《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程實(shí)施大綱1

《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程實(shí)施大綱目錄1．教學(xué)理念 32．課程描述 52.1課程的性質(zhì)及在學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位和作用 52.3課程的前沿及發(fā)展趨勢(shì) 63．教師簡介 64.先修課程 75．課程目標(biāo) 86．課程內(nèi)容 96.1知識(shí)模塊及對(duì)學(xué)生要求 96.2課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法 116.3、課程的難點(diǎn)及解決辦法 127.課程教學(xué)實(shí)施 128．學(xué)生課程要求 1708.1學(xué)生自學(xué)的要求 1708.2課外閱讀的要求 1708.3課堂討論的要求 1708.4課程實(shí)踐的要求 1709．課程考核方式及評(píng)分規(guī)程 1719.1出勤（遲到、早退等）、作業(yè)、報(bào)告等的要求 1719.2成績的構(gòu)成與評(píng)分規(guī)則說明 1719.3考試形式及說明（含補(bǔ)考） 17110．學(xué)術(shù)誠信規(guī)定 17110.1考試違規(guī)與作弊 17210.2杜撰數(shù)據(jù)、信息等 17210.3學(xué)術(shù)剽竊等 17211．課堂規(guī)范 17311.1課堂紀(jì)律 17311.2課堂禮儀 17412．課程資源 17512.1教材與參考書 17512.2專業(yè)學(xué)術(shù)專著 17512.3專業(yè)刊物 17512.4網(wǎng)絡(luò)課程資源 17512.5課外閱讀資源 17513．其他必要說明（或建議） 17614．學(xué)術(shù)合作備忘錄（契約） 17714.1閱讀課程實(shí)施大綱，理解其內(nèi)容 17714.2同意遵守課程實(shí)施大綱中闡述的標(biāo)準(zhǔn)和期望 1771．教學(xué)理念從我國的社會(huì)主義教育的任務(wù)和教育方針出發(fā)。為我樹立正確的教育價(jià)值觀指明了方向：（1）要完成科學(xué)知識(shí)的講授和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)的傳遞，發(fā)展學(xué)生智育。（2）要發(fā)展學(xué)生的智能，使學(xué)生形成能力，掌握個(gè)人生存和為社會(huì)服務(wù)的本領(lǐng)。（3）要重視學(xué)生操作能力、動(dòng)手能力、實(shí)踐能力的培養(yǎng)，在理論和實(shí)踐結(jié)合上掌握知識(shí)，學(xué)習(xí)技術(shù)，習(xí)得方法。（4）課堂中要適當(dāng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育，逐步使學(xué)生樹立正確的世界觀、科學(xué)的人生觀、形成良好道德品質(zhì)、行為習(xí)慣，樹立與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)相適應(yīng)的思想和品格。上述四個(gè)方面的要求作為自己行為的教學(xué)的選取目標(biāo)和原則學(xué)生通過學(xué)習(xí)，掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論與方法。通過教師的教學(xué)，學(xué)生要獲得的具體的進(jìn)步和發(fā)展，學(xué)生的進(jìn)步和發(fā)展是衡量課堂教學(xué)有效性的唯一尺度。每堂課上完，教師應(yīng)該布置作業(yè)，以檢查教學(xué)的有效性。教師應(yīng)該首先選取適當(dāng)?shù)慕滩模Y(jié)合我們學(xué)校學(xué)生實(shí)際情況，又和其它高校的教材有所區(qū)別。我認(rèn)為，對(duì)我們學(xué)校的學(xué)生，其學(xué)習(xí)重點(diǎn)不是理論的論證和推導(dǎo)，而是公式的應(yīng)用和實(shí)踐，應(yīng)選取則重點(diǎn)方法講解和例題演算的教材。選擇好了教材后，教學(xué)中相關(guān)內(nèi)容的講解還要取舍，還要參考別的教材，教學(xué)中突出層次性和實(shí)踐性。復(fù)變函數(shù)與積分變換的教學(xué)應(yīng)該使大家在學(xué)習(xí)和掌握該課程的基本理論與方法的基礎(chǔ)上,對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)、對(duì)提高分析問題和解決問題的能力有所幫助;其次,教師的教學(xué)不是只求學(xué)生以學(xué)到知識(shí)為目標(biāo),而是希望大家能夠做到會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)研究、會(huì)應(yīng)用、會(huì)思考、會(huì)創(chuàng)造,在本科階段完全做到這五個(gè)方面難免有些苛刻,我們希望我們的教學(xué)能盡量向這五個(gè)方向靠攏,或者能夠?yàn)閷W(xué)生向這方面發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ);再次,使學(xué)生不僅了解復(fù)變函數(shù)與積分變換的科學(xué)知識(shí),還要在學(xué)法上得到某種啟示,將核心放在思路、方法、能力的培養(yǎng)上,將教學(xué)過程變成一種研究創(chuàng)造的過程,不是簡單的傳輸;最后,鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)地參與教學(xué)活動(dòng),不由老師牽著走,敢于懷疑、研究、創(chuàng)造。總之,教師的教學(xué)應(yīng)該盡量做到使學(xué)生不僅掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本概念和基本理論,而且要掌握該課程在現(xiàn)代工業(yè)領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用情況,培養(yǎng)學(xué)生一定的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力?！稄?fù)變函數(shù)與積分變換》是一門理論性和應(yīng)用性都很強(qiáng)的課程。為了搞好本課程的教學(xué)，課程組在重視傳統(tǒng)課堂教學(xué)的基礎(chǔ)上，采取多種方式提高學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力，達(dá)到深化理論學(xué)習(xí)，提高應(yīng)用能力的目的。在教學(xué)過程中，主要有以下幾種教學(xué)方法與手段。

1、注重理論背景和思想方法。復(fù)變函數(shù)與積分變換內(nèi)容的改革在理論研究的同時(shí)，要兼顧到應(yīng)用，研究的主要內(nèi)容、特色、體系結(jié)構(gòu)和所要解決的主要問題都要圍繞有利于學(xué)生的發(fā)展來進(jìn)行。在課堂教學(xué)中，特別強(qiáng)調(diào)理論的應(yīng)用性，盡量減少對(duì)理論的推導(dǎo)證明，但是要求學(xué)生必須了解它的思想和方法。

2、加強(qiáng)與實(shí)際問題聯(lián)系的方法。在講授復(fù)變函數(shù)與積分變換的一些理論時(shí)，結(jié)合實(shí)際問題，使學(xué)生真正感受到課程的一些理論與方法的應(yīng)用，充分調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性。如在講Cauchy積分公式時(shí)，讓學(xué)生思考如何測(cè)得地心的溫度這一問題，如果能測(cè)得地球表面各點(diǎn)的溫度，則可利用Cauchy積分公式來測(cè)得地心的溫度；講共形映射時(shí)，指出許多地質(zhì)測(cè)量等工程技術(shù)人員利用該原理來處理一些不規(guī)則圖形，如把扇形變換為矩形，而保持各采點(diǎn)的性質(zhì)不變等。

3、采用類比式教學(xué)方法。在教學(xué)過程中注重類比引導(dǎo)，深刻理解復(fù)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析（或等數(shù)學(xué)）的區(qū)別與聯(lián)系，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。例如，在復(fù)變函數(shù)的講授中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)中的函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分等概念與數(shù)學(xué)分析（或等數(shù)學(xué)）中函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、積分等概念進(jìn)行比較，找出相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，這樣有利于學(xué)生的理解和記憶。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在比較中自己思考，進(jìn)而得出自己的一些結(jié)論。

