)相同的端相連，例如：現(xiàn)將一付多米諾骨牌按連牌規(guī)則連成一條鏈，如果在鏈的一端為6點，那么在鏈的另一端為多少點?并簡述你的理由．1【解析】由連牌規(guī)則可知，在鏈的內(nèi)部各種點數(shù)均成對相連，即所有點都有偶數(shù)個，而6點的個數(shù)為8，所以在鏈的兩端一定有偶數(shù)個點，所以鏈的另一端也應(yīng)為6．【鞏固】一條線段上分布著n個點，這些點的顏色不是黑的就是白的，它們將線段分為n+1段，已知線段兩端的兩個點都是黑的，而中間的每一個點的兩邊各有一黑一白.那么白點的數(shù)目是奇數(shù)還是偶數(shù)？2【解析】因為中間的每一個點的兩邊各有一黑一白，所以所有的點一定是兩個黑點、兩個白點依次相鄰（除了首尾可能出現(xiàn)一個黑點），所以白點都是成對出現(xiàn)的.所以白點的個數(shù)為偶數(shù).模塊二、奇偶運算性質(zhì)綜合及代數(shù)分析法【例6】是否存在自然數(shù)a和b，使得ab(a＋b)=115?1【解析】不存在。此類問題引導(dǎo)學(xué)生接觸分類討論的基本思想，即2個自然數(shù)在奇偶性的組合上只有3種情況，“2奇0偶，1奇1偶，0奇2偶”，可以分別討論發(fā)現(xiàn)均不成立?！眷柟獭渴欠翊嬖谧匀粩?shù)a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？2【解析】不存在。可以分情況來討論：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。但是比較繁瑣，可以根據(jù)45327是一個奇數(shù)，只有奇數(shù)乘以奇數(shù)才能得到，所以a-b、b-c、a-c都為奇數(shù)，再根據(jù)奇偶性進行判斷?！眷柟獭縜、b、c三個數(shù)的和與它們的積的和為奇數(shù)，問這三個數(shù)中最多可以有幾個奇數(shù)？3【解析】根據(jù)題目內(nèi)容，可以列出所要討論的式子為。則接下來可以分類討論3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶四種情況。經(jīng)驗證如果要滿足上式結(jié)果為奇數(shù)，那么可以發(fā)現(xiàn)最多只能有1個奇數(shù)?！纠?】已知a,b,c中有一個是511，一個是622，一個是793。求證：是一個偶數(shù)1【解析】因為在a,b,c中有2個是奇數(shù)，1個是偶數(shù)，那么說明a,c兩個數(shù)中至少有一個是奇數(shù)，那么和中至少有一個是偶數(shù)，所以中至少有一個因數(shù)是偶數(shù)，結(jié)果為偶數(shù).【鞏固】小紅寫了四個不同的非零整數(shù)a,b,c,d，并且說這四個整數(shù)滿足四個算式：但是小明看過之后立刻說小紅是錯的，根不不存在這樣的四個數(shù)，你能證明小明的結(jié)論嗎？2【解析】由小紅的提出的等式組，我們可以得到，，，，發(fā)現(xiàn)如果每個等式的結(jié)果都是一個奇數(shù)，那么要求四個數(shù)都是奇數(shù)，因為只有奇數(shù)與奇數(shù)相乘才能得奇數(shù)，這樣中任意三個數(shù)的乘積也為奇數(shù)，導(dǎo)致等四個差均為偶數(shù)，乘積結(jié)果只能得偶數(shù)，發(fā)生矛盾?！纠?】設(shè),,,,,,都是整數(shù)，試說明：在中，必有奇數(shù)個偶數(shù)．【解析】加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)決定和的奇偶性，反過來，和的奇偶性由加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)決定，所以我們考慮這7個數(shù)的和．，和是偶數(shù)，,,,,,,中，必有偶數(shù)個奇數(shù)，因而必有奇數(shù)個偶數(shù)．