2018年高中數(shù)學 黃金100題系列 第72題 與圓有關的最值問題 理

第72題與圓有關的最值問題精彩解讀【試題來源】精彩解讀【試題來源】人教A版必修2P]4!組T6.【母題評析】本題考查圓的有關最值問題，考查考生的分析問題、解決問題的能力．【思路方法】結(jié)合圓的有關幾何性質(zhì)解題．【例1】已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25,直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,m為任意實數(shù).求證：直線l恒過定點；判斷直線l被圓截C得的弦何時最長、何時最短？并求截得的弦長最短時m的值以及最短長度.【答案】(1)(3，1);(2)——,45-4【解析】(1)直線l的方程經(jīng)過整理得(2x+y-7)m+(x+y-4)=0.由于m的任意性，于是有[2x+y-7,「x=3,{,解此方程組，得{4,即直線l恒過定點[x+y-4.卜=1D(3,1)．(2)因為直線l恒過圓C內(nèi)一點D,所以當直線l經(jīng)過圓心C時被截得的弦最長，它是圓的直徑；當直線l垂直于CD時被截得的弦長最短.由C(1,2),D(3,1),可知直線CD的斜率為kCD=-2,故當直線l被圓C截得的弦長最短時，直線l的斜率2m+13為2，于是有-=2，解得m=-了，此時直線l的方程為m+14y—1=2(x—3)，即2x—y—5=0。又CD=￡(1-31+(2-11=養(yǎng)，最短弦長為2J25-5=4啟。直線l被圓C截得的弦最短時m的值為—3，最短長度是4-5。4II?考場精彩?真題回放【命題意圖】本類題主要考查點與圓、直線與圓、圓與圓位置關系，以及考查邏輯思維能力、運算求解能力、數(shù)形結(jié)合的能力、方程思想的【例2】【2017高考江蘇卷】在平面直角坐標系xOy【命題意圖】本類題主要考查點與圓、直線與圓、圓與圓位置關系，以及考查邏輯思維能力、運算求解能力、數(shù)形結(jié)合的能力、方程思想的A(-12,0)，B(0,6)，點p在圓O:x2+y2=50上.若所以點所以點P(x°,y°)在圓O:x2+y2二50上，且在直線cucx2+y2=502x-y+5=0的左上方(含直線).聯(lián)立仁=門，得2x—y+5=0x]=-5，x2=1，如圖所示，結(jié)合圖形知x0G—5J2，1.故填卜久'2，1].PA-PB?20，則點P的橫坐標的取值范圍是【答案】[-5,21]【解析】不妨設p（x，人），則兀：+yo=50，且易知xG0因為PA-PB=AP-BP=（x+12,y）?（x,y-6）=0000x2+12x+y2-6y=50+12x—6y?20，故0'000'002x0-y0+5?0

應用．【考試方向】這類試題考查根據(jù)給定直線、圓方程判斷點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系，同時考查通過數(shù)形結(jié)合思想、充分利用圓的幾何性質(zhì)解決圓的切線、圓的弦長等問題．在考查形式上，主要要以選擇題、填空題為主，也有時會出現(xiàn)在解答題中，中檔題．【難點中心】1．直線與圓的位置關系的判斷方法幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑長r的大小關系來判斷.若d>r，則直線與圓相離；若d=r，則直線與圓相切；若d<r，則直線與圓相交.(2)代數(shù)法2．點與圓、圓與圓位置關系的判斷方法，類似的也有幾何法和代數(shù)法兩種；3．比較圓心距與兩個圓的半徑和與半徑差的大小關系，特別是遇到參數(shù)問題時，如何建立等式或不等式是一個難點．【例3【2015高考江蘇卷】在平面直角坐標系xOy中,以點(1,0)為圓心且與直線mx-y-2m-1=0(mgR)相切的所有圓中,半徑最大的圓的標準方程為.【答案】(x-1)2+y2=2【解析】解法一(幾何意義)動直線mx-y―2m―1=0整理得m(x-2)-(y+1)=0，則1經(jīng)過定點M(2,-1)，故滿足題意的圓與l切于M時，半徑最大，從而

