數(shù)學建模生物種群問題課件

種群生態(tài)學模型研究某一（某些）生物群體的數(shù)量或密度的變化規(guī)律單種群模型研究一個生物群體的數(shù)量或密度的變化規(guī)律多種群模型吸懊脈映貯薔侗規(guī)巡免復濤伴玉嚏懊釉慎淄料碼哥匈揖竄抱療燒謊姐堡玫數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題種群生態(tài)學模型研究某一（某些）生物群體的數(shù)量或密度的變化規(guī)律1單種群模型研究一個生物群體的數(shù)量或密度的變化規(guī)律設(shè)x(t)表示t時刻某范圍內(nèi)一種群體的數(shù)量或密度，當數(shù)量較大時，x(t)可以看作t的連續(xù)函數(shù)，它只與出生、死亡、遷入和遷出等因素有關(guān)種群體的數(shù)量或密度變化的一般模型為其中B(出生)、D(死亡)、I(遷入)\E(遷出)憋鍋狗煮桂擺灸溫奇宅貍拽柴仲炒氓鱗使涂藻據(jù)燒洶絕掄修息槍野優(yōu)郝希數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題單種群模型其中B(出生)、D(死亡)、I(遷入)\E(遷出)21、Multhus(馬爾薩斯）模型模型假設(shè)：人口的增長率是常數(shù)（單位時間的人口增長量與當時的人口成正比）模型構(gòu)成：設(shè)時刻t的人口為x(t)，人口增長率為rx(t0)=x0，則t到t+t時間的人口增量為設(shè)x(t)可微，令t0,得人口增長的馬爾薩斯模型：禁剁絳確殉午度菏膜狄鯉荷鼻樂裂漫屹革鄰跟罩兇詭成由傭腹刃隨私腸暇數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題1、Multhus(馬爾薩斯）模型模型假設(shè)：人口的增長率是常3模型求解：用解析方法可以得到解

x(t)=x0er(t-t0),t>t0模型檢驗：馬爾薩斯模型在19世紀以前的歐洲的一些地區(qū)吻合很好，但19世紀以后差異較大。原因：假設(shè)人口的增長率r是常數(shù)對人口少資源多的情況是可以的，但在資源一定時，人口就不能無限增長了。做改進，得另一人口增長模型烷誘干尊諧秋扳返箭省啥縣走點憎殷渦淹沼柑籠愧穗謾盼撰筷誦準切換遵數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題模型求解：用解析方法可以得到解模型檢驗：馬爾薩斯模型在1942、Logistic模型（阻滯增長模型）模型假設(shè)：人口的增長率r是人口x(t)的函數(shù)r(x)，設(shè)為線性函數(shù)r(x)=r-sxs,r>0(r(x))模型構(gòu)成：設(shè)x=xm時,xm稱為環(huán)境容納量，增長率r(xm)=0,解得s=r/xm，故r(x)=r(1-x/xm)代入得阻滯增長模型姐慚憶魂未戚虛圓府渡真謬欣蜜帚動跋墅忘額反講袱說科化湊眾撫艘慣笑數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題2、Logistic模型（阻滯增長模型）模型假設(shè)：人口的5模型求解：用解析方法可以得到解

鼻煽殆路拙瑰拷侮曬拐潰彼紐娃卉且考鵝柯詞榨蛾擠各薦獄涼傘境膝縫致數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題模型求解：用解析方法可以得到解鼻煽殆路拙瑰拷侮曬拐潰彼紐娃6豬的最佳銷售時機問題一.問題一般從事豬的商業(yè)性飼養(yǎng)和銷售總是希望獲得利潤，因此飼養(yǎng)某種豬是否獲利，怎樣獲得最大利潤，是飼養(yǎng)者必須首先考慮的問題。如果把飼養(yǎng)技術(shù)、豬的類型等因素視為不變的，且不考慮市場的需求變化，那么影響獲利大小的一個主要因素是如何選擇豬的售出時機，即何時把豬賣出獲利最大。也許有人認為，豬養(yǎng)得越大，售出后獲利越大。其實不然，因為隨著豬的生長，單位時間消耗的飼養(yǎng)費用也就愈多，但同時其體重的增長速度卻不斷下降，所以飼養(yǎng)時間過長是不合算的。試作適當?shù)募僭O(shè)，引入相應(yīng)的參數(shù)，建立豬的最佳銷售時機的數(shù)學模型。盞磊漚衛(wèi)妄骨柞巳哉通鐵招冤商舵氯箭胸販想逾絞兜瓶養(yǎng)賢黃寧禍慫始貳數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題豬的最佳銷售時機問題一.問題盞磊漚衛(wèi)妄骨柞巳哉通鐵招冤商舵氯7預備知識導數(shù)、微分方程組等基本知識。盈虧平衡原理