【例3】有四個互不相等的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4，數(shù)與最大數(shù)的乘積是一個奇數(shù)，而這四個數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)．求這四個數(shù)．【解析】入手點：最小的兩位奇數(shù)是，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積是一個奇數(shù)可得最小數(shù)和最大數(shù)都是奇數(shù)．首先由這四個數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，可知這四個自然數(shù)的和是．其次，由最小數(shù)與最大數(shù)的乘積是一個奇數(shù)，可知最小數(shù)與最大數(shù)都是奇數(shù)．由，，可以推導(dǎo)出這四個互不相等的自然數(shù)分別是：，，，．【例4】甲、乙兩個哲人將正整數(shù)5至11分別寫在7張卡片上．他們將卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三張，乙取走兩張．剩下的兩張卡片，他們誰也沒看，就放到麻袋里去了．甲認真研究了自己手中的三張卡片之后，對乙說：“我知道你的兩張卡片上的數(shù)的和是偶數(shù)．”試問：甲手中的三張卡片上都寫了哪些數(shù)？答案是否唯一．【解析】甲手中的8張卡片上分別寫了6，8和10．甲知道其余張卡片上分別寫了哪些數(shù)，但不知道它們之中的哪兩張落到了乙的手中．因此，只有在它們之中任何兩張卡片上的數(shù)的和都是偶數(shù)時，甲才能說出自己的斷言．而這就意味著，這4張卡片上所寫的數(shù)的奇偶性相同，亦即或者都是偶數(shù)，或者都是奇數(shù)．但是由于一共只有3張卡片上寫的是偶數(shù)，所以它們不可能都是偶數(shù)，從而只能都是奇數(shù)．于是3張寫著偶數(shù)的卡片全都落入甲的手中．答案是唯一的．【例5】甲同學(xué)一手握有寫著23的紙片，另一只手握有寫著32的紙片．乙同學(xué)請甲回答如下一個問題：“請將左手中的數(shù)乘以3，右手中的數(shù)乘以2，再將這兩個積相加，這個和是奇數(shù)還是偶數(shù)？”當(dāng)甲說出和為奇數(shù)時，乙馬上就猜出寫有23的紙片握在甲的左手中．你能說出是什么道理嗎？【解析】甲的兩張紙片，23是奇數(shù)，32是偶數(shù)．因此，只要能判斷出甲的左手中握的是奇數(shù)，即可知左手的是23．設(shè)甲左手握的數(shù)為，右手握的數(shù)為，乙同學(xué)請甲計算所得結(jié)果為，則．⑴若為奇數(shù)，則為奇數(shù)，所以左手握的數(shù)是奇數(shù)．⑵若為偶數(shù)，則為偶數(shù)，所以左手握的數(shù)是偶數(shù)．因此，從的奇偶性就可以斷定左手握的數(shù)的奇偶性，從而確定左手握的數(shù)是23還是32．在本題中，為奇數(shù)，因此合于第(1)種情況，是奇數(shù)，即左手中握的是23．【例6】在一張行列的方格紙上，把每個方格所在的行數(shù)和列數(shù)加起來，填在這個方格中，例如．問：填入的個數(shù)字中是奇數(shù)多還是偶數(shù)多？【解析】此題如果按步就班地把每個格子的數(shù)算出來，再去數(shù)一數(shù)奇數(shù)和偶數(shù)各有多少．然后得出奇數(shù)和偶數(shù)哪個多，哪個少的結(jié)論．顯然花時間很多，不能在口試搶答中取勝．我們應(yīng)該從整體上去比較奇偶數(shù)的多少．易知奇數(shù)行偶數(shù)多一個，偶數(shù)行奇數(shù)多個．所以前行中奇偶數(shù)一樣，余下第行奇數(shù)行，答案可脫口而出．偶數(shù)多．【鞏固】如果把每個方格所在的行數(shù)和列數(shù)乘起來，填在這個方格，例如：．