高考數(shù)學(xué)壓軸題講義（選填題）：臨界知識(shí)問題

第第頁臨界知識(shí)問題【方法綜述】對(duì)于臨界知識(shí)問題，其命題大致方向?yàn)閺男问缴咸鲆褜W(xué)知識(shí)的舊框框，在試卷中臨時(shí)定義一種新知識(shí)，要求學(xué)生快速處理，及時(shí)掌握，并正確運(yùn)用，充分考查學(xué)生獨(dú)立分析問題與解決問題的能力，多與函數(shù)、平面向量、數(shù)列聯(lián)系考查.另外，以高等數(shù)學(xué)為背景，結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)知識(shí)編制綜合性問題，是近幾年高考試卷的熱點(diǎn)之一，常涉及取整函數(shù)、最值函數(shù)、有界函數(shù)、有界泛函數(shù)等.【解題策略】類型一定義新知型臨界問題【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，設(shè)實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C(S)等于()A．1B．3C．5D．7【答案】B【指點(diǎn)迷津】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.【舉一反三】1.【北京市順義區(qū)2019屆高三第二次統(tǒng)練】已知集合，若對(duì)于，，使得成立，則稱集合是“互垂點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合：；；；．其中是“互垂點(diǎn)集”集合的為()A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)是曲線上的兩點(diǎn)，對(duì)于集合，當(dāng)時(shí)，，不成立所以集合不是“互垂點(diǎn)集”.對(duì)于集合，，當(dāng)時(shí)，，不成立所以集合不是“互垂點(diǎn)集”.對(duì)于集合，當(dāng)時(shí)，，不成立，所以集合不是“互垂點(diǎn)集”.排除A,B,C.故選：D2.【陜西省2019屆高三第二次檢測(cè)】已知集合，若對(duì)于任意，存在，使得成立，則稱集合是“垂直對(duì)點(diǎn)集”.給出下列四個(gè)集合：①②③④其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是________.【答案】①③【解析】對(duì)于①，，即，與的值域均為，故①正確；對(duì)于②,若滿足，則，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解，故②不正確；對(duì)于③，畫出的圖象，如圖，直角始終存在，即對(duì)于任意，存在，使得成立，故③正確；對(duì)于④，，取點(diǎn)，曲線上不存在另外的點(diǎn)，使得兩點(diǎn)與原點(diǎn)的連線互相垂直，所以不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”,故④不正確，故答案為①③.類型二高等數(shù)學(xué)背景型臨界問題【例2】設(shè)S是實(shí)數(shù)集R的非空子集，若對(duì)任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，則稱S為封閉集．下列命題：①集合S＝{a＋b|a，b為整數(shù)}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有0∈S；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足S?T?R的任意集合T也是封閉集．其中真命題是________．(寫出所有真命題的序號(hào))【答案】①②【舉一反三】【湖南省衡陽市2019屆高三二?！咳魞珊瘮?shù)具有相同的定義域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、值域，則稱這兩函數(shù)為“親密函數(shù)”.下列三個(gè)函數(shù)，，中，與函數(shù)不是親密函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】易知冪函數(shù)定義域?yàn)椋己瘮?shù)，在上，，在上，，.四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的定義域都為且都為偶函數(shù)，單調(diào)性也與保持一致，因?yàn)轱@然在上遞增，又，，遞增，當(dāng)，除（顯然）外，其他函數(shù)的值都趨向于.故選B.類型三立體幾何中的臨界問題立體幾何的高考題中，最主要考查點(diǎn)是幾何元素位置關(guān)系及角、距離的計(jì)算、三視圖等，除此之外，還有可能涉及到與立體幾何相關(guān)的臨界知識(shí)，如立體幾何與其他知識(shí)的交匯，面對(duì)這些問題，需要有較強(qiáng)的分析判斷能力及思維轉(zhuǎn)換能力，還需要我們對(duì)這些問題作一些分析歸類，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，才能讓所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通.【例3】點(diǎn)為棱長(zhǎng)是的正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為__________．【答案】【舉一反三】已知正方體的體積為1，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)異于、兩點(diǎn)），點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，由題意可知，截面為四邊形，從而當(dāng)時(shí)，截面為四邊形，當(dāng)時(shí)，該截面與正方體的上底面也相交，所以截面為五邊形，故線段的取值范圍是，故選B．【強(qiáng)化訓(xùn)練】選擇題1.已知集合2，3，，集合是集合A的子集，若且2，，，滿足集合B的個(gè)數(shù)記為，則A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解析】由題意可得，，，那么集合2，3，4，5，6，；集合，，滿足集合B的個(gè)數(shù)列羅列出來，可得：3，，3，，3，，4，，4，；5，，4，，4，，5，，5，，故選：B．