r=、;(2—1)2+(―1—0=*2,故標準方程為(x—1)2+y2=2.解法二(代數(shù)法——基本不等式)：m2+2m+1m2+2m+1m2+11+王m2+1由題意r=d==m2+12，當且僅當m1+m2，當且僅當m1+m+m=1時,““=”.故標準方程為(x—1)2+y2=2.解法代數(shù)法判別式)：由題—m—11r=d=.|m2解法代數(shù)法判別式)：由題—m—11r=d=.|m2+2m+1m2+1m2+2m+1,設t=m2+1(t一1)m2一2m+t一1=0?.A=(—2)2—4(t—1)2>0，解得0<t<2,d八2.max【例4】【2015高考廣東卷】已知過原點的動直線l與圓C:x2+y2—6x+5=0相交于不同的兩點A,B.1求圓C1的圓心坐標；求線段AB的中點M的軌跡C的方程；是否存在實數(shù)k，使得直線1:y=k(x-4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由.答案】(1)(3,0)ke9f5—<x4133)【解析】(1)由x2+y2—6x+5=0得(x—3)2+y2=4，所以圓-的圓心坐標為(3,0)；(2)設M(x,y).因為點M為弦AB中點，即C1M丄AB，所以k中血B=一1，即土f=一1，所以線段AB的中點Mx——+y2=——VxI12丿411丿的軌跡的方程為為圓心，r=2為圓心，r=2為半由(2)知點M的軌跡是以C-,0<2丿徑的部分圓弧EF(不包括兩端點)，且EF|，—乎.又直線1:y二k(x-4)過定點D(4,0),當直線1與圓C相切時，由k2+120-=-kDE4‘4時，直線1DE4‘4時，直線1:y二k(x-4)與曲線C只有一個交點.III?理論基礎?解題原理考點一與截距有關的圓的最值問題形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.考點二與斜率有關的圓的最值問題y-b形如卩=形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題.x-a考點三與距離有關的圓的最值問題在運動變化中，動點到直線、圓的距離會發(fā)生變化，在變化過程中，就會出現(xiàn)一些最值問題，如距離最小，最大等．這些問題常常聯(lián)系到平面幾何知識，利用數(shù)形結(jié)合思想可直接得到相關結(jié)論，解題時便可利用這些結(jié)論直接確定最值問題．常見的結(jié)論有：(1)圓外一點A到圓上距離最近為|AO|—r，最遠為|AO|+r；過圓內(nèi)一點的弦最長為圓的直徑，最短為該點為中點的弦；直線與圓相離，則圓上點到直線的最短距離為圓心到直線的距離d+r，最近為d-r；過兩定點的所有圓中，面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓的面積．直線外一點與直線上的點的距離中，最短的是點到直線的距離；兩個動點分別在兩條平行線上運動，這兩個動點間的最短距離為兩條平行線間的距離．考點四與面積相關的最值問題與圓有關的最值問題，因與平面幾何性質(zhì)聯(lián)系密切，且與圓錐曲線相結(jié)合的命題趨勢，使與圓相關的最值問題成為命題寵兒．與圓的面積的最值問題，一般轉(zhuǎn)化為尋求圓的半徑相關的函數(shù)關系或者幾何圖形的關系，借助函數(shù)求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有時可以通過轉(zhuǎn)化思想，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．題型攻略?深度挖掘【考試方向】這類試題，通常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題、中檔題；若以解答題的形式呈現(xiàn)，則有一定難度.【技能方法】數(shù)形結(jié)合法處理與圓有關的最值問題，應充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解.研究與圓有關的最值問題時，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.常見的最值問題有以下幾種類型：①形如卩=^y-b形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化x-a為動直線截距的最值問題；③形如(x—a)2+(y—b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題.建立函數(shù)關系求最值根據(jù)題目條件列出關于所求目標函數(shù)的關系式，然后根據(jù)關系的特點選用參數(shù)法、配方法、判別式法等進行求解.利用基本不等式求解最值如果所求的表達式是滿足基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，如a-b或者a+b的表達式求最值，常常利用題設條件建立兩個變量的等量關系，進而求解最值.同時需要注意，“一正二定三相等”的驗證.舉一反三?觸類旁通考向1與斜率有關的圓的最值問題【例1】如果直線2ax-by+14=0(a>0,b>0)和函數(shù)f(x)=mx+i+l(m>0,m豐1)的圖象恒過同一個定點，