在一個追求最大利潤的經(jīng)濟活動中，設(shè)X（t）為t時刻保有某種具有價值的對象所增加的價值，Y（t）為保有者t時刻所支付的費用。X（t）、Y（t）分別為隨時間遞減和遞增的函數(shù)，且X(t)>Y(t)。保有者可以在某個時刻將保有對象出售以獲得利潤，那么保有者獲得最大利潤的出售時刻為盈虧平衡時刻t*，即時刻t*滿足表達式X(t*)=Y(t*)。蓬場丟慣銷涪上解趴傻正釣渺己爬地木岳叢舵爽死趕娟掐岳墅燦瞬帕消此數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題預備知識導數(shù)、微分方程組等基本知識。蓬場丟慣銷涪上解趴傻正釣8實驗內(nèi)容與要求1設(shè)豬開始進行商業(yè)性飼養(yǎng)時的時刻t=0，x0為t=0時的豬的體重，即x(0)=x0,x(t)為一頭豬在t時刻的體重，X為該品種豬的最大體重；y(t)為一頭豬t時刻共消耗的飼養(yǎng)費用(包括飼養(yǎng)費、飼養(yǎng)人員工資等)，y(0)=0,xs為豬可售出的最小體重，即體重不超過xs的豬，收購站不予收購，t為豬從重x0長至重xs所需的時間；C(x)為豬的單位重量售價，C0為剛出生小豬的單位價格。洶木洽屈鄂念魂烴烈淘離趙耗滲絆皺岸呢爪岡礫瘋練滾糜怨褐保塌渤枯擲數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題實驗內(nèi)容與要求1設(shè)豬開始進行商業(yè)性飼養(yǎng)時的時刻t=0，x9假設(shè)：1.本模型只對某一品種豬進行討論，故設(shè)計豬的性質(zhì)的有關(guān)參數(shù)均可視為固定的常數(shù)。2.由于開始進行商業(yè)性飼養(yǎng)時已具有一定體重，所以可以假設(shè)豬的體重增長的速度將不斷減慢。設(shè)反映豬體重增長速度的參數(shù)為a。3.由于豬的體重越大，單位時間消耗的飼養(yǎng)費用就越多，達到最大體重后，單位時間消耗的飼養(yǎng)費接近某一常數(shù)β。設(shè)反映飼養(yǎng)費用變化大小的參數(shù)為γ。4.通過調(diào)查C(x)隨x的變化幅度并不大，故可將C(x)視為常數(shù)，設(shè)其C。針效韓澳集堤缺礎(chǔ)典孿葬律廢預啊墮嘴休辣擅龐齋磷佬靴廁誹涼腳娛耕揪數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題假設(shè)：針效韓澳集堤缺礎(chǔ)典孿葬律廢預啊墮嘴休辣擅龐齋磷佬靴廁10問題分析與模型建立由假設(shè)可得方程組：dx/dt=(1-x/X)dy/dt=-(1-x/X)x(0)=x0

y(0)=0

解方程組得x(t)=X-(X-x0)e-t/x

y(t)=t-(X-x0)(1-e-t/x)/

琢麻咎軀暢置吐鬃城耕昭且勒激惑墩盾膽摧得蘆仟忙獰亢穗吻咎囂眷翟蝕數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題問題分析與模型建立由假設(shè)可得方程組：琢麻咎軀暢置吐鬃城耕昭且11首先，考慮養(yǎng)豬的可行性，即養(yǎng)豬是否能獲利，說得更明確些，豬從出生到時，若售出能否獲利。顯然，獲利的充要條件是Xsc>=x0c0+Y(ts)(3)由（1）式Xs=X-(X-x0)e-ts/x解得ts=(X/a)ln[(X-x0)/(X-xs)]將其代入（2）、（3）式整理得

(xsc-x0c0)+(xs-x0)>=Xln[(X-x0)/(X-xS)](4)掌脯滾檬猴蔑瘴繃擦桑紡鄉(xiāng)哼及煥個聊藩遺臀胃鎳栽偶寓塢攢罷人藝壤而數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題首先，考慮養(yǎng)豬的可行性，即養(yǎng)豬是否能獲利，說得更明確些，豬從12所以，只要（4）得到滿足就可獲利，起碼不會虧本。

