專題24 以幾何體為載體的應用題（解析版）

專題24以幾何體為載體的應用題在江蘇高考的試題中，應用題是每年必考的題型，應用題主要體現(xiàn)了學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力。近幾年來應用題以幾何背景呈現(xiàn)的居多，特別是一些幾何體如直棱柱、圓錐、圓柱、球等簡單的幾何體的面積或體積有關。因此，在復習中要特別重視以幾何題為背景的函數(shù)應用題。解決此類問題的關鍵明確各個量之間的關系，運用立體幾何的知識點求出各種量，然后表示出面積、體積建立目標函數(shù)。例題選講題型一、多面體有關的應用題例1、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）一棟新農(nóng)村別墅，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖，屋頂由四坡屋面構成，其中前后兩坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．點F在平面ABCD和BC上的射影分別為H，M.已知HM＝5m，BC＝10m，梯形ABFE的面積是△FBC面積的2.2倍．設∠FMH＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,4))).(1)求屋頂面積S關于θ的函數(shù)關系式；(2)已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為k(k為正的常數(shù))，下部主體造價與其高度成正比，比例系數(shù)為16k.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6m的別墅，試問：當θ為何值時，總造價最低？eq\a\vs4\al(思路分析)(1)先通過線面垂直得到FH⊥HM，放在Rt△FHM中，求出FM，根據(jù)三角形的面積公式求出△FBC的面積，根據(jù)已知條件就可以得到所求S關于θ的函數(shù)關系式．(2)先求出主體高度，進而建立出別墅總造價y關于θ的函數(shù)關系式，再通過導數(shù)法求函數(shù)的最小值．(1)規(guī)范解答由題意FH⊥平面ABCD，F(xiàn)M⊥BC，又因為HM?平面ABCD，得FH⊥HM.(2分)在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ，所以FM＝eq\f(5,cosθ).(4分)因此△FBC的面積為eq\f(1,2)×10×eq\f(5,cosθ)＝eq\f(25,cosθ).從而屋頂面積S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×eq\f(25,cosθ)＋2×eq\f(25,cosθ)×2.2＝eq\f(160,cosθ).所以S關于θ的函數(shù)關系式為S＝eq\f(160,cosθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,4))).(6分)(2)在Rt△FHM中，F(xiàn)H＝5tanθ，所以主體高度為h＝6－5tanθ.(8分)所以別墅總造價為y＝S·k＋h·16k＝eq\f(160,cosθ)k－eq\f(80sinθ,cosθ)k＋96k＝80k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－sinθ,cosθ)))＋96k.(10分)記f(θ)＝eq\f(2－sinθ,cosθ)，0<θ<eq\f(π,4)，所以f′(θ)＝eq\f(2sinθ－1,cos2θ)，令f′(θ)＝0，得sinθ＝eq\f(1,2)，又0<θ<eq\f(π,4)，所以θ＝eq\f(π,6).(12分)列表：θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))eq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))f′(θ)－0＋f(θ)eq\r(3)所以當θ＝eq\f(π,6)時，f(θ)有最小值．答：當θ為eq\f(π,6)時，該別墅總造價最低．(14分)eq\a\vs4\al(解后反思)理解題意，建立出函數(shù)的關系式，是處理最優(yōu)解類型應用問題的關鍵，第(1)問，抓住條件”梯形ABFE的面積是△FBC面積的2.2倍”，只要用θ表示出△FBC面積，即可得到屋頂面積．第(2)問，需要先設出總造價為y元，抓住已知條件，求出主體高度并結合第(1)問中求得的屋頂面積，就可以建立函數(shù)關系式．題型二、與球、圓有關的應用題例2、(2018蘇北四市期末）某藝術品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側面用于藝術裝飾，如圖1，為了便于設計，可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2，已知圓O的半徑為10cm，設∠BAO＝θ，0<θ<eq\f(π,2)，圓錐的側面積為Scm2.