4、主體與客體雙向交流的教學(xué)方法。在教學(xué)活動(dòng)中,多注重學(xué)生主體的意識(shí),尋找適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)或興奮點(diǎn),以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性,以便較好的實(shí)現(xiàn)教學(xué)的目的。在強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主的同時(shí),也必須加強(qiáng)教師在教學(xué)活動(dòng)中的主導(dǎo)作用。以教師為主導(dǎo),以學(xué)生為主體,教與學(xué)的關(guān)系是以學(xué)為主,教服務(wù)于學(xué),啟發(fā)于學(xué),促進(jìn)于學(xué),只有雙方互動(dòng)起來,才能搞好教與學(xué)。如在介紹解析函數(shù)的概念時(shí),教師可稍加引導(dǎo),啟發(fā)學(xué)生歸納出函數(shù)的解析性與可導(dǎo)性的關(guān)系,進(jìn)一步加深對(duì)柯西—黎曼方程作用的理解。

5、傳統(tǒng)的教學(xué)手段與現(xiàn)代教育技術(shù)相結(jié)合。在《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程的教學(xué)中，我們對(duì)教學(xué)模式進(jìn)行了改革，注重現(xiàn)代教育技術(shù)的使用。采用多媒體課件和傳統(tǒng)的教學(xué)手段相結(jié)合的教學(xué)模式，并把數(shù)學(xué)軟件（如Matlab）輔助教學(xué)的教學(xué)模式靈活地應(yīng)用到課程的教學(xué)中。利用Matlab求解問題具有規(guī)范、簡潔、靈活等特點(diǎn)；大大簡化了數(shù)學(xué)問題的求解過程，便于求解一些實(shí)際應(yīng)用中較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題；對(duì)于理解掌握《復(fù)變函數(shù)與積分變換》理論知識(shí)也具有一定的輔助作用。通過運(yùn)用這些教學(xué)模式講授課程，不僅可以傳授更多新的教學(xué)內(nèi)容，而且可以展示出本課程更豐富的數(shù)學(xué)物理現(xiàn)象，以達(dá)到數(shù)學(xué)、物理兩方面的有機(jī)結(jié)合和相互融合，同時(shí)也提高了課堂的教學(xué)效率。

6、嚴(yán)格日常管理，探索考核方式。課程組有嚴(yán)格的管理制度，包括教師備課、教案書寫制度，作業(yè)批改記錄制度，教師聽課制度等。教師認(rèn)真填寫教學(xué)日歷，按照教學(xué)日歷上課，課程組定期組織教學(xué)方法討論，及時(shí)交流討論教學(xué)內(nèi)容?？己说姆绞接绊懼鴮W(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度。我們?cè)诳己朔绞缴戏e極探索，試行參照學(xué)生平時(shí)的實(shí)踐學(xué)習(xí)情況，并且把學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)討論中的積極性、創(chuàng)新性等也融入到考核中，進(jìn)一步加強(qiáng)《復(fù)變函數(shù)和積分變換》應(yīng)用能力的培養(yǎng)2．課程描述2.1課程的性質(zhì)及在學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位和作用復(fù)變函數(shù)與積分變換是微積分的后續(xù)課程，是機(jī)電類專業(yè)必修的基礎(chǔ)課，它在電路理論、信號(hào)與系統(tǒng)、通信工程、自動(dòng)控制等多門專業(yè)課中有著廣泛的應(yīng)用。該課程不僅為后繼課程的學(xué)習(xí)提供進(jìn)一步的知識(shí)和有效工具，而且該課程的教學(xué)還擔(dān)負(fù)著鍛煉和提高學(xué)生的思能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的任務(wù)。通過本課程的學(xué)習(xí),可以使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換中的基本理論和方法,為學(xué)習(xí)相關(guān)專業(yè)課程及實(shí)際應(yīng)用提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),擴(kuò)大學(xué)生繼高等數(shù)學(xué)之后相關(guān)課程的知識(shí)面,也是培養(yǎng)學(xué)生推理、歸納、演繹和創(chuàng)新能力、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)及應(yīng)用復(fù)變函數(shù)與積分變換的知識(shí)解決本專業(yè)實(shí)際問題的能力的一門很好的課程,因此學(xué)好這門課程對(duì)學(xué)生來說是非常要的。2.3課程的前沿及發(fā)展趨勢(shì) 微分方程數(shù)值解法在數(shù)值分析中占有重要的地位，它以逼近論、數(shù)值代數(shù)等學(xué)科為基礎(chǔ)，反過來又推動(dòng)這些學(xué)科向前發(fā)展。微分方程數(shù)值解法在科學(xué)計(jì)算、工程技術(shù)等領(lǐng)域有極其廣泛的應(yīng)用。自上世紀(jì)40年代，它已經(jīng)發(fā)展成一門龐大的計(jì)算技術(shù)學(xué)科，并早已列為原來計(jì)算數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課之一。1998年高校專業(yè)目錄有了調(diào)整，原計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)更名為信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)，教學(xué)計(jì)劃和內(nèi)容也有些改變。微分方程數(shù)值解法這門課程出現(xiàn)了新的進(jìn)展。2.4學(xué)習(xí)本課程的必要性 “復(fù)變函數(shù)”是“高等數(shù)學(xué)”在復(fù)數(shù)域的推廣，它的先修課程是“高等數(shù)學(xué)”。高等數(shù)學(xué)中的重要概念，如導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)、微分方程等，在本課程中都有相應(yīng)的定義，但又顯示出新的特點(diǎn)及運(yùn)算方法。學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)需要高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)的的知識(shí)基礎(chǔ)；同時(shí)，復(fù)變函數(shù)的知識(shí)又能進(jìn)一步加深對(duì)已學(xué)過的高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)的理解。所謂積分變換，就是通過積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)更為簡單且易于處理的函數(shù)。它以復(fù)變函數(shù)的知識(shí)為基礎(chǔ)，且兩者關(guān)系密切?！皬?fù)變函數(shù)與積分變換”是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，它的后續(xù)課程是電子信息專業(yè)的相關(guān)專業(yè)課程。它與電子技術(shù)，自動(dòng)控制等課程有密切的聯(lián)系，是解決諸如電磁學(xué)、熱學(xué)、振動(dòng)學(xué)、彈性理論、頻譜分析的有力工具。通過本課程的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們初步掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論和方法，為學(xué)習(xí)工程力學(xué)、電工學(xué)，電磁學(xué)、振動(dòng)力學(xué)、電子技術(shù)等課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。4.先修課程學(xué)習(xí)本課程的基礎(chǔ)是高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)，數(shù)學(xué)物理方程等5．課程目標(biāo)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程既是一門理論基礎(chǔ)課程，又是解決實(shí)際問題的強(qiáng)有力的工具。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生不僅學(xué)到有關(guān)本課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，而且通過對(duì)實(shí)際問題的具體分析，引導(dǎo)學(xué)生從純數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變到數(shù)學(xué)與實(shí)際問題的緊密結(jié)合，將數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際物理問題。

