2022高考數(shù)學(xué)（理）一輪通用版講義：11.1排列與組合

PAGE27第十一章eq\b\lc\|\rc\\a\vs4\al\co1,,,,,,,,計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布列第一節(jié)排列與組合[考綱要求]1．理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題．2．理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題．3．理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題．突破點一兩個計數(shù)原理

eq\a\vs4\al[基本知識]1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．3．兩個計數(shù)原理的比較名稱分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點都是解決完成一件事的不同方法的種數(shù)問題不同點運(yùn)用加法運(yùn)算運(yùn)用乘法運(yùn)算分類完成一件事，并且每類辦法中的每種方法都能獨立完成這件事情，要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性．分類計數(shù)原理可利用“并聯(lián)”電路來理解分步完成一件事，并且只有各個步驟都完成才算完成這件事情，要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性．分步計數(shù)原理可利用“串聯(lián)”電路來理解eq\a\vs4\al[基本能力]一、判斷題對的打“√”，錯的打“×”1在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．2在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．3在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．答案：1×2√3√二、填空題1．三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有________種．答案：62．某電話局的電話號碼為139××××××××，若前六位固定，最后五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話號碼的個數(shù)為________．答案：323．用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有________個．答案：120

eq\a\vs4\al[全析考法]考法一分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理[例1]1已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，m≤n個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列排列數(shù)從n個不同元素中取出mm≤n個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作Aeq\o\alm,n2組合與組合數(shù)組合從n個不同元素中取出mm≤n個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合組合數(shù)從n個不同元素中取出mm≤n個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作Ceq\o\alm,n3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)公式Aeq\o\alm,n＝nn－1n－2…n－m＋1＝eq\fn！,n－m！Ceq\o\alm,n＝eq\fA\o\alm,n,A\o\alm,m＝eq\fnn－1…n－m＋1,m?。絜q\fn！,m！n－m！性質(zhì)Aeq\o\aln,n＝n?。??。?Ceq\o\al0,n＝1；Ceq\o\alm,n＝Ceq\o\aln－m,n_；Ceq\o\alm,n＋Ceq\o\alm－1,n＝Ceq\o\alm,n＋1備注n，m∈N*且m≤neq\a\vs4\al[基本能力]一、判斷題對的打“√”，錯的打“×”1所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．2兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．3若組合式Ceq\o\al,n＝Ceq\o\alm,n，則＝m成立．4n＋1?。璶！＝n·n！5Aeq\o\alm,n＝nAeq\o\alm－1,n－16Ceq\o\al,n＝nCeq\o\al－1,n－1答案：1×2√3×4√5√6√二、填空題1．某考生填報某高校專業(yè)意向，打算從5個專業(yè)中挑選3個，分別作為第一、第二、第三志愿，則不同的填法有________種．答案：602．用1,2,3,4,5,6組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)，滿足1不在左、右兩端，2,4,6三個偶數(shù)中有且只有兩個偶數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為________．答案：2883．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自在周六、周日兩天中隨機(jī)選一天郊游，則周六、周日都有同學(xué)參加郊游的情況共有________種．答案：14

eq\a\vs4\al[全析考法]考法一排列問題[例1]3名女生和5名男生排成一排．1如果女生全排在一起，有多少種不同排法2如果女生都不相鄰，有多少種排法3如果女生不站兩端，有多少種排法4其中甲必須排在乙前面可不鄰，有多少種排法5其中甲不站左端，乙不站右端，有多少種排法[解]1捆綁法由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，這樣同五個男生合在一起有6個元素，排成一排有Aeq\o\al6,6種排法，而其中每一種排法中，三個女生間又有Aeq\o\al3,3種排法，因此共有Aeq\o\al6,6·Aeq\o\al3,3＝4320種不同排法．2插空法先排5個男生，有Aeq\o\al5,5種排法，這5個男生之間和兩端有6個位置，從中選取3個位置排女生，有Aeq\o\al3,6種排法，因此共有Aeq\o\al5,5·Aeq\o\al3,6＝14400種不同排法．3法一：位置分析法因為兩端不排女生，只能從5個男生中選2人排列，有Aeq\o\al2,5種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有Aeq\o\al6,6種排法，因此共有Aeq\o\al2,5·Aeq\o\al6,6＝14400種不同排法．