專題04 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值（講義）（教師版）

專題04導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值【重難點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)】：1．函數(shù)極值的概念若函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，；而且在點(diǎn)附近的左側(cè)________，右側(cè)________，就把點(diǎn)叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極小值．若函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，；而且在點(diǎn)附近的左側(cè)________，右側(cè)________，就把點(diǎn)叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，叫做函數(shù)的極大值．極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．2．可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的必要條件和充分條件必要條件：可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值的必要條件是________．充分條件：可導(dǎo)函數(shù)在處取得極值的充分條件是在兩側(cè)異號(hào)．3．函數(shù)極值的求法一般地，求函數(shù)的極值的方法是：解方程．當(dāng)時(shí)：（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是________；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是_________．【重難點(diǎn)題型突破】：一、求函數(shù)的極值（1）求函數(shù)的極值首先要求函數(shù)的定義域，然后求的實(shí)數(shù)根，當(dāng)實(shí)數(shù)根較多時(shí)，要充分利用表格，使極值點(diǎn)的確定一目了然．（2）利用導(dǎo)數(shù)求極值時(shí)，一定要討論函數(shù)的單調(diào)性，涉及參數(shù)時(shí)，必須對(duì)參數(shù)的取值情況進(jìn)行討論（可從導(dǎo)數(shù)值為0的幾個(gè)x值的大小入手）．

例1．（1）（2021·遼寧高三其他模擬）（多選題）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)D．有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】AD【分析】根據(jù)時(shí)，解析式，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)遞減區(qū)間，根據(jù)的奇偶性即可判定A、B的正誤；在同一坐標(biāo)系種畫出與的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可判定C的正誤；根據(jù)的圖象，即可判定D的正誤，即可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，,令得,時(shí),,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,再根據(jù)奇函數(shù)知在區(qū)間上單調(diào)遞減，故A正確;因?yàn)?所以在區(qū)間單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤;因?yàn)橛譃槠婧瘮?shù)，所以,如圖與有兩個(gè)交點(diǎn),則-且,故C錯(cuò)誤;函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為土，故D正確.故選：AD【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用等知識(shí)，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題.（2）．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)()有兩個(gè)極值點(diǎn)?()，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，設(shè)，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，結(jié)合二次函數(shù)根與系數(shù)關(guān)系和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)()有兩個(gè)極值點(diǎn)?()，即在內(nèi)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?()，可得，解得，又因?yàn)?，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選：D.（3）．（2021·吳縣中學(xué)高二月考）函數(shù)的極大值為（）A．18 B．21 C．26 D．28【答案】D【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定在哪個(gè)點(diǎn)取得極值，進(jìn)而得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)，令，解得：，極大值極小值所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值故選：D.（4）．已知，則（）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．有極大值，無(wú)極小值 D．有極小值，無(wú)極大值【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)判斷各選項(xiàng)．【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，是函數(shù)的極大值，也是最大值，函數(shù)無(wú)極小值．故選：C．【變式訓(xùn)練1-1】、（2021·吳縣中學(xué)高二月考）（多選題）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A．是函數(shù)的極值點(diǎn) B．函數(shù)在處取得極小值C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．的圖象在處的切線斜率小于零【答案】AB【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由圖可知，左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)都為負(fù)數(shù)，故不是的極值點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，由圖可知，左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)都為負(fù)數(shù)，故不是的極值點(diǎn)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，由圖可知，時(shí)，遞減，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，由圖可知，，所以D選項(xiàng)正確.故選：AB.【變式訓(xùn)練2-1】、（2021·全國(guó)高三其他模擬）關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．是的極大值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則【答案】BD【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)即可；對(duì)于B，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在性定理即得結(jié)論；對(duì)于C，參變分離得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最小值的情況；對(duì)于D，利用的單調(diào)性，由得到，令，由得，所以要證，即證，構(gòu)造函數(shù)即得．【詳解】A：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤．B：，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．又，，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確．C：若，即，則．令，則．令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，函數(shù)無(wú)最小值，所以不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，故C錯(cuò)誤．D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴是的極小值點(diǎn)．∵對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則．令，則，由，得，∴，即，即，解得，，所以．故要證，需證，需證，需證．∵，則，∴證．令，，，所以在上是增函數(shù)．因?yàn)闀r(shí)，，則，所以在上是增函數(shù)．因?yàn)闀r(shí)，，則，所以，∴，故D正確．故選：BD．【變式訓(xùn)練2-2】、（2020·浙江紹興市·紹興一中高二期中）若函數(shù)，則__________，的極大值點(diǎn)為__________．【答案】【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，則，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故為函數(shù)的極大值點(diǎn)，且極大值為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．二、函數(shù)極值的應(yīng)用解決利用函數(shù)的極值確定函數(shù)解析式中參數(shù)的值的問題時(shí)，通常是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的取值等于零來(lái)建立關(guān)于參數(shù)的方程，從而求出參數(shù)的值．