課程目標(biāo)是通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)有關(guān)后繼課程和解決實(shí)際問題奠定必要的基礎(chǔ)；使學(xué)生熟悉基本概念和定理的幾何背景和實(shí)際應(yīng)用背景，強(qiáng)調(diào)對(duì)課程內(nèi)容知識(shí)的本質(zhì)理解和實(shí)際工程應(yīng)用；培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高其數(shù)學(xué)認(rèn)知能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，為學(xué)生以后從事各項(xiàng)工作服務(wù)地方奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。6．課程內(nèi)容本課程的內(nèi)容分為兩部分第一部分由第一至第五章組成，學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)。討論了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及相互關(guān)系，其主要研究對(duì)象是解析函數(shù)。重點(diǎn)內(nèi)容是復(fù)變函數(shù)積分的各種計(jì)算；柯西（Cauchy）定理、柯西（Cauchy）積分公式的理解與應(yīng)用；解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示；孤立奇點(diǎn)的分類及其留數(shù)的計(jì)算。第二部分由第八、第九兩章組成，介紹了兩種在工程技術(shù)上十分重要的積分變換，即Fourier變換和Laplace變換。這一部分內(nèi)容從Fourier級(jí)數(shù)出發(fā)，介紹了Fourier積分公式、并由此得到Fourier變換，研究了這個(gè)變換的重要性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，引入了更加有效的Laplace變換、Laplace逆變換，討論了變換的重要性質(zhì)。.1知識(shí)模塊及對(duì)學(xué)生要求（一）復(fù)變函數(shù)(30學(xué)時(shí))

1、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)(理論4學(xué)時(shí))

2、解析函數(shù)(理論6學(xué)時(shí))

3、復(fù)變函數(shù)的積分(理論8學(xué)時(shí))

4、解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示(理論6學(xué)時(shí))

5、孤立奇點(diǎn)及留數(shù)(理論6學(xué)時(shí))

（二）積分變換(15學(xué)時(shí))

1、傅里葉變換(理論8學(xué)時(shí))

2、拉普拉斯變換(理論7學(xué)時(shí))6.2課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法課程重點(diǎn)：

解析函數(shù)，柯西積分定理和柯西積分公式，解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示，留數(shù)計(jì)算，Matlab計(jì)算留數(shù)和積分，分式線性變換，解析函數(shù)在平面場(chǎng)的應(yīng)用，傅里葉變換，拉普拉斯變換。

課程難點(diǎn)：復(fù)球面及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域，留數(shù)在定積分中的應(yīng)用，洛朗級(jí)數(shù)，共形映射，求傅里葉變換及逆變換，求拉普拉斯換及逆變換。

解決辦法：

1、引入抽象數(shù)學(xué)概念時(shí)，注重實(shí)際例子和幾何直觀相結(jié)合，使學(xué)生有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)。

2、對(duì)定理的理解和論證，強(qiáng)調(diào)借助幾何直觀、力求通俗易懂，強(qiáng)調(diào)定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

3、對(duì)于理論性內(nèi)容，通過與數(shù)學(xué)分析進(jìn)行類比，引導(dǎo)學(xué)生掌握一套有效的學(xué)習(xí)方法。對(duì)于應(yīng)用性內(nèi)容，通過對(duì)實(shí)際問題的具體分析，引導(dǎo)學(xué)生初步掌握分析問題和解決問題的方法。

4、對(duì)于本課程的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，注重精講Matlab程序，指導(dǎo)學(xué)生利用Matlab計(jì)算各類相關(guān)問題，提高學(xué)生的實(shí)踐能力。

5、對(duì)于本課程的難點(diǎn)內(nèi)容，采用輔導(dǎo)、答疑、習(xí)題課和討論課方法解決。7.課程教學(xué)實(shí)施章節(jié)名稱復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算§1.2復(fù)數(shù)的幾何表示第1周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求使學(xué)生重溫復(fù)數(shù)概念，熟練掌握復(fù)數(shù)與共軛下的運(yùn)算法，了解復(fù)數(shù)平面，學(xué)會(huì)運(yùn)用復(fù)數(shù)的三角表示。教學(xué)內(nèi)容提要備注復(fù)數(shù)的誕生先從二次方程談起:公元前400年，巴比倫人發(fā)現(xiàn)和使用的一般根式解．點(diǎn)的表示：數(shù)z與點(diǎn)z同義.2.向量表示法z在第三象限,因此因此的輻角和它的指數(shù)形式教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)有效數(shù)字的計(jì)算，相對(duì)誤差計(jì)算討論、練習(xí)、作業(yè)章節(jié)名稱1.3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.4§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性第1周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握復(fù)數(shù)的乘冪,求解復(fù)數(shù)的方根教學(xué)內(nèi)容提要備注1.乘積與商定理1兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明設(shè)z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2則z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2幾何意義將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍定理1可推廣到n個(gè)復(fù)數(shù)的乘積。例：設(shè)則：則有即k=m+n+1定理2兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。證明由復(fù)數(shù)除法的定義z=z2/z1，即z1z=z2∵|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z1≠0）Argz=Argz2-Argz1即：例1已知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為和，求它的另一個(gè)頂點(diǎn).解如圖，將向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)或后得到的向量或的終點(diǎn)或即為所求.根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法，有，所以.同理，若轉(zhuǎn)角為，可得設(shè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)等邊三邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，證明：證如圖，向量旋轉(zhuǎn)得到向量，向量旋轉(zhuǎn)得到向量，由于復(fù)數(shù)的模為1，輻角為.根據(jù)復(fù)數(shù)乘法，有，由此得.即，所以2.復(fù)數(shù)的乘冪定義n個(gè)相同的復(fù)數(shù)z的乘積，稱為z的n次冪，記作zn，即zn=zzz（共n個(gè)）。設(shè)z=reiθ，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明zn=rn(cosnθ+isinnθ)=rneinθ。特別：當(dāng)|z|=1時(shí)，即：zn=cosnθ+isinnθ，則有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ一棣模佛(DeMoivre)公式。定義3.復(fù)數(shù)的方根問題給定復(fù)數(shù)z=rei，求所有的滿足ωn=z的復(fù)數(shù)ω。當(dāng)z≠0時(shí)，有n個(gè)不同的ω值與相對(duì)應(yīng)，每一個(gè)這樣的ω值都稱為z的n次方根，記幾何上，的n個(gè)值是以原點(diǎn)為中心，為半徑的圓周上n個(gè)等分點(diǎn)，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn).例求.解所以.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，我們知道，在實(shí)數(shù)域內(nèi)，只有一個(gè)值，而在復(fù)數(shù)域內(nèi)，有三個(gè)根，且它們是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)，半徑為2的圓的正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)§1.4復(fù)平面上的點(diǎn)集1.區(qū)域的概念鄰域復(fù)平面上以z0為中心，任意δ>0為半徑的圓|z-z0|<δ(或0<|z–z0|<δ)內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為點(diǎn)z0的δ（去心）鄰域。記為Ｕ(z0,δ)即，設(shè)G是一平面上點(diǎn)集內(nèi)點(diǎn)對(duì)任意z0屬于G，若存在Ｕ(z0,δ)，使該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G，則稱z0是G的內(nèi)點(diǎn).開集若G內(nèi)的每一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱G是開集。區(qū)域設(shè)D是一個(gè)開集，且D是連通的，稱D是一個(gè)區(qū)域。連通是指邊界與邊界點(diǎn)已知點(diǎn)P不屬于D，若點(diǎn)P的任何鄰域中都包含D中的點(diǎn)及不屬于D的點(diǎn)，則稱P是D的邊界點(diǎn)；D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界。閉區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,有界區(qū)域與無界區(qū)域若存在R>0,對(duì)任意z∈D,均有z∈G={z||z|<R}，則D是有界區(qū)域；否則無界。2.簡單曲線（或Jardan曲線)令z(t)=x(t)+iy(t)a≤t≤b;則曲線方程可記為：z=z(t)，a≤t≤b有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線.重點(diǎn)設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，a≤t≤b，對(duì)于t1∈(a，b),t2∈[a,b],當(dāng)t1≠t2時(shí)，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重點(diǎn)定義稱沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C為簡單曲線或Jardan曲線;若簡單曲線C滿足z(a)=z(b)時(shí)，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線簡單閉曲線的性質(zhì)任一條簡單閉曲線C：z=z(t)，t∈[a，b]，把復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：一個(gè)是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個(gè)是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個(gè)是它們的公共邊界。3.單連通域與多連通域定義復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B，如果B內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在B內(nèi)，就稱B為單連通域；非單連通域稱為多連通域.例如|z|<R（R>0）是單連通的；0≤r<|z|≤R是多連通的?！?.5復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的定義例22.映射的概念在幾何上，w=f(z)可以看作定義域函數(shù)值集合復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射（變換）在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對(duì)變量u，v與x，y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便在研究和理解復(fù)變函數(shù)問題時(shí)，可借助于幾何直觀.以下不再區(qū)分函數(shù)與映射（變換）。例3解—關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射見圖1-1~1-2例4—旋轉(zhuǎn)變換(映射)見圖23.反函數(shù)或逆映射例設(shè)z=w2則稱為z=w2的反函數(shù)或逆映射∴為多值函數(shù),2支.定義設(shè)w=f(z)的定義集合為G,函數(shù)值集合為G*則稱z=φ(w)為w=f(z)的反函數(shù)（逆映射）.例已知映射w=z3，求區(qū)域0<argz<在平面w上的象例§1.6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)的極限幾何意義:當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入z0的充分小去心鄰域時(shí),它的象點(diǎn)f(z)就落入A的一個(gè)預(yù)先給定的ε鄰域中.1)意義中的方式是任意的.與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高(2)A是復(fù)數(shù)(3)若f(z)在處有極限,其極限是唯一的.2.運(yùn)算性質(zhì)復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系：定理1定理2以上定理用極限定義證例1例2例33.函數(shù)的連續(xù)性定義定理3例4證明f(z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)。證明定理4連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為0)仍為連續(xù)函數(shù);連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的模也連續(xù)。有界性：教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)求復(fù)數(shù)的方根,映射的幾何意義討論、練習(xí)、作業(yè)章節(jié)名稱第二章解析函數(shù)基礎(chǔ)§2.1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第2周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)內(nèi)容提要備注(1)導(dǎo)數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)。稱此極限值為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)。(1)Δz→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零。(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)例1(2)求導(dǎo)公式與法則實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數(shù)).③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導(dǎo)，則[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)])=f(w)g(z)，其中w=g(z)⑤反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0。例2解例3問：函數(shù)f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)？解例4證明f(z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo)。證明(1)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)，要比實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多，也復(fù)雜得多，這是因?yàn)棣→0是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零的原故。(2)在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的,但在復(fù)變函數(shù)中，卻輕而易舉。(3)可導(dǎo)與連續(xù)若w=f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)w=f(z)點(diǎn)z0處連續(xù).(4)可導(dǎo)與可微可微定義:若函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z的改變量可寫成可導(dǎo)可微易知A(z)=f'(z)當(dāng)f(z)=z時(shí),dz=?z.所以常記dw=df(z)=f'(z)dz教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)不在證明討論、練習(xí)、作業(yè)