(1)求S關于θ的函數(shù)關系式；(2)為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側面積S最大，求S取得最大值時腰AB的長度．（圖1）（圖2）eq\a\vs4\al(思路分析)(1)母線長l是OA在AB上的射影的兩倍，可用θ表示．底面半徑r是l在底面上的射影，可用l和θ表示．從而S＝πrl可用θ表示；(2)求導數(shù)，找導函數(shù)的零點，列表確定極大值，唯一的極大值也是最大值．規(guī)范解答(1)設AO交BC于點D，過O作OE⊥AB，垂足為E.在△AOE中，AE＝10cosθ，AB＝2AE＝20cosθ.(2分)在△ABD中，BD＝AB·sinθ＝20cosθ·sinθ，(4分)所以S＝eq\f(1,2)·2π·20sinθcosθ·20cosθ＝400πsinθcos2θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2))).(6分)(2)由(1)得S＝400πsinθcos2θ＝400π(sinθ－sin3θ)．(8分)令x＝sinθ(0<x<1)，設f(x)＝x－x3，則f′(x)＝1－3x2，由f′(x)＝1－3x2＝0得x＝eq\f(\r(3),3).當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))f′(x)＋0－f(x)極大值所以f(x)在x＝eq\f(\r(3),3)時取得極大值，也是最大值．所以當sinθ＝eq\f(\r(3),3)時，側面積S取得最大值，(11分)此時等腰三角形的腰長AB＝20cosθ＝20eq\r(1－sin2θ)＝20eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(20\r(6),3)(cm)．答：側面積S取得最大值時，等腰三角形的腰AB的長度為eq\f(20\r(6),3)cm.(14分)例3、（2019秋?閔行區(qū)校級月考）某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN（P為圓弧的中點）和線段MN構成，已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米，現(xiàn)規(guī)范在此農(nóng)田修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為梯形MNBA，其中AB∥MN，且AB＜MN，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△ABP，要求A、B均在圓弧上，設OB與MN所成的角為θ．（1）用θ表示多邊形MAPBN的面積，并確定sinθ的取值范圍；（2）若分別在兩個大棚內(nèi)種植兩種不同的蔬菜，且這兩種蔬菜單位面積的年產(chǎn)值相等，求當θ為何值時，能使種植蔬菜的收益最大．【解析】解：（1）等腰梯形MNBA的高為OBsinθ+10＝40sinθ+10，AB＝2OBcosθ＝80cosθ，MN＝2402-1∴等腰梯形MNBA的面積為12（80cosθ+2015）×（40sinθ+10）＝1600sinθcosθ+400cosθ+40015sinθ+10015等腰三角形PAB中，P到AB的距離為OP﹣OBsinθ＝40（1﹣sinθ），故等腰三角形PAB的面積為12?80cosθ?40（1﹣sinθ）＝1600cosθ﹣1600sinθcosθ∴多邊形MAPBN的面積為SMAPBN＝40015sinθ+2000cosθ+10015．∵AB＜MN，∴0＜80cosθ＜2015，即0＜cosθ＜15∴14＜sinθ＜（2）令f（θ）＝40015sinθ+2000cosθ+10015=400（15sinθ+5cosθ）+10015＝400?210sin（θ+φ）+10015．其中sinφ=5210，cosφ=152∴當θ+φ=π2即θ=π2-arctan15【點睛】本題考查了解析式求解，三角函數(shù)恒等變換，函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．題型三、與柱和錐有關的應用題例4、如圖，某工廠根據(jù)生產(chǎn)需要制作一種下部是圓柱、上部是圓錐的封閉型組合體存儲設備，該組合體總高度為8米，圓柱的底面半徑為4米，圓柱的高不小于圓柱的底面半徑．已知制作圓柱側面和底面的造價均為每平米2百元，制作圓錐側面的造價為每平米4百元，設制作該存儲設備的總費用為y百元．（1）設∠SDO1(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關系式；（2）求制作該存儲設備總費用的最小值．解析（1）因為，.