問填入的81個數(shù)中是奇數(shù)多還是偶數(shù)多？【解析】奇數(shù)行奇數(shù)多1個，偶數(shù)行全是偶數(shù)，顯然偶數(shù)多。模塊三、奇偶模型與應(yīng)用題【例7】試找出兩個整數(shù)，使大數(shù)與小數(shù)之和加上大數(shù)與小數(shù)之差，再加上等于．如果找得出來，請寫出這兩個數(shù)，如果找不出來，請說明理由．【解析】因為兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差的奇偶性相同，所以的和是偶數(shù)．由結(jié)論三可知，這兩數(shù)之和與這兩數(shù)之差的和為偶數(shù)，再加1000還是偶數(shù)，所以它們的和不能等于奇數(shù)1999．【例8】你能不能將自然數(shù)1到9分別填入3×3的方格表中，使得每一行中的三個數(shù)之和都是偶數(shù)【解析】不能。此題學(xué)生容易想到九宮格數(shù)陣問題，其實不是。1到9中共有5個奇數(shù)，分別分成3組后會分布在每一行里面，也就是說要想實現(xiàn)每一行都是偶數(shù)，就需要每一行都有偶數(shù)個奇數(shù)，從而需要三行奇數(shù)的和是偶數(shù)，但是現(xiàn)在僅有5個奇數(shù)，所以無法填入?！眷柟獭磕隳懿荒軐⒄麛?shù)數(shù)0到8分別填入3×3的方格表中，使得每一行中的三個數(shù)之和都是奇數(shù)?【解析】不能。分析過程與例7類似?！纠?】任意交換某個三位數(shù)的數(shù)字順序，得到一個新的三位數(shù)，原三位數(shù)與新三位數(shù)之和能否等于999？【解析】不能。2個三位數(shù)的和為999，說明在兩個數(shù)相加時不產(chǎn)生任何進位。如果不產(chǎn)生進位說明兩個三位數(shù)的數(shù)字之和相加求和，就會等于和的數(shù)字之和，這是一個今后在數(shù)字謎中的常用結(jié)論。那么999的數(shù)字之和是27，而原來的2個三位數(shù)經(jīng)調(diào)換數(shù)字順序后數(shù)字之和是不會變的，若以a記為其中一個三位數(shù)的數(shù)字之和，那么另一個也為a，則會有2a=27的矛盾式子出現(xiàn)。說明原式不成立?！眷柟獭績蓚€四位數(shù)相加，第一個四位數(shù)每個數(shù)碼都小于5，第二個四位數(shù)僅僅是第一個四位數(shù)的四個數(shù)碼調(diào)換了位置，兩個數(shù)的和可能是7356嗎？為什么？【解析】不能。本題為上一例題的拓展練習(xí)。【例10】有一串?dāng)?shù)，最前面的四個數(shù)依次是1、9、8、7。從第五個數(shù)起，每一個數(shù)都是它前面相鄰四個數(shù)之和的各位數(shù)字，那么在這一串?dāng)?shù)中，會依次出現(xiàn)1、9、8、8這四個數(shù)嗎？【解析】不會。觀察前4個數(shù)，奇偶性排列次序為奇奇偶奇，而一個數(shù)的奇偶性僅與它的個位數(shù)字有關(guān)，所以之后的第5個數(shù)為奇數(shù)，第6個為偶數(shù)，第7個為奇數(shù)，第8個為奇數(shù)，整體的出現(xiàn)規(guī)律為奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶……，所以不肯能有兩個連續(xù)的偶數(shù)，所以1、9、8、8不會出現(xiàn)?！眷柟獭繑?shù)列，，，，，，，，，，的排列規(guī)律是前兩個數(shù)是，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是它前兩個數(shù)的和，這個數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列，在斐波那契數(shù)列前個數(shù)中共有幾個偶數(shù)？