無(wú)理根式的不定積分課件

8.3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分二、三角函數(shù)有理式的不定積分三、某些無(wú)理根式的不定積分18.3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之為有理函數(shù).其一般形式為一、有理函數(shù)的積分（1）2有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之為有理函假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例有理真分式必定可以表示成若干個(gè)部分分式之和(稱為部分分式分解)3假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是有理函數(shù)化為部分分式之和的一般步驟：第一步對(duì)分母

在實(shí)系數(shù)內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解：

第二步根據(jù)分母的各個(gè)因式分別寫出與之相應(yīng)的部分分式：4有理函數(shù)化為部分分式之和的一般步驟：第一步對(duì)分母在（1）分母中若有因式，則分解后為特殊地：分解后為（2）分母中若有因式，其中則分解后為5（1）分母中若有因式，則分解后特殊地：分解后為6特殊地：分解后為6真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例17真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例17代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例28代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例28例3整理得9例3整理得9例4求積分解10例4求積分解10例5求積分解11例5求積分解11例6求積分解令12例6求積分解令121313說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)兩類情況：對(duì)于14說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)兩類情況：對(duì)于14則記令15則記令151616令17令17有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論所以注

用求有理真分式的最簡(jiǎn)分式分解式的方法求其積分往往很麻煩。所以，當(dāng)我們求有理函數(shù)的積分時(shí)，應(yīng)盡可能地考慮是否有其它更簡(jiǎn)便的解法。18有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論所以注用求有理真分式的最例7解19例7解19由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之為三角有理式．三角有理式的定義二、三角函數(shù)有理式的不定積分一般記為三角有理函數(shù)的積分，一般有如下規(guī)律（一）20由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之為三角有（二）萬(wàn)能代換令（萬(wàn)能置換公式）21（二）萬(wàn)能代換令（萬(wàn)能置換公式）21例8解法一：22例8解法一：22解法二：(用初等化簡(jiǎn))解法三：(用初等化簡(jiǎn),并湊微)23解法二：(用初等化簡(jiǎn))解法三：(用初等化簡(jiǎn),例9求積分解由萬(wàn)能置換公式24例9求積分解由萬(wàn)能置換公式242525例10求積分解（一）26例10求積分解（一）26解（二）修改萬(wàn)能置換公式,令27解（二）修改萬(wàn)能置換公式,令27解（三）可以不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬(wàn)能置換.28解（三）可以不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種例11求積分解29例11求積分解2930301、討論類型解決方法作代換去掉根號(hào).例12求積分解令三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分311、討論類型解決方法作代換去掉根號(hào).例12求積分解3232例13求積分解令說(shuō)明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根指數(shù)的最小公倍數(shù).33例13求積分解令說(shuō)明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根例14求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式34例14求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式34由于若記則此二次三項(xiàng)式必屬于以下三種情形之一：因此上述無(wú)理根式的不定積分也就轉(zhuǎn)化為:35由于若記則此二次三項(xiàng)式必屬于以下三種情形之一：因此上述無(wú)理根3636例15求

解［解法一］按上述一般步驟，求得37例15求解［解法一］按上述一般步驟，求得37由于因此．38由于因此．38[解法二]若令則可解出于是所求不定積分化為有理函數(shù)的不定積分

39[解法二]若令則可解出于是所求不定積分化為有理函數(shù)的不定注1可以證明

．所以兩種解法所得結(jié)果是一致的．此外，上述結(jié)果對(duì)同樣成立．40注1可以證明．所以兩種解法所得結(jié)果是一致的．此外，這類變換稱為歐拉變換.41這類變換稱為歐拉變換.41簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬(wàn)能置換公式）（注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能）四、小結(jié)五、作業(yè)P198:1(1)~(6),2(1)~(6).42簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必思考題將分式分解成部分分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？43思考題將分式分解成部分分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？43思考題解答分解后的部分分式必須是最簡(jiǎn)分式.44思考題解答分解后的部分分式必須是最簡(jiǎn)分式.448.3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定積分二、三角函數(shù)有理式的不定積分三、某些無(wú)理根式的不定積分458.3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分一、有理函數(shù)的不定有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之為有理函數(shù).其一般形式為一、有理函數(shù)的積分（1）46有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之為有理函假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例有理真分式必定可以表示成若干個(gè)部分分式之和(稱為部分分式分解)47假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是有理函數(shù)化為部分分式之和的一般步驟：第一步對(duì)分母

在實(shí)系數(shù)內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解：

第二步根據(jù)分母的各個(gè)因式分別寫出與之相應(yīng)的部分分式：48有理函數(shù)化為部分分式之和的一般步驟：第一步對(duì)分母在（1）分母中若有因式，則分解后為特殊地：分解后為（2）分母中若有因式，其中則分解后為49（1）分母中若有因式，則分解后特殊地：分解后為50特殊地：分解后為6真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例151真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例17代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例252代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例28例3整理得53例3整理得9例4求積分解54例4求積分解10例5求積分解55例5求積分解11例6求積分解令56例6求積分解令125713說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)兩類情況：對(duì)于58說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)兩類情況：對(duì)于14則記令59則記令156016令61令17有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論所以注

用求有理真分式的最簡(jiǎn)分式分解式的方法求其積分往往很麻煩。所以，當(dāng)我們求有理函數(shù)的積分時(shí)，應(yīng)盡可能地考慮是否有其它更簡(jiǎn)便的解法。62有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論所以注用求有理真分式的最例7解63例7解19由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之為三角有理式．三角有理式的定義二、三角函數(shù)有理式的不定積分一般記為三角有理函數(shù)的積分，一般有如下規(guī)律（一）64由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之為三角有（二）萬(wàn)能代換令（萬(wàn)能置換公式）65（二）萬(wàn)能代換令（萬(wàn)能置換公式）21例8解法一：66例8解法一：22解法二：(用初等化簡(jiǎn))解法三：(用初等化簡(jiǎn),并湊微)67解法二：(用初等化簡(jiǎn))解法三：(用初等化簡(jiǎn),例9求積分解由萬(wàn)能置換公式68例9求積分解由萬(wàn)能置換公式246925例10求積分解（一）70例10求積分解（一）26解（二）修改萬(wàn)能置換公式,令71解（二）修改萬(wàn)能置換公式,令27解（三）可以不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬(wàn)能置換.72解（三）可以不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種例11求積分解73例11求積分解2974301、討論類型解決方法作代換去掉根號(hào).例12求積分解令三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分751、討論類型解決方法作代換去掉根號(hào).例12求積分解7632例13求積分解令說(shuō)明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根指數(shù)的最小公倍數(shù).77例13求積分解令說(shuō)明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根例14求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式78例14求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式34由于若記則此二次三項(xiàng)式必屬于以下三種情形之一：因此上述無(wú)理根式的不定積分也就轉(zhuǎn)化為:79由于若記則此二次三項(xiàng)式必屬于以下三種情形之一：因此上述無(wú)理根8036例15求

解［解法一］按上述一般步驟，求得81例15求解［解法一］按上述一般步驟，求得37由于因此．82由于因此．38[解法二]若令則可解出于是所求不定積分化為有理函數(shù)的不定積分

83[解法二]若令則可解出于是所求不定積分化為有理函數(shù)的不定注1可以證明

．所以兩種解法所得結(jié)果是一致的．此外，上述結(jié)果對(duì)同樣成立．84注1可以證明．所以兩種解法所得結(jié)果是一致的．此外，這類變換稱為歐拉變換.85這類變換稱為歐拉變換.41簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分