AR,MA,ARIMA模型介紹和案例分析范文

..BOX-JENKINS預(yù)測法適用于平穩(wěn)時序的三種基本模型〔1模型〔AutoregressionModel——自回歸模型階自回歸模型：y式中,yt為時間序列第t時刻的觀察值,即為因變量或稱被解釋變量；yt-1,yt-2，?，yt-p為時序yt的滯后序列,這里作為自變量或稱為解釋變量；et〔2模型〔MovingAverageModel——移動平均模型階移動平均模型：式中,為時間序列的平均數(shù),但當序列在0上下變動時,顯然=0,可刪除此項；,,,…,為模型在第期,第期,…,第期的誤差；,,…,為待估的移動平均參數(shù)。〔3模型——自回歸移動平均模型〔AutoregressionMovingAverageModel模型的形式為：顯然,模型為自回歸模型和移動平均模型的混合模型。當=0,時,退化為純自回歸模型；當=0時,退化為移動平均模型。改進的ARMA模型〔1模型這里的是對原時序進行逐期差分的階數(shù),差分的目的是為了讓某些非平穩(wěn)〔具有一定趨勢的序列變換為平穩(wěn)的,通常來說的取值一般為0,1,2。對于具有趨勢性非平穩(wěn)時序,不能直接建立模型,只能對經(jīng)過平穩(wěn)化處理,而后對新的平穩(wěn)時序建立模型。這里的平文化處理可以是差分處理,也可以是對數(shù)變換,也可以是兩者相結(jié)合,先對數(shù)變換再進行差分處理?！?模型對于具有季節(jié)性的非平穩(wěn)時序〔如冰箱的銷售量,羽絨服的銷售量,也同樣需要進行季節(jié)差分,從而得到平穩(wěn)時序。這里的即為進行季節(jié)差分的階數(shù)；分別是季節(jié)性自回歸階數(shù)和季節(jié)性移動平均階數(shù)；為季節(jié)周期的長度,如時序為月度數(shù)據(jù),則=12,時序為季度數(shù)據(jù),則=4。在SPSS19.0中的操作如下必須要先打開一個數(shù)據(jù)源,才可以定義日期數(shù)據(jù)定義日期選擇日期的起始點,此時變量欄中會出現(xiàn)日期變量?！?模型在模型中,再加入除自身滯后時序變量以外的解釋變量。模型的識別模型的識別的本質(zhì)是確定中的以及與的取值。借助于自相關(guān)函數(shù)〔AutocorrelationFunction,ACF以及自相關(guān)分析圖和偏自相關(guān)函數(shù)〔PartialCorrelationFunction,PACF以及偏自相關(guān)分析圖來識別時序特性,并進一步確定、、、。自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)是時間序列諸項之間的簡單相關(guān)。它的含義與相關(guān)分析中變量之間的簡單相關(guān)一樣,只不過它所涉及的是同一序列自身,因而稱作自相關(guān)。自相關(guān)程度的大小,用自相關(guān)系數(shù)度量。式中,為樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)；為滯后期；為樣本數(shù)據(jù)平均值。自相關(guān)系數(shù),可看作自變量的函數(shù),即自相關(guān)函數(shù)。它表示時間序列滯后個時間段的兩項之間相關(guān)的程度。如表示每相鄰兩項間的相關(guān)程度；表示每隔一項的兩個觀察值得相關(guān)程度。隨機序列自相關(guān)系數(shù)的抽樣分布,近似于以0為均值,為標準差的正態(tài)分布。自相關(guān)系數(shù)的95%置信區(qū)間為,此處。如果一個時間序列的自相關(guān)系數(shù)全部落入這個區(qū)間,則認為該序列是純隨機序列。將時間序列的自相關(guān)系數(shù)繪制成圖,并標出一定的置信區(qū)間〔通常采用倍標準差作為置信區(qū)間的兩個端點,被稱作自相關(guān)分析圖。SPSS19.0中的操作輸入變量數(shù)據(jù)；定義時間序列日期〔數(shù)據(jù)定義日期分析預(yù)測自相關(guān)〔如下；將要分析的變量從左側(cè)移入右側(cè)變量框中勾選自相關(guān)、偏自相關(guān),轉(zhuǎn)換暫時不選〔如果為非平穩(wěn)序列,可勾選差分/自然對數(shù)轉(zhuǎn)換,其中差分的階數(shù)需要根據(jù)自相關(guān)圖形來確定,通常為0,1,2未進行差分處理,由圖可知幾乎一半的自相關(guān)系數(shù)未進入置信區(qū)間,說明該序列非平穩(wěn),此時需要進行差分處理,即在重復(fù)第2步時,差分選項選擇1或2。偏自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)是時間序列,在給定了的條件下,與之間的條件相關(guān)。由于它需要考慮排除其他滯后期的效應(yīng),因而被稱為偏自相關(guān)。偏自相關(guān)系數(shù)計算公式如下。偏自相關(guān)系數(shù),可看作自變量的函數(shù),即偏自相關(guān)函數(shù),。它用以測量當剔除其他滯后期〔的干擾的條件下,與之間相關(guān)的程度。與自相關(guān)系數(shù)類似,同樣可以采用偏自相關(guān)分析圖來對模型進行識別。ARIMA模型的參數(shù)確定Step1：判斷時序是否平穩(wěn),若不平穩(wěn),經(jīng)過若干次逐期差分或季節(jié)差分使其平穩(wěn),則可確定和。對于社會經(jīng)濟現(xiàn)狀,一般和的數(shù)值取0,1或2。