數(shù)學(xué)建模之穩(wěn)定性模型解答課件

第六章穩(wěn)定性模型6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲6.2軍備競賽6.3種群的相互競爭6.4種群的相互依存6.5種群的弱肉強食第六章穩(wěn)定性模型6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲穩(wěn)定性模型對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性模型對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究時間充分長以后6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題及分析在魚量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。背景6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生產(chǎn)量模型假設(shè)無捕撈時魚的自然增長服從Logistic規(guī)律單位時間捕撈量與漁場魚量成正比建模捕撈情況下漁場魚量滿足不需要求解x(t),只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r~固有增長率,N~最大魚量h(x)=Ex,E~捕撈強度x(t)~漁場魚量產(chǎn)量模型假設(shè)無捕撈時魚的自然增長服從Logistic規(guī)律一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡點設(shè)x(t)是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)產(chǎn)量模型平衡點穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,漁場干枯E~捕撈強度r~固有增長率產(chǎn)量模型平衡點穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大圖解法P的橫坐標x0~平衡點y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標h~產(chǎn)量產(chǎn)量最大f與h交點Phmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場魚量為最大魚量的一半產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大圖解法P效益模型假設(shè)魚銷售價格p單位捕撈強度費用c單位時間利潤在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使效益最大.穩(wěn)定平衡點求E使R(E)最大漁場魚量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE效益模型假設(shè)魚銷售價格p單位捕撈強度費用c單位時間利潤EsS(E)T(E)0rE捕撈過度

封閉式捕撈追求利潤R(E)最大

開放式捕撈只求利潤R(E)>0R(E)=0時的捕撈強度(臨界強度)Es=2ER臨界強度下的漁場魚量捕撈過度ERE*令=0EsS(E)T(E)0rE捕撈過度封閉式捕撈追求利潤R(E6.2軍備競賽描述雙方(國家或國家集團)軍備競賽過程解釋(預(yù)測)雙方軍備競賽的結(jié)局假設(shè)1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快；2）由于經(jīng)濟實力限制，一方軍備越大，對自己軍備增長的制約越大；3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭端，每一方都存在增加軍備的潛力。進一步假設(shè)1）2）的作用為線性；3）的作用為常數(shù)目的6.2軍備競賽描述雙方(國家或國家集團)軍備競賽過程建模軍備競賽的結(jié)局微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性x(t)~甲方軍備數(shù)量，y(t)~乙方軍備數(shù)量,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。t時的x(t)，y(t)建模軍備競賽的結(jié)局微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性x(t)~甲方軍線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x0,y0)=(0,0)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點記系數(shù)矩陣特征方程特征根線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x0,y0線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性特征根平衡點P0(0,0)微分方程一般解形式平衡點P0(0,0)穩(wěn)定平衡點P0(0,0)不穩(wěn)定1,2為負數(shù)或有負實部p>0且q>0p<0或q<0線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性特征根平衡點P0(0平衡點穩(wěn)定性判斷系數(shù)矩陣平衡點(x0,y0)穩(wěn)定的條件模型軍備競賽平衡點穩(wěn)定性判斷系數(shù)矩陣平衡點(x0,y0)穩(wěn)定的條件模型模型的定性解釋雙方軍備穩(wěn)定(時間充分長后趨向有限值)的條件雙方經(jīng)濟制約大于雙方軍備刺激時，軍備競賽才會穩(wěn)定，否則軍備將無限擴張。平衡點2)若g=h=0,則x0=y0=0,在>kl下x(t),y(t)0,即友好鄰國通過裁軍可達到永久和平。模型,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。模型的定性解釋雙方軍備穩(wěn)定(時間充分長后趨向有限值)的條件雙3）若g,h不為零，即便雙方一時和解，使某時x(t),y(t)很小，但因，也會重整軍備。4）即使某時一方(由于戰(zhàn)敗或協(xié)議)軍備大減,如x(t)=0，也會因使該方重整軍備，即存在互不信任()或固有爭端()的單方面裁軍不會持久。模型的定性解釋,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。模型3）若g,h不為零，即便雙方一時和解，使某時x(t),6.3種群的相互競爭一個自然環(huán)境中有兩個種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競爭；相互依存；弱肉強食。當(dāng)兩個種群為爭奪食物來源和生存空間相互競爭時，常見的結(jié)局是，競爭力弱的滅絕，競爭力強的達到環(huán)境容許的最大容量。建立數(shù)學(xué)模型描述兩個種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。6.3種群的相互競爭一個自然環(huán)境中有兩個種群生存，它們模型假設(shè)有甲乙兩個種群，它們獨自生存時數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律;兩種群在一起生存時，乙對甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比;甲對乙有同樣的作用。對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1)的1倍。對甲增長的阻滯作用，乙大于甲乙的競爭力強模型模型假設(shè)有甲乙兩個種群，它們獨自生存時數(shù)量變化均服從Log模型分析(平衡點及其穩(wěn)定性)(二階)非線性(自治)方程的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x10,x20)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點模型模型分析(平衡點及其穩(wěn)定性)(二階)非線性(自治)方程的平衡判斷P0(x10,x20)穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程平衡點P0穩(wěn)定(對2,1)p>0且q>0平衡點P0不穩(wěn)定(對2,1)p<0或q<0判斷P0(x10,x20)穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的僅當(dāng)1,2<1或1,2>1時，P3才有意義模型僅當(dāng)1,2<1或1,2>1時，P3才有意平衡點穩(wěn)定性分析平衡點Pi穩(wěn)定條件：p>0且q>0平衡點穩(wěn)定性分析平衡點Pi穩(wěn)定條件：p>0且q種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點2>1,1>1,P1,P2是一個種群存活而另一滅絕的平衡點P3是兩種群共存的平衡點1<1,2<1P1穩(wěn)定的條件1<1?1<12<1穩(wěn)定條件種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點2>1,1>10S1S2S3平衡點穩(wěn)定性的相軌線分析從任意點出發(fā)(t=0)的相軌線都趨向P1(N1,0)(t)P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點(1)2>1,