章節(jié)名稱§2.2解析函數(shù)第2周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求了解解析函數(shù)的概念,掌握解析函數(shù)的充要條件教學(xué)內(nèi)容提要備注解析函數(shù)的概念定義如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱f(z)在D內(nèi)解析，或稱f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)）。如果f(z)在點(diǎn)z0不解析，就稱z0是f(z)的奇點(diǎn)。1)w=f(z)在D內(nèi)解析在D內(nèi)可導(dǎo)。(2)函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)可導(dǎo)，未必在z0解析例如(1)w=z2在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo)，故是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)；(2)w=1/z，除去z=0點(diǎn)外，是整個(gè)復(fù)平面上的解析函數(shù)；(3)w=zRez在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析(見例4)；(4)僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，故在整個(gè)復(fù)平面上不解析定理1設(shè)w=f(z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f(z)±g(z)，f(z)g(z)及f(z)g(z)(g(z)≠0時(shí))均是D內(nèi)的解析函數(shù)。定理2設(shè)w=f(h)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析,h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,h=g(z)的函數(shù)值集合G，則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)處處解析。如果復(fù)變函數(shù)w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定義域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則函數(shù)w=f(z)在D內(nèi)解析。問題如何判斷函數(shù)的解析性呢？我們將從函數(shù)u(x,y)及v(x,y)的可導(dǎo)性，探求函數(shù)w=f(z)的可導(dǎo)性，從而給出判別函數(shù)解析的一個(gè)充分必要條件，并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法。二.解析函數(shù)的充要條件定義方程稱為Cauchy-Riemann方程(簡稱C-R方程).C-R方程等價(jià)于證明:定理1設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)有定義，則f(z)在點(diǎn)z=x+iy∈D處可導(dǎo)的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程上述條件滿足時(shí),有證明（由f(z)的可導(dǎo)C-R方程滿足上面已證！只須證f(z)的可導(dǎo)函數(shù)u(x,y)、v(x,y)可微）。∵函數(shù)w=f(z)點(diǎn)z可導(dǎo)，即則f(z+Δz)-f(z)=f(z)Δz+(Δz)Δz(1),且令：f(z+Δz)-f(z)=Δu+iΔv，f(z)=a+ib，(Δz)=1+i2故（1）式可寫為Δu+iΔv=(a+ib)(Δx+iΔy)+(1+i2)(Δx+iΔy)=(aΔx-bΔy+1Δx-2Δy)+i(bΔx+aΔy+2Δx+1Δy)因此Δu=aΔx-bΔy+1Δx-2Δy,Δv=bΔx+aΔy+2Δx+1Δy所以u(píng)(x,y)，v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微.（由函數(shù)u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微及滿足C-R方程f(z)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo)）∵u(x，y)，v(x，y)在(x，y)點(diǎn)可微，即：定理2函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿足Cauchy-Riemann方程由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系.當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí),僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來.利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的.推論使用時(shí):i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，ii)驗(yàn)證C-R條件.iii)求導(dǎo)數(shù)：前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的,但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意,并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x,y求導(dǎo)簡單拼湊成的.三.舉例例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo)，在何處解析解(1)設(shè)z=x+iyw=x-iyu=x,v=-y則解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)則u=excosy,v=exsiny解(3)設(shè)z=x+iyw=x2+y2u=x2+y2,v=0則僅在點(diǎn)z=0處滿足C-R條件，故例2求證函數(shù)證明由于在z≠0處，u(x,y)及v(x,y)都是可微函數(shù)，且滿足C-R條件：故函數(shù)w=f(z)在z≠0處解析，其導(dǎo)數(shù)為例3例4如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函數(shù)，且f(z)≠0，那么曲線族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2必互相正交，這里C1、C2常數(shù)解那么在曲線的交點(diǎn)處，i)uy、vy均不為零時(shí)，由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一條曲線的斜率分別為利用C-R方程ux=vy,uy=-vx有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：兩族曲線互相正交.ii)uy，vy中有一為零時(shí)，不妨設(shè)uy=0，則k1=∞，k2=0（由C-R方程）即：兩族曲線在交點(diǎn)處的切線一條是水平的，另一條是鉛直的,它們?nèi)曰ハ嗾?。例如兩族分別以直線y=x和坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線x2-y2=c1,2xy=c2互相正交教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)解析函數(shù)充要條件的應(yīng)用討論、練習(xí)、作業(yè)章節(jié)名稱§2.3初等函數(shù)第3周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求研究這些初等函數(shù)的性質(zhì)，并說明它的解析性。教學(xué)內(nèi)容提要備注一.指數(shù)函數(shù)定義它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)：這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的。二.對(duì)數(shù)函數(shù)(1)對(duì)數(shù)的定義定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。即，故(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例4例5解下列方程：解乘冪與冪函數(shù)乘冪ab定義—多值—一般為多值(1)當(dāng)b=n(正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a的n次冪意義一致。2)當(dāng)b=1/n(n正整數(shù))時(shí)，乘冪ab與a的n次根意義一致。例6解冪函數(shù)zb定義b=n(正整數(shù))w=zn在整個(gè)復(fù)平面上是單值解析函數(shù)四.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形定義正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)由正弦和余弦函數(shù)的定義得其它三角函數(shù)的定義—稱為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、乘冪．討論、練習(xí)、作業(yè)