若自相關(guān)系數(shù)ACF隨著滯后期〔一般設(shè)為16增大,而迅速趨于0,則認為該時序是平穩(wěn)的。若自相關(guān)系數(shù)ACF隨著滯后期增大,自相關(guān)系數(shù)ACF不趨于0,則認為該時序是非平穩(wěn)的。更具體地說,若隨著時滯的增大,自相關(guān)系數(shù)ACF緩慢減小,說明隨著序列兩項間隔的提前,相關(guān)程度變?nèi)?則序列具有趨勢性；若對于季度數(shù)據(jù)或月度數(shù)據(jù),當滯后期為4〔或12,8〔24等時,自相關(guān)系數(shù)ACF顯著地部位0,即在隨機區(qū)間之外,則意味著該時序具有季節(jié)性。如果時序具有趨勢性,那么需要進行逐期差分,由逐期差分的次數(shù)決定的取值；如果序列具有季節(jié)性,那么要進行季節(jié)差分,由季節(jié)差分次數(shù)決定的值。左側(cè)圖形為未經(jīng)過差分處理的某城市農(nóng)村居民收入的ACF圖,可以看出自相關(guān)系數(shù)并未迅速趨于0,說明該時序是非平穩(wěn)的。右側(cè)為該序列的線性圖,也正說明了該時序是有明顯的上升趨勢的,需要進行差分處理。Step2：經(jīng)差分平穩(wěn)后,確定時序所適合的模型,其依據(jù)如下表所示。序列特征表模型自相關(guān)函數(shù)拖尾指數(shù)衰減和〔或正弦衰減截尾拖尾指數(shù)衰減和〔或正弦衰減偏自相關(guān)函數(shù)截尾〔階拖尾指數(shù)衰減和〔或正弦衰減拖尾指數(shù)衰減和〔或正弦衰減關(guān)于的取值當不包括時滯〔或4,24〔或8,取落入隨機區(qū)間之外的偏相關(guān)系數(shù)PACF的個數(shù)或與0有顯著差異的PACF的個數(shù),取落入隨機區(qū)間之外的自相關(guān)系數(shù)ACF的個數(shù)或與0有顯著差異的ACF的個數(shù)。當僅觀察時滯〔或4,24〔或8,取顯著不為0的PACF的個數(shù),取顯著不為0的季節(jié)自相關(guān)數(shù)目。案例分析數(shù)據(jù)準備某城市農(nóng)村居民收入數(shù)據(jù)〔1980-2015年單位：元1980261.001992792.1820044027.031981274.001993938.4520054465.991982291.0019941312.2420064845.351983312.0019951655.0020075623.241984344.0019961989.5720086627.261985362.0019972218.8920096627.001986382.0019982199.3820107182.531987421.0019992840.1020119104.001988504.0020002941.8020128864.851989557.0020012981.78201310013.031990659.0020023048.55201411547.001991685.7120033208.84201512736.00 對36年農(nóng)村居民收入建立B-J模型,并預(yù)測2016年的收入情況。時序分析Step1：將數(shù)據(jù)輸入到SPSS19.0中,并定義變量的精度為小數(shù)點后兩位；Step2：定義日期。數(shù)據(jù)——定義日期——輸入"1980"因為本次數(shù)據(jù)沒有季節(jié)性,所以只需要選擇年份為1980年,如下圖。Step3：繪制其時序圖,觀察其是否平穩(wěn)。分析——預(yù)測——序列圖此時可以看出該曲線有明顯上升趨勢,為非平穩(wěn)序列,需要進行差分平穩(wěn)化。同時,也可以繪制自相關(guān)圖形〔操作：分析——預(yù)測——自相關(guān)來觀察其趨勢,如下圖。由上面自相關(guān)系數(shù)圖可知,隨著延遲數(shù)目的增加,系數(shù)并沒有顯著的趨近于0,且許多數(shù)值較大的系數(shù)落在了置信區(qū)間之外,說明該時間序列并非平穩(wěn)的。差分平穩(wěn)化對時間序列進行差分平穩(wěn),并繪制相關(guān)系數(shù)圖和偏自相關(guān)系數(shù)圖如下。操作為：分析——預(yù)測——自相關(guān)〔勾選：1階差分從右側(cè)圖形可以看出,在滯后期k=3之后,自相關(guān)函數(shù)衰減,并且均在置信區(qū)間范圍之內(nèi),因此可以認為該序列平穩(wěn)了。再觀察變換后的序列的偏自相關(guān)函數(shù)圖,如下圖。其中=0.437較大,其他并沒有明顯趨于0,可以認為在K=3后拖尾,而自相關(guān)函數(shù)可以看做是K=3后截尾,也可以看做為拖尾?！沧酝?偏拖——ARIMA模型,〔自截,偏拖——MA模型,因此,經(jīng)過一階差分變換后的農(nóng)村居民收入所選定的模型為或。分別對兩個模型進行擬合和預(yù)測,比較其精度。建立ARIMA模型ARIMA〔3,1,3模型Step1：菜單欄：分析——預(yù)測——創(chuàng)建模型在變量欄中,將農(nóng)村居民收入移入因變量框中；方法選擇ARIMA模型,點擊右側(cè)"條件",輸入自回歸,差分和移動平均數(shù)的值。Step2：確定輸出的統(tǒng)計量和相關(guān)信息。其中擬合值和置信區(qū)間可備選,根據(jù)需要選擇。如果需要預(yù)測下一年的數(shù)據(jù)值,必須要在變量欄中的時間變量下再加入一個年份值,否則不會顯示預(yù)測值,如下圖。模型結(jié)果分析可以看到模型的R平方為0.990,平穩(wěn)的R方為0.493,說明模型的擬合效果較好