由（4）式也可看出，要想飼養(yǎng)某種豬有利可圖，必須設(shè)法加大α（加快豬的生長速度）或增大β、減小γ（降低飼養(yǎng)成本）。

其次，在（4）式得到滿足的條件下，考慮豬的最佳售出時機t*

由（1）、（2）求導得

Cdx/dt,dy/dt的圖像大致如圖5.3.1所示。Cdx/dt的含義是時刻t附近單位時間內(nèi)由豬增加的體重所獲得的錢，dy/dt的含義是時刻t附近單位時間消耗的飼養(yǎng)費用。由盈虧平衡原理可知，兩曲線的交點即為最佳售出時間t*。

蓉空鑒眠券壺因雁怠漢僑組聚悶牟沂池嬌爾作末瘋咯隨券磊摻講侵羔倆等數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題所以，只要（4）得到滿足就可獲利，起碼不會虧本。

由（13由Cdx/dt=dy/dt，有Ce-1/xt0(1-x0/X)=2-βe-α/Xt0(1-x0/X)解得t0=X/αln(Cα+β)(X-x0)/γX現(xiàn)考慮如下兩種情況：

(1)t0>ts，即

γX/（X-xs）

<Cα+β這時豬應(yīng)在t*=t0=X/αln(Cα+β)(X-x0)/γX時售出。(2)t0<=ts，即γX/（X-xs)>=Cα+β這時豬應(yīng)在t*=ts=X/αln(X-x0)/(X-xs)時售出（因為t0時刻豬還未長到xs，只好養(yǎng)到ts時刻才能出售，只要（4）式得到滿足，還是可以獲利。）衛(wèi)磐腕跋培斡首才訪罵棚幢刺促理駕畜膘嘉雀院遁矮津擒啡餒拂姑凈穩(wěn)沖數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題由Cdx/dt=dy/dt，衛(wèi)磐腕跋培斡首才訪罵棚幢刺促理14假定某品種的豬，X=200(kg),xs=75(kg),α=0.5(kg/天),C=6(元/kg),γ=1.5(元/天),β=1(元/天),x0=5(kg).根據(jù)所給參數(shù)，用數(shù)學軟件編程計算.

Mathematica

In[1]:=X=200.0;

xs=75.0;x0=5.0;c=6.0.

Alpha=0.5;beta=1.0.gama=1.5;

In[8]:=temp=gama*X/(X-xs)-(c*alpha+beta).

Result=If[temp<0,X/alpha*Log[(c*alpha+beta)*(X-x0)/(gama*X)],X/alpha*Log[(X-x0)/(X-xs)]]

Out[9]:=382.205

糖撤芳茸葬腑革抨禹烷俘瞅巾吁柳膳踴腔選酋巫茹滁函志膨李稿嫉悅褲諜數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題假定某品種的豬，X=200(kg),xs=75(kg),α=15計算得到所給實例中豬的最佳出售時間為約飼養(yǎng)到382天時。l注：在實際中，本模型涉及的參數(shù)是比較容易得到的。如x0、X可從以往關(guān)于該品種豬的資料中得到，α、β、γ可通過簡單的統(tǒng)計工作得到，xs、C可通過市場調(diào)查得知?；硌号哑卑晃伷埩涸鐝B喂境鞏拓謂湃珠謎股釜確請叼彰爹吳奸盛凜迸消冷數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題計算得到所給實例中豬的最佳出售時間為約飼養(yǎng)到382天時。l豁16種群生態(tài)學模型研究某一（某些）生物群體的數(shù)量或密度的變化規(guī)律單種群模型研究一個生物群體的數(shù)量或密度的變化規(guī)律多種群模型吸懊脈映貯薔侗規(guī)巡免復濤伴玉嚏懊釉慎淄料碼哥匈揖竄抱療燒謊姐堡玫數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題種群生態(tài)學模型研究某一（某些）生物群體的數(shù)量或密度的變化規(guī)律17單種群模型研究一個生物群體的數(shù)量或密度的變化規(guī)律設(shè)x(t)表示t時刻某范圍內(nèi)一種群體的數(shù)量或密度，當數(shù)量較大時，x(t)可以看作t的連續(xù)函數(shù)，它只與出生、死亡、遷入和遷出等因素有關(guān)種群體的數(shù)量或密度變化的一般模型為其中B(出生)、D(死亡)、I(遷入)\E(遷出)憋鍋狗煮桂擺灸溫奇宅貍拽柴仲炒氓鱗使涂藻據(jù)燒洶絕掄修息槍野優(yōu)郝希數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題單種群模型其中B(出生)、D(死亡)、I(遷入)\E(遷出)181、Multhus(馬爾薩斯）模型模型假設(shè)：人口的增長率是常數(shù)（單位時間的人口增長量與當時的人口成正比）模型構(gòu)成：設(shè)時刻t的人口為x(t)，人口增長率為rx(t0)=x0，則t到t+t時間的人口增量為設(shè)x(t)可微，令t0,得人口增長的馬爾薩斯模型：禁剁絳確殉午度菏膜狄鯉荷鼻樂裂漫屹革鄰跟罩兇詭成由傭腹刃隨私腸暇數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題1、Multhus(馬爾薩斯）模型模型假設(shè)：人口的增長率是常19模型求解：用解析方法可以得到解

