隨機過程課件

平穩(wěn)過程的譜分解定理5.5.1

設X={Xt,

-∞<t<+

∞}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程,則其相關函數(shù)可以表示為XXe

dF

(j2),

R（）

1其中F（X

）在（

，）上非負，有界，單調不減,右連續(xù)，且F（-）

0，F(xiàn)（+）

2

R（X

0）證明

由于

RX

(

)

RX

(0)若RX

(0)

0，則RX

(

)

0,則取FX

()

0即可.若RX

(0)

0，則令f

(

)

RX

(

)RX

(0)由R

X

(

)連續(xù)，非負定，可得f

()連續(xù)，f

()非負定，且f

(0)

1.所以f(τ)是某個隨

量W的特征函數(shù),即存在分布函數(shù)G(ω),使XRX

(0)jWjR

(

)e

dG()f

()

=E[e

]

je

dG()X即有R

(X

)

R

(0)Xe d

(2j2

R

(0)G())

1所以取FX

()

2

RX

(0)G()XXe

dF

(j2),

即得R（）

1容易驗證FX

()

2

RX

(0)G()滿足定理中各條件.XXe

dF

(j2),

稱R（）

1為平穩(wěn)過程X相關函數(shù)的譜展開式或譜分解式.稱函數(shù)FX(ω)為平穩(wěn)過程X的譜函數(shù).注意：如果平穩(wěn)過程的相關函數(shù)絕對可積，則譜函數(shù)FX(ω)可微，且有F□X(ω)=SX(ω)，因此也有：XF

()

XS（

）d

,

事實上，由RX

(

)絕對可積，則由維納-公式得：XXj

1

2R

(

)

e

S（）dX與R

(

)的譜分解式比較XXj2e

dF

(),R（）

1

FX

()可微，且FX

()

SX

().X

F

()

XS（

）d

,

對平穩(wěn)時間序列有相類似的結果.設X={Xn,n=0,±1,±2,…}是平穩(wěn)時間序列,則其相關函數(shù)可以表示為XX2e

jm

dF

(),R（m）

1m

0,

1,

()其中F（X

）是在[-

,+

]上非負，有界，單調不減，右連續(xù).且F（X

-）

0，F(xiàn)（X

+）

2

R（X

0）稱FX(ω)為平穩(wěn)時間序列X的譜函數(shù).稱()式為平穩(wěn)時間序列相關函數(shù)的譜展開式,或譜分解式.譜密度SX(ω)和譜函數(shù)的有關系XF

()

XS（）d,

例5.5.1

設平穩(wěn)過程X={Xt,

-∞<t<+

∞}的相關函數(shù)為2R

(

)

e

,

0,X試計算X的譜密度和譜函數(shù).XXe

R

(-

j

)de

e

d

(

)2

12

j

4

4

2

2解

S

()

XF

()

4

d

2

arctan

2

2

2

4

2例(補)量,EX=0,DX=1設X,Y是兩個相互獨立的實隨Y的分布函數(shù)為F(x),令Zt

Xe

jtY

,

t

,試求Z={Zt,-∞<t<+∞}的譜函數(shù).解

易知Z是平穩(wěn)過程.Zje

d

(2

F

())

1

2R

(t,

t

)

e

j

dF

()

FZ

()

2

F

()平穩(wěn)過程的譜分解對確定信號x(t),滿足Dirichlet條件且絕對可積,則x(t)存在頻譜:xF

()

e

jt

x(t)dtxe F

(jt)dt2則

x(t)

1

說明x(t)可分解為一些復諧波的無限疊加而在很一般的條件下平穩(wěn)過程也可以表示為無窮多個復諧波的疊加.不失一般性,本節(jié)總假定mX=0定理5.5.2

設X={Xt,

-∞<t<+

∞}是零均值均方連續(xù)的復平穩(wěn)過程,其譜函數(shù)為FX(ω),則Xt以表示為tX

e

jt

dZ

(),

t

1T2e

jtT)

l.i.mT

1Xt

dt,

jt其中

Z

(稱之為X的隨機譜函數(shù).

且具有性質:(1)

E[Z

()]

0

1

2

3

4

,

E[(Z

(2

)

Z

(1

))(Z

(4

)

Z

(3

))]

021

2

212XX

112(3)

,

E[

Z

()

Z

(

)]

(F

(

)

F

(

)]定理的實際意義由Xtjt

etTT

dZ

(

)Tjt

即X

l.i.me

dZ

())]將[T，T

]等分為2N個子區(qū)間，即有

k

Njt

TNe

[Z

(kT

NT

N

Xt

l.i.m

l.i.mK

N

1(k

1)T

N)

Z(即平穩(wěn)過程可看成是振幅為Z

(kT

)

Z

((k

1)T

)N

N角頻率為

kT

的諧波分量的的有限疊加和的均方極限.NX是諧波分量e

jt

dZ

()無限疊加和.定理5.5.3

設X={Xt,-∞<t<+∞}是零均值均方連續(xù)的實平穩(wěn)過程,其譜函數(shù)為FX(ω),則X可以表示為

Xt

0

costdZ1

()

0

sin

tdZ2

(),

t

1TttTT

sin

t

X

dt,

其中

Z

()

l.i.m

12TttTT

Z

()

l.i.m11

cost

X

dt,

稱為實平穩(wěn)過程X的隨機譜函數(shù).且具有性質:(1)