章節(jié)名稱第三章復(fù)變函數(shù)的積分§3.1復(fù)變函數(shù)積分的概念第3周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求教學(xué)內(nèi)容提要備注1.有向曲線2.積分的定義3.積分存在的條件及其計(jì)算法證明、由曲線積分的計(jì)算法得例1解又解例2解例3解：4.積分性質(zhì)由積分定義得:例題4證明：例如教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)復(fù)變函數(shù)積分存在的條件和計(jì)算方法討論、練習(xí)、作業(yè)

章節(jié)名稱§3.2柯西積分定理第4周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求運(yùn)用柯西積分公式計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分教學(xué)內(nèi)容提要備注實(shí)變函數(shù)的線積分:若D為單連通區(qū)域,P(x,y),Q(x,y)在D具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則再由Green公式知道問題:復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)滿足什么條件在單連通區(qū)域D內(nèi)沿閉路徑的積分為零?要使只要這只須u與v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且ux=vy,uy=-vx.Cauchy-Goursat基本定理推論設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則對(duì)任意兩點(diǎn)z0,z1∈B,積分∫cf(z)dz不依賴于連接起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1的曲線，即積分與路徑無關(guān)。二、原函數(shù)與不定積分推論：如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)處處解析,C屬于D，與路徑無關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。其中C：固定z0,z1=z在D內(nèi)變化,于是在D內(nèi)確定了關(guān)于z的單值函數(shù):定義設(shè)F(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，稱F(z)+c(c為任意常數(shù))為f(z)的不定積分，記作2.積分計(jì)算公式定理設(shè)f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，F(xiàn)(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，則此公式類似于微積分學(xué)中的牛頓－萊布尼茲公式.但是要求函數(shù)是解析的,比以前的連續(xù)條件要強(qiáng)例1計(jì)算下列積分：解1)解計(jì)算下列積分小結(jié)求積分的方法教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)Cauchy-Goursat基本定理應(yīng)用討論、練習(xí)、作業(yè)

章節(jié)名稱3.2柯西積分定理(2)第4周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求復(fù)合閉路定理的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容提要備注可將柯西積分定理推廣到多連通域的情況，有定理2假設(shè)C及C1為任意兩條簡單閉曲線,C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù)f(z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析,在邊界上連續(xù)，則證明：取這說明一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的積分值，只要在變形過程中曲線不經(jīng)過的f(z)的不解析點(diǎn).—閉路變形原理推論（復(fù)合閉路定理）：(互不包含且互不相交)，所圍成的多連通區(qū)域，例題2C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線。（由閉路變形原理）例解教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)討論、練習(xí)、作業(yè)P82-1、2

章節(jié)名稱§3.3Cauchy積分公式第5周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握單步Runge—Kutta公式的構(gòu)造教學(xué)內(nèi)容提要備注分析∴猜想積分定理(Cauchy積分公式)證明一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.例1解例2解例3解教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)討論、練習(xí)、作業(yè)

章節(jié)名稱§3.4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)第5周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容提要備注形式上，以下將對(duì)這些公式的正確性加以證明。定理證明用數(shù)學(xué)歸納法和導(dǎo)數(shù)定義。依次類推，用數(shù)學(xué)歸納法可得一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。例1解教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分討論、練習(xí)、作業(yè)

章節(jié)名稱第四章級(jí)數(shù)§1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)第6周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂,冪級(jí)數(shù)的展開教學(xué)內(nèi)容提要備注復(fù)數(shù)列的收斂與發(fā)散定義又設(shè)復(fù)常數(shù)定理1證明2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義設(shè)復(fù)數(shù)列無窮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的前面n項(xiàng)的和級(jí)數(shù)的部分和例1解定理2證明由定理2，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題可歸之為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題性質(zhì)定理3證明由定理3的證明過程，及不等式定理4定義例2解例3解3.冪級(jí)數(shù)定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的最前面n項(xiàng)的和級(jí)數(shù)的部分和若級(jí)數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)級(jí)數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)(1)中同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：定理1(阿貝爾(Able)定理）由Able定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。顯然，<否則，級(jí)數(shù)(3)將在處發(fā)散將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，逐漸變大，在c內(nèi)部都是紅色,逐漸變小，在c外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò)。故定義這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級(jí)數(shù)的收斂圓；這個(gè)圓的半徑R叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.(i)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。(ii)冪級(jí)數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級(jí)數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.定理2推論1(比值法)推論3(根值法)例1解綜上例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解(1)p=1該級(jí)數(shù)發(fā)散該級(jí)數(shù)收斂p=2該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。綜上該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散故該級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是處處收斂的.5.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算例3解解分析運(yùn)算定理4冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算討論、練習(xí)、作業(yè)

章節(jié)名稱§2泰勒級(jí)數(shù)第6周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握泰勒展開式的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容提要備注由冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知:一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)?，F(xiàn)在研究與此相反的問題：一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?(或者說,一個(gè)解析函數(shù)能否展開成冪級(jí)數(shù)?解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？）以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示定理（泰勒展開定理）設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,而|z-z0|=r為D內(nèi)以z0為中心的任何一個(gè)圓周,把它記作K,它與它的內(nèi)部全含于D,又設(shè)z為K內(nèi)任一點(diǎn).按柯西積分公式,有由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,上式可寫成圓周K的半徑可以任意增大,只要K在D內(nèi).所以,如果z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為d,則f(z)在z0的泰勒展開式在圓域|z-z0|<d內(nèi)成立.2.展開式的唯一性利用泰勒級(jí)數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，這樣的展開式是否唯一？結(jié)論解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是它的Taylor級(jí)數(shù)。事實(shí)上，設(shè)f(z)用另外的方法展開為冪級(jí)數(shù):由此可見，任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)就是Talor級(jí)數(shù)，因而是唯一的。函數(shù)展開成Taylor級(jí)數(shù)的方法：代公式由展開式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分析運(yùn)算和已知函數(shù)的展開式來展開-間接法例1解上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數(shù)展開成z的冪級(jí)數(shù):解(2)由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得：1)另一方面，因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)解析，ln(1+z)離原點(diǎn)最近的一個(gè)奇點(diǎn)是-1,它的展開式的收斂范圍為z<1.定理教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)截?cái)嗾`差分析討論、練習(xí)、作業(yè)

