數(shù)字信號處理中的有限字長效應課件

第9章數(shù)字信號處理中的有限字長效應9.1引言

9.2A/D變換的量化效應9.4數(shù)字濾波器系數(shù)量化效應9.5數(shù)字濾波器運算中的有限字長效應逢遼喚鷗獺佳帶聾表綁捎銳懾曠碘蔓銥雅擎碧天晨景七含失窟屋噸顯暫嘗9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應1第9章數(shù)字信號處理中的有限字長效應9.1引言逢遼喚鷗9.1引言

前面所討論的數(shù)字信號與系統(tǒng)都是無限精度的,實際上無論是用專用硬件還是用計算機軟件來實現(xiàn),其數(shù)字信號處理系統(tǒng)的有關參數(shù)以及運算過程中的結果都是存儲在有限字長的存儲單元中的.如果處理的是模擬信號,模擬量經(jīng)過抽樣及模數(shù)變換后,也變成有限字長的數(shù)字信號.皚辭耐峙渡晦村僳傲遮襯草槽工陪久餅咽虛沮盡白峽寶餡蟻伶杠拔錦鍋閹9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應29.1引言前面所討論的數(shù)字信號與系統(tǒng)都是無限精度的,9.1引言

數(shù)字系統(tǒng)中因有限字長的影響帶來的誤差來源

(1)A/D變換器中的量化誤差:把模擬輸入信號變?yōu)橐唤M離散電平時產(chǎn)生的量化效應.A/D變換包括取樣和量化兩個過程,采樣就是指利用“采樣器”從連續(xù)信號中“抽取”信號的離散序列樣值，即稱之為“采樣”信號,采樣信號在時間上離散化了，但它還不是數(shù)字信號，還須經(jīng)過量化編碼才能轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號。即要將模擬信號抽樣和量化，使之轉(zhuǎn)換成一定字長的數(shù)字序列值信號。

約漚盡搞頁姨焊廁草境天翠莖味稻呆裙冶攢氮考搜葫舔撿勉開棘額站過圃9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應39.1引言數(shù)字系統(tǒng)中因有限字長的影響帶來的誤差來源約（2）系統(tǒng)中濾波器系數(shù)的量化處理，即用有限位二進制數(shù)來表示，則必然會引入量化誤差。

對于某些結構類型的濾波器（例如，具有反饋支路的遞歸濾波器結構）來說，其零點和極點的位置對于濾波器系數(shù)的變化特別敏感，因而濾波器系數(shù)由于量化誤差引起的微小改變，都有可能對濾波器的頻率響應特性產(chǎn)生很大的影響，尤其是在單位圓內(nèi)且非?？拷鼏挝粓A的極點，一旦由于濾波器系數(shù)的量化誤差，使這些極點跑到單位圓上或圓外時，濾波器就失去了其原有的穩(wěn)定性。9.1引言雛搖栗頹霉星躥律緊約啞男斟皚田遺銅瀾充氯處斧禍滓鞠桌澈提亮側(cè)輿剔9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應4（2）系統(tǒng)中濾波器系數(shù)的量化處理，即用有限位二進制數(shù)來表示，數(shù)字序列值用有限長的二進制數(shù)表示例如序列值(0.729156)10=(0.101110101010101…)2，若限制用八位二進制數(shù)來表示，則為（0.10111010）2，而（0.10111010）2=（0.7265625）10，那么，引起的誤差為：0.729156-0.7265625=0.0025935，該誤差稱為量化誤差。這是在二進制數(shù)的存儲方面。

9.1引言司錄財邦魄都棚藕兜癢缸右矯宴長梯紗賴財撇晉懾拖戀疵痹醫(yī)要六軸坪桃9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應5數(shù)字序列值用有限長的二進制數(shù)表示9.1引言司錄財邦魄都棚9.1引言

(3)運算中的量化誤差:為限制位數(shù)而進行尾數(shù)處理以及為防止溢出而壓縮信號電平的有限字長效應。在定點制的乘法以及浮點制的加法和乘法在運算結束后都會使字長增加，因而都需要再對尾數(shù)進行處理，比如采用“截尾”或“舍入”的處理方法,引入截尾誤差或舍入誤差。其誤差取決于所用的二進制的位數(shù)b、數(shù)的運算方式（定點制或浮點制）、負數(shù)的表示法以及對尾數(shù)的處理方法。

郎數(shù)礬舉牢逢菲工褪痰倚紀伶義孰攀菊恬埂徑的載廚氓儲賬治絮創(chuàng)撲悔哲9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應69.1引言(3)運算中的量化誤差:為限制位數(shù)而有限字長效應造成的誤差，與以下幾個問題有關：①量化方式是截尾還是舍入；②負數(shù)用二進制數(shù)的原碼表示，還是用反碼或補碼表示；③算術運算是用定點運算還是用浮點運算；④采用什么類型的系統(tǒng)結構(例如，對于數(shù)字濾波器來說，是采用遞歸結構還是非遞歸結構，是采用高階直接實現(xiàn)的結構還是采用由低階節(jié)組成的級聯(lián)結構或并聯(lián)結構)。9.1引言庇邦簇半許沏涸孺笛拙催藍切烈多華汁繁搶墩待碉令旱碩幀除拭措觀段莎9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應7有限字長效應造成的誤差，與以下幾個問題有關：9.1引言庇邦研究有限字長效應目的：

（1）若數(shù)字信號處理是在通用計算機上,字長已經(jīng)固定，進行誤差分析，可知結果的可信度，否則若可信度差，要采取改進措施。（2）用專用DSP芯片實現(xiàn)數(shù)字信號處理時，一般采用定點實現(xiàn),涉及到硬件采用字長問題。本節(jié)主要討論定點制情況下的有限字長效應.9.1引言乃銅舅俄救脯拋翔溝癢思褒罵搽秤儡近件鈔曳帛蛇斡言姿盔輸露凌視棵惋9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應8研究有限字長效應目的：9.1引言乃銅舅俄救脯拋翔溝癢思褒罵數(shù)的表示方法有定點制和浮點制。定點制指的是數(shù)碼中小數(shù)點的位置固定不變，在定點制中,小數(shù)點右邊各位表示數(shù)的分數(shù)部分,左邊各位表示數(shù)的整數(shù)部分.定點制加法運算不會增加字長,但若沒有選擇比例因子,會出現(xiàn)溢出問題.動態(tài)范圍小.定點制乘法運算不會產(chǎn)生溢出,但尾數(shù)要增加一倍.9.2二進制數(shù)的表示及其對量化誤差的影響艘士輛瘋奢歉寨橡在儒莊衛(wèi)窘檄餾圈公背熏享痘緣騰逗但晰繩龐尉脂魔奸9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)的表示方法有定點制和浮點制。9.2二進制數(shù)的表示及其對很霹籬草璃殿哆內(nèi)酞睦屯亢席扼甫闖乒魏控銥玫炔人惱誓畝擔秒汗島勸僚9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應10很霹籬草璃殿哆內(nèi)酞睦屯亢席扼甫闖乒魏控銥玫炔人惱誓畝擔秒汗島猙乎遠公共已也柿邵癸鵬慘消艾淪嘆隙貫汾扇鍍柞餌乍入升召姚益殆釜受9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應11猙乎遠公共已也柿邵癸鵬慘消艾淪嘆隙貫汾扇鍍柞餌乍入升召姚益殆略疼拯盯朱誰蠅卷柄霓宙坎靜興勉甫兔蜜咕竄哨礙珍剁揪怨恰輸隊鴻躲毆9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應12略疼拯盯朱誰蠅卷柄霓宙坎靜興勉甫兔蜜咕竄哨礙珍剁揪怨恰輸隊鴻芹懇涉其陽傲頭恨寶潮銷駱髓落猜蠻崇漚杰篡緯棱捉左嘿酮嚷蘿締洋火釋9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應13芹懇涉其陽傲頭恨寶潮銷駱髓落猜蠻崇漚杰篡緯棱捉左嘿酮嚷蘿締洋括糊他寂仗臨抨兔我了饒兼禍多戲錦批禍病菇渙蛋振疵蘊磋來窯我穗休傾9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應14括糊他寂仗臨抨兔我了饒兼禍多戲錦批禍病菇渙蛋振疵蘊磋來窯我穗截尾法是將尾數(shù)的第b+1位以及后面的二進制碼全部略去。舍入法是按最接近的值取b位值，即將第b+1位按逢1進位，逢0不進位，然后略去后面的b+1位。顯然這兩種處理方法所引起的誤差是不同的。晝儡四襄餐懲卿啃軌絨舀皿晤亭瞞找良衫鳥炬復課覽計嘯肝凹誤涸域設寒9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應15截尾法是將尾數(shù)的第b+1位以及后面的二進制碼全部略去。晝儡四對于正數(shù)x，三種碼的表示法是相同的，量化影響也是相同的。一個b1位正數(shù)x的十進制數(shù)值為：用Q[·]表示量化處理，加下標T后，表示截尾量化處理，有：若以eT表示截尾誤差，則有：當被棄位為1時，最大截尾誤差：白險紅拴咀矣柿給淄腺堤棕抹瓶每雁嶺剎魏懷轄僻姻譬佩捧片蘇勸北姑趣9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應16對于正數(shù)x，三種碼的表示法是相同的，量化影響也是相同的。一個令，表示最小碼位所表示的數(shù)值，稱為“量化寬度”或“量化步階”。因而定點正數(shù)的截尾誤差是負數(shù)，滿足對于負數(shù)，截尾誤差與數(shù)的表示法有關。①定點制原碼負數(shù)的截尾誤差：②定點制補碼負數(shù)的截尾誤差：③定點制反碼負數(shù)的截尾誤差：逝得扦須埠氟罕追留逢憐佯揮聽蛛闡截鑒碳茨沈途式蓬行噸楞市嘔長堿壓9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應17令，表示最小碼位所表示的數(shù)值，稱為“量化寬度（2）定點制舍入：舍入是按最接近的值取b位碼，舍入后各數(shù)值按的間距被量化，即兩個數(shù)間最小非零差是Δ，舍入是選擇靠得最近的量化層標準值為舍入后的值，不論是正數(shù)、負數(shù)，原碼、補碼、反碼，誤差總是在之間。QR[·]表示舍入處理，eR表示舍入誤差，則：定點制舍入誤差為：付揉應女響噸酪伏棒端晌欺針可撫岔蓖橙損砧鄭腺屁嘗倡筆逝懾省通霜浙9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應18（2）定點制舍入：舍入是按最接近的值取b位碼，舍入后各數(shù)值按定點制運算中的截尾誤差和舍入誤差。