法二：元素分析法從中間6個位置選3個安排女生，有Aeq\o\al3,6種排法，其余位置無限制，有Aeq\o\al5,5種排法，因此共有Aeq\o\al3,6·Aeq\o\al5,5＝14400種不同排法．48名學(xué)生的所有排列共Aeq\o\al8,8種，其中甲在乙前面與乙在甲前面的各占其中eq\f1,2，因此符合要求的排法種數(shù)為eq\f1,2Aeq\o\al8,8＝202205甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置．法一：特殊元素法甲在最右邊時，其他的可全排，有Aeq\o\al7,7種；甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個，有Aeq\o\al1,6種，而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個中的任一個上，有Aeq\o\al1,6種，其余人全排列，共有Aeq\o\al1,6·Aeq\o\al1,6·Aeq\o\al6,6種．由分類加法計數(shù)原理得，共有Aeq\o\al7,7＋Aeq\o\al1,6·Aeq\o\al1,6·Aeq\o\al6,6＝30960種．法二：特殊位置法先排最左邊，除去甲外，有Aeq\o\al1,7種，余下7個位置全排，有Aeq\o\al7,7種，但應(yīng)剔除乙在最右邊時的排法Aeq\o\al1,6·Aeq\o\al6,6種，因此共有Aeq\o\al1,7·Aeq\o\al7,7－Aeq\o\al1,6·Aeq\o\al6,6＝30960種．法三：間接法8個人全排，共Aeq\o\al8,8種，其中不合條件的有甲在最左邊時，有Aeq\o\al7,7種，乙在最右邊時，有Aeq\o\al7,7種，其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，有Aeq\o\al6,6種．因此共有Aeq\o\al8,8－2Aeq\o\al7,7＋Aeq\o\al6,6＝30960種．[方法技巧]求解排列應(yīng)用題的7種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的間隔中先整體后局部“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法考法二組合問題[例2]某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．1其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種2其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種3恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種4至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種5至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種[解]1從余下的34種商品中，選取2種有Ceq\o\al2,34＝561種取法，∴某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種．2從34種可選商品中，選取3種，有Ceq\o\al3,34種取法．∴某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種．3從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有Ceq\o\al1,20Ceq\o\al2,15＝2100種取法．∴恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種．4選取2種假貨有Ceq\o\al1,20Ceq\o\al2,15種，選取3種假貨有Ceq\o\al3,15種，共有選取方式Ceq\o\al1,20Ceq\o\al2,15＋Ceq\o\al3,15＝2100＋455＝2555種．∴至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種．5法一：間接法選取3種的總數(shù)為Ceq\o\al3,35，因此共有選取方式Ceq\o\al3,35－Ceq\o\al3,15＝6545－455＝6090種．∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．法二：直接法共有選取方式Ceq\o\al3,20＋Ceq\o\al2,20Ceq\o\al1,15＋Ceq\o\al1,20Ceq\o\al2,15＝6090種．∴至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．eq\a\vs4\al[方法技巧]組合問題的2種題型及解法1“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．考法三分組分配問題分組分配問題是排列、組合問題的綜合運(yùn)用，解決這類問題的一個基本指導(dǎo)思想就是先分組后分配．關(guān)于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分三種，無論分成幾組，都應(yīng)注意只要有一些組中元素的個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象．[例3]1教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教．現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有________種不同的分派方法．2若將6名教師分到3所中學(xué)任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法．[解析]1先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有eq\fC\o\al2,6C\o\al2,4C\o\al2,2,A\o\al3,3種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有Aeq\o\al3,3＝6種方法，故將6個畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有eq\fC\o\al2,6C\o\al2,4C\o\al2,2,A\o\al3,3·Aeq\o\al3,3＝90種不同的分派方法．