2．【河南省鄭州市2019年高三第二次質(zhì)量檢測(cè)】高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】D【解析】，又>0，∴，∴∴當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，y＝[f（x）]＝1；當(dāng)x∈[2，）時(shí)，y＝[f（x）]＝2．∴函數(shù)y＝[f（x）]的值域是{1，2}．故選D．3．【河南省南陽市第一中學(xué)2019屆高三第十四次考】定義集合運(yùn)算：A⊙B=｛，x∈A，y∈B｝，設(shè)集合A=｛，0，1｝，B=｛｝，則集合A⊙B的所有元素之和為（）A．1 B．0 C． D．【答案】B【解析】解因?yàn)?，所以的可能取值?1,0,1同理，的可能取值為所以的所有可能取值為（重復(fù)的只列舉一次）：所以所有元素之和為0，故選B4.【廣西壯族自治區(qū)柳州市2019屆高三3月模擬】定義：，如，則（）A．0 B． C． D．1【答案】C【解析】由題意得．故選C．5．【北京市門頭溝區(qū)2019年3月高三綜合練習(xí)】若函數(shù)圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)對(duì)稱為函數(shù)的“友好點(diǎn)對(duì)”且點(diǎn)對(duì)與可看作同一個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”若函數(shù)其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，恰好有兩個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【解析】解：當(dāng)時(shí)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為，即，，設(shè)，，條件等價(jià)為當(dāng)時(shí)，與的圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，當(dāng)時(shí)，，．由得，此時(shí)為增函數(shù)，由得，此時(shí)為減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值同時(shí)也是最小值，作出當(dāng)時(shí)，與的圖象如圖：要使兩個(gè)圖象恰好有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，即，即，即，故選：C．6．【江西省上高縣第二中學(xué)2019屆高三3月月考】定義：若數(shù)列對(duì)任意的正整數(shù)，都有為常數(shù)，則稱為“絕對(duì)和數(shù)列”，叫做“絕對(duì)公和”．已知“絕對(duì)和數(shù)列”中，，絕對(duì)公和為3，則其前2019項(xiàng)的和的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：依題意，要使其前2019項(xiàng)的和的最小值只需每一項(xiàng)的值都取最小值即可，∵＝2，絕對(duì)公和d＝3，∴＝﹣1或＝1（舍），∴＝﹣2或＝2（舍），∴＝﹣1或＝1（舍），…∴滿足條件的數(shù)列{}的通項(xiàng)公式，∴所求值為+（+）+（+）+…+（+）＝2+（﹣1﹣2）＝﹣3025，故選：C．7．【四川省涼山州2019屆高三二診】我們把叫“費(fèi)馬數(shù)”（費(fèi)馬是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家）.設(shè)，，，，表示數(shù)列的前項(xiàng)之和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵∴，∴，而∴，，即，當(dāng)n=8時(shí)，左邊=，右邊=，顯然不適合；當(dāng)n=9時(shí)，左邊=，右邊=，顯然適合，故最小正整數(shù)的值9故選：B二、填空題8．【陜西省西安地區(qū)陜師大附中、西安高級(jí)中學(xué)、高新一中、鐵一中學(xué)、西工大附中等八校2019屆高三3月聯(lián)考】如圖，已知正四棱柱和半徑為的半球O，底面ABCD在半球O底面所在平面上，，，，四點(diǎn)均在球面上，則該正四棱柱的體積的最大值為______．【答案】4【解析】設(shè)正四棱柱的高為h，底面棱長(zhǎng)為a，則正四棱柱的底面外接圓直徑為，所以，．由勾股定理得，即，得，其中，所以，正四棱柱的體積為，其中，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，則．因此，該正四棱柱的體積的最大值為4．9．【上海市交大附中2019屆高三上9月開學(xué)】由無理數(shù)論引發(fā)的數(shù)字危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)，直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)，所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個(gè)非空的子集與，且滿足，，中的每一個(gè)元素都小于中的每一個(gè)元素，則稱為戴德金分割.試判斷，對(duì)于任一戴德金分割，下列選項(xiàng)中，可能成立的是____．①?zèng)]有最大元素，有一個(gè)最小元素；②沒有最大元素，也沒有最小元素；③有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素；④有一個(gè)最大元素，沒有最小元素.【答案】①②④【解析】若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}，則M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素0，故①可能成立；若M＝{x∈Q|x}，N＝{x∈Q|x}；則M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故②可能成立；若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一個(gè)最大元素，N沒有最小元素，故④可能成立；M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素不可能，因?yàn)檫@樣就有一個(gè)有理數(shù)不存在M和N兩個(gè)集合中，與M和N的并集是所有的有理數(shù)矛盾，故③不可能成立．