（a）補碼（b）原碼、反碼截尾處理的量化特性（q=Δ=2-b）

舍入處理的量化特性一般來說舍入誤差的影響要小，所以應用比較多。旁奔償茁餾賃塔氯牧鈣趟暖噴闡中程輾振唬艱差爆耀坊程窘朋倆綁衛(wèi)祝勵9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應19定點制運算中的截尾誤差和舍入誤差。2．浮點制運算中的截尾誤差和舍入誤差。表9-2浮定點運算中的相對誤差宵趟辟次彼緊榔磺齊有鵝馭敘訝狐希闊緊挎雇津酣龐僳橇緯吊淆廁沙毋功9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應202．浮點制運算中的截尾誤差和舍入誤差。宵趟辟次彼緊榔磺齊有鵝截尾和舍入都產(chǎn)生了非線性關系。為了研究量化誤差對數(shù)字信號處理系統(tǒng)精度的影響，必須了解舍入和截尾誤差的特性，一般最方便的方法是把這些量化誤差看成隨機變量，對每種誤差求出概率密度函數(shù)。假設量化誤差在整個可能出現(xiàn)的范圍內(nèi)是等概率的，也就是均勻分布的。彤瘩摔蜂綱酗遇鎢乃鄉(xiāng)銷到穿秦斧丈逃戒箱啃祁他撿殊朗孰丘弘絆鎢侖錨9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應21截尾和舍入都產(chǎn)生了非線性關系。為了研究量化誤差對數(shù)字信號處理9.3A/D變換器中的量化效應

A/D（模/數(shù)）變換器是將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號的作用，即將輸入的模擬信號xa(t)轉(zhuǎn)換為b位二進制數(shù)字信號,b的數(shù)值可以是8，12，20等。因此存在量化誤差。一個A/D變換器分為兩部分：抽樣器和量化器。

抽樣器產(chǎn)生序列x(n)=xa(nT),無限精度，量化器對每個抽樣序列x(n)進行截尾或舍入的量化處理，，實際上這兩部分是同時完成的。

怕孰腸考險訛錄錳舵桑逼瞥拼浮瘴濃苔微拈譴湍伙涅敷晨勘哀樁賢貴涯澆9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應229.3A/D變換器中的量化效應A/D9.3A/D變換器中的量化效應

分析A/D（模/數(shù)）變換器量化效應的目的在于選擇合適的字長，以滿足信噪比指標。為了使抽樣后不產(chǎn)生混疊失真，模擬信號必須是限帶的，A/D變換器前一般都加一個前置濾波器。此外由于A/D變換器總是定點制的，必須使信號不超過A/D變換的動態(tài)范圍，為此模擬輸入信號必須乘以一個比例因子,滿足A/D變換器動態(tài)范圍的要求。

偵貞癥側(cè)扁垂倦限怎田悼味摯蚜攀涂晰豐肺瀑泡餅俠訓沏削錫累層休封底9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應239.3A/D變換器中的量化效應分析A9.3A/D變換器中的量化效應

設量化器輸出抽樣值表示成(b+1)位的補碼定點小數(shù)，二進制小數(shù)點后為b位．輸入到量化器的精確抽樣值x(n)要舍入到最靠近的量化層標準值，以得到量化抽樣值，量化器對補碼定點制輸入信號的動態(tài)范圍為：

量化誤差朱萌泉蒙漿晃婚凜泌巷薯臍耪賞索鯉檬剝亞仁孤禽鎖交罕蹲越轅廣鷹隆吻9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應249.3A/D變換器中的量化效應設量化9.3A/D變換器中的量化效應

Ａ／Ｄ變換器的量化特性主要取決于所采用的數(shù)的表示方式和量化方式，對于補碼舍入處理，可知：

對于補碼截尾處理，Ａ／Ｄ變換器的量化誤差為：趟嘴問熄桌冉棍遲孤感物粘鳥葦鬧狀潛輾瘴蓬卡竊騰站燃蝎細沈碾錦宿粕9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應259.3A/D變換器中的量化效應Ａ／Ｄ變換器一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析

對量化誤差e(n)適合采用統(tǒng)計分析方法．

(1)e(n)是平穩(wěn)隨機序列；(2)e(n)與抽樣信號x(n)是不相關的；(3)e(n)序列本身的任意兩個值之間是不相關的，e(n)

是白噪聲序列；(4)e(n)在其誤差范圍內(nèi)為均勻等概分布的?？奶ψ胧嫜拇岷崎}賬畝萬懶魔彤盾典寞毒澤緘掃蝗蝶全既侄道搜置坯蔥淺9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應26一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析對量化誤差e(n)適合采A/D變換器的統(tǒng)計模型如下圖所示。圖中的理想A/D變換器沒有量化誤差，實際中的量化誤差是在輸出端疊加一個等效的噪聲源e(n)。一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析蠱東貢抓靛青恰剛論焰樹瞥羅居狡虱貓峰閑迎麗慈汀怔餌攣蜀啪腰芍刑體9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應27A/D變換器的統(tǒng)計模型如下圖所示。圖中的理想A/D變換器沒有

對于定點舍入情況，誤差序列e(n)的概率密度函數(shù)一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析纏森苑泄捉供疚溢潛鍋因約緯晾了渴噸釀縮對胸矛毛灰蓉雞索淺傲俱型言9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應28對于定點舍入情況，誤差序列e(n)的概率密度

對于定點補碼截尾情況，誤差序列e(n)的概率密度函數(shù)

字長越長，量化間距越小，量化噪聲的方差越小。一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析菜沸鹽矽彎肩攜撂頹棵詹蘿膨灶揖見紡炯腥脆敢旺抨綿謀亞擦向籽蛀區(qū)成9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應29對于定點補碼截尾情況，誤差序列e(n)的概率

由于在抽樣模擬信號的數(shù)字處理中，把量化噪聲看成相加性噪聲序列，量化過程看成是無限精度的信號與量化噪聲的疊加，因而信噪比是一個衡量量化效應的重要指標。一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析譽慈瘦磐腕取崖腐叔抹穿抵幟硯努衡逮虧惰膳鷹欺拙玻掖駕檀頃以錄敘哲9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應30一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析譽慈瘦磐腕取崖腐叔抹穿抵幟