2將6名教師分組，分三步完成：第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有Ceq\o\al1,6種分法；第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有Ceq\o\al2,5種分法；第3步，余下的3名教師作為一組，有Ceq\o\al3,3種分法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al1,6Ceq\o\al2,5Ceq\o\al3,3＝60種分法．再將這3組教師分配到3所中學(xué)，有Aeq\o\al3,3＝6種分法，故共有60×6＝360種不同的分法．[答案]1902360[方法技巧]分組分配問題的3種類型及求解策略類型求解策略整體均分解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\aln,nn為均分的組數(shù)，避免重復(fù)計數(shù)部分均分解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)不等分組只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)eq\a\vs4\al[集訓(xùn)沖關(guān)]\a\vs4\al[考法一]六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有A．192種 B．216種C．240種 D．288種解析：選B第一類：甲在左端，有Aeq\o\al5,5＝120種排法；第二類：乙在最左端，甲不在最右端，有4Aeq\o\al4,4＝96種排法；所以共有120＋96＝216種排法．\a\vs4\al[考法二]在某校2022年舉辦的第32屆秋季運(yùn)動會上，甲、乙兩位同學(xué)從四個不同的運(yùn)動項目中各選兩個項目報名，則甲、乙兩位同學(xué)所選的項目中至少有1個不相同的選法種數(shù)為A．30 B．36C．60 D．72解析：選A因為甲、乙兩位同學(xué)從四個不同的項目中各選兩個項目的選法有Ceq\o\al2,4Ceq\o\al2,4種．其中甲、乙所選的項目完全相同的選法有Ceq\o\al2,4種，所以甲、乙所選的項目中至少有1個不相同的選法共有Ceq\o\al2,4Ceq\o\al2,4－Ceq\o\al2,4＝30種．故選A\a\vs4\al[考法三]將2名教師，4名學(xué)生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學(xué)生組成，不同的安排方案共有A．12種 B．10種C．9種 D．8種解析：選A將4名學(xué)生均分為2個小組共有eq\fC\o\al2,4C\o\al2,2,A\o\al2,2＝3種分法；將2個小組的同學(xué)分給2名教師共有Aeq\o\al2,2＝2種分法；最后將2個小組的人員分配到甲、乙兩地有Aeq\o\al2,2＝2種分法．故不同的安排方案共有3×2×2＝12種．[課時跟蹤檢測][A級基礎(chǔ)題——基穩(wěn)才能樓高]1．將3張不同的奧運(yùn)會門票分給10名同學(xué)中的3人，每人1張，則不同分法的種數(shù)是A．2160 B．720C．240 D．120解析：選B分步來完成此事．第1張有10種分法；第2張有9種分法；第3張有8種分法，則共有10×9×8＝720種分法．2．已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為A．40 B．16C．13 D．10解析：選C分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面．根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面．3．2022·安徽調(diào)研用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于3000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有A．250個 B．249個C．48個 D．24個解析：選C①當(dāng)千位上的數(shù)字為4時，滿足條件的四位數(shù)有Aeq\o\al3,4＝24個；②當(dāng)千位上的數(shù)字為3時，滿足條件的四位數(shù)有Aeq\o\al3,4＝24個．由分類加法計數(shù)原理得所有滿足條件的四位數(shù)共有24＋24＝48個，故選C4．2022·漳州八校聯(lián)考若無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)滿足條件：①個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)，②所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)是A．540 B．480C．360 D．200解析：選D由個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為奇數(shù)知個位數(shù)字、十位數(shù)字1奇1偶，有Ceq\o\al1,5Ceq\o\al1,5Aeq\o\al2,2＝50種排法；所有數(shù)位上的數(shù)字和為偶數(shù)，則百位數(shù)字是奇數(shù)，有Ceq\o\al1,4＝4種滿足題意的選法，故滿足題意的三位數(shù)共有50×4＝200個．5．2022·福州高三質(zhì)檢福州西湖公園花展期間，安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務(wù)，要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，不同的安排方案共有A．90種 B．180種C．270種 D．360種解析：選B可分兩步：第一步，甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，有Aeq\o\al2,6種不同的安排方案；第二步，剩下兩個展區(qū)各兩個人，有Ceq\o\al2,4Ceq\o\al2,2種不同的安排方案，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的安排方案的種數(shù)為Aeq\o\al2,6Ceq\o\al2,4Ceq\o\al2,2＝6．2022·北京朝陽區(qū)一模某單位安排甲、乙、丙、丁4名工作人員從周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲連續(xù)兩天值班，則不同的安排方法種數(shù)為A．18 B．24C．48 D．96解析：選B甲連續(xù)兩天值班，共有周一，周二，周二，周三，周三，周四，周四，周五四種情況，剩下三個人進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al3,3＝6種排法，因此共有4×6＝24種排法，故選B[B級保分題——準(zhǔn)做快做達(dá)標(biāo)]1．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為A．