且該定點始終落在圓(x—a+1)2+(y+b—2)2=25的內(nèi)部或圓上，那么-的取值范圍是a(34)1且該定點始終落在圓(x—a+1)2+(y+b—2)2=25的內(nèi)部或圓上，那么-的取值范圍是a(34)143丿A．34)4，3丿答案】CB．C．344，3D．解析】函數(shù)f(x)=mx+1+1恒過定點(—1,2).將點(—1,2)代入直線2ax—by+14=0可得—2a—2b+14=0,即a+b=7,(a>0,b>0).由點(一1,)2在圓(x—a+1)2+(y+b—2匕=25內(nèi)部或圓上可得(—1—a+1)2+(2+b—2)2°25即a2+b2°25(a>0,b>0).<a+b=7Ia=3fa=4[a2+b2=25珂b=4或[b=3.所以點(a,b)在以A(3,4)和B(4,3)為端點的線段上運動.-表示以A(3,4)和B(4,3)為端點的線段上的點與坐標原a(b]=3—0_3rb11a丿4—0_4，1a丿min點連線的斜率.所以=3-0=3.所以4°-°4.故c正確.3—034a3max【例2】已知圓C:x2+y2-8x+15=0,直線y二kx+2上至少存在一點P，使得以點P為原心，半徑為1的圓與圓C有公共點，則k的最小值是453A.——B.——C.——D.345【答案】A【解析】試題分析:因為圓u的方程^J?+/-8x+15=0,整理得仗-4『+於=1,所以圓心為C〔4e),半徑為又因為直線y=Ax+2上至少存在一點尸，使得以點尸為圓心，半徑為1的圓與圓匸有公共點，所以.點匸到直線y=kx+2的距離小于或等于2,所以.4氏一0+2廠―藝2,化簡3/+斗解彳導V^+l斗斗-產(chǎn)少所號的最小值是-匸故選A.跟蹤練習】1?已知實數(shù)x、y滿足x2+y2=4,則2xy2的最小值為x+y—2D.—2—2^2答案】A【解析】由已知x2+yW得：(丸+，尸一2期=斗=>2期=(丸+刃2一4=(兀+，+2X^+y—2)：從而:叩2=丸+/+2=￡貝」直線丸+，+2-￡=0與圓x2+-y2=4有交點:所以_有片fW20云一2|蘭厶反02—2血玉￡蘭2+2血乂罰=2—2血,故選A_2.在平面直角坐標系xOy中，圓C:(x+1)2+(y-6)2=25，圓C:(x-17)2+(y-30)2=r2.若圓C上存122在一點P，使得過點P可作一條射線與圓q依次交于點A,B，滿足|PA|=2|AB|，則半徑r的取值范圍是【答案】L,55]【解析】由題，知圓C的圓心為(-1,6)，半徑為5，圓C的圓心為(17,30)，半徑為r，兩圓圓心距為127(17+1)2+(30-6)2=30，如圖，可知當AB為圓q的直徑時取得最大值，所以當點P位于點P所在位置時r取得最小值，當點P位于點P所在位置時r取得最大值?因為IABI二10，IPA1=21ABI，所以r二5，2maxminr=55.3.過點M(1,2)的直線l與圓C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B兩點，C為圓心，當ZACB最小時，直線l的方程是.【答案】:x+y-3=0【解析】：要使ZACB最小，由余弦定理可知，需弦長|AB|最短.要使得弦長最短，借助結(jié)論可知當M(1,2)為弦4-2的中點時最短.因圓心和M(1,2)所在直線的k=--=1，則所求的直線斜率為-1，由點斜式可得3-1y-1=-(x-2)nx+y-3=0.

【點評】此題通過兩次轉(zhuǎn)化，最終轉(zhuǎn)化為求過定點的弦長最短的問題．4.若圓C：x2+y2+2x-4y+3二0關于直線2ax+by+6二0對稱，則由點（a,b）向圓所作的切線長的最小值是答案】4【解析】因為圓C：壬+于+2?！窇?3=0關于直線2心+如+6=0對稱，所以直線2q+如+6=0過圓心，即圓6C（-la2）在直線2心+勿+6=0,所以2盤+肪+6=0即a—b—3=0,這說明點科紐&）在直線丸-y-3=0上運動，由點P{a^）向圓所引的切線長為『丁|=』尸郵-2,所以當|PC|有最小值時,刃|有最小值，|比|的最小值為圓心到直線英-3=0的距離|比匚蚯=d=屜_=4.=4.【點評】與切線長有關的問題及與切線有關的夾角問題，解題時應注意圓心與切點連線與切線垂直，從而得出一個直角三角形.考向2與截距有關的圓的最值問題【例3】【2017北京海淀模擬】設"為不等式：「11表示的平面區(qū)域，直線11h°與區(qū)域"有公共點，貝P的取值范圍是.【答案】［-豈丄］或者匚匕1【解析】由題設到直線【解析】由題設到直線11斤°的距離跟蹤練習】"呼「，解之得一沁吐1，應填答案［-汕.【2017江蘇南通高三第三次調(diào)研考試】在平面直角坐標系xOy中，已知點川乙，2:,點兀1，「，廠為圓PB1八'上一動點，則的最大值是-答案】2