1<1tx1,x2tx1,x2tx1,x20S1S2S3平衡點穩(wěn)定性的相軌線分析從任意點出發(fā)(t=0)P1P2有相軌線趨向P1有相軌線趨向P2P1穩(wěn)定的條件：直接法2>1P1,P2都不(局部)穩(wěn)定0(3)1<1,2<10(2)1>1,2<10(4)1>1,2>1加上與(4)相區(qū)別的1<1

P2穩(wěn)定

P3穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定P1P2有相軌線趨向P1有相軌線趨向P2P1穩(wěn)定的條件：直接結(jié)果解釋對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1)的1倍。對甲增長的阻滯作用，乙小于甲乙的競爭力弱

P1穩(wěn)定的條件：1<1,2>12>1甲的競爭力強甲達到最大容量，乙滅絕

P2穩(wěn)定的條件：1>1,2<1

P3穩(wěn)定的條件：1<1,2<1通常11/2，P3穩(wěn)定條件不滿足結(jié)果解釋對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N6.4種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。2)甲乙均可以獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。3)甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。6.4種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)模型假設(shè)甲可以獨自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進增長。乙不能獨自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的1倍甲為乙提供食物是乙消耗的2倍模型假設(shè)甲可以獨自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點平衡點P2穩(wěn)定性的相軌線0

1<1,2>1,12<1

P2穩(wěn)定平衡點P2穩(wěn)定性的相軌線01<1,2>1,1212<1~2>1前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋2>1~甲必須為乙提供足夠的食物——甲為乙提供的食物是乙消耗的2倍1<1~2>1,12<1的需要，且1必須足夠小，才能在2>1條件下使12<1成立