故答案為：①②④10．【江西省紅色七校2019屆高三第二次聯(lián)考】已知函數(shù),對(duì)函數(shù),定義關(guān)于的“對(duì)稱函數(shù)”為,滿足:對(duì)任意,兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,若是關(guān)于的“對(duì)稱函數(shù)”,且在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】根據(jù)對(duì)稱函數(shù)的概念可知，即，令，則，其對(duì)稱軸為，開口向下.由于在上遞減，在上遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知.11．【河南省鄭州第一中學(xué)2019屆高三第二次測(cè)評(píng)】已知二進(jìn)制和十進(jìn)制可以相互轉(zhuǎn)化，例如，則十進(jìn)制數(shù)89轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)為.將對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)中0的個(gè)數(shù)，記為（例如：，，，則，，），記，則__________．【答案】【解析】由題意得共個(gè)數(shù)中所有的數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后，總位數(shù)都為2019，且最高位都為1而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1設(shè)其中的數(shù)x，轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后有k個(gè)0（）∴在這個(gè)數(shù)中，轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制后有k個(gè)0的數(shù)共有個(gè)∴由二項(xiàng)式定理，.故答案為：.12．【上海市七寶中學(xué)2019屆高三下學(xué)期開學(xué)】設(shè)整數(shù)，集合2，，，A，B是P的兩個(gè)非空子集則所有滿足A中的最大數(shù)小于B中的最小數(shù)的集合對(duì)的個(gè)數(shù)為：______．【答案】【解析】解：設(shè)中的最大數(shù)為，其中，整數(shù)，則中必含元素，另元素可在中，故的個(gè)數(shù)為：，中必不含元素另元素可在中，但不能都不在中，故的個(gè)數(shù)為：，從而集合對(duì)的個(gè)數(shù)為，．故答案為：．13．【河北省石家莊市第二中學(xué)2019屆高三上期末】定義在正實(shí)數(shù)上的函數(shù)，其中表示不小于x的最小整數(shù)，如，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，記集合中元素的個(gè)數(shù)為，則=____.【答案】【解析】易知：當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)閤∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以.當(dāng)n=2時(shí)，因?yàn)閤∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以.當(dāng)n=3時(shí)，因?yàn)閤∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，；當(dāng)n=4時(shí)，因?yàn)閤∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，所以；當(dāng)n=5時(shí)，因?yàn)閤∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，所以.由此類推：.故.14．【上海市南洋模范中學(xué)2019屆高三3月月考】任意實(shí)數(shù)，，定義，設(shè)函數(shù)，數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，且，，則____.【答案】4【解析】由題，∵數(shù)列{an}是公比大于0的等比數(shù)列，且，①1＜q時(shí)，，，…，∈（0，1），，，∈（1，+∞），1．∴，分別為：，，…，，1，q，…，q4．∵∴0++…+＝，∴q4qq2．∴2．左邊小于0，右邊大于0，不成立，舍去．②0＜q＜1時(shí)，1，∴，分別為：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∈（0，1），∵∴l(xiāng)og2q2．∴2．∴4，∴a1＝4．③q＝1時(shí)，＝…＝＝…＝＝1，不滿足舍去．綜上可得：＝4．故答案為：4．15．【北京延慶區(qū)2019屆高三一?！恳阎?，集合滿足①每個(gè)集合都恰有7個(gè)元素;②．集合中元素的最大值與最小值之和稱為集合的特征數(shù)，記為（），則的最大值與最小值的和為_______.【答案】132【解析】由題意得，集合中各包含7個(gè)元素，且互不相等，當(dāng)取得最小值時(shí)，集合中的最小值分別為1,2,3，最大值分別為21,15,9，例如,,，此時(shí)最小，且為51.當(dāng)集合中最小值為1,7,13，最大值為19,20,21時(shí)，最大.例如，，，此時(shí)最大，且為81.故最大值與最小值之和為132.16．【江西省南昌市2019屆高三一?！慷x在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)在半徑為1的圓上，且，分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓，這三