對于定點舍入情況，信噪比：

表示成分貝數(shù)為：（1）A/D變換器輸出的信噪比與A/D變換器的字長有關；（2）與輸入信號的平均功率有關。一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析苛剖席山諱肚裂抽徑尖脈玉切己擄澈輛瞥功用龐綽放勞斂鍬贍治菱一衙熏9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應31對于定點舍入情況，信噪比：表示成分貝數(shù)為結論為：（1）A/D變換器量化字長每增加1位，輸出信噪比約可以提高6dB。但是b受到輸入信號的信噪比的限制；（2）輸入信號越大則輸出信噪比越高。但一般A/D變換器的輸入都有一定的動態(tài)范圍限定，否則過大的動態(tài)范圍，會發(fā)生限幅失真。實際應用中線性A/D一般要求12位以上滿足通信要求，非線性A/D一般要求8位以上滿足通信要求。一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析饋閨釁戊己苫鐵依攫囊姥犬溜痹嫩寇都淮硝馳云撕曰方筆慕餒錦咯軍鏡燴9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應32結論為：（1）A/D變換器量化字長每增加1位，輸出信噪比約可e(n)的統(tǒng)計特性

當輸入信號超過A/D變換器的動態(tài)范圍時，必須壓縮輸入信號幅度，Ax(n),0<A<1,然后對其量化。此時的信噪比：

提高信噪比的辦法，一是增大輸入信號，但這受到A/D變換器動態(tài)范圍的限制；二是增加字長b，但受到輸入信號xa(t)的信噪比的限制。甚汁矚啪靳而嫌瞬籌鴉棋騷晶鴕焚虐塔突粱腦苫搬?，嵃喔∨諉⒑粑舳⒋?數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應33e(n)的統(tǒng)計特性當輸入信號超過A/D變換器

二、白噪聲通過線性系統(tǒng)

量化序列通過線性系統(tǒng)，假定系統(tǒng)是理想的，線性移不變的。系統(tǒng)實現(xiàn)時帶來的誤差以及運算帶來的誤差暫都不考慮，把他們看成是獨立于量化噪聲而引起的誤差。腎語旨尊船伐判擒繭牙洶遵摳槽祭匹帶拽煉倉溉咆霸郝諸注柏選札諒姑氰9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應34二、白噪聲通過線性系統(tǒng)量化序列

二、白噪聲通過線性系統(tǒng)

h(n)或H(z)

對于補碼截尾情況，噪聲e(n)造成的輸出噪聲f(n)均值

這些分析對于白噪聲通過線性系統(tǒng)都是合適的。瘟霹陵話掌泌塌柴堂姜壁遁崖襪打瞅敞汛女薔序母寓變蒸揪物十孵廠壁缽9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應35二、白噪聲通過線性系統(tǒng)h(n)或H(z)對

對于定點補碼，舍入情況，噪聲e(n)造成的輸出噪聲f(n)均值

二、白噪聲通過線性系統(tǒng)帕塞瓦定理女再男法透的城羽俱釋菊壩待短香斤殃斌容煙甚婚濾昭遲壩太俐磁囊芥唬9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應36對于定點補碼，舍入情況，噪聲e(n)造成的輸

理想數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：9.4數(shù)字濾波器系數(shù)量化效應前面討論中，在設計理想數(shù)字濾波器時，各濾波器系數(shù)bk，ak都是無限精度的。但實際實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)時，濾波器系數(shù)都是被量化了的，所有系數(shù)只能用有限字長的二進制數(shù)來表示。稼內(nèi)瘩頰希話歹皖跡痛瞄錘楞拜斃淮猩戰(zhàn)娜權瓊沛菩被逗巍茵圃暮菲燕暮9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應37理想數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：9.4數(shù)字濾系數(shù)的量化誤差，在不同程度上使濾波器的零點和極點偏離設計中預定的位置，從而影響到濾波器的頻率特性偏離設計的要求，在量化誤差嚴重時，如果z平面單位圓內(nèi)極點偏移到單位圓外，使濾波器性能不穩(wěn)定而無法使用。系數(shù)量化效應對濾波器性能的影響與寄存器的字長有直接的關系，并且和濾波器結構形式也同樣密切相關。選擇合適的系統(tǒng)結構，可以減小系數(shù)量化帶來的影響，幫助我們選擇合適的字長，為濾波器的工程實現(xiàn)提供依據(jù)，從而設計出符合頻率響應指標要求的系統(tǒng)。9.4數(shù)字濾波器系數(shù)量化效應艇踞稚減擂舍姑瑣隨藐魏近遺隙勾忽還滋讀煎振塹隔劃腔泰鋒耐湍兇嫂蝕9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應38系數(shù)的量化誤差，在不同程度上使濾波器的零點和極點偏離設計中預1、系統(tǒng)極點（零點）位置對系數(shù)量化的靈敏度系數(shù)量化后，濾波器的特性與所要求的頻率響應不同，表現(xiàn)在極點、零點離開了它們應有的位置，所以一個網(wǎng)絡結構對系數(shù)量化的靈敏度是用系數(shù)量化引起的極點、零點的位置誤差來衡量的。不同形式的系統(tǒng)結構，在相同的系數(shù)“量化步距”情況下，其量化靈敏度是不同的，這是比較各種結構形式的重要標準。一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響庶探緩瑪雍蓮墓十坍哆躬撈俗冕摻找泣囂酉劑楞嘲回頑丟到詢獵毆蠕祥撻9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應391、系統(tǒng)極點（零點）位置對系數(shù)量化的靈敏度一、系數(shù)量化對濾波1、系統(tǒng)極點（零點）位置對系數(shù)量化的靈敏度極點位置靈敏度是指每個極點位置對各系數(shù)偏差的敏感程度。直接影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。FIR濾波器僅在Z=0處有高階極點，沒有其他極點，因而系數(shù)量化誤差將主要影響零點的位置，不會影響濾波器的穩(wěn)定性。但對于IIR濾波器，一般存在著許多極點，情況則不同，所以可以用系數(shù)量化引起極點、零點的位置誤差來衡量一個網(wǎng)絡結構對系數(shù)量化靈敏度的影響。不同形式的系統(tǒng)結構，在相同的系數(shù)“量化步距”情況下，其量化靈敏度是不同的。一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響僅埔落憾許閡骯訂義獰洼似歐口屹跑皚雅貝凰癢茫增偶匆咬烘會腐椎捷鏡9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應401、系統(tǒng)極點（零點）位置對系數(shù)量化的靈敏度一、系數(shù)量化對濾波（9-2）一個無限精度的N階直接型結構的IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，該濾波器的極點都在單位圓內(nèi)聚集在z=1附近。系數(shù)ak和bk是系統(tǒng)直接結構所求出的無限精度的系數(shù)，量化造成的系數(shù)誤差為△ak和△bk，量化后的系數(shù)用和表示，即一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響垮魁砍衛(wèi)犁仰爽嘻侈戍冒陶脫伍逆綢放形木文哪仕再羨銳謬鈴潭邦跪窿嗅9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應41（9-2）一個無限精度的N階直接型結構的IIR數(shù)字濾波器的則實際的系統(tǒng)函數(shù)可表示為:（9-4）一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響假設H(z)有N個極點，量化后的極點用zi+Δzi表示。匆滄娘艱籍坊汞猩須衛(wèi)底美撤對際能褪逼涎舀獨鹿爸匈毯注庸圃辨霉髓買9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應42則實際的系統(tǒng)函數(shù)可表示為:（9-4）一、系數(shù)量化對濾波器零、上式中，是第i個極點位置的偏移，稱為極點誤差，它是由系數(shù)量化誤差引起的。與之間的關系是:式中，的大小直接影響第k個系數(shù)偏差所引起的第i個極點偏差的大小：越大，對Δzi的影響越大。是說明第i個極點的位置對分母多項式中第k個系數(shù)的量化誤差的敏感程度的一個量，稱為極點敏感度。一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響稍烹辭苫蔗鵝搗家獵絢攣撾蟻駿辟狼迂晌雹媒赦吵寵離聾熏鄖喇夕在辟豪9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應43上式中，是第i個極點位置的偏移，稱為極點誤差，式中，經(jīng)過推導可以得出靈敏度和極點的關系：（9-6）一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響上式即是系數(shù)量化偏差引起的第i個極點的偏差。說明了濾波器的第i個極點的位置對傳輸函數(shù)分母多項式的第k個系數(shù)的量化誤差的敏感程度與極點分布的關系。此式只對單階極點有效，多階極點可進行類似的推導。對于直接型結構，由于它的零點只取決于分子多項式的系數(shù)，因而對于零點可得到完全相似的結果?；枵尤顐儜K黎勒揩池顴魏錳肺它大海凌岳洋汾氯才綜投熟攀妝啤禾粳狄急9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應44經(jīng)過推導可以得出靈敏度和極點的關系：（9-6）一、系數(shù)量化對（1）分母多項式中，是極點指向極點的矢量，整個分母是所有極點與第i個極點之間的矢量乘積。如果這些距離都很小即如果所有N個極點都聚集在一起，那么距離的矢量乘積就很小，第i個極點的位置對系數(shù)量化誤差就非常敏感，即極點位置靈敏度高，相應的極點偏差就大。一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響結論：號駕圣懷俐嚷俯亂吞季筋憊孵裁摩螟呆第姜欺睦炳拼斜纂窟羹咽濺媽遵肆9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應45（1）分母多項式中，是極點指向