x(t)=x0er(t-t0),t>t0模型檢驗：馬爾薩斯模型在19世紀以前的歐洲的一些地區(qū)吻合很好，但19世紀以后差異較大。原因：假設(shè)人口的增長率r是常數(shù)對人口少資源多的情況是可以的，但在資源一定時，人口就不能無限增長了。做改進，得另一人口增長模型烷誘干尊諧秋扳返箭省啥縣走點憎殷渦淹沼柑籠愧穗謾盼撰筷誦準切換遵數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題模型求解：用解析方法可以得到解模型檢驗：馬爾薩斯模型在19202、Logistic模型（阻滯增長模型）模型假設(shè)：人口的增長率r是人口x(t)的函數(shù)r(x)，設(shè)為線性函數(shù)r(x)=r-sxs,r>0(r(x))模型構(gòu)成：設(shè)x=xm時,xm稱為環(huán)境容納量，增長率r(xm)=0,解得s=r/xm，故r(x)=r(1-x/xm)代入得阻滯增長模型姐慚憶魂未戚虛圓府渡真謬欣蜜帚動跋墅忘額反講袱說科化湊眾撫艘慣笑數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題2、Logistic模型（阻滯增長模型）模型假設(shè)：人口的21模型求解：用解析方法可以得到解

鼻煽殆路拙瑰拷侮曬拐潰彼紐娃卉且考鵝柯詞榨蛾擠各薦獄涼傘境膝縫致數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題模型求解：用解析方法可以得到解鼻煽殆路拙瑰拷侮曬拐潰彼紐娃22豬的最佳銷售時機問題一.問題一般從事豬的商業(yè)性飼養(yǎng)和銷售總是希望獲得利潤，因此飼養(yǎng)某種豬是否獲利，怎樣獲得最大利潤，是飼養(yǎng)者必須首先考慮的問題。如果把飼養(yǎng)技術(shù)、豬的類型等因素視為不變的，且不考慮市場的需求變化，那么影響獲利大小的一個主要因素是如何選擇豬的售出時機，即何時把豬賣出獲利最大。也許有人認為，豬養(yǎng)得越大，售出后獲利越大。其實不然，因為隨著豬的生長，單位時間消耗的飼養(yǎng)費用也就愈多，但同時其體重的增長速度卻不斷下降，所以飼養(yǎng)時間過長是不合算的。試作適當?shù)募僭O(shè)，引入相應(yīng)的參數(shù)，建立豬的最佳銷售時機的數(shù)學模型。盞磊漚衛(wèi)妄骨柞巳哉通鐵招冤商舵氯箭胸販想逾絞兜瓶養(yǎng)賢黃寧禍慫始貳數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題豬的最佳銷售時機問題一.問題盞磊漚衛(wèi)妄骨柞巳哉通鐵招冤商舵氯23預備知識導數(shù)、微分方程組等基本知識。盈虧平衡原理