P2穩(wěn)定條件：1<1,2>1,12<1甲可以獨自生存乙不能獨立生存12<1~2>1前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋6.5種群的弱肉強食(食餌-捕食者模型)種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。

模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？6.5種群的弱肉強食(食餌-捕食者模型)種群甲靠豐富的食餌（甲）數(shù)量x(t),

捕食者（乙）數(shù)量y(t)甲獨立生存的增長率r乙使甲的增長率減小，減小量與y成正比乙獨立生存的死亡率d甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力食餌（甲）數(shù)量x(t),捕食者（乙）數(shù)量y(t)甲獨Volterra模型的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性分析P點穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析p=0,q>0P:臨界狀態(tài)q<0P′不穩(wěn)定Volterra模型的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性分析P點穩(wěn)tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x~y面上的相軌線tx(t)y(t)020.00004.00000.10002計算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測x(t),y(t)的周期約為9.6xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9用數(shù)值積分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25,y(t)的平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra)計算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(消去dt用相軌線分析點穩(wěn)定性c由初始條件確定取指數(shù)消去dt用相軌線分析x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線的圖形用相軌線分析點穩(wěn)定性相軌線時無相軌線以下設(shè)x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相軌線退化為P點

存在x1<x0<x2,使f(x1)=f(x2)=p存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q相軌線是封閉曲線族xQ3Q4f(x)xx0fm0g(y)gmy0y0相軌線P~中心y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x相軌線是封閉曲線x(t),y(t)是周期函數(shù)(周期記T)求x(t),y(t)在一周期的平均值軌線中心用相軌線分析點穩(wěn)定性相軌線是封閉曲線x(t),y(t)是周期函數(shù)(周期記T)?T2T3T4T1PT1