所以y2S底面+2S圓柱側4S圓錐側=32+32+=160+64(≤).（2）由（1）知y=160+64(≤)，設，， 因為≤，所以，所以，在(，]上單調(diào)遞減， 所以，當時，y取到最小值． 題型四、復雜幾何體有關的應用題例5、(2017蘇州預測卷）如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結構圖，由正六棱錐和構成，兩個棱錐的側棱長均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為，底面中心為，通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態(tài)，下頂點與天花板的距離為，所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設金屬條的總長為y．（1）設∠O1AO=(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關系式，并寫出θ的范圍；（2）請你設計θ，當角θ正弦值的大小是多少時，金屬條總長y最?。馕觯?）在直角△OAO1中，，，由，所以，所以θ的范圍是，其中，．從而有，所以（，）．（2）令，所以，令，則，則．當時，；當時，．函數(shù)的單調(diào)性與關系列表如下：0+極小值所以，其中取得最小值．答：當角滿足（）時，金屬條總長y最小．達標訓練1、(2017南京、鹽城二模）在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒(如圖)．設小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，其中a≥b.(1)當a＝90時，求紙盒側面積的最大值；(2)試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．思路分析(1)紙盒側面積S(x)是關于x的函數(shù)，即求S(x)max.(2)先猜想并證明a＝b時，底面積取最大，這樣問題變?yōu)榍篌w積關于x的函數(shù)的最大值．規(guī)范解答(1)當a＝90時，b＝40，紙盒的底面矩形的長為90－2x，寬為40－2x，周長為260－8x.所以紙盒的側面積S(x)＝(260－8x)x＝－8x2＋260x，其中x∈(0,20)，(3分)故S(x)max＝Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,4)))＝eq\f(4225,2).答：當a＝90時，紙盒側面積的最大值為eq\f(4225,2)平方厘米．(6分)(2)紙盒的體積V＝(a－2x)(b－2x)x，其中x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)))，a≥b＞0，且ab＝3600.(8分)因為(a－2x)(b－2x)＝ab－2(a＋b)x＋4x2≤ab－4eq\r(ab)x＋4x2＝4(x2－60x＋900)，當且僅當a＝b＝60時取等號，所以V≤4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)．(10分)記f(x)＝4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)，則f′(x)＝12(x－10)(x－30)，令f′(x)＝0，得x＝10，列表如下：x(0,10)10(10,30)f′(x)＋0－f(x)極大值由上表可知，f(x)的極大值是f(10)＝16000，也是最大值．(12分)答：當a＝b＝60，且x＝10時，紙盒的體積最大，最大值為16000立方厘米．(14分)解后反思因為a＝eq\f(3600,b)，所以第(2)題實際上是體積V關于兩個變量b，x的最值問題．先固定x，處理變量b，再處理x.另外，對于求f(x)的最大值，學習過《不等式選講》的學生也可用下面的解法．因為x∈(0,30)，所以f(x)＝4x(30－x)2＝2·2x(30－x)(30－x)≤2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋30－x＋30－x,3)))3＝16000，當且僅當x＝10時取等號．2、(2017徐州、連云港、宿遷三檢））某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示．圓的圓心與矩形對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切(為上切點)，與左右兩邊相交(，為其中兩個交點)，圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1m，且．設，透光區(qū)域的面積為．（1）求關于的函數(shù)關系式，并求出定義域；（2）根據(jù)設計要求，透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好．