【解析】設點P3【解析】設點P3y)?則詈=J4一宓+即而言表示圓上一點與點》的斜率，所以.當過點(t-|)的直線與圓相切時取得最值，設直線:y+丁=丸a—丁)由g尸得血==1所以■云的最犬值時址PB點睛：首先根據(jù)問題將的表達式列出來，做最值問題的小題，首先得明確問題表達式，然后根據(jù)函數(shù)或者基本不等式求解最值，本題解題關鍵在于，寫出表達式后要將其化為斜率的定義求法來理解從而求得結(jié)論．TOC\o"1-5"\h\zx1JL【2018安徽六安模擬】若直線y二-2+m與曲線y二2^4-X2恰有三個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是()A.（1QB.（邁-1上2+1）C.（"2+1）D.（2,邁+1）x1/思路分析：直線y二-2+m與曲線y二2屮4-X21恰有三個公共點，實數(shù)m的取值范圍，可以轉(zhuǎn)化為直X1I線y二-2+m的圖象與曲線y二2J4-X21的圖象有三個交點時實數(shù)m的取值范圍，作出兩個函數(shù)1’的圖象，通過圖象觀察臨界直線，從而求出m的取值范圍；本題曲線y二2<14-x2|的圖象是易錯點，畫圖時要分類討論，知圖象由橢圓的上一部分與雙曲線的上部分組成.解虬由題意知，曲線尸護斗_分|的團象由橢圓的上一部分與雙曲線的上部分組成，故直線y=~+m

與曲線嗚』斗_/|恰有三個公共點的臨界直線有：當直線尸-扌+用過點(20)時，即

0=—1+用，故m=1j當直線y=-扌+胡與橢圓的上部分相切，即才=壬=_￡,即

=才時，此時耕=拒,故實數(shù)胡的取值范圍是(1“)，選項A為正確答案.3.2018湖北穩(wěn)派教育高三上學期第二次聯(lián)考】已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，且y軸和直線x-朽y+2二0均與圓C相切.求圓C的標準方程；設點P(0,1),若直線y=x+m與圓C相交于M,N兩點，且上MPN為銳角，求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】（1【答案】（1）（x-2匕+y2二4；⑵［-2-2血(—^5,-2+遠.【解析】試題分析:本題考查圓的標準方程的求法以及用向量解決直線和圓位蠱關系中的角度的問題?（1）設出圓的標準方程,根據(jù)題意得關于參數(shù)的方程組,求得參數(shù)可得圓的方程-（2）利用代數(shù)法求解，將3PV為銳角轉(zhuǎn)化為冊A0求解.試題解析：（1）設圓C的標準方程為：〔疋-疔+?-釦二"心（1）設圓C的標準方程為：〔疋-疔+?-釦二"心0）,故由題意得弋a(chǎn)>0b=(i，解得a=2i=0,r=2???圓C的標準方程為：（工-2），+b=4.y=x+m(2)由｛(x2)2+護_4消去丫整理得2”+2(喘-2)x+腫=0.???直線y=x+m與圓C相交于M,N兩點，:?卜=仆一背一歸沁，解得—2-2^2<-2+2^2,=xx+(x+m-l)(=xx+(x+m-l)(x+m-l)l2l2?m2+(m-l)(2-m)+(m—1)2>0，整理得m2+m—1>0,依題意得PM-PN=xx+(y—1)(y—1)1212=2xx+(m—1)(x+x)+(m—1)2>0，1212解得必二爭或耕A-1+^5解得必二爭或耕A-1+^5—i—J5又一2—2弋聊<—2+2%豆，?：—2—2\2<m<—2-1J5<m<—2+2邁?故實數(shù)m的取值范圍是（-2-2旋「；昉）U（T；昉廠2+2忑）.點睛：（1）對于ZBAC為銳角的問題（或點A在以BC為直徑的圓外，或|AB卩+|AC|2>\BC\2）,都可轉(zhuǎn)化為AB-AC>0，然后坐標化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算處理.（2）應于直線和圓位置關系的問題，可將直線方程和圓的方程聯(lián)立消元后根據(jù)所得的二次方程的判別式、根據(jù)系數(shù)的關系，借助于代數(shù)運算處理．解題時注意“設而不求”、“整體代換”等方法的運用，以減少計算量、提高解題速度．