T2

T3

T4x(t)的“相位”領(lǐng)先y(t)模型解釋初值相軌線的方向?T2T3T4T1PT1T2T3模型解釋r~食餌增長率d~捕食者死亡率b~食餌供養(yǎng)捕食者能力捕食者數(shù)量食餌數(shù)量Pr/ad/ba~捕食者掠取食餌能力捕食者數(shù)量與r成正比,與a成反比食餌數(shù)量與d成正比,與b成反比模型解釋r~食餌增長率d~捕食者死亡率b~食餌供養(yǎng)捕食模型解釋一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降，但是其中鯊魚的比例卻在增加，為什么？rr-1,dd+1捕撈戰(zhàn)時捕撈rr-2,dd+2,2<1???xy食餌(魚)減少，捕食者(鯊魚)增加自然環(huán)境還表明：對害蟲(食餌)—益蟲(捕食者)系統(tǒng)，使用滅兩種蟲的殺蟲劑,會使害蟲增加，益蟲減少。模型解釋一次大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降，但是其中鯊魚的比食餌-捕食者模型(Volterra)的缺點與改進Volterra模型改寫多數(shù)食餌—捕食者系統(tǒng)觀察不到周期震蕩,而是趨向某個平衡狀態(tài),即存在穩(wěn)定平衡點加Logistic項有穩(wěn)定平衡點食餌-捕食者模型(Volterra)的缺點與改進Volter相軌線是封閉曲線，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定——一旦離開某一條閉軌線，就進入另一條閉軌線，不恢復(fù)原狀。自然界存在的周期性平衡生態(tài)系統(tǒng)是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，即偏離周期軌道后，內(nèi)部制約使系統(tǒng)恢復(fù)原狀。食餌-捕食者模型(Volterra)的缺點與改進r1=1,N1=20,1=0.1,w=0.2,r2=0.5,2=0.18相軌線趨向極限環(huán)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定相軌線是封閉曲線，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定——一旦離開某一條閉軌線，就進兩種群模型的幾種形式相互競爭相互依存弱肉強食兩種群模型的幾種形式相互競爭相互依存弱肉強食第六章穩(wěn)定性模型6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲6.2軍備競賽6.3種群的相互競爭6.4種群的相互依存6.5種群的弱肉強食第六章穩(wěn)定性模型6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲穩(wěn)定性模型對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢——平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。不求解微分方程，而是用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性模型對象仍是動態(tài)過程，而建模目的是研究時間充分長以后6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生資源（礦業(yè)等）再生資源應(yīng)適度開發(fā)——在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)前提下實現(xiàn)最大產(chǎn)量或最佳效益。問題及分析在魚量穩(wěn)定的條件下，如何控制捕撈使產(chǎn)量最大或效益最佳。如果使捕撈量等于自然增長量，漁場魚量將保持不變，則捕撈量穩(wěn)定。背景6.1捕魚業(yè)的持續(xù)收獲再生資源（漁業(yè)、林業(yè)等）與非再生產(chǎn)量模型假設(shè)無捕撈時魚的自然增長服從Logistic規(guī)律單位時間捕撈量與漁場魚量成正比建模捕撈情況下漁場魚量滿足不需要求解x(t),只需知道x(t)穩(wěn)定的條件r~固有增長率,N~最大魚量h(x)=Ex,E~捕撈強度x(t)~漁場魚量產(chǎn)量模型假設(shè)無捕撈時魚的自然增長服從Logistic規(guī)律一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡點設(shè)x(t)是方程的解，若從x0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱x0是方程(1)的穩(wěn)定平衡點不求x(t),判斷x0穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程一階微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性一階非線性（自治）方程F(x)產(chǎn)量模型平衡點穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)定,漁場干枯E~捕撈強度r~固有增長率產(chǎn)量模型平衡點穩(wěn)定性判斷x0穩(wěn)定,可得到穩(wěn)定產(chǎn)量x1穩(wěn)產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大圖解法P的橫坐標x0~平衡點y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)P的縱坐標h~產(chǎn)量產(chǎn)量最大f與h交點Phmx0*=N/2P*y=E*x控制漁場魚量為最大魚量的一半產(chǎn)量模型在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使產(chǎn)量最大圖解法P效益模型假設(shè)魚銷售價格p單位捕撈強度費用c單位時間利潤在捕撈量穩(wěn)定的條件下，控制捕撈強度使效益最大.穩(wěn)定平衡點求E使R(E)最大漁場魚量收入T=ph(x)=pEx支出S=cE效益模型假設(shè)魚銷售價格p單位捕撈強度費用c單位時間利潤EsS(E)T(E)0rE捕撈過度