章節(jié)名稱§3羅朗(Laurent)級(jí)數(shù)第7周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握羅郎級(jí)數(shù)的展開式，利用羅郎級(jí)數(shù)計(jì)算積分教學(xué)內(nèi)容提要備注由§2知,f(z)在z0解析，則f(z)總可以在z0的某一個(gè)圓域z-z0<R內(nèi)展開成z-z0的冪級(jí)數(shù)。若f(z)在z0點(diǎn)不解析，在z0的鄰域中就不可能展開成z-z0的冪級(jí)數(shù)，但如果在圓環(huán)域R1<z-z0<R2內(nèi)解析，那么，f(z)能否用級(jí)數(shù)表示呢？由此推想，若f(z)在R1<z-z0<R2內(nèi)解析,f(z)可以展開成級(jí)數(shù)，只是這個(gè)級(jí)數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng),即本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計(jì)算留數(shù)的基礎(chǔ)。1.預(yù)備知識(shí)Cauchy積分公式的推廣到復(fù)連通域2.雙邊冪級(jí)數(shù)含有正負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)定義形如雙邊冪級(jí)數(shù)正冪項(xiàng)(包括常數(shù)項(xiàng))部分負(fù)冪項(xiàng)部分級(jí)數(shù)(2)是一冪級(jí)數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2，則級(jí)數(shù)在z-z0=R2內(nèi)收斂，且和為s(z)+;在z-z0=R2外發(fā)散。函數(shù)展開成雙邊冪級(jí)數(shù)證明略級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。4.展開式的唯一性結(jié)論一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù)。由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級(jí)數(shù)，可用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式，只有在個(gè)別情況下，才直接采用公式(5')求Laurent系數(shù)的方法。例1解例2解例3例4解:小結(jié)：把f(z)展成洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)的方法：(2)對(duì)于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)分解成多項(xiàng)式與若干個(gè)最簡分式之和，然后利用已知的幾何級(jí)數(shù)，經(jīng)計(jì)算展成需要的形式。例5解(1)在(最大的)去心鄰域(2)在(最大的)去心鄰域2)根據(jù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)。(3)Laurent級(jí)數(shù)與Taylor級(jí)數(shù)的不同點(diǎn)：Taylor級(jí)數(shù)先展開求R,找出收斂域。Laurent級(jí)數(shù)先求f(z)的奇點(diǎn)，然后以z0為中心，奇點(diǎn)為分隔點(diǎn)，找出z0到無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有使f(z)解析的環(huán)，在環(huán)域上展成級(jí)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)利用羅郎級(jí)數(shù)計(jì)算積分討論、練習(xí)、作業(yè)

章節(jié)名稱第五章留數(shù)§5.1孤立奇點(diǎn)第7周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握孤立奇點(diǎn)的分類，以及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)1.定義例如z=0為孤立奇點(diǎn)z=1為孤立奇點(diǎn)z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇點(diǎn)這說明奇點(diǎn)未必是孤立的。2.分類以下將f(z)在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，根據(jù)展開式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類?？疾欤禾攸c(diǎn)：沒有負(fù)冪次項(xiàng)特點(diǎn)只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)特點(diǎn)：有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)定義設(shè)z0是f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，在z0的去心鄰域內(nèi)，若f(z)的洛朗級(jí)數(shù)沒有負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為可去奇點(diǎn);只有有限多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為m階極點(diǎn);有無窮多個(gè)負(fù)冪次項(xiàng)，稱z=z0為本性奇點(diǎn)。3.性質(zhì)若z0為f(z)的可去奇點(diǎn)若z0為f(z)的m(m1)階極點(diǎn)例如：z=1為f(z)的一個(gè)三階極點(diǎn)，z=i為f(z)的一階極點(diǎn)。若z0為f(z)的本性奇點(diǎn)4.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定義不恒等于0的解析函數(shù)f(z)如果能表示成則稱z=z0為f(z)的m階零點(diǎn)。例如：定理事實(shí)上例如定理:證明“”若z0為f(z)的m階極點(diǎn)例解顯然，z=i是(1+z2)的一階零點(diǎn)綜合5.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的狀態(tài)定義規(guī)定備注教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)類型討論、練習(xí)、作業(yè)

章節(jié)名稱5.2留數(shù)(Residue)第7周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握留數(shù)的概念，留數(shù)的計(jì)算教學(xué)內(nèi)容提要備注1.留數(shù)的定義定義設(shè)z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)，f(z)在z0鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪次項(xiàng)(z-z0)–1的系數(shù)c–1稱為f(z)在z0的留數(shù)，記作Res[f(z),z0]或Resf(z0)。由留數(shù)定義,Res[f(z),z0]=c–1(1)留數(shù)定理定理求沿閉曲線c的積分，歸之為求在c中各孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。3.留數(shù)的計(jì)算規(guī)則一般求Res[f(z),z0]是采用將f(z)在z0鄰域內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù)求系數(shù)c–1的方法,但如果能先知道奇點(diǎn)的類型，對(duì)求留數(shù)更為有利。以下就三類孤立奇點(diǎn)進(jìn)行討論：規(guī)則I規(guī)則II事實(shí)上，由條件當(dāng)m=1時(shí)，式(5)即為式(4).例1解例2解例3解例4故由留數(shù)定理得：(1)要靈活運(yùn)用規(guī)則及洛朗級(jí)數(shù)展開來求留數(shù)，不要死套規(guī)則如該方法較規(guī)則II更簡單！(2)由規(guī)則II的推導(dǎo)過程知，在使用規(guī)則II時(shí)，可將m取得比實(shí)際級(jí)數(shù)高，這可使計(jì)算更簡單。如在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)定義由此得定理如果f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)（包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)），那么f(z)在所有孤立奇點(diǎn)的留數(shù)和等于零。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算討論、練習(xí)、作業(yè)P115-3、5

章節(jié)名稱Fourier變換1.1Fourier積分第8周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求了解Fourier積分公式幾種形式，了解Fourier積分定理教學(xué)內(nèi)容提要備注一、Fourier級(jí)數(shù)傅里葉(1768—1830)法國數(shù)學(xué)家對(duì)自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉.法國數(shù)學(xué)家Fourier1804年，法國數(shù)學(xué)家Fourier提出：在有限區(qū)間上由任意圖形定義的任意函數(shù)都可以表示為單純的正弦與余弦之和.1822年，F(xiàn)ourier在研究熱傳導(dǎo)理論時(shí)發(fā)表了《熱的解析理論》，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)的原理.一個(gè)以T為周期的函數(shù)fT(t),如果在上滿足Dirichlet條件,即在區(qū)間上滿足:1)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2)只有有限個(gè)極值點(diǎn).則在區(qū)間可以展開成Fourier級(jí)數(shù).在fT(t)的連續(xù)點(diǎn)處,級(jí)數(shù)的三角形式如下:即系數(shù)的確定1)級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)表示形式若令(n=0,1,2,…),級(jí)數(shù)正弦和余弦表示形式級(jí)數(shù)正弦表示形式:級(jí)數(shù)余弦表示形式二、Fourier積分定理積Fourier分公式一個(gè)非周期函數(shù)在什么條件下,可以用