考向3與距離有關的圓的最值問題【例4】【2018廣西南寧模擬】在平面直角坐標系xOy中’已知（Xi-2）2+yi2=5，X2-2y2+4二0'則（x—x）2+（y—y）2的最小值為（）1212B．C．121D．1K/5B．C．121D．1K/55【答案】B【解析】由已知得點（碼$）在圓仗一2『+八=5上，點（花‘旳）在直線兀一2尹+斗=0上，故（畫-花『+（出-旳『表示（丸-2『+戸=5的點和直線x-2j/+4=0±點的距離平方，而距離的最小值為苗二豐，故（碼-花『+儷-旳『的最小值為,故選E【跟蹤練習】1.【2018江西贛州紅色七校一聯(lián)】已知圓C:八/「八/1（）（a<0）的圓心在直線呂y'M°上，且圓c上的點到直線弟」丁°的距離的最大值為1莎，貝|"的值為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】圓的方程為i■⑴「站y1，圓心為【比叭啟丿八屮。①=2啟‘」傳丄nd=1-=羽+1戶10%.+b|=2^/3圓C上的點到直線的距離的最大值為②由①②得l2;；~1l=2,a<0,故得，』丨打=3.點睛:圓上的點到直線的距離的最大值，就是圓心到直線的距離加半徑；再就是二元化一元的應用.2.【2018山西臨汾一中、忻州一中、長治二中、康杰中學模擬】已知A（2,0），直線4x+3y+1二0被圓C:（x+3）2+（y—m）2=13（m<3）所截得的弦長為4打，且p為圓C上任意一點，則\PA的最大值為（）A.②-希B.5+舟C.2.7+希D.J29+諾【答案】D‘3m—11）2l、16【解析】根據(jù)弦心距、半徑、半弦長的關系得：一5一+（^/3）2=13，解得：m=2或m二—（舍去）,

當m=2時，|pA的最大值|pC+r=事29+、；13，故選D.【2017遼寧遼南協(xié)作校一模】圓X2+y2-4x-4y-10=0上的點到直線x+y-8=0的最大距離與最小距離的差是（）A.18B.6一’C.5、【2D.4邁答案】C【解析】圓的方程即：（葢-2『+卜-2『=3血，圓心到直線的距離為:故直線與圓相交，最小距離為0,最犬距離為3血+2血=盤血，綜上可得：圓梓滬任斗上的點到直線j+jj-8=O的最犬距離與最小距離的差是5-./1-0=5.故選C.點睛：判斷直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數(shù)法.4.【2017安徽宣城二?！恳阎狿是圓x2+y2=4上一點，且不在坐標軸上，A（2,0）,B（0,2），直線PA與y軸交于點M，直線PB與X軸交于點N，則|AN|+2|BM\的最小值為答案】8【解析】設點P（2cos0,2sin0），則直線答案】8【解析】設點P（2cos0,2sin0），則直線pa的方程:sin0

cos0-1(x—2)，則M0,—2sin0'cos0—1丿（

同理N2cos0sin0—1,0丿則|AN|+2|BM|2cos04sin0

sin0-1cos0-1的最小值為8.5.【2107吉林省延邊州模擬】點N是圓（x+5）2+y2=1上的動點，以點A（3,0）為直角頂點的RtAABC另外兩頂B,C在圓x2+y2=25上，且BC的中點為M，則|MN|的最大值為如虱設,由于M是0C的中點，則購丄,于是0M2+MB2=OB2又因^MB=MA?得j?+/+(x-3)2+/=25.即M的軌跡方程為(工一|)+/=y那么，|M珂的最犬值為5+|+l+J丁音里.答案】15412答案】15412解析】6.【2017山東濟寧3月模擬考試】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:+=1(a>b>°)的離心率是，a2b22且直線1:+￡=1被橢圓C截得的弦長為\''5.1ab求橢圓C的標準方程；若直線1與圓D:x2+y2-6x-4y+m二°相切：1求圓D的標準方程；若直線12過定點(3,°),與橢圓C交于不同的兩點E、F,與圓D交于不同的兩點M、N,求\EF卜押|的取值范圍.【答案】(I)扌+y2=1；(II)(i)(x—3)2+(y—2)2=5；(ii)(°,8】.【解析】試題分析：(I)由直線1過定點(a，°)，(°,b)，可得到a【解析】試題分析：(I)由直線1過定點(a，°)，a2的方程；(II)(i)利用圓的幾何性質(zhì)，求出圓心到直線1的距離等于半徑，即可求出m的值，即可求出圓D的1標準方程；(ii)首先設直線12的方程為y=k(x-3)，利用韋達定理即可求出弦長|EF|的表達式，同理利用圓「9\的幾何關系可求出弦長MN的表達式，即可得到|EF|-\MN\的表達式，再用換元法t二1+4k2g^1，5J，即可求出|EF|-|MN|的取值范圍.試題解析：(I)由已知得直線1過定點(a,°)，(°,b)，a2+b2二5，1c3x2又一=〒-，a2—b2+C2,解得a2=4，b2=1，故所求橢圓C的標準方程為+y2=1.a24x(I)(i)由(I)得直線1］的方程為-+y—1，即x+2y—2—0,又圓D的標準方程為