封閉式捕撈追求利潤R(E)最大

開放式捕撈只求利潤R(E)>0R(E)=0時的捕撈強度(臨界強度)Es=2ER臨界強度下的漁場魚量捕撈過度ERE*令=0EsS(E)T(E)0rE捕撈過度封閉式捕撈追求利潤R(E6.2軍備競賽描述雙方(國家或國家集團)軍備競賽過程解釋(預(yù)測)雙方軍備競賽的結(jié)局假設(shè)1）由于相互不信任，一方軍備越大，另一方軍備增加越快；2）由于經(jīng)濟實力限制，一方軍備越大，對自己軍備增長的制約越大；3）由于相互敵視或領(lǐng)土爭端，每一方都存在增加軍備的潛力。進一步假設(shè)1）2）的作用為線性；3）的作用為常數(shù)目的6.2軍備競賽描述雙方(國家或國家集團)軍備競賽過程建模軍備競賽的結(jié)局微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性x(t)~甲方軍備數(shù)量，y(t)~乙方軍備數(shù)量,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。t時的x(t)，y(t)建模軍備競賽的結(jié)局微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性x(t)~甲方軍線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x0,y0)=(0,0)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點記系數(shù)矩陣特征方程特征根線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x0,y0線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性特征根平衡點P0(0,0)微分方程一般解形式平衡點P0(0,0)穩(wěn)定平衡點P0(0,0)不穩(wěn)定1,2為負數(shù)或有負實部p>0且q>0p<0或q<0線性常系數(shù)微分方程組的平衡點及其穩(wěn)定性特征根平衡點P0(0平衡點穩(wěn)定性判斷系數(shù)矩陣平衡點(x0,y0)穩(wěn)定的條件模型軍備競賽平衡點穩(wěn)定性判斷系數(shù)矩陣平衡點(x0,y0)穩(wěn)定的條件模型模型的定性解釋雙方軍備穩(wěn)定(時間充分長后趨向有限值)的條件雙方經(jīng)濟制約大于雙方軍備刺激時，軍備競賽才會穩(wěn)定，否則軍備將無限擴張。平衡點2)若g=h=0,則x0=y0=0,在>kl下x(t),y(t)0,即友好鄰國通過裁軍可達到永久和平。模型,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。模型的定性解釋雙方軍備穩(wěn)定(時間充分長后趨向有限值)的條件雙3）若g,h不為零，即便雙方一時和解，使某時x(t),y(t)很小，但因，也會重整軍備。4）即使某時一方(由于戰(zhàn)敗或協(xié)議)軍備大減,如x(t)=0，也會因使該方重整軍備，即存在互不信任()或固有爭端()的單方面裁軍不會持久。模型的定性解釋,~本方經(jīng)濟實力的制約；k,l~對方軍備數(shù)量的刺激；g,h~本方軍備競賽的潛力。模型3）若g,h不為零，即便雙方一時和解，使某時x(t),6.3種群的相互競爭一個自然環(huán)境中有兩個種群生存，它們之間的關(guān)系：相互競爭；相互依存；弱肉強食。當(dāng)兩個種群為爭奪食物來源和生存空間相互競爭時，常見的結(jié)局是，競爭力弱的滅絕，競爭力強的達到環(huán)境容許的最大容量。建立數(shù)學(xué)模型描述兩個種群相互競爭的過程，分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。6.3種群的相互競爭一個自然環(huán)境中有兩個種群生存，它們模型假設(shè)有甲乙兩個種群，它們獨自生存時數(shù)量變化均服從Logistic規(guī)律;兩種群在一起生存時，乙對甲增長的阻滯作用與乙的數(shù)量成正比;甲對乙有同樣的作用。對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1)的1倍。對甲增長的阻滯作用，乙大于甲乙的競爭力強模型模型假設(shè)有甲乙兩個種群，它們獨自生存時數(shù)量變化均服從Log模型分析(平衡點及其穩(wěn)定性)(二階)非線性(自治)方程的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點P0(x10,x20)~代數(shù)方程的根若從P0某鄰域的任一初值出發(fā)，都有稱P0是微分方程的穩(wěn)定平衡點模型模型分析(平衡點及其穩(wěn)定性)(二階)非線性(自治)方程的平衡判斷P0(x10,x20)穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的近似線性方程平衡點P0穩(wěn)定(對2,1)p>0且q>0平衡點P0不穩(wěn)定(對2,1)p<0或q<0判斷P0(x10,x20)穩(wěn)定性的方法——直接法(1)的僅當(dāng)1,2<1或1,2>1時，P3才有意義模型僅當(dāng)1,2<1或1,2>1時，P3才有意平衡點穩(wěn)定性分析平衡點Pi穩(wěn)定條件：p>0且q>0平衡點穩(wěn)定性分析平衡點Pi穩(wěn)定條件：p>0且q種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點2>1,1>1,P1,P2是一個種群存活而另一滅絕的平衡點P3是兩種群共存的平衡點1<1,2<1P1穩(wěn)定的條件1<1?1<12<1穩(wěn)定條件種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性不穩(wěn)定平衡點2>1,1>10S1S2S3平衡點穩(wěn)定性的相軌線分析從任意點出發(fā)(t=0)的相軌線都趨向P1(N1,0)(t)P1(N1,0)是穩(wěn)定平衡點(1)2>1,