【解析】三個一組三個一組看，可以發(fā)現(xiàn)奇數(shù)，偶數(shù)交替變化的規(guī)律．可以發(fā)現(xiàn)有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇偶…這樣的變化規(guī)律，因為，所以前個數(shù)有個偶數(shù).【鞏固】黑板上寫著兩個數(shù)1和2，按下列規(guī)則增寫新數(shù)，若黑板有兩個數(shù)a和b，則增寫a×b＋a＋b這個數(shù)，比如可增寫5（因為1×2＋1＋2＝5）增寫11（因為1×5＋1＋5＝11），一直寫下去，問能否得到2008，若不能，說明理由，若能則說出最少需要寫幾次得到？【解析】黑板上的數(shù)起初為一奇一偶，按照規(guī)則增寫出的第三個數(shù)一定是一個奇數(shù)，第四個數(shù)如果選擇仍由一奇一偶寫出來的，那么仍然是奇數(shù)；另一種可以選擇兩個奇數(shù)開始，那么“奇×奇＋奇＋奇=奇”，所以不論如何增寫，新增的數(shù)一定是奇數(shù)，所以不可能出現(xiàn)2008?！纠?1】在一次聚會時，朋友們陸續(xù)到來，見面時，有些人互相握手問好．主人很高興，笑著說：“不論你們怎樣握手，你們之中，握過奇數(shù)次手的人必定有偶數(shù)個．”請你想一想，主人為什么這么說，他有什么理由呢？【解析】⑴握偶數(shù)次手的人：不管奇數(shù)個人還是偶數(shù)個人．總次數(shù)偶數(shù)次人數(shù)偶數(shù)⑵握奇數(shù)次手的總次數(shù)握手總次數(shù)由于是兩人互送賀年卡，給每人分別標(biāo)記送出賀年卡一次．那么賀年卡的總張數(shù)應(yīng)能被整除，所以賀年卡的總張數(shù)應(yīng)是偶數(shù)．送賀年卡的人可以分為兩種：一種是送出了偶數(shù)張賀年卡的人：他們送出賀年卡總和為偶數(shù)．另一種是送出了奇數(shù)張賀年卡的人：他們送出的賀年卡總數(shù)所有人送出的賀年卡總數(shù)-所有送出了偶數(shù)張賀年卡的人送出的賀年卡總數(shù)偶數(shù)偶數(shù)【解析】不能，杯子要翻過來得翻奇數(shù)次，5個杯子都要翻過來，要把所有杯子都翻過來則總共需要翻動奇數(shù)次杯子，而每次同時翻動4個，那總次數(shù)是偶數(shù)，奇數(shù)不可能等于偶數(shù)，因此不能把5個杯子的開口全都向下．【鞏固】桌子上有6只開口向上的杯子，每次同時翻動其中的4只杯子，問能否經(jīng)過若干次翻動，使得全部杯子的開口全都向下？【解析】杯子要翻過來得翻奇數(shù)次，6個杯子都要翻過來，則總共需要翻動(6×奇數(shù))偶數(shù)次杯子；按規(guī)定每次同時翻動4只杯子，因為4是偶數(shù)，所以翻動有限次后，翻動次數(shù)的總和也是偶數(shù)．因此有可能經(jīng)過有限次翻動，使得全部杯子的開口全都向下．【例13】在8個房間中，有7個房間開著燈，1個房間關(guān)著燈．如果每次撥動4個不同房間的開關(guān)，能不能把全部房間的燈都關(guān)上？為什么？【解析】按要求每次撥動4個不同房間的開關(guān)，而4是偶數(shù)，所以，這樣的一次操作，撥動房間開關(guān)次數(shù)是偶數(shù)．那么經(jīng)過有限次撥動后，撥動各房間開關(guān)次數(shù)總和是偶數(shù)．可是，要使7個房間的燈由開變?yōu)殛P(guān)，需要撥動各個房間開關(guān)奇數(shù)次；第8個房間的開關(guān)仍為關(guān)，需要這個房間撥動開關(guān)偶數(shù)次．這樣，需要撥動開關(guān)的總次數(shù)是奇數(shù)個奇數(shù)與一個偶數(shù)的和，是奇數(shù)．所以按照要求不能把全部房間的燈關(guān)上．【鞏固】沿著河岸長著8叢植物，相鄰兩叢植物上所結(jié)的漿果數(shù)目相差1個．