(x—3匕+(y—2匕=13—m，.:圓心為(3,2)，圓的半徑r==、｛5,12+22???圓D的標準方程為(x—3)2+(y—2)2=5.(ii)由題可得直線l2的斜率存在，設l2:y=k(X一3)，與橢圓C的兩個交點為E(xi，人)、F(x2,"y=k(x+3),由｛x2+y2=】，4又圓D的圓心(3,2)到直線l:224k211+4k2丿—4x36^41+4k2kx—y—3k=0的距離d=l3ky=k(x+3),由｛x2+y2=】，4又圓D的圓心(3,2)到直線l:224k211+4k2丿—4x36^41+4k2kx—y—3k=0的距離d=l3k—2—3k=2<k2+1???圓D截直線《所得弦長MN=2r2—d2=25k2+1k2+1，.??|EF|?|MN|=41—25k4G+4k2丄，+k2)G—5k2)X2設t=1+4k2w[1，9｝丫t—1￥V41—25，則|EF|?|MN|=仇——V丿一2,'—925(5*?*y=—9x2+50x—25的對稱軸為x=—~，在—，1上單調(diào)遞增,9V9(50<y<16，+k2)(1—5k2)C+4k2)(1\20<—9-Vt丿+50(1[—25<16,Vt丿???0<|EF|-MN<8.【點睛】本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線，直線與圓的位置關系，常采取聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，利用一元二次方程的根與系數(shù)關系求解，對于直線與圓的位置關系，常采取圓的幾何性質(zhì)較多，運算量較少點，圓錐曲線類的題目的特點就是運算量大，要求學生具有較強的運算能力，屬于難題.考向4與面積相關的最值問題

【例5】在平面直角坐標系中，A,B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為.【答案】5兀-選A.【解析】設直線/：2x+y-斗=0一因^\OC\=^\AB\=dc_i?所以.圓心C的軌跡為以.O為焦點」為準線的拋物線-圓C半徑最小值為g十*?詈備圓C面積的最小值為-選A.【例6】動圓C經(jīng)過點F(1,0)，并且與直線x=-1相切，若動圓C與直線y二x+2^2+1總有公共點，則圓C的面積的最小值【答案】4兀【解析】設圓心為(a,b)，半徑為r，=icf曰a+11，即st**ai2，即a=4b2'?:圓心為Gb2'b)‘1I竺-b+2門+IIb2r=4b2+1，圓心到直線y二x+2邁+1的距離為d二」2<寸+1，??"<-2(2邁+3)或b>2，當b二2時，r=-x4+1=2，.:S二兀r2二4兀.min4min跟蹤練習】1.設m,neR，若直線mx+ny-1二0與x軸相交于點A，與y軸相交于點B，且l與圓x2+y2二4相交所得弦的長為2，O為坐標原點，則AABO面積的最小值為-答案】31._■_【解析】l與圓相交所得弦的長為2,>2|mn|，【解析】l與圓相交所得弦的長為2,>2|mn|，|mn|<，m2+n2(1、l與x軸相交于點A—,0，與y軸相交于點B5丿111_112mn2mn2.【2017屆高三七校聯(lián)考期中考試】已知直線1:x一y=1與圓M：x2+y2-2x+2y-1=0相交于A，C兩點,點B，D分別在圓M上運動，且位于直線AC兩側(cè)，則四邊形ABCD面積的最大值為.【答案】、。元