3 B．4C．6 D．8解析：選D先考慮遞增數(shù)列，以1為首項的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9以2為首項的等比數(shù)列為2,4,8以4為首項的等比數(shù)列為4,6,9同理可得到4個遞減數(shù)列，∴所求的數(shù)列的個數(shù)為22＋1＋1＝82．2022·蕪湖一模某校高一開設(shè)4門選修課，有4名同學(xué)選修，每人只選1門，恰有2門課程沒有同學(xué)選修，則不同的選課方案有A．96種 B．84種C．78種 D．16種解析：選B先確定選的兩門，選法種數(shù)為Ceq\o\al2,4＝6，再確定學(xué)生選的情況，選法種數(shù)為24－2＝14，所以不同的選課方案有6×14＝84種，故選B3．2022·東莞質(zhì)檢將甲、乙、丙、丁4名學(xué)生分配到三個不同的班，每個班至少1名，則不同分配方法的種數(shù)為A．18 B．24C．36 D．72解析：選C先將4人分成三組，有Ceq\o\al2,4＝6種方法，再將三組同學(xué)分配到三個班級有Aeq\o\al3,3＝6種分配方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同分配方法有6×6＝36種，故選C4．2022·衡水二中檢測用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是

A．12 B．24C．30 D．36解析：選C按順序涂色，第一個圓有三種選擇，第二個圓有二種選擇，若前三個圓用了三種顏色，則第三個圓有一種選擇，后三個圓也用了三種顏色，共有3×2×1×Ceq\o\al1,2×Ceq\o\al1,2＝24種，若前三個圓用了兩種顏色，則后三個圓也用了兩種顏色，所以共有3×2＝6種．綜上可得不同的涂色方案的種數(shù)是305．2022·云南民大附中期中將5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、中山大學(xué)這3所大學(xué)就讀，每所大學(xué)至少保送1人，則不同的保送方法共有A．150種 B．180種C．240種 D．540種解析：選A先將5人分成三組，3,1,1或2,2,1，共有Ceq\o\al3,5＋Ceq\o\al1,5×eq\fC\o\al2,4×C\o\al2,2,2?。?5種分法；再將三組學(xué)生分到3所學(xué)校有Aeq\o\al3,3＝6種分法．故共有25×6＝150種不同的保送方法．故選A6．2022·東北三省四市一模6本不同的書在書架上擺成一排，要求甲、乙兩本書必須擺放在兩端，丙、丁兩本書必須相鄰，則不同的擺放方法有A．24種 B．36種C．48種 D．60種解析：選A由題意知將甲、乙兩本書放在兩端有Aeq\o\al2,2種放法，將丙、丁兩本書捆綁，與剩余的兩本書排列，有Aeq\o\al3,3種放法，將相鄰的丙、丁兩本書排列，有Aeq\o\al2,2種放法，所以不同的擺放方法有Aeq\o\al2,2×Aeq\o\al3,3×Aeq\o\al2,2＝24種，故選A7．2022·河南三門峽聯(lián)考5名大人帶2個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數(shù)有A．Aeq\o\al5,5Aeq\o\al2,4種 B．Aeq\o\al5,5Aeq\o\al2,5種C．Aeq\o\al5,5Aeq\o\al2,6種 D．Aeq\o\al7,7－4Aeq\o\al6,6種解析：選A首先5名大人先排隊，共有Aeq\o\al5,5種排法，然后把2個小孩插進(jìn)中間的4個空中，共有Aeq\o\al2,4種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Aeq\o\al5,5Aeq\o\al2,4種排法，故選A8．2022·臨海白云高級中學(xué)月考2個男生和4個女生排成一排，其中男生必須相鄰且不排兩端的不同排法有A．Aeq\o\al4,4Aeq\o\al1,3Aeq\o\al2,2種 B．Aeq\o\al4,4Aeq\o\al1,5Aeq\o\al2,2種\fA\o\al6,6,A\o\al2,4種\fA\o\al6,6,A\o\al2,4·A\o\al2,2種解析：選A4個女生站成一排有Aeq\o\al4,4種排法，2個男生相鄰，故視作一體，采用插空法，將其放在4個女生的3個空中不含兩端，有Aeq\o\al1,3種排法，2個男生站成一排有Aeq\o\al2,2種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同排法種數(shù)為Aeq\o\al4,4Aeq\o\al1,3Aeq\o\al2,2，故選A9．現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進(jìn)行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是A．120 B．140C．240 D．260解析：選D由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，再涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，則C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×1×4＋3×3＝260種，故選D10．2022·沈陽東北育才學(xué)校月考已知A，B，C，D四個家庭各有2名小孩，四個家庭準(zhǔn)備乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名小孩乘同一輛車的4名小孩不考慮位置，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名小孩中恰有2名來自同一個家庭的乘坐方式共有A．18種 B．24種C．36種 D．48種解析：選B若A家庭的孿生姐妹乘坐甲車，則甲車中另外2名小孩來自不同的家庭，有Ceq\o\al2,3Ceq\o\al1,2Ceq\o\al1,2＝12種乘坐方式，若A家庭的孿生姐妹乘坐乙車，則甲車中來自同一個家庭的2名小孩來自B，C，D家庭中的一個，有Ceq\o\al1,3Ceq\o\al1,2Ceq\o\al1,2＝12種乘坐方式，所以共有12＋12＝24種乘坐方式，故選B11．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中，第一、二象限不同點的個數(shù)為________．解析：分兩類：一是以集合M中的元素為橫坐標(biāo)，以集合N中的元素為縱坐標(biāo)有3×2＝6個不同的點；二是以集合N中的元素為橫坐標(biāo)，以集合M中的元素為縱坐標(biāo)有4×2＝8個不同的點，故由分類加法計數(shù)原理得共有6＋8＝14個不同的點．答案：1412．2022·洛陽高三統(tǒng)考某校有4個社團(tuán)向高一學(