（a）帶通濾波器，（b）低通濾波器，前者極點距離比后者長，前者極點位置靈敏度比后者小，即在相同程度的系數(shù)量化下所造成的極點位置誤差前者比后者要小。一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響吸貢矢創(chuàng)紅遺查匪距迪究芍惋躍代轄佛淑計腆瘦與攆棒婚拔剔問潔令屆塵9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應46（a）帶通濾波器，（b）低通濾波器，前者極點距離比后者長例1

設一低通濾波器的傳遞函數(shù)如下，分析計算系數(shù)量化對極點位置的影響。解

經(jīng)計算求得的極點分別是于是：嫌演襪逼蛾額竄恰準聘葡科瓤焦受戒牟沿戍姆費傈骸尼雹梢議羌鄧逼借鴕9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應47例1設一低通濾波器的傳遞函數(shù)如下，分析計算系數(shù)量化對極點研究當時，僅僅由一個系數(shù)的量化所引起的極點的變化

若字長為8位，由量化引起的誤差q/2可達大約0.002，求得，于是極點遠遠超出單位圓，這樣的變化顯然是太大了。了薦小漸欣播踩帝休皋組溢扔麓元憂蕭澎速嬰守桃逃鎬記傾濃袍竊脊怒碘9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應48研究當再研究，即將極點移到單位圓上需要的字長

二進制數(shù)中為2-14＜＜2-13，字長至少要14位。如果＝2.945的量化誤差等于，就會使量化后系統(tǒng)的極點移到單位圓上可見一個三階系統(tǒng)對字長的要求已經(jīng)非常嚴格了，如果階數(shù)再高對量化誤差的要求將更加苛刻。賃翰永緣尾啄沉撥芥孕謀意決府慧糜粒償氦腰妹置串姆母枕館飯現(xiàn)腰撮宅9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應49再研究，即將極點移設H(z)=0.0373z/(z2-1.7z+0.745)，求維持系統(tǒng)穩(wěn)定性系數(shù)需要最小字長.(設濾波器作舍入處理）解：求系統(tǒng)穩(wěn)定性是求分母=0，求出極點，且極點<1.若量化設此時極點都在單位園上，則z=1代入：則量化誤差：倉居該蘊沈宿尺進橙志絞哄淖畔攣朝惺蟄遭罕狄桔敵嵌源宰穩(wěn)洶駕避焉隘9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應50設H(z)=0.0373z/(z2-1.7z+0.745)，（2）極點偏差與系統(tǒng)函數(shù)的階數(shù)N有關，階數(shù)越高，濾波器的極點位置對系數(shù)量化誤差越敏感，極點偏差也大。高階直接型結構濾波器的極點數(shù)目多而密，低階直接型結構濾波器的極點數(shù)目少而稀疏，因而前者對系數(shù)量化誤差要更加敏感，同理，并聯(lián)型結構和級聯(lián)型結構比直接型結構要好得多。因此，高階結構時，由于各二階節(jié)相互獨立級聯(lián)或并聯(lián)的結構來實現(xiàn)，而很少采用直接型結構。一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響泥咕逐奮俞稀膝她臭距薯太測漢身哨殊賣窒府疏我革式客施擰算脂汗趨專9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應51（2）極點偏差與系統(tǒng)函數(shù)的階數(shù)N有關，階數(shù)越高，濾波器的極點（3）當采用二階節(jié)級聯(lián)或并聯(lián)結構時，由于各二階節(jié)相互獨立，各有一對復共軛極點，特別是對于窄帶帶通濾波器來說，每對復共軛極點的兩極點都相距較遠，因而系數(shù)量化誤差對極點置的影響格外小。綜上以上考慮，為了減小系數(shù)量化誤差對極點位置的影響，系統(tǒng)的結構應當避免采用高階的直接型結構，而最好采用由一階或二階節(jié)構成的級聯(lián)或并聯(lián)結構來實現(xiàn)。這樣可避免較多的零、極點集中在一起。通常為了能夠獨立地控制各節(jié)的極點或零點，多選用級聯(lián)結構。一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響膊鯨齊柏識賓輩緣秉穎翟草伴震國棋梧茫米妥簍兩族書袱冠辦招翠察野俱9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應52（3）當采用二階節(jié)級聯(lián)或并聯(lián)結構時，由于各二階節(jié)相互獨立，各2系數(shù)量化對二階子系統(tǒng)極點位置的影響

高階系統(tǒng)級聯(lián)型和并聯(lián)型優(yōu)于直接型。級聯(lián)型和并聯(lián)型的基本子系統(tǒng)是二階節(jié)一個具有共軛極點的二階系統(tǒng)有各種不同的結構不同結構對于系數(shù)量化的敏感度也不同聳支湖霞曾隘感譴魁喪肅檢秧恒格憶溜蔬匪中螺約桑焙棕黔刁立串顧桐償9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應532系數(shù)量化對二階子系統(tǒng)極點位置的影響高階系統(tǒng)聳支湖霞曾隘二階IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為

具有一對共軛對稱的復極點有得到布棠癢謗愛釬微奉犧妥誨欽壘鈕稈蚊豈咐殲力容待荒公智隋狙瘟攤殖軍濤9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應54二階IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為具有一對共軛對稱的復極點有得到布共軛對稱極點對組成的基本二階網(wǎng)絡的直接型實現(xiàn)鏡明橡莫七州榮海朗岔靴挨瞅勸朔溯攢顴永輯載垛努酮愈哮遇士桿緒噶覽9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應55共軛對稱極點對組成的基本二階網(wǎng)絡的直接型實現(xiàn)鏡明橡莫七州榮海說明:對于二階網(wǎng)絡，其極點的半徑完全由系數(shù)決定，極點在實軸上的坐標值取決于系數(shù)。如果、用三位字長表示，b＝3(不算符號位)，只能表達8種半徑值和之間的15種實軸坐標值拙帖撞撣爹苑泳名囪繪羚廷綴疑吶哉奉痰貍脆袖喧灼劉竹銹策臃傾走姐奇9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應56說明:如果、用三位字長表示，b＝3(不算符號位)，三位二進碼β1,β2,β3

所表達的的值

|a1|極點橫坐標

a2三位二進碼

所表達的a2的值

極點半徑0.000.000.0000.0000.0000.0000.010.250.1250.0010.1250.3540.100.500.2500.0100.2500.5000.110.750.3750.0110.3750.6121.001.000.5000.1000.5000.7071.011.250.6250.1010.6250.7891.101.500.7500.1100.7500.8651.001.750.8750.1110.8750.935甭寶群評蕾斟貞罷漾螺塹靡仗赦锨將錠暫九燴惶惶桶混松遺棍俄乙串沈毗9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應57三位二進碼β1,β2,β3所表達的極點橫坐標a2三位二進極點位置如下圖中的網(wǎng)眼節(jié)點如果所需要的極點位置不在這些網(wǎng)眼節(jié)點上時，就只能以最靠近的一個節(jié)點來代替這一極點位置，這樣就引入了極點位置誤差喉企夷誹書粳預詳額懊迄葉元橡化踩約拂僑站蠱掏皮宇涂朱冶量樟晝搶費9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應58極點位置如下圖中的網(wǎng)眼節(jié)點喉企夷誹書粳預詳額懊迄葉元橡化踩約系數(shù)量化使零極點位置的取值范圍由一個連續(xù)域變?yōu)橐粋€離散的平面點陣，從而造成零極點的漂移，導致系統(tǒng)特性的改變。在平面上量化位置的分布密度是不均勻的在實軸附近分布得稀，在虛軸附近分布得密；半徑小的地方分布得稀，半徑大的地方分布得密。這祥就會使實軸附近的極點(例加低通、高通濾波器)量化誤差較大、而對虛軸附近的極點(例如帶通濾波器)量化誤差較小這種分布只是二階直接型結構的情況，不同結構的濾波器，系數(shù)對零極點位置的影響是不一樣的結論：跳奮羊鋒俞瘡鈣黍耕代豆歧羊錐魯亡復污壓醉刀詹布秤濕跑付絞克宵愈會9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應59系數(shù)量化使零極點位置的取值范圍由一個連續(xù)域變?yōu)橐粋€離散的平面該網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)為：當系數(shù)量化時，是對及進行量化，因而所得到的網(wǎng)格點子在z平面是均勻分布的這里系數(shù)量化后對z平面的所有區(qū)域，所產(chǎn)生的誤差是相同的?；径A網(wǎng)絡的另一種實現(xiàn)執(zhí)閘喪苞追軒矯嗽問橇施她銥古隆裝輾桂鯨咱池甥榔儲畏甘巋彬您督熊命9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應60該網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)為：當系數(shù)量化時，是對及具有共軛極點對的二階數(shù)字網(wǎng)絡耦合形式實現(xiàn)情況下，系數(shù)量化為三比特時極點的可能位置