Fourier積分公式來表示,有下面的收斂定理.定理:若f(t)在(-,+)上滿足下列條件:

1)f(t)在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件;

2)f(t)在無限區(qū)間(-,+)上絕對(duì)可積.則有Fourier積分公式的復(fù)數(shù)形式當(dāng)為奇函數(shù)時(shí),利用三角函數(shù)的和差公式,有由于為奇函數(shù),則和分別是關(guān)于的奇函數(shù)和偶函數(shù),因此當(dāng)為偶函數(shù)時(shí),同理可得特別地,如果僅在上有定義,且滿足Fourier積分公式存在定理的條件,我們可以采用類似于Fourier級(jí)數(shù)中奇延拓或者偶延拓的方法,得到相應(yīng)的Fourier正弦積分展開式或Fourier余弦積分展開式.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)討論非周期函數(shù)的Fourier積分公式及收斂定理.討論、練習(xí)、作業(yè)P115-10、11

章節(jié)名稱3.4fourier變換第9周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求掌握函數(shù)的fourier變換，非周期函數(shù)的頻譜教學(xué)內(nèi)容提要備注一、Fourier變換的概念1.若函數(shù)f(t)滿足Fourier積分定理的條件,則在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處,有F(w)叫做f(t)的象函數(shù).f(t)的Fourier變換F(w)的Fourier逆變換記作:f(t)叫做F(w)的象原函數(shù).象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)構(gòu)成了一個(gè)Fourier變換對(duì).2、Fourier變換的奇偶虛實(shí)性質(zhì)1)F(w)和f(t)有相同的奇偶性.2)f(t)為t的實(shí)值函數(shù)的充要條件是F(w)的實(shí)部為w的偶函數(shù),虛部為w的奇函數(shù).3)f(t)為t的虛值函數(shù)的充要條件是F(w)的實(shí)部為w的奇函數(shù),虛部為w的偶函數(shù).3.Fourier正弦變換及正弦逆變換:當(dāng)f(t)為奇函數(shù)時(shí),Fourier正弦變換當(dāng)f(t)為偶函數(shù)時(shí),Fourier余弦變換Fourier余弦逆變換例1求函數(shù)的Fourier變換及其積分表達(dá)式,解：有根據(jù)利用奇偶函數(shù)的積分性質(zhì),得因此,得例2求函數(shù)的Fourier變換及其積分表達(dá)式，解：令則2)鐘形脈沖函數(shù)的積分表達(dá)式由利用奇偶函數(shù)的積分性質(zhì),有例3求函數(shù)的正弦變換和余弦變換.解：由正弦變換為余弦變換為二、單位脈沖函數(shù)及其Fourier變換引例在原來電流為零的電路中,某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t)、以q(t)表示上述電路中到時(shí)刻t為止通過導(dǎo)體截面的電荷函數(shù),則由于電流強(qiáng)度是電荷函數(shù)對(duì)時(shí)間的變化率,即所以,當(dāng)t0時(shí),i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在、如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù),則得這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示上述電路的電流強(qiáng)度、為了確定這種電路上的電流強(qiáng)度,必須引進(jìn)一個(gè)新的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為Dirac函數(shù),簡單地記成d-函數(shù)、對(duì)于任何一個(gè)無窮可微的函數(shù)f(t),如果滿足則稱的弱極限為d-函數(shù),記為d(t).表明d-函數(shù)可以看成一個(gè)普通函數(shù)序列的弱極限.任何，有d-函數(shù)的定義:工程上,常將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù).可將d-函數(shù)用一個(gè)長度等于1的有向線段表示,這個(gè)線段的長度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強(qiáng)度.1.d-函數(shù)的性質(zhì):1)篩選性質(zhì):若為無窮次可微的函數(shù),則有同理可得2)d-函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若f(t)為無窮次可微的函數(shù),則有同理可得3)d-函數(shù)是偶函數(shù):4)d-函數(shù)是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù):稱為單位階躍函數(shù)。（5)時(shí)間尺度變換性質(zhì):其中為任意正數(shù).6)卷積性質(zhì)7)乘以時(shí)間函數(shù)的性質(zhì)其中為任意常數(shù).為在處連續(xù)的任意函數(shù).2.d-函數(shù)的Fourier變換1)的Fourier變換對(duì)可見,與構(gòu)成了一個(gè)Fourier變換對(duì).例4證明單位階躍函數(shù)的Fourier變換為解:則表明的Fourier變換為三、非周期函數(shù)的頻譜1.周期函數(shù)的頻譜對(duì)于以為周期的非正弦函數(shù)，它的第次諧波的振幅為在復(fù)指數(shù)形式中，第n次諧波其中且對(duì)于以為周期的非正弦函數(shù)，它的第次諧波的振幅為描述了各次諧波的振幅隨頻率變化的分布情況.頻譜圖的概念：頻率和振幅的關(guān)系圖.頻譜的圖形是不連續(xù)的，故稱為離散頻譜.表明了一個(gè)非正弦周期函數(shù)包含了哪些頻率分量及各分量占的比重.離散頻譜的性質(zhì)：頻譜圖形關(guān)于直線對(duì)稱.相交頻譜是的奇函數(shù)，即2)非周期函數(shù)的頻譜非周期函數(shù),當(dāng)它滿足Fourier積分定理中的條件時(shí),則在的連續(xù)點(diǎn)處可表示為其中為它的Fourier變換.在頻譜分析中,Fourier變換稱為的頻譜函數(shù),而頻譜函數(shù)的模稱為的振幅頻譜.由于是連續(xù)變化的,因此稱為連續(xù)頻譜.對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)作Fourier變換,就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜函數(shù).非周期函數(shù)信號(hào)的頻譜性質(zhì)：是的奇函數(shù)，即隨的增大而減小教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)單位脈沖函數(shù)的Fourier變換及非周期函數(shù)的頻譜討論、練習(xí)、作業(yè)