當該比值最大時，求邊的長度．規(guī)范解答（1）過點作于點，則，所以，．……………2分所以，………………6分因為，所以，所以定義域為．……8分（2）矩形窗面的面積為．則透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值為．…10分設，．則，………………12分因為，所以，所以，故，所以函數(shù)在上單調(diào)減．所以當時，有最大值，此時(m)．…14分答：（1）關于的函數(shù)關系式為，定義域為；（2）透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時，的長度為1（m）．………16分點評：本題考生失分的原因是第（2）小題中函數(shù)的導數(shù)不會求解或不敢求解，所以提醒考生在備考中注意回歸基本概念公式，同時注意查漏補缺，避免無效的重復，切實提高復習效益。3、(2016南通、揚州、泰州、淮安三調(diào)）某賓館在裝修時，為了美觀，欲將客房的窗戶設計成半徑為1m的圓形，并用四根木條將圓分成如圖所示的9個區(qū)域，其中四邊形ABCD為中心在圓心的矩形，現(xiàn)計劃將矩形ABCD區(qū)域設計為可推拉的窗口．(1)若窗口ABCD為正方形，且面積大于eq\f(1,4)m2(木條寬度忽略不計)，求四根木條總長的取值范圍；(2)若四根木條總長為6m，求窗口ABCD面積的最大值．eq\a\vs4\al(思路分析)第(1)問，注意到四邊形ABCD為正方形，所以四根木條的長度相等，以木條的長度x為自變量，將正方形的面積表示為x的函數(shù)，根據(jù)四邊形ABCD的面積的要求，以及“四根木條將圓分成9個區(qū)域”來求出四根木條的總長度的取值范圍；第(2)問，由于四根木條的總長為6m，所以AB，BC所在的木條的長度之和為3m，因此，可以選擇AB所在的木條的長度為自變量a，求出四邊形ABCD的面積的表達式，應用導數(shù)法來求出它的最大值；或者，選擇雙變量，即AB，BC所在的木條的長度為自變量a，b，建立四邊形ABCD的面積的表達式，應用基本不等式來求它的最大值．規(guī)范解答(1)設一根木條長為xm，則正方形的邊長為2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2)＝eq\r(4－x2)m.(2分)因為S四邊形ABCD>eq\f(1,4)，所以4－x2>eq\f(1,4)，即x<eq\f(\r(15),2).(4分)又因為四根木條將圓分成9個區(qū)域，所以x>eq\r(2)，所以4eq\r(2)<4x<2eq\r(15).答：四根木條總長的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)，2\r(15))).(6分)(2)解法1設AB所在的木條長為am，則BC所在的木條長為(3－a)m.因為a∈(0,2)，3－a∈(0,2)，所以a∈(1,2)．(8分)S矩形ABCD＝4eq\r(1－\f(a2,4))·eq\r(1－\f(3－a2,4))＝eq\r(4－a2)·eq\r(4－3－a2)＝eq\r(a4－6a3＋a2＋24a－20)，(11分)設f(a)＝a4－6a3＋a2＋24a－20，則f′(a)＝4a3－18a2＋2a＋24＝2(a＋1)(2a－3)(a－4)，令f′(a)＝0，得a＝eq\f(3,2)或a＝－1(舍去)或a＝4(舍去)．(14分)列表如下：aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))f′(a)＋0－f(a)極大值所以當a＝eq\f(3,2)時，f(a)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(49,16)，即Smax＝eq\f(7,4).答：窗口ABCD面積的最大值為eq\f(7,4)m2.(16分)解法2設AB所在的木條長為am，BC所在的木條長為bm.由條件知，2a＋2b＝6，即a＋b＝3.因為a，b∈(0,2)，所以b＝3－a∈(0,2)，從而a，b∈(1,2)．(8分)由于AB＝2eq\r(1－\f(b2,4))，BC＝2eq\r(1－\f(a2,4))，S矩形ABCD＝4eq\r(1－\f(b2,4))·eq\r(1－\f(a2,4))＝eq\r(4－b2)·eq\r(4－a2)，(10分)因為eq\r(4－b2)·eq\r(4－a2)≤eq\f(8－a2＋b2,2)≤eq\f(8－\f(a＋b2,2),2)＝eq\f(7,4)，(14分)當且僅當a＝b＝eq\f(3,2)∈(1,2)時，S矩形ABCD＝eq\f(7,4).答：窗口ABCD面積的最大值為eq\f(7,4)m2.(16分)eq\a\vs4\al(易錯警示)第(1)問中，最容易出錯的地方是忽略“四根木條將圓分成9個區(qū)域”這一條件，從而導致變量的取值范圍出錯．eq\a\vs4\al(解后反思)本題的本質(zhì)是直線