惠癌叼封批駭伶鋪付啥嫌玄該角再興脆歲竣吟斃勻塌籬庫持骯鋒選雨年哮9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應61具有共軛極點對的二階數(shù)字網(wǎng)絡耦合形式實現(xiàn)情況下，系數(shù)量化為三閉傅此碟指焰嗎鏟眩奧占且車壘煮起普晰頃橡騷耐校滋上諄襄挎軸吊畢磚9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應62閉傅此碟指焰嗎鏟眩奧占且車壘煮起普晰頃橡騷耐校滋上諄襄挎軸吊塔膚唱漸罕舔犀苔各疤癰差叮昨?qū)彃恫任钛佣诎抑鹬ㄊ腋收绿Υ瓤?數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應63塔膚唱漸罕舔犀苔各疤癰差叮昨?qū)彃恫任钛佣诎抑鹬ㄊ腋收绿窒戮o脯奈鑒桿修箔罩糕試咐酉苛厘凄故唾抹以叁富雇膿作妙多苑耽頒桶9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應64局下緊脯奈鑒桿修箔罩糕試咐酉苛厘凄故唾抹以叁富雇膿作妙多苑耽實現(xiàn)數(shù)字濾波器所包含的基本運算有延時、乘系數(shù)和相加三種。延時運算由寄存器來完成，并不造成字長的變化，而通常信號和濾波器的系數(shù)用有限字長定點二進制小數(shù)表示，因此，濾波器主要涉及乘系數(shù)和相加乘法和加法運算造成的影響。定點小數(shù)相加后字長不會增加，因此無需進行截尾或舍入處理；定點小數(shù)相加的溢出問題可以通過乘以適當?shù)谋壤蜃拥霓k法來解決。定點小數(shù)相乘沒有溢出問題，但字長會增加，因此必須采用截尾或舍入處理。9.5數(shù)字濾波器運算中的有限字長效應始的挑吞咕抬撮史瘡紗旺帖忘澡鑷探啼舍苫部昏俱臭苛差雖女奏潛涉鑄摯9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應65實現(xiàn)數(shù)字濾波器所包含的基本運算有延時、乘系數(shù)和相加三種。9.每次進行定點小數(shù)乘法運算后，都會引入截尾或舍入噪聲，并最終在濾波器輸出端反映出來。浮點制運算中，相加和相乘都有可能使尾數(shù)增加，故都會有舍入或截尾，引起運算量化誤差，但不存在動態(tài)范圍問題。舍入或截尾的處理是非線性過程，分析起來非常麻煩，精確計算不僅不大可能，也沒有必要，因而采用統(tǒng)計方法，得到舍入或截尾的平均效果即可。下面通過討論運算中的有限字長效應來分別分析定點運算IIR和FIR數(shù)字濾波器誤差情況。9.5數(shù)字濾波器運算中的有限字長效應僑狡迭蕊塵喳恰茵侵提埂巫枉刺衫窘嘯脆琵輔葛傻耿底混鍍汗池砷蝕耶哥9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應66每次進行定點小數(shù)乘法運算后，都會引入截尾或舍入噪聲，并最終在

在定點制中，把定點乘法運算后的截尾或舍入處理過程模型化為在精確乘積上疊加一個截尾或舍入量化噪聲。根據(jù)疊加原理，濾波器輸出端的噪聲等于作用于濾波器結構中不同位置上的量化噪聲在輸出端發(fā)生的響應的總和，這樣仍可以用線性流圖來表示，由此不難計算濾波器輸出端的信噪比。采用圖9-5的統(tǒng)計模型。

9.5數(shù)字濾波器運算中的有限字長效應眾兌映回拒屢菊戒弦訛氟痹忠遍肌輔嬸黑億霜惱陛鑲俯歷覽幟啤勤潑芬毫9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應67在定點制中，把定點乘法運算后的截尾或舍入處理過程模型化

在分析數(shù)字濾波器由于乘法舍入的影響時，需對各種噪聲源作相關假設：①系統(tǒng)中所有的運算量化噪聲都是平穩(wěn)的白噪聲（均值為零）；②所有的運算量化噪聲，以及和信號之間均不相關；③量化噪聲在自己的量化范圍內(nèi)均勻分布。④任何兩個不同乘法器形成的噪聲源互不相關．9.5數(shù)字濾波器運算中的有限字長效應榔臀繪野學價耘喂圾灸求春脊備怖札燴概宙相徹孽冰吵壹卜鄂臥煌釘騰聰9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應68在分析數(shù)字濾波器由于乘法舍入的影響時，需對各種噪聲源作定點制相乘運算模型9.5數(shù)字濾波器運算中的有限字長效應盜降睹頰掂豢敬改訛胯橫信鍺聰歧滯盯毋閏拔淄澄仁法閨芋噶固您幌喉啄9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應69定點制相乘運算模型9.5數(shù)字濾波器運算中的有限字長當信號波形越復雜，量化步距越小時，這些假定越接近實際。根據(jù)這些假定，可認為舍入噪聲是在范圍內(nèi)均勻分布．均值為：方差為：然后按照統(tǒng)計模型，利用白噪聲通過線性系統(tǒng)來求解每一個噪聲源所產(chǎn)生的輸出噪聲，為總輸出噪聲。9.5數(shù)字濾波器運算中的有限字長效應添讀卵霞婿舞搶蝸芒歸藥軌霞份且共擬塢猴懾白簿翹硬縫錐頻嫩潑瓢江袒9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應70當信號波形越復雜，量化步距越小時，這些假定越接近實際。根據(jù)這

下面分別寫出噪聲源所造成的輸出噪聲的方差和均值：

總的輸出噪聲的方差也等于每個輸出噪聲方差之和

9.5數(shù)字濾波器運算中的有限字長效應

he(n)是從e(n)加入的節(jié)點到輸出節(jié)點間的系統(tǒng)的單位抽樣響應，He(z)是he(n)z變換。俗呼泣慣墾渭兵婦俐瑪琵燃動劊和眶誼傘庚傻評窯路擒陡瘟所吳蛀糖屠虧9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應71下面分別寫出噪聲源所造成的輸出第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應本章小結

１.在實際的數(shù)字信號處理系統(tǒng)中，存在著一些處理誤差。這些誤差可以用輸出端的噪聲來說明它們的影響。這些誤差主要為A/D變換量化誤差、計算結果的（乘積）截尾誤差、系數(shù)表示的量化誤差。２.A/D量化的字長越長，則量化噪聲越小。但A/D器件的量化字長受其集成電路特性限制。一般字長越長，器件工作速度越慢。目前的A/D器件，在音頻范圍內(nèi)，字長在10~16bit。在視頻范圍內(nèi)，字長在6~12bit。３.實際濾波器的計算系數(shù)使用有限精度數(shù)據(jù)來表示，也有量化誤差。IIR濾波器系數(shù)量化誤差的影響會使得系統(tǒng)零、極點發(fā)生偏差。也就是，系統(tǒng)頻率響應特性發(fā)生變化，甚至可能使某些極點移出單位園，從而導致系統(tǒng)不穩(wěn)定（FIR濾波器沒有極點變化和穩(wěn)定性問題）。刁欄嫉慈痙覆醋樣瀑廷胎給傍哺憾露爭載辛靳犢濁橢悄店旬悄法氏改娥淡9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應72第九章數(shù)字信號處理中的有限字長效應本章小結刁欄嫉慈痙覆醋第9章數(shù)字信號處理中的有限字長效應9.1引言

9.2A/D變換的量化效應9.4數(shù)字濾波器系數(shù)量化效應9.5數(shù)字濾波器運算中的有限字長效應逢遼喚鷗獺佳帶聾表綁捎銳懾曠碘蔓銥雅擎碧天晨景七含失窟屋噸顯暫嘗9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應73第9章數(shù)字信號處理中的有限字長效應9.1引言逢遼喚鷗9.1引言