［解析】［解析】x2+y2—2x+2y—1=0(x—1)2+(y+1)2=3,圓心M到直線l:x—y二1距離為上”11J1BD為過圓心M且垂直于AC的直徑時’四邊形ABCD面積取最大值’為2XACXBD=2X卡—2X2語f莎【2017河南安陽二?！恳阎獔A丁「仆仃Y(),動點卩在圓I仆1，()上，則面積的最大值為()A.茁B."C.茁D.20【答案】B【解析】因為G(-2如=何心(乙嘰=4,所以I6G!=J(-2-2)"聆=2腹當卩心丄G囂寸」山氏6的面積最圮其最犬值為乂喚=護2岳1=駐5應選答案E.4.【2018河南洛陽模擬】已知兩動圓F:(x+\③2+y2=r2和F:(x一朽)2+y2=(4一r)2(0VrV4)，把它12們的公共點的軌跡記為曲線C，若曲線C與y軸的正半軸的交點為M，且曲線C上的相異兩點A,B滿足：MA嚴=0.逑曲線C的方程；(2)證明直線AB恒經(jīng)過一定點，并求此定點的坐標;求^ABM面積S的最大值.【答案】⑴T+y【答案】⑴T+y2二1(2)證明見解析，定點坐標為N(0,-1);3)6425【解析】試題分析：(1)設兩動圓的公共點為Q，則有|QF|+|QF|=4(>|FF|)，根據(jù)橢圓的定義可知Q的軌跡為橢圓,由此求出軌跡方程；(2)先求出M(0,1)，設axy)Bxy)，當直線AB斜率存在時設直線方程為y=kx+m與1122一3一3橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理計算MA-MB=xx+(kx+m—1)(kx+m—1)=0得m=，所以直線恒過定點N(0,-3)，121255驗證當直線AB斜率不存在時也過此點即可；(3)將三角形面積分割成兩部分進行計算，即△ABM面積s=s+s=丄|mnI-令t="5k+4，換元，由基本不等式即可求出面積的最大值.AMNAAMNB212251+4k2試題解析：(1)設兩動圓的公共點為Q，則有|QF|+|QF|=4(>IFFI)?由橢圓的定義可知Q的軌跡為橢圓,

X2a=2,c7?所以曲線C的方程是：懇+y2二1?(2)證法一：由題意可知：M(0,1)，設A(x,y),B(x,y),11223當AB的斜率不存在時，易知滿足條件MA-MB=0的直線AB為：x=0過定點N(0,-5)當AB的斜率存在時，設直線AB:y=kx+m，聯(lián)立方程組:<~4+y2=1①，把②代入①有：(1+4k2)x2+8kmx+4m2—4=0y=kx+m②—8km4m2—4x+x=③，x-x=④,121+4k2121+4k2因為MA-MB=0，所以有x-x+(kx+m—1)(kx+m—1)=0，1212(1+k2)x-x+k(m—1)(x+x)+(m—1)2=0，把③④代入整理:12124m2—4—8km(1+k2)市？+k(m—“市厲+(m—1)2=0，(有公因式葉1)繼續(xù)化簡得:(m—(m—1)(5m—3)=0，—3