E[Z1()]

E[Z2()]

0i,

j

1,

2(2)

若i

j或j=i,則1

2

3

4

,

有E[(Zi

(2

)

Zi

(1

))(Z

j

(4

)

Z

j

(3

))]

0,221

21

12

2

2

1E[Z

((i

j時，獨立增量；i

j時，正交增量）(3)

1

2

,

)

Z

()]

E[Z

(

)

Z

(

)]X

2

X

1

1

(F

(

)

F

(

)]n定理5.5.4

設X={Xn,n=0,±1,±2,…}是零均值的平穩(wěn)時間序列,其譜函數(shù)為FX(ω),則Xn可以表示為X

jne

dZ

(),

n

0,

1,

2,21n01Xn

),

jn0

e

jn其中

Z

()

(X

稱為平穩(wěn)時間序列X

的隨機譜函數(shù).且具有性質:(1)

E[Z

()]

0

1

2

3

4

,

E[(Z

(2

)

Z

(1

))(Z

(4

)

Z

(3

))]

02(3)

1

2

,

E[

Z

(2

)

Z

(1) ]

(FX

(2

)

FX

(1

)]12定理5.5.5

設X={Xn,n=0,±1,±2,…}是零均值的實平穩(wěn)時間序列,其譜函數(shù)為FX(ω),則X可以表示為

Xn

01cosndZ

()

02ndZ

(sin

),

n

0,

1,

2,10nnsin

nX

),

其中

Z

()

1

(X

2nn01

1

cosn

nZ

()

X

),

n0稱為實平穩(wěn)時間序列X

的隨機譜函數(shù).且具有性質:(1)

E[Z1

()]

E[Z2

()]

0i,

j

1,2221

21

12

22

1E[Z

(

)](2)

若i

j或j=i,則1

2

3

4

,

有E[(Zi

(2

)

Zi

(1

))(Z

j(4

)

Z

j

(3))]

0,

1

2

,

)

Z

()]

E[Z

()

Z

(X

2

X

1

1

(F

(

)

F

(

)]平穩(wěn)過程習題講解例1

設S(t)是周期為T的可積函數(shù).令Xt=S(t+Θ) t∈(-∞,+

∞),其中Θ為隨

量且服從U[0,T].稱X={Xt,-∞<t<+∞}為隨機相位周期過程,試X的平穩(wěn)性.解mX

(t)

E[Xt

]01TTds(t

)1TttTs(

)d

為常數(shù)0Ts(t

)s(t

)dR（Xt,

t

)

E[Xt

Xt

]t1T

1Ts(

)s(t

T

)d只與

有關系.所以X是平穩(wěn)過程.k例2

對復隨機過程Z

t=Xt

+jYt若mZ(t)是復常數(shù)，RZ(t,t+τ)=RZ(τ),則稱Z={Zt,-∞<t<+∞}為復平穩(wěn)過程.設Ak和ωk分別是實隨

量和實常數(shù)(k=1,2…,n),nAej

tk

1

kt令

Z

試分析隨

量序列{Ak,k=1,2,…,n}滿足何條件時，Z={Zt,-∞<t<+∞}是一個復平穩(wěn)過程.解mZ

(t)

E[Zt

]]=kknknkA

eE[A

]ej

tj

tk

1k

1

E[

E[Ak

]=0時，上式與t無關.]kknnkA

eA

ej

tj

(t

)k

1

E[

kk

1R（Zt,

t

)

E[Zt

Zt

]=l

klk

lE[

A

A

]eej

(

)t

j

n

nk

1

l

12kk

l

,k

l

E[

A

A

]=

0,

k

l時，上式與t無關.只與

有關.例3

設隨機過程X={Xt,

-∞<t<+

∞}由以下三個樣本函數(shù)組成，且等概率發(fā)生x1(t)

1,

x2

(t)

sin

t,

x3

(t)

cos

t試計算X的均值函數(shù)和相關函數(shù)，并判斷X的平穩(wěn)性.例4

設X={Xt,-∞<t<+∞}Y={Yt,-∞<t<+∞}是零均值的實平穩(wěn)過程，且有RX

(

)

RY

(

),

RXY

(

)

RYX

(

),令

Zt

Xt

cos0t

Yt

sin

0t證明Z={Zt,-∞<t<+∞}是平穩(wěn)過程.提示：RZ

(t,t

)

RX

(

)cos0

RXY

(

)sin

0

,例5

設RX(τ)

是實平穩(wěn)過程X={Xt,

-∞<t<+

∞}的相關函數(shù).證明ta2t

P{

X

X

a}

2[RX

(0)

RX

(

)]a2P{

X

EX

a}

D[X

]提示：切比

不等式例6

設CX(τ)

是平穩(wěn)過程X={Xt, -∞<t<+

∞}的協(xié)方差函數(shù)，證明：若CX(τ)絕對可積，則X的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性.例7設X={Xt=Y,-∞<t<+∞}是一個隨機過程，Y是一個非的方差存在的隨量，X的各態(tài)歷經(jīng)性.例8

設S(t)是周期為T的可積函數(shù).令Xt=S(t+Θ) t∈(-∞,+

∞),其中Θ為隨

量