問：8叢植物上能否一共結(jié)有225個漿果?說明理由．【解析】不能。本題為俄羅斯小學(xué)生奧數(shù)競賽題，可以給學(xué)生介紹。相鄰的兩個植物果實數(shù)目差1個意味著相鄰2個植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果實為奇數(shù)個，總和一定為偶數(shù)，不能為225.【例14】四個人一道去郊游，他們年齡的和是97歲，最小的一人只有10歲，他與年齡最大的人的歲數(shù)和比另外兩人歲數(shù)的和大7歲．問：⑴年齡最大的人是多少歲？⑵另外兩人的歲數(shù)的奇偶性相同嗎？【解析】先將四個人的歲數(shù)暫時分為兩組進行分析，如果將97歲減去7歲，則兩組人的歲數(shù)和相等（可以按照和差問題求出大小數(shù)），然后再求出年齡最大的人的歲數(shù)，再說明另外兩人的歲數(shù)的奇偶性．⑴另外兩人的歲數(shù)和是：（歲）年齡最大的人的歲數(shù)：（歲）⑵因為另外兩人的年齡和是45歲，是一個奇數(shù)，那么他們中一個的歲數(shù)是奇數(shù)，另一個人的歲數(shù)是偶數(shù)，也就是他們的歲數(shù)的奇偶性不同．【例15】在“”的方格中放棋子，每格至多放枚棋子．若要求行、列、條斜線（如圖所示）上的棋子數(shù)均為偶數(shù)．那么“”的方格中最多可以放多少枚棋子？【解析】如圖，觀察向左下傾斜的15條斜線，其中的方格數(shù)依次是：1，2，3，，7，8，7，，3，2，1，其中有8個奇數(shù)，表明有8條斜線中必須至少缺一個棋子．同理右下傾斜的斜線中，也有8條必須缺一個棋子．這樣，總共至少缺16個子．下圖表明缺16個棋子的時候是可以辦到的，其中黑點占據(jù)的空格表示不放棋子的空格．【例16】有8個棱長是1的小正方體，每個小正方體有三組相對的面，第一組相對的面上都寫著數(shù)字1，第二組相對的面上都寫著數(shù)字2，第三組相對的面上都寫著數(shù)字3(如圖)．現(xiàn)在把這8個小正方體拼成一個棱長是2的大正方體.。問：是否有一種拼合方式，使得大正方體每一個面上的4個數(shù)字之和恰好組成6個連續(xù)的自然數(shù)?【解析】假設(shè)滿足條件的大正方體ABCD－EFGH可以拼成(見圖2)，即它的每個面上的4個數(shù)字之和恰好組成6個連續(xù)的自然數(shù)．那么這個大正方體的六個面上的24個數(shù)字之和S就等于這6個連續(xù)自然數(shù)之和．又因為，6個連續(xù)自然數(shù)之中必有三個偶數(shù)、三個奇數(shù)，所以6個連續(xù)自然數(shù)之和必是奇數(shù)，即S是奇數(shù)．另一方面，考慮大正方體的8個頂點A、B、C、D、E、F、G、H，它們分別是一個小正方體的頂點．由于，交于這些頂點的小正方體的三個面互不相對，因此，在這三個面上所寫的3個數(shù)字分別為1、2、3．這樣大正方體的六個面上的24個數(shù)之和S=8×(1＋2＋3)=48．即S又應(yīng)該是偶數(shù)．所以這是不可能的．【例17】圓桌旁坐著2k個人，其中有k個物理學(xué)家和k個化學(xué)家，并且其中有些人總說真話，有些人則總說假話．今知物理學(xué)家中說假話的人同化學(xué)家中說假話的人一樣多．又當(dāng)問及：“你的右鄰是什么人”時，大家全部回答：“是化學(xué)家．”那么請你證明：k為偶數(shù)．【解析】由題目條件可發(fā)現(xiàn)不僅物理學(xué)家與化學(xué)家總?cè)藬?shù)相同，其中說真話與說假話的人數(shù)也分別相同，如果有a個物理學(xué)家說謊，同時也會有a個化學(xué)家說謊。所以總共有2a個人說謊。而最后發(fā)現(xiàn)有k個物理學(xué)家的身份被說謊的人改變了，每一個人只能影響有右鄰的人，說明有k個說謊的人，那么k=2a，則說明k是偶數(shù)。【例18】有一個袋子里邊裝著紅、黃、藍三種顏色的球，現(xiàn)在小峰每