m=或m=1(舍)，3綜合斜率不存在的情況，直線AB恒過定點3綜合斜率不存在的情況，直線AB恒過定點N(0,—5)?證法二：(先猜后證)由題意可知：M(0,1)，設A(x,y)，B(x,y)，1122如果直線AB恒經(jīng)過一定點，由橢圓的對稱性可猜測此定點在y軸上，設為N(0,m)；取特殊直線MA:y=x+1，則直線MB的方程為y=—x+1，解方程組］T+”=1得點A(—5,—3)，同理得點B(5,—VJJJJy=x+13此時直線AB恒經(jīng)過y軸上的點N(0,—-)3下邊證明點N(0,—-)滿足條件MA-MB=0當AB的斜率不存在時，直線AB方程為：x=0,點A、B的坐標為當AB的斜率不存在時，直線AB方程為：x=0,點A、B的坐標為(0,±1)，滿足條件MA?MB=0；,3當AB的斜率存在時，設直線AB:y=kx-5，聯(lián)立方程組:y=kx--〔5，把②代入①得：(1+4k2)x2—②24k64門x——052524k③,x+x—125(1+4k2)—641225(1+4k2)④,88所以MA?MB—x?x+(y—1)(y—1)=x?x+(kx——)(kx——)^5121528k8k—(1+k2)xx—竺(x+x)+64—(1+k2)?—64125122525(1+4k2)524k+64—05(1+4k2)254;(x+x)2—4x-x5^14;(x+x)2—4x-x5^1212△MNA△MNB2由第(2)小題的③④代入，整理得：S-H?耳護251+4k2TOC\o"1-5"\h\z32t32因N在橢圓內(nèi)部，所以keR，可設t—J25k2+4>2,S因N在橢圓內(nèi)部，所以keR，可設t—J25k2+4>2,t9256464V4t+—>—，二S<25(k—0時取到最大值).所以AABM面積S的最大值為t22525考點：1．橢圓的定義與幾何性質(zhì)；2．直線與橢圓的位置關系；3．基本不等式考向5與圓有關的最值問題綜合題【例7】已知實數(shù)x,y滿足方程X2+y2—4x+l=0,求：yX的最大值和最小值；xy—x的最大值和最小值；x2+y2的最大值和最小值.【解析】原方程變形為2『+嚴=3,表示以R0)為圓心，半徑r=訴的圓.⑴邏=乩即尸也由題知，直線尸航與圓恒有公共點，則圓心到直線的距離小于等于半徑西一■J黃衛(wèi)冬訴-■■加卻即-出純西…勒的最丈值為vl最小值為-訴一企+i兀⑵設y—x=b貝H當直線丁-兀=力與圓相切時，力取最值，由疋得b=-2±&，■J—x的最大值為&一2,最小值対-2-心-(旳令d=、^+3表示原點與點(花?的距離，丁原點與圓心2?的距離為2,■■心=2+書,^n=2-V3.■■N+護的最大值為(2+話尸二"7+4VL最小值為卩—出尸=7—4履【點評】研究與圓有關的最值問題時，可借助圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解．常見的最值問題有以下幾種類y－b型：①形如“==形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t=ax+by形式的最值問題，可x－a轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；③形如(x—a”+(y-b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離的平方的最值問題．設p,Q設p,Q分別為x2+(y-6》x2—2和橢圓10+y2=1上的點,則p,Q兩點間的最大距離是【答案】6邁【解析】依題意P.Q兩點間的最犬距離可以■轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上的點的最犬距離再加上;圓的半徑血■設QM.圓心到橢圓的最犬距離就=Jf+a-6)2=7-9/-12^+46=J*+|/+昭朋■所以.P.Q兩點間的最犬距禽是6血.【例9】設meR，過定點A的動直線x+my—0和過定點B的動直線mx-y-m+3—0交于點P(x,y)，貝yIPAI-1PBI的最大值是?【答案】5

【解析】易得一設玖兀巧，則消去用得：^+/-x-3y=0,所以點P在以AB為直徑的圓上礎丄丹，所^|PJ|a+|/^|2^^|2=10,\PA\x\PB\<^L=5.【跟蹤練習】【2018廣西桂林柳州模擬】已知圓C:（x+2a匕+y2=4和圓C:x2+（y-b匕=1只有一條公切線，若a,beR1211且ab豐0，則—+—的最小值為（）a2b2A．2B．4C．8D．9【答案】D【解析】由題意可得兩圓相內(nèi)切，兩圓的標準方程分別為（x-2a）x=+（y-b）M,圓心分別為〔-2a；0）：〔0,b）；半徑分別為2和1；故有丁4/+滬=1；二斗護+bM；.■■4+4=<4+4>〔4護-昭壬蓉斗拿5-4=9,當且僅當車斗豈時，等號成立，abababab+的最小值為9■【易錯點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正（即條件要求中字母為正數(shù)）、“定”（不等式的另一邊必須為定值）、“等”（等號取得的條件）的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤．[2017甘肅蘭州高三第一次診斷性考試】已知圓圓”卜\3打1和兩點止W,W，⑴，">（）；，若D．圓「上存在點"，使得?、?0，則當'取得最大值時，點"的坐標是（）矍）D．A.B.'-C.【答案】D【解析】設為圓上一點，由題意知，皿處（）,即WH仃"（），—"0r=cr-r+/r=|^|^^2HF1=3,3d33a/33a/33所以口P所在直線傾斜角為30,所以的縱坐標為，的橫坐標為，所以，故選D.3.【2018黑龍江海林朝鮮中學】已知兩點A（a,0），B（-a,0）（a>0），若曲線x2+y2-2、i3x—2y+3=0上存在點P，使得ZAPB=90。，則正實數(shù)a的取值范圍為（）A.(0,3]B.|j,3]C.[2,3]D?[1,2]【答案】B【解析】把圓的方程*+込—2卩+3=0化為（x—擊?—以創(chuàng)為直徑的圓的方程為/+*=/,若曲線/+於—込—2卩+3=0上存在點尸」使得ZAPB=90^?則兩圓有交點，所^|a-l|<2<a+l,,選E?4?【2017吉林吉林大學附中高三第七次模擬】已知圓C:（-込）+（y-1）2=1和兩點A（―t,0）,B（t，0）（t>0），若圓C上