1<1tx1,x2tx1,x2tx1,x20S1S2S3平衡點穩(wěn)定性的相軌線分析從任意點出發(fā)(t=0)P1P2有相軌線趨向P1有相軌線趨向P2P1穩(wěn)定的條件：直接法2>1P1,P2都不(局部)穩(wěn)定0(3)1<1,2<10(2)1>1,2<10(4)1>1,2>1加上與(4)相區(qū)別的1<1

P2穩(wěn)定

P3穩(wěn)定P1全局穩(wěn)定P1P2有相軌線趨向P1有相軌線趨向P2P1穩(wěn)定的條件：直接結(jié)果解釋對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N1)的1倍。對甲增長的阻滯作用，乙小于甲乙的競爭力弱

P1穩(wěn)定的條件：1<1,2>12>1甲的競爭力強甲達到最大容量，乙滅絕

P2穩(wěn)定的條件：1>1,2<1

P3穩(wěn)定的條件：1<1,2<1通常11/2，P3穩(wěn)定條件不滿足結(jié)果解釋對于消耗甲的資源而言，乙(相對于N2)是甲(相對于N6.4種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)甲可以獨自生存，乙不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。2)甲乙均可以獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。3)甲乙均不能獨自生存；甲乙一起生存時相互提供食物、促進增長。6.4種群的相互依存甲乙兩種群的相互依存有三種形式1)模型假設(shè)甲可以獨自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;甲乙一起生存時乙為甲提供食物、促進增長。乙不能獨自生存；甲乙一起生存時甲為乙提供食物、促進增長；乙的增長又受到本身的阻滯作用(服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的1倍甲為乙提供食物是乙消耗的2倍模型假設(shè)甲可以獨自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律;種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點種群依存模型的平衡點及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡點平衡點P2穩(wěn)定性的相軌線0

1<1,2>1,12<1

P2穩(wěn)定平衡點P2穩(wěn)定性的相軌線01<1,2>1,1212<1~2>1前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋2>1~甲必須為乙提供足夠的食物——甲為乙提供的食物是乙消耗的2倍1<1~2>1,12<1的需要，且1必須足夠小，才能在2>1條件下使12<1成立

P2穩(wěn)定條件：1<1,2>1,12<1甲可以獨自生存乙不能獨立生存12<1~2>1前提下P2存在的必要條件結(jié)果解釋6.5種群的弱肉強食(食餌-捕食者模型)種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲。

模型的歷史背景——一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降(食用魚和鯊魚同時捕撈)，但是其中鯊魚的比例卻增加，為什么？6.5種群的弱肉強食(食餌-捕食者模型)種群甲靠豐富的食餌（甲）數(shù)量x(t),

捕食者（乙）數(shù)量y(t)甲獨立生存的增長率r乙使甲的增長率減小，減小量與y成正比乙獨立生存的死亡率d甲使乙的死亡率減小，減小量與x成正比方程(1),(2)無解析解食餌-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食餌能力b~食餌供養(yǎng)捕食者能力食餌（甲）數(shù)量x(t),捕食者（乙）數(shù)量y(t)甲獨Volterra模型的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性分析P點穩(wěn)定性不能用近似線性方程分析p=0,q>0P:臨界狀態(tài)q<0P′不穩(wěn)定Volterra模型的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點穩(wěn)定性分析P點穩(wěn)tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解x~y面上的相軌線tx(t)y(t)020.00004.00000.10002計算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測x(t),y(t)的周期約為9.6xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9用數(shù)值積分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25,y(t)的平均值約為10。食餌-捕食者模型(Volterra)計算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t),y(t)是周期函數(shù)，相圖(消去dt用相軌線分析點穩(wěn)定性c由初始條件確定取指數(shù)消去dt用相軌