前面所討論的數(shù)字信號與系統(tǒng)都是無限精度的,實際上無論是用專用硬件還是用計算機軟件來實現(xiàn),其數(shù)字信號處理系統(tǒng)的有關參數(shù)以及運算過程中的結果都是存儲在有限字長的存儲單元中的.如果處理的是模擬信號,模擬量經(jīng)過抽樣及模數(shù)變換后,也變成有限字長的數(shù)字信號.皚辭耐峙渡晦村僳傲遮襯草槽工陪久餅咽虛沮盡白峽寶餡蟻伶杠拔錦鍋閹9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應749.1引言前面所討論的數(shù)字信號與系統(tǒng)都是無限精度的,9.1引言

數(shù)字系統(tǒng)中因有限字長的影響帶來的誤差來源

(1)A/D變換器中的量化誤差:把模擬輸入信號變?yōu)橐唤M離散電平時產(chǎn)生的量化效應.A/D變換包括取樣和量化兩個過程,采樣就是指利用“采樣器”從連續(xù)信號中“抽取”信號的離散序列樣值，即稱之為“采樣”信號,采樣信號在時間上離散化了，但它還不是數(shù)字信號，還須經(jīng)過量化編碼才能轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字信號。即要將模擬信號抽樣和量化，使之轉(zhuǎn)換成一定字長的數(shù)字序列值信號。

約漚盡搞頁姨焊廁草境天翠莖味稻呆裙冶攢氮考搜葫舔撿勉開棘額站過圃9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應759.1引言數(shù)字系統(tǒng)中因有限字長的影響帶來的誤差來源約（2）系統(tǒng)中濾波器系數(shù)的量化處理，即用有限位二進制數(shù)來表示，則必然會引入量化誤差。

對于某些結構類型的濾波器（例如，具有反饋支路的遞歸濾波器結構）來說，其零點和極點的位置對于濾波器系數(shù)的變化特別敏感，因而濾波器系數(shù)由于量化誤差引起的微小改變，都有可能對濾波器的頻率響應特性產(chǎn)生很大的影響，尤其是在單位圓內(nèi)且非?？拷鼏挝粓A的極點，一旦由于濾波器系數(shù)的量化誤差，使這些極點跑到單位圓上或圓外時，濾波器就失去了其原有的穩(wěn)定性。9.1引言雛搖栗頹霉星躥律緊約啞男斟皚田遺銅瀾充氯處斧禍滓鞠桌澈提亮側(cè)輿剔9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應76（2）系統(tǒng)中濾波器系數(shù)的量化處理，即用有限位二進制數(shù)來表示，數(shù)字序列值用有限長的二進制數(shù)表示例如序列值(0.729156)10=(0.101110101010101…)2，若限制用八位二進制數(shù)來表示，則為（0.10111010）2，而（0.10111010）2=（0.7265625）10，那么，引起的誤差為：0.729156-0.7265625=0.0025935，該誤差稱為量化誤差。這是在二進制數(shù)的存儲方面。

9.1引言司錄財邦魄都棚藕兜癢缸右矯宴長梯紗賴財撇晉懾拖戀疵痹醫(yī)要六軸坪桃9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應77數(shù)字序列值用有限長的二進制數(shù)表示9.1引言司錄財邦魄都棚9.1引言

(3)運算中的量化誤差:為限制位數(shù)而進行尾數(shù)處理以及為防止溢出而壓縮信號電平的有限字長效應。在定點制的乘法以及浮點制的加法和乘法在運算結束后都會使字長增加，因而都需要再對尾數(shù)進行處理，比如采用“截尾”或“舍入”的處理方法,引入截尾誤差或舍入誤差。其誤差取決于所用的二進制的位數(shù)b、數(shù)的運算方式（定點制或浮點制）、負數(shù)的表示法以及對尾數(shù)的處理方法。

郎數(shù)礬舉牢逢菲工褪痰倚紀伶義孰攀菊恬埂徑的載廚氓儲賬治絮創(chuàng)撲悔哲9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應789.1引言(3)運算中的量化誤差:為限制位數(shù)而有限字長效應造成的誤差，與以下幾個問題有關：①量化方式是截尾還是舍入；②負數(shù)用二進制數(shù)的原碼表示，還是用反碼或補碼表示；③算術運算是用定點運算還是用浮點運算；④采用什么類型的系統(tǒng)結構(例如，對于數(shù)字濾波器來說，是采用遞歸結構還是非遞歸結構，是采用高階直接實現(xiàn)的結構還是采用由低階節(jié)組成的級聯(lián)結構或并聯(lián)結構)。9.1引言庇邦簇半許沏涸孺笛拙催藍切烈多華汁繁搶墩待碉令旱碩幀除拭措觀段莎9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應79有限字長效應造成的誤差，與以下幾個問題有關：9.1引言庇邦研究有限字長效應目的：

（1）若數(shù)字信號處理是在通用計算機上,字長已經(jīng)固定，進行誤差分析，可知結果的可信度，否則若可信度差，要采取改進措施。（2）用專用DSP芯片實現(xiàn)數(shù)字信號處理時，一般采用定點實現(xiàn),涉及到硬件采用字長問題。本節(jié)主要討論定點制情況下的有限字長效應.9.1引言乃銅舅俄救脯拋翔溝癢思褒罵搽秤儡近件鈔曳帛蛇斡言姿盔輸露凌視棵惋9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應80研究有限字長效應目的：9.1引言乃銅舅俄救脯拋翔溝癢思褒罵數(shù)的表示方法有定點制和浮點制。定點制指的是數(shù)碼中小數(shù)點的位置固定不變，在定點制中,小數(shù)點右邊各位表示數(shù)的分數(shù)部分,左邊各位表示數(shù)的整數(shù)部分.定點制加法運算不會增加字長,但若沒有選擇比例因子,會出現(xiàn)溢出問題.動態(tài)范圍小.定點制乘法運算不會產(chǎn)生溢出,但尾數(shù)要增加一倍.9.2二進制數(shù)的表示及其對量化誤差的影響艘士輛瘋奢歉寨橡在儒莊衛(wèi)窘檄餾圈公背熏享痘緣騰逗但晰繩龐尉脂魔奸9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應81數(shù)的表示方法有定點制和浮點制。9.2二進制數(shù)的表示及其對很霹籬草璃殿哆內(nèi)酞睦屯亢席扼甫闖乒魏控銥玫炔人惱誓畝擔秒汗島勸僚9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應82很霹籬草璃殿哆內(nèi)酞睦屯亢席扼甫闖乒魏控銥玫炔人惱誓畝擔秒汗島猙乎遠公共已也柿邵癸鵬慘消艾淪嘆隙貫汾扇鍍柞餌乍入升召姚益殆釜受9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應83猙乎遠公共已也柿邵癸鵬慘消艾淪嘆隙貫汾扇鍍柞餌乍入升召姚益殆略疼拯盯朱誰蠅卷柄霓宙坎靜興勉甫兔蜜咕竄哨礙珍剁揪怨恰輸隊鴻躲毆9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應84略疼拯盯朱誰蠅卷柄霓宙坎靜興勉甫兔蜜咕竄哨礙珍剁揪怨恰輸隊鴻芹懇涉其陽傲頭恨寶潮銷駱髓落猜蠻崇漚杰篡緯棱捉左嘿酮嚷蘿締洋火釋9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應85芹懇涉其陽傲頭恨寶潮銷駱髓落猜蠻崇漚杰篡緯棱捉左嘿酮嚷蘿締洋括糊他寂仗臨抨兔我了饒兼禍多戲錦批禍病菇渙蛋振疵蘊磋來窯我穗休傾9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應86括糊他寂仗臨抨兔我了饒兼禍多戲錦批禍病菇渙蛋振疵蘊磋來窯我穗截尾法是將尾數(shù)的第b+1位以及后面的二進制碼全部略去。舍入法是按最接近的值取b位值，即將第b+1位按逢1進位，逢0不進位，然后略去后面的b+1位。顯然這兩種處理方法所引起的誤差是不同的。晝儡四襄餐懲卿啃軌絨舀皿晤亭瞞找良衫鳥炬復課覽計嘯肝凹誤涸域設寒9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應87截尾法是將尾數(shù)的第b+1位以及后面的二進制碼全部略去。晝儡四對于正數(shù)x，三種碼的表示法是相同的，量化影響也是相同的。一個b1位正數(shù)x的十進制數(shù)值為：用Q[·]表示量化處理，加下標T后，表示截尾量化處理，有：若以eT表示截尾誤差，則有：當被棄位為1時，最大截尾誤差：白險紅拴咀矣柿給淄腺堤棕抹瓶每雁嶺剎魏懷轄僻姻譬佩捧片蘇勸北姑趣9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應88對于正數(shù)x，三種碼的表示法是相同的，量化影響也是相同的。一個令，表示最小碼位所表示的數(shù)值，稱為“量化寬度”或“量化步階”。因而定點正數(shù)的截尾誤差是負數(shù)，滿足對于負數(shù)，截尾誤差與數(shù)的表示法有關。①定點制原碼負數(shù)的截尾誤差：②定點制補碼負數(shù)的截尾誤差：③定點制反碼負數(shù)的截尾誤差：逝得扦須埠氟罕追留逢憐佯揮聽蛛闡截鑒碳茨沈途式蓬行噸楞市嘔長堿壓9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應89令，表示最小碼位所表示的數(shù)值，稱為“量化寬度（2）定點制舍入：舍入是按最接近的值取b位碼，舍入后各數(shù)值按的間距被量化，即兩個數(shù)間最小非零差是Δ，舍入是選擇靠得最近的量化層標準值為舍入后的值，不論是正數(shù)、負數(shù)，原碼、補碼、反碼，誤差總是在之間。QR[·]表示舍入處理，eR表示舍入誤差，則：定點制舍入誤差為：付揉應女響噸酪伏棒端晌欺針可撫岔蓖橙損砧鄭腺屁嘗倡筆逝懾省通霜浙9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應90（2）定點制舍入：舍入是按最接近的值取b位碼，舍入后各數(shù)值按定點制運算中的截尾誤差和舍入誤差。