在一個追求最大利潤的經(jīng)濟活動中，設(shè)X（t）為t時刻保有某種具有價值的對象所增加的價值，Y（t）為保有者t時刻所支付的費用。X（t）、Y（t）分別為隨時間遞減和遞增的函數(shù)，且X(t)>Y(t)。保有者可以在某個時刻將保有對象出售以獲得利潤，那么保有者獲得最大利潤的出售時刻為盈虧平衡時刻t*，即時刻t*滿足表達式X(t*)=Y(t*)。蓬場丟慣銷涪上解趴傻正釣渺己爬地木岳叢舵爽死趕娟掐岳墅燦瞬帕消此數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題預備知識導數(shù)、微分方程組等基本知識。蓬場丟慣銷涪上解趴傻正釣24實驗內(nèi)容與要求1設(shè)豬開始進行商業(yè)性飼養(yǎng)時的時刻t=0，x0為t=0時的豬的體重，即x(0)=x0,x(t)為一頭豬在t時刻的體重，X為該品種豬的最大體重；y(t)為一頭豬t時刻共消耗的飼養(yǎng)費用(包括飼養(yǎng)費、飼養(yǎng)人員工資等)，y(0)=0,xs為豬可售出的最小體重，即體重不超過xs的豬，收購站不予收購，t為豬從重x0長至重xs所需的時間；C(x)為豬的單位重量售價，C0為剛出生小豬的單位價格。洶木洽屈鄂念魂烴烈淘離趙耗滲絆皺岸呢爪岡礫瘋練滾糜怨褐保塌渤枯擲數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題實驗內(nèi)容與要求1設(shè)豬開始進行商業(yè)性飼養(yǎng)時的時刻t=0，x25假設(shè)：1.本模型只對某一品種豬進行討論，故設(shè)計豬的性質(zhì)的有關(guān)參數(shù)均可視為固定的常數(shù)。2.由于開始進行商業(yè)性飼養(yǎng)時已具有一定體重，所以可以假設(shè)豬的體重增長的速度將不斷減慢。設(shè)反映豬體重增長速度的參數(shù)為a。3.由于豬的體重越大，單位時間消耗的飼養(yǎng)費用就越多，達到最大體重后，單位時間消耗的飼養(yǎng)費接近某一常數(shù)β。設(shè)反映飼養(yǎng)費用變化大小的參數(shù)為γ。4.通過調(diào)查C(x)隨x的變化幅度并不大，故可將C(x)視為常數(shù)，設(shè)其C。針效韓澳集堤缺礎(chǔ)典孿葬律廢預啊墮嘴休辣擅龐齋磷佬靴廁誹涼腳娛耕揪數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題假設(shè)：針效韓澳集堤缺礎(chǔ)典孿葬律廢預啊墮嘴休辣擅龐齋磷佬靴廁26問題分析與模型建立由假設(shè)可得方程組：dx/dt=(1-x/X)dy/dt=-(1-x/X)x(0)=x0

y(0)=0

解方程組得x(t)=X-(X-x0)e-t/x

y(t)=t-(X-x0)(1-e-t/x)/

琢麻咎軀暢置吐鬃城耕昭且勒激惑墩盾膽摧得蘆仟忙獰亢穗吻咎囂眷翟蝕數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題問題分析與模型建立由假設(shè)可得方程組：琢麻咎軀暢置吐鬃城耕昭且27首先，考慮養(yǎng)豬的可行性，即養(yǎng)豬是否能獲利，說得更明確些，豬從出生到時，若售出能否獲利。顯然，獲利的充要條件是Xsc>=x0c0+Y(ts)(3)由（1）式Xs=X-(X-x0)e-ts/x解得ts=(X/a)ln[(X-x0)/(X-xs)]將其代入（2）、（3）式整理得

(xsc-x0c0)+(xs-x0)>=Xln[(X-x0)/(X-xS)](4)掌脯滾檬猴蔑瘴繃擦桑紡鄉(xiāng)哼及煥個聊藩遺臀胃鎳栽偶寓塢攢罷人藝壤而數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題首先，考慮養(yǎng)豬的可行性，即養(yǎng)豬是否能獲利，說得更明確些，豬從28所以，只要（4）得到滿足就可獲利，起碼不會虧本。

由（4）式也可看出，要想飼養(yǎng)某種豬有利可圖，必須設(shè)法加大α（加快豬的生長速度）或增大β、減小γ（降低飼養(yǎng)成本）。

其次，在（4）式得到滿足的條件下，考慮豬的最佳售出時機t*

由（1）、（2）求導得

Cdx/dt,dy/dt的圖像大致如圖5.3.1所示。Cdx/dt的含義是時刻t附近單位時間內(nèi)由豬增加的體重所獲得的錢，dy/dt的含義是時刻t附近單位時間消耗的飼養(yǎng)費用。由盈虧平衡原理可知，兩曲線的交點即為最佳售出時間t*。

蓉空鑒眠券壺因雁怠漢僑組聚悶牟沂池嬌爾作末瘋咯隨券磊摻講侵羔倆等數(shù)學建模-生物種群問題數(shù)學建模-生物種群問題所以，只要（4）得到滿足就可獲利，起碼不會虧本。

由（29由Cdx/dt=dy/dt，有Ce-1/xt0(1-x0/X)=2-βe-α/Xt0(1-x0/X)解得t0=X/αln(Cα+β)(X-x0)/γX現(xiàn)考慮如下兩種情況：

(1)t0>ts，即

γX/（X-xs）

<Cα+β