極坐標(biāo)與參數(shù)方程學(xué)案

極坐標(biāo)與參數(shù)方程學(xué)案極坐標(biāo)與參數(shù)方程學(xué)案極坐標(biāo)與參數(shù)方程學(xué)案資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月極坐標(biāo)與參數(shù)方程學(xué)案版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：極坐標(biāo)與參數(shù)方程專(zhuān)題復(fù)習(xí)一、教學(xué)目標(biāo)1、理解坐標(biāo)系的作用.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況；2、會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫(huà)點(diǎn)的位置,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；3、能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形（如過(guò)極點(diǎn)的直線、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）表示的極坐標(biāo)方程.4、了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義；5、能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程；6、掌握直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義,能用直線的參數(shù)方程解決簡(jiǎn)單的相關(guān)問(wèn)題。重點(diǎn)難點(diǎn)1、教學(xué)重點(diǎn)：能進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化；2、教學(xué)難點(diǎn)：能進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化；三、教學(xué)策略與方法師生互動(dòng)法、自主學(xué)習(xí)法、小組討論探究、一幫一導(dǎo)師制四、教學(xué)過(guò)程（一）、高考目標(biāo)導(dǎo)航：2017年高考文科數(shù)學(xué)考綱要求考綱研讀1.坐標(biāo)系（1）理解坐標(biāo)系的作用.（2）了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.（3）能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置,理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.（4）能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形的方程.通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程,理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.（5）了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的位置的方法,并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的方法相比較,了解它們的區(qū)別.2.參數(shù)方程（1）了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.（2）能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.（3）了解平擺線、漸開(kāi)線的生成過(guò)程,并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程.（4）了解其他擺線的生成過(guò)程,了解擺線在實(shí)際中的應(yīng)用,了解擺線在表示行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用.從近幾年的高考來(lái)看，本部分重點(diǎn)考查直線和圓的極坐標(biāo)方程，以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化；參數(shù)方程側(cè)重于直線、圓及橢圓參數(shù)方程與普通方程的互化.（二）、課前自主導(dǎo)學(xué)：1、要點(diǎn)梳理：(1)點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化公式，當(dāng)極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位時(shí)，點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化公式為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)，x≠0.))(2)柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式：①柱坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)公式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，,z＝z))②球坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)公式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rsinφcosθ，,y＝rsinφsinθ，,z＝rcosφ))（3）參數(shù)方程： ①參數(shù)方程的定義：在取定的坐標(biāo)系中。如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變量的函數(shù)(tT)（1）這里T是的公共定義域。并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值。由方程（1）所確定的點(diǎn)。都在這條曲線上；那么（1）叫做這條曲線的參數(shù)方程，輔助變數(shù)t叫做參數(shù)。②過(guò)點(diǎn)傾斜角為的直線的參數(shù)方程（=1\*ROMANI）（t為參數(shù)）（=1\*romani）通常稱(chēng)（=1\*ROMANI）為直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。其中t表示到上一點(diǎn)的有向線段的數(shù)量。t>0時(shí)，p在上方或右方；t<0時(shí)，p在下方或左方，t=0時(shí)，p與重合。（=2\*romanii）直線的參數(shù)方程的一般形式是：（t為參數(shù)）這里直線的傾斜角的正切（時(shí)例外）。當(dāng)且僅當(dāng)且b>0時(shí).（1）中的t才具有（=1\*ROMANI）中的t所具有的幾何意義。③圓的參數(shù)方程:圓心在點(diǎn)半徑為r的圓的參數(shù)方程是（為參數(shù)）④橢圓的參數(shù)方程:（為參數(shù)）⑤雙曲線的參數(shù)方程：（為參數(shù)）⑥拋物線的參數(shù)方程:（t為參數(shù)）（4）坐標(biāo)系包括平面直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系。（5）“坐標(biāo)法”是解析幾何學(xué)習(xí)的始終，同學(xué)們?cè)诓粩嗟伢w會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法并自始至終強(qiáng)化這一思想方法。（6）【熱門(mén)考點(diǎn)】高考題中這一部分主要考查簡(jiǎn)單圖形的極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程，參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程等。熱點(diǎn)是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程。冷點(diǎn)是推導(dǎo)簡(jiǎn)單圖形的極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程。盲點(diǎn)是柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的位置的方法，擺線在實(shí)際中的應(yīng)用，擺線在表示行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用。