章節(jié)名稱3.3Fourier變換的性質(zhì)第9周第2次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求將介紹Fourier變換的幾個(gè)重要性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容提要備注§1.3Fourier變換的性質(zhì)1.Fourier變換公式簡表只是給出了部分基本函數(shù)的Fourier變換.在Fourier變換的廣泛應(yīng)用中，需要對(duì)各種各樣的函數(shù)求Fourier變換或逆變換，這就要求熟悉Fourier變換的性質(zhì).2.以Fourier變換的性質(zhì)為基礎(chǔ)，可以導(dǎo)出一些重要的概念和方法，例如，能量密度，微分方程的Fourier變換解法等等.3.Fourier變換的性質(zhì)都可以從Fourier變換和逆變換的定義公式出發(fā)推導(dǎo)得到.4.在Fourier變換的性質(zhì)表述和推導(dǎo)過程中，總有：1．線性性質(zhì)設(shè)和是常數(shù)，則直接由Fourier變換和逆變換的積分定義公式,有1.1象原函數(shù)的線性性質(zhì)：1.2象函數(shù)的線性性質(zhì)：2．位移性質(zhì)2.1象原函數(shù)的位移性質(zhì)（時(shí)移性質(zhì)）：證明：根據(jù)Fourier變換的積分定義公式，有：在上述積分中，令,則有:.再一次根據(jù)Fourier變換的定義，有：在實(shí)際應(yīng)用中,還經(jīng)常使用上述公式的等價(jià)形式.在上述公式兩邊同時(shí)作Fourier逆變換，有：2.2象函數(shù)的位移性質(zhì)（頻移性質(zhì)）：證明：根據(jù)Fourier逆變換的積分定義公式，有：在上述積分中，令,則有：再一次根據(jù)Fourier逆變換的定義，有：在上述公式兩邊同時(shí)作Fourier變換，可以得到有重要應(yīng)用意義的等價(jià)形式：在已知時(shí),位移性質(zhì)的應(yīng)用:(1)求的Fourier變換和的Fourier逆變換;例8已知，求函數(shù)的頻譜函數(shù).解：根據(jù)Fourier變換象原函數(shù)的位移公式,有在Fourier變換公式中,取,有所以有.則的頻譜函數(shù)為例9已知,求函數(shù)的Fourier逆變換.解：記.根據(jù)Fourier變換象函數(shù)的位移公式,有根據(jù)Euler公式,有.在公式中，取,則有.所以(2).求正余弦函數(shù)與乘積函數(shù)的Fourier變換和逆變換.例10．已知，求解根據(jù)Euler公式，有.根據(jù)Fourier變換的線性性質(zhì),有.根據(jù)Fourier變換的位移性質(zhì)，有,所以例11已知鐘形脈沖函數(shù)的Fourier變換,求函數(shù)的頻譜函數(shù).解:根據(jù)鐘形脈沖函數(shù)的Fourier變換公式，有.根據(jù)Euler公式，有,則由Fourier變換的位移公式可得頻譜函數(shù)為3．相似性質(zhì)4.微分性質(zhì)4.1象原函數(shù)的微分性質(zhì)：若.則有證明：根據(jù)Fourier變換的定義，有：,根據(jù)分部積分公式，有：注意到條件,因此有：則.再一次根據(jù)Fourier變換的定義，有：繼續(xù)重復(fù)前面的推導(dǎo)過程，最終有：.為了應(yīng)用方便,在上述公式兩邊同時(shí)作Fourier逆變換，有,整理后可得：4.2象函數(shù)的微分性質(zhì)：證明：根據(jù)Fourier變換的定義，有,在上述公式兩邊關(guān)于求導(dǎo)，有.根據(jù)Fourier變換的定義，有繼續(xù)關(guān)于求導(dǎo)，最終有在實(shí)際應(yīng)用中,也有可能用到下面的等價(jià)形式:5.積分性質(zhì)5.1象原函數(shù)的積分性質(zhì)：若,則有.證明：令,則有.對(duì)上式兩端同時(shí)作Fourier變換,并利用Fourier變換微分性質(zhì),有,由此可得等價(jià)的也有5.2象原函數(shù)的積分性質(zhì)：例12．求函數(shù)的Fourier逆變換.解根據(jù)Fourier變換象原函數(shù)的積分性質(zhì),有根據(jù)Fourier逆變換的積分定義公式、Euler公式和函數(shù)的重要公式，有所以有根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),有6.乘積定理定義在上的實(shí)值函數(shù)絕對(duì)可積,則有證明：根據(jù)Fourier逆變換的定義，有：對(duì)上述兩次積分交換積分次序，有：在函數(shù)Fourier變換的積分定義公式中,是實(shí)數(shù),則有所以有：后面的式子類似可得.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)掌握Fourier變換、Fourier逆變換的位移性,微分性,積分性;討論、練習(xí)、作業(yè)

章節(jié)名稱第二章拉普拉斯變換2.1Laplace變換2.2Laplace變換的性質(zhì)第10周第1次課講授2學(xué)時(shí)教學(xué)目的及要求Laplace變換的積分定義公式;教學(xué)內(nèi)容提要備注§2.1Laplace變換的概念1.Laplace變換的定義設(shè)函數(shù)在時(shí)有定義,是一個(gè)復(fù)參變量，積分在的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)稱為的Laplace變換(簡稱L-變),記為稱為的Laplace變換(象函數(shù)),稱為的Laplace逆變換(象原函數(shù)),記為2.函數(shù)的Laplace變換例1求單位階躍函數(shù)的Laplace變換.解根據(jù)Laplace變換的定義,有這個(gè)積分在時(shí)收斂,而且有這個(gè)結(jié)果在以后的應(yīng)用中作為常值函數(shù)的Laplace變換,記為例2求指數(shù)函數(shù)的Laplace變換(為實(shí)數(shù)).解根據(jù)Laplace變換的定義,有這個(gè)積分在時(shí)收斂,而且有所以例3求(為實(shí)數(shù))的Laplace變換.解根據(jù)Laplace變換的定義和Euler公式,有所以有3.Laplace變換存在定理若函數(shù)滿足條件:1.在的任一有限區(qū)間上至少分段連續(xù)；當(dāng)時(shí),的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù),即存在常數(shù)及,使得則1.函數(shù)的Laplace變換在半平面存在;2.積分在上絕對(duì)且一致收斂;3.在半平面內(nèi),為解析函數(shù).4.常見函數(shù)的Laplace變換1);2);3)4)5)是正整數(shù).5.周期函數(shù)的Laplace變換以為周期的函數(shù),即,有6.函數(shù)在原點(diǎn)含有脈沖函數(shù)時(shí)的Laplace變換§2.2Laplace變換的性質(zhì)1.假定在這些性質(zhì)中,所有求Laplace變換的函數(shù)都滿足Laplace變換存在定理中的條件,并且把這些函數(shù)的增長指數(shù)都統(tǒng)一地取為2.在Laplace變換的性質(zhì)表述和推導(dǎo)過程中，總有1．線性性質(zhì)設(shè)和是常數(shù)，則直接由Laplace變換和逆變換的積分定義公式,有1.1象原函數(shù)的線性性質(zhì)：1.2象函數(shù)的線性性質(zhì)：2．微分性質(zhì)2.1象原函數(shù)的微分性質(zhì)：證明:這里只對(duì)一階的情況給出證明,至于高階的時(shí)候,可用類似方法證得.根據(jù)Laplace變換的積分定義公式,有根據(jù)函數(shù)Laplace變換的存在條件可知,所以有例4已知,根據(jù)微分性質(zhì),有所以有則例5當(dāng)是正整數(shù)時(shí),根據(jù)Laplace變換象原函數(shù)的微分性質(zhì),有由此有注意到,利用常見函數(shù)的Laplace變換結(jié)果,有所以有.由此得到公式2.2象函數(shù)的微分性質(zhì)：證明:對(duì)函數(shù)Laplace變換的積分定義公式關(guān)于求導(dǎo),有所以有至于更高階的導(dǎo)數(shù),從前面證明過程可以看出，只要對(duì)Laplace變換積分定義公式求更高階導(dǎo)數(shù)即可.3.積分性質(zhì)3.1象原函數(shù)的積分性質(zhì)：證明:令,則有且.對(duì)上述微分式子兩端求Laplace變換,并根據(jù)Laplace變換象原函數(shù)的微分性質(zhì),有由此可得則有3.2象函數(shù)的積分性質(zhì)：4．位移性質(zhì)證明