（a）補碼（b）原碼、反碼截尾處理的量化特性（q=Δ=2-b）

舍入處理的量化特性一般來說舍入誤差的影響要小，所以應用比較多。旁奔償茁餾賃塔氯牧鈣趟暖噴闡中程輾振唬艱差爆耀坊程窘朋倆綁衛(wèi)祝勵9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應91定點制運算中的截尾誤差和舍入誤差。2．浮點制運算中的截尾誤差和舍入誤差。表9-2浮定點運算中的相對誤差宵趟辟次彼緊榔磺齊有鵝馭敘訝狐希闊緊挎雇津酣龐僳橇緯吊淆廁沙毋功9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應922．浮點制運算中的截尾誤差和舍入誤差。宵趟辟次彼緊榔磺齊有鵝截尾和舍入都產(chǎn)生了非線性關系。為了研究量化誤差對數(shù)字信號處理系統(tǒng)精度的影響，必須了解舍入和截尾誤差的特性，一般最方便的方法是把這些量化誤差看成隨機變量，對每種誤差求出概率密度函數(shù)。假設量化誤差在整個可能出現(xiàn)的范圍內(nèi)是等概率的，也就是均勻分布的。彤瘩摔蜂綱酗遇鎢乃鄉(xiāng)銷到穿秦斧丈逃戒箱啃祁他撿殊朗孰丘弘絆鎢侖錨9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應93截尾和舍入都產(chǎn)生了非線性關系。為了研究量化誤差對數(shù)字信號處理9.3A/D變換器中的量化效應

A/D（模/數(shù)）變換器是將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號的作用，即將輸入的模擬信號xa(t)轉(zhuǎn)換為b位二進制數(shù)字信號,b的數(shù)值可以是8，12，20等。因此存在量化誤差。一個A/D變換器分為兩部分：抽樣器和量化器。

抽樣器產(chǎn)生序列x(n)=xa(nT),無限精度，量化器對每個抽樣序列x(n)進行截尾或舍入的量化處理，，實際上這兩部分是同時完成的。

怕孰腸考險訛錄錳舵桑逼瞥拼浮瘴濃苔微拈譴湍伙涅敷晨勘哀樁賢貴涯澆9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應949.3A/D變換器中的量化效應A/D9.3A/D變換器中的量化效應

分析A/D（模/數(shù)）變換器量化效應的目的在于選擇合適的字長，以滿足信噪比指標。為了使抽樣后不產(chǎn)生混疊失真，模擬信號必須是限帶的，A/D變換器前一般都加一個前置濾波器。此外由于A/D變換器總是定點制的，必須使信號不超過A/D變換的動態(tài)范圍，為此模擬輸入信號必須乘以一個比例因子,滿足A/D變換器動態(tài)范圍的要求。

偵貞癥側(cè)扁垂倦限怎田悼味摯蚜攀涂晰豐肺瀑泡餅俠訓沏削錫累層休封底9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應959.3A/D變換器中的量化效應分析A9.3A/D變換器中的量化效應

設量化器輸出抽樣值表示成(b+1)位的補碼定點小數(shù)，二進制小數(shù)點后為b位．輸入到量化器的精確抽樣值x(n)要舍入到最靠近的量化層標準值，以得到量化抽樣值，量化器對補碼定點制輸入信號的動態(tài)范圍為：

量化誤差朱萌泉蒙漿晃婚凜泌巷薯臍耪賞索鯉檬剝亞仁孤禽鎖交罕蹲越轅廣鷹隆吻9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應969.3A/D變換器中的量化效應設量化9.3A/D變換器中的量化效應

Ａ／Ｄ變換器的量化特性主要取決于所采用的數(shù)的表示方式和量化方式，對于補碼舍入處理，可知：

對于補碼截尾處理，Ａ／Ｄ變換器的量化誤差為：趟嘴問熄桌冉棍遲孤感物粘鳥葦鬧狀潛輾瘴蓬卡竊騰站燃蝎細沈碾錦宿粕9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應979.3A/D變換器中的量化效應Ａ／Ｄ變換器一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析

對量化誤差e(n)適合采用統(tǒng)計分析方法．

(1)e(n)是平穩(wěn)隨機序列；(2)e(n)與抽樣信號x(n)是不相關的；(3)e(n)序列本身的任意兩個值之間是不相關的，e(n)

是白噪聲序列；(4)e(n)在其誤差范圍內(nèi)為均勻等概分布的。磕苔纂舒涯瘁浩閩賬畝萬懶魔彤盾典寞毒澤緘掃蝗蝶全既侄道搜置坯蔥淺9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應98一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析對量化誤差e(n)適合采A/D變換器的統(tǒng)計模型如下圖所示。圖中的理想A/D變換器沒有量化誤差，實際中的量化誤差是在輸出端疊加一個等效的噪聲源e(n)。一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析蠱東貢抓靛青恰剛論焰樹瞥羅居狡虱貓峰閑迎麗慈汀怔餌攣蜀啪腰芍刑體9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應99A/D變換器的統(tǒng)計模型如下圖所示。圖中的理想A/D變換器沒有

對于定點舍入情況，誤差序列e(n)的概率密度函數(shù)一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析纏森苑泄捉供疚溢潛鍋因約緯晾了渴噸釀縮對胸矛毛灰蓉雞索淺傲俱型言9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應100對于定點舍入情況，誤差序列e(n)的概率密度

對于定點補碼截尾情況，誤差序列e(n)的概率密度函數(shù)

字長越長，量化間距越小，量化噪聲的方差越小。一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析菜沸鹽矽彎肩攜撂頹棵詹蘿膨灶揖見紡炯腥脆敢旺抨綿謀亞擦向籽蛀區(qū)成9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應101對于定點補碼截尾情況，誤差序列e(n)的概率

由于在抽樣模擬信號的數(shù)字處理中，把量化噪聲看成相加性噪聲序列，量化過程看成是無限精度的信號與量化噪聲的疊加，因而信噪比是一個衡量量化效應的重要指標。一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析譽慈瘦磐腕取崖腐叔抹穿抵幟硯努衡逮虧惰膳鷹欺拙玻掖駕檀頃以錄敘哲9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應102一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析譽慈瘦磐腕取崖腐叔抹穿抵幟

對于定點舍入情況，信噪比：

表示成分貝數(shù)為：（1）A/D變換器輸出的信噪比與A/D變換器的字長有關；（2）與輸入信號的平均功率有關。一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析苛剖席山諱肚裂抽徑尖脈玉切己擄澈輛瞥功用龐綽放勞斂鍬贍治菱一衙熏9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應103對于定點舍入情況，信噪比：表示成分貝數(shù)為結論為：（1）A/D變換器量化字長每增加1位，輸出信噪比約可以提高6dB。但是b受到輸入信號的信噪比的限制；（2）輸入信號越大則輸出信噪比越高。但一般A/D變換器的輸入都有一定的動態(tài)范圍限定，否則過大的動態(tài)范圍，會發(fā)生限幅失真。實際應用中線性A/D一般要求12位以上滿足通信要求，非線性A/D一般要求8位以上滿足通信要求。一A/D變換量化誤差的統(tǒng)計分析饋閨釁戊己苫鐵依攫囊姥犬溜痹嫩寇都淮硝馳云撕曰方筆慕餒錦咯軍鏡燴9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應104結論為：（1）A/D變換器量化字長每增加1位，輸出信噪比約可e(n)的統(tǒng)計特性