需注意的是，可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于零只是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要條件，所以必須對(duì)求出的參數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合函數(shù)取得極值的條件．例2．（2021·河南高二月考（理））已知函數(shù)在處取得極值，則（）A．4 B．3 C．2 D．【答案】B【分析】依題意，即可求出參數(shù)的值；【詳解】解:因?yàn)椋?，由條件知，是方程的實(shí)數(shù)根，．所以，，令，解得或，即在和上單調(diào)遞增，令，解得，即在上單調(diào)遞減，故在取得極大值，滿足條件；故選：B【變式訓(xùn)練2-1】、（2021·甘肅蘭州市·高三其他模擬（文））已知函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)找到的關(guān)系，再根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】因?yàn)?，依題意有，即，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為．故選：D．【變式訓(xùn)練2-2】、（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)在上的極大值點(diǎn)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析導(dǎo)數(shù)在上的符號(hào)變化，由此可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)?，由，可得，解?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以使得函數(shù)取得極大值的的值為，故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)；（3）解方程，當(dāng)；（4）列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：①如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值.【變式訓(xùn)練2-3】、（2021·鹽城市伍佑中學(xué)高三期末）（多選題）已知函數(shù)，則（）A．的周期為 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在上為增函數(shù) D．在區(qū)間上所有的極值之和為10【答案】BCD【分析】計(jì)算，可判斷A錯(cuò)；構(gòu)造函數(shù)，判斷其是奇函數(shù)，得出對(duì)稱中心，即可判斷的對(duì)稱中心，得B正確；當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，即可得出C正確；利用導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)在給定區(qū)間的極值點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，因此不是的周期；即A錯(cuò)；B選項(xiàng)，令，定義域?yàn)?，則，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，則，所以，即，故在上為增函數(shù)，即C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，令可得，所以，由可得，極值點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，，則，令，可得，則，由可得，極值點(diǎn)為，由B選項(xiàng)，可知，即，所以在區(qū)間上所有的極值之和為，即D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性求極值時(shí)，需要先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求解導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式，判斷出單調(diào)性，進(jìn)而可得出極值，即可求解.例3．（2021·浙江溫州市·高三二模）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)沒有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)和所滿足的關(guān)系式，并求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒成立【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得無(wú)解或有重根，對(duì)分兩種情況討論，計(jì)算可得；（2）依題意得：對(duì)任意的，恒成立，令，則恒成立，求出導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可得到的關(guān)系，再證對(duì)任意的，恒有；【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)沒有極值點(diǎn)，所以無(wú)解或有重根；即無(wú)解或有重根；①時(shí)，不滿足條件；②時(shí)，，解得或；綜上可得，函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則或；（2）依題意得：對(duì)任意的，恒成立，令，則恒成立，因?yàn)椋允堑臉O小值點(diǎn)，所以，所以，所以對(duì)任意的，恒有，①當(dāng)時(shí)，，，，矛盾；②當(dāng)時(shí)，顯然有，因?yàn)楹瘮?shù)即函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的上方，是函數(shù)在處的切線，下證：，令，，令，解得，即在上單調(diào)遞增，令，解得，即在上單調(diào)遞減，所以，即成立；所以綜上所述：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒成立；【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．例4．（2020·寧夏長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)高二月考（理））已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）若是的極大值點(diǎn)，求．【答案】（1）見解析（2）【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性證明即可．（2）分類討論和,構(gòu)造函數(shù),討論的性質(zhì)即可得到a的范圍．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，.設(shè)函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)時(shí)，，且僅當(dāng)時(shí)，，從而，且僅當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞增.又，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）（i）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，這與是的極大值點(diǎn)矛盾.（ii）若，設(shè)函數(shù).由于當(dāng)時(shí)，，故與符號(hào)相同.又，故是的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn)..如果，則當(dāng)，且時(shí)，，故不是的極大值點(diǎn).如果，則存在根，故當(dāng)，且時(shí)，，所以不是的極大值點(diǎn).如果，則.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以是的極大值點(diǎn)，從而是的極大值點(diǎn)綜上，.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值證明不等式，第二問分類討論和,當(dāng)時(shí)構(gòu)造函數(shù)時(shí)關(guān)鍵，討論函數(shù)的性質(zhì)，本題難度較大．例5．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù).證明：（1）存在唯一的極值點(diǎn)；（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到存在唯一，使得，進(jìn)而可得判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可確定其極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，證明出結(jié)論成立；（2）先由（1）的結(jié)果，得到，，得到在內(nèi)存在唯一實(shí)根，記作，再求出，即可結(jié)合題意，說(shuō)明結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意可得，的定義域?yàn)椋?，得，顯然單調(diào)遞增；又，，故存在唯一，使得；又當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；因此，存在唯一的極值點(diǎn)；（2）由（1）知，，又，所以在內(nèi)存在唯一實(shí)根，記作.由得，又，故是方程在內(nèi)的唯一實(shí)根；綜上，有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、以及函數(shù)零點(diǎn)的問題，屬于?？碱}型.例6．（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù).（1）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)；（2）若函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）證明見解析；（2）的值為0.【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，再研究函數(shù)單調(diào)性與零點(diǎn)即可證明；（2）根據(jù)題意設(shè)切點(diǎn)為，故結(jié)合切點(diǎn)在切線上，也在曲線上，且切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率列方程求解即可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.因?yàn)椋栽赗上為增函數(shù)，又因?yàn)?，所以由零點(diǎn)存在性定理得，存在，使得，當(dāng)