涉及較多的是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化及簡(jiǎn)單應(yīng)用。2、基礎(chǔ)自測(cè)：（1）點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是(－1，eq\r(3))，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2π,3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)（2）已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,1)，傾斜角α＝eq\f(π,6)，直線l的參數(shù)方程為_(kāi)____________________．（3）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)(1,0)到直線ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距離為。（三）、課堂典例講練：題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化：例1：①在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到圓ρ＝2cosθ的圓心的距離為()A．2B.eq\r(4＋\f(π2,9))C.eq\r(1＋\f(π2,9))D.eq\r(3)②若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則改曲線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_____________________解析：1極坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化為直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos\f(π,3)，2sin\f(π,3)))，即(1，eq\r(3))．圓的極坐標(biāo)方程ρ＝2cosθ可化為ρ2＝2ρcosθ，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.所以圓心坐標(biāo)為(1,0)．則由兩點(diǎn)間距離公式d＝eq\r(1－12＋\r(3)－02)＝eq\r(3).故選D.2解析：根據(jù)已知ρ＝2sinθ＋4cosθ＝2·eq\f(y,ρ)＋4eq\f(x,ρ)，化簡(jiǎn)可得：ρ2＝2y＋4x＝x2＋y2.所以解析式為：x2＋y2－4x－2y＝0點(diǎn)撥：本題考查極坐標(biāo)的知識(shí)及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化，一定要記住兩點(diǎn)：①x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ；②ρ2＝x2＋y2，tanθ＝eq\f(y,x).即可．直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)方程比較容易，只是將公式x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ直接代入并化簡(jiǎn)即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些，解此類(lèi)問(wèn)題，構(gòu)造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換，其中方程兩邊同時(shí)乘以ρ及方程兩邊平方是常用的變形方法．跟蹤練習(xí)：極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2cosθ和ρ＝sinθ的兩個(gè)圓的圓心距為_(kāi)___。題型二參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化：例2：已知兩曲線參數(shù)方程分別為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))(0≤θ<π)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))表示橢圓eq\f(x2,5)＋y2＝1(－eq\r(5)<x≤eq\r(5)且0≤y≤1).eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))表示拋物線y2＝eq\f(4,5)x.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,5)＋y2＝1(－\r(5)<x≤\r(5)且0≤y≤1),y2＝\f(4,5)x))x2＋4x－5＝0?x＝1或x＝－5(舍去)．又因?yàn)?≤y≤1，所以它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5))).點(diǎn)撥：常見(jiàn)的消參數(shù)法有：代入消元(拋物線的參數(shù)方程)、加減消元(直線的參數(shù)方程)、平方后再加減消元(圓、橢圓的參數(shù)方程)等．經(jīng)常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的過(guò)程中一定要注意參數(shù)的范圍，確保普通方程與參數(shù)方程等價(jià)．跟蹤練習(xí)：已知圓C的圓心是直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝1＋t))(t為參數(shù))，與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為題型三極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用：例3（2016年全國(guó)卷Ⅰ，22,10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acost，,y＝1＋asint))(t為參數(shù)，a＞0)．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cosθ.(1)說(shuō)明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿(mǎn)足tanα0＝2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.【解析】試題分析：（I）由（為參數(shù)）得（）所以曲線表示以為圓心，半徑為的圓由得：因?yàn)椋?，所以所以的極坐標(biāo)方程為（II）由得因?yàn)椋?，所以所以曲線與曲線的公共弦所在的直線方程為，即由，其中滿(mǎn)足得，所以，因?yàn)椋灶}型四易錯(cuò)、易混、易漏-----參數(shù)方程與普通方程互化時(shí)應(yīng)注意參數(shù)的取值范圍例4將參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝sin2θ))(θ為參數(shù))化為普通方程為（）A．y＝x－2B．y＝x＋2C．y＝x－2(2≤x≤3)D．y＝x＋2(0≤y≤1)解析：轉(zhuǎn)化為普通方程：y＝x－2，且x∈[2,3]，故選C.【失誤與防范】在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時(shí)，不僅僅是把其中的參數(shù)消去，還要注意x，y的取值范圍，也即在消去參數(shù)的過(guò)程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性．本題很容易忽略參數(shù)方程中0≤sin2θ≤1的限制而錯(cuò)選A.（四）、歸納與提升：1、方法與指導(dǎo)：解決極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合問(wèn)題應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)(1)對(duì)于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標(biāo)的普通方程，這樣思路可能更加清晰．(2)對(duì)于一些運(yùn)算比較復(fù)雜的問(wèn)題，用參數(shù)方程計(jì)算會(huì)比較簡(jiǎn)捷．(3)利用極坐標(biāo)方程解決問(wèn)題時(shí)，要注意題目所給的限制條件及隱含