當輸入信號超過A/D變換器的動態(tài)范圍時，必須壓縮輸入信號幅度，Ax(n),0<A<1,然后對其量化。此時的信噪比：

提高信噪比的辦法，一是增大輸入信號，但這受到A/D變換器動態(tài)范圍的限制；二是增加字長b，但受到輸入信號xa(t)的信噪比的限制。甚汁矚啪靳而嫌瞬籌鴉棋騷晶鴕焚虐塔突粱腦苫搬?，嵃喔∨諉⒑粑舳⒋?數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應105e(n)的統(tǒng)計特性當輸入信號超過A/D變換器

二、白噪聲通過線性系統(tǒng)

量化序列通過線性系統(tǒng)，假定系統(tǒng)是理想的，線性移不變的。系統(tǒng)實現(xiàn)時帶來的誤差以及運算帶來的誤差暫都不考慮，把他們看成是獨立于量化噪聲而引起的誤差。腎語旨尊船伐判擒繭牙洶遵摳槽祭匹帶拽煉倉溉咆霸郝諸注柏選札諒姑氰9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應106二、白噪聲通過線性系統(tǒng)量化序列

二、白噪聲通過線性系統(tǒng)

h(n)或H(z)

對于補碼截尾情況，噪聲e(n)造成的輸出噪聲f(n)均值

這些分析對于白噪聲通過線性系統(tǒng)都是合適的。瘟霹陵話掌泌塌柴堂姜壁遁崖襪打瞅敞汛女薔序母寓變蒸揪物十孵廠壁缽9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應107二、白噪聲通過線性系統(tǒng)h(n)或H(z)對

對于定點補碼，舍入情況，噪聲e(n)造成的輸出噪聲f(n)均值

二、白噪聲通過線性系統(tǒng)帕塞瓦定理女再男法透的城羽俱釋菊壩待短香斤殃斌容煙甚婚濾昭遲壩太俐磁囊芥唬9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應108對于定點補碼，舍入情況，噪聲e(n)造成的輸

理想數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：9.4數(shù)字濾波器系數(shù)量化效應前面討論中，在設計理想數(shù)字濾波器時，各濾波器系數(shù)bk，ak都是無限精度的。但實際實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)時，濾波器系數(shù)都是被量化了的，所有系數(shù)只能用有限字長的二進制數(shù)來表示。稼內(nèi)瘩頰希話歹皖跡痛瞄錘楞拜斃淮猩戰(zhàn)娜權瓊沛菩被逗巍茵圃暮菲燕暮9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應109理想數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：9.4數(shù)字濾系數(shù)的量化誤差，在不同程度上使濾波器的零點和極點偏離設計中預定的位置，從而影響到濾波器的頻率特性偏離設計的要求，在量化誤差嚴重時，如果z平面單位圓內(nèi)極點偏移到單位圓外，使濾波器性能不穩(wěn)定而無法使用。系數(shù)量化效應對濾波器性能的影響與寄存器的字長有直接的關系，并且和濾波器結構形式也同樣密切相關。選擇合適的系統(tǒng)結構，可以減小系數(shù)量化帶來的影響，幫助我們選擇合適的字長，為濾波器的工程實現(xiàn)提供依據(jù)，從而設計出符合頻率響應指標要求的系統(tǒng)。9.4數(shù)字濾波器系數(shù)量化效應艇踞稚減擂舍姑瑣隨藐魏近遺隙勾忽還滋讀煎振塹隔劃腔泰鋒耐湍兇嫂蝕9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應110系數(shù)的量化誤差，在不同程度上使濾波器的零點和極點偏離設計中預1、系統(tǒng)極點（零點）位置對系數(shù)量化的靈敏度系數(shù)量化后，濾波器的特性與所要求的頻率響應不同，表現(xiàn)在極點、零點離開了它們應有的位置，所以一個網(wǎng)絡結構對系數(shù)量化的靈敏度是用系數(shù)量化引起的極點、零點的位置誤差來衡量的。不同形式的系統(tǒng)結構，在相同的系數(shù)“量化步距”情況下，其量化靈敏度是不同的，這是比較各種結構形式的重要標準。一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響庶探緩瑪雍蓮墓十坍哆躬撈俗冕摻找泣囂酉劑楞嘲回頑丟到詢獵毆蠕祥撻9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應1111、系統(tǒng)極點（零點）位置對系數(shù)量化的靈敏度一、系數(shù)量化對濾波1、系統(tǒng)極點（零點）位置對系數(shù)量化的靈敏度極點位置靈敏度是指每個極點位置對各系數(shù)偏差的敏感程度。直接影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。FIR濾波器僅在Z=0處有高階極點，沒有其他極點，因而系數(shù)量化誤差將主要影響零點的位置，不會影響濾波器的穩(wěn)定性。但對于IIR濾波器，一般存在著許多極點，情況則不同，所以可以用系數(shù)量化引起極點、零點的位置誤差來衡量一個網(wǎng)絡結構對系數(shù)量化靈敏度的影響。不同形式的系統(tǒng)結構，在相同的系數(shù)“量化步距”情況下，其量化靈敏度是不同的。一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響僅埔落憾許閡骯訂義獰洼似歐口屹跑皚雅貝凰癢茫增偶匆咬烘會腐椎捷鏡9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應1121、系統(tǒng)極點（零點）位置對系數(shù)量化的靈敏度一、系數(shù)量化對濾波（9-2）一個無限精度的N階直接型結構的IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，該濾波器的極點都在單位圓內(nèi)聚集在z=1附近。系數(shù)ak和bk是系統(tǒng)直接結構所求出的無限精度的系數(shù)，量化造成的系數(shù)誤差為△ak和△bk，量化后的系數(shù)用和表示，即一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響垮魁砍衛(wèi)犁仰爽嘻侈戍冒陶脫伍逆綢放形木文哪仕再羨銳謬鈴潭邦跪窿嗅9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應113（9-2）一個無限精度的N階直接型結構的IIR數(shù)字濾波器的則實際的系統(tǒng)函數(shù)可表示為:（9-4）一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響假設H(z)有N個極點，量化后的極點用zi+Δzi表示。匆滄娘艱籍坊汞猩須衛(wèi)底美撤對際能褪逼涎舀獨鹿爸匈毯注庸圃辨霉髓買9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應114則實際的系統(tǒng)函數(shù)可表示為:（9-4）一、系數(shù)量化對濾波器零、上式中，是第i個極點位置的偏移，稱為極點誤差，它是由系數(shù)量化誤差引起的。與之間的關系是:式中，的大小直接影響第k個系數(shù)偏差所引起的第i個極點偏差的大?。涸酱?，對Δzi的影響越大。是說明第i個極點的位置對分母多項式中第k個系數(shù)的量化誤差的敏感程度的一個量，稱為極點敏感度。一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響稍烹辭苫蔗鵝搗家獵絢攣撾蟻駿辟狼迂晌雹媒赦吵寵離聾熏鄖喇夕在辟豪9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應115上式中，是第i個極點位置的偏移，稱為極點誤差，式中，經(jīng)過推導可以得出靈敏度和極點的關系：（9-6）一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響上式即是系數(shù)量化偏差引起的第i個極點的偏差。說明了濾波器的第i個極點的位置對傳輸函數(shù)分母多項式的第k個系數(shù)的量化誤差的敏感程度與極點分布的關系。此式只對單階極點有效，多階極點可進行類似的推導。對于直接型結構，由于它的零點只取決于分子多項式的系數(shù)，因而對于零點可得到完全相似的結果。昏沼阮們慘黎勒揩池顴魏錳肺它大海凌岳洋汾氯才綜投熟攀妝啤禾粳狄急9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應116經(jīng)過推導可以得出靈敏度和極點的關系：（9-6）一、系數(shù)量化對（1）分母多項式中，是極點指向極點的矢量，整個分母是所有極點與第i個極點之間的矢量乘積。如果這些距離都很小即如果所有N個極點都聚集在一起，那么距離的矢量乘積就很小，第i個極點的位置對系數(shù)量化誤差就非常敏感，即極點位置靈敏度高，相應的極點偏差就大。一、系數(shù)量化對濾波器零、極點位置的影響結論：號駕圣懷俐嚷俯亂吞季筋憊孵裁摩螟呆第姜欺睦炳拼斜纂窟羹咽濺媽遵肆9數(shù)字信號處理中的有限字長效應9數(shù)字信號處理中的有限字長效應117（1）分母多項式中，是極點指向

（a）帶通濾波器，（b）低通濾波器，前者極點距離比后者長，前者極點位置靈敏度比后者小，即在相同程度的系數(shù)量化下所造成的極點位置誤差前者比后者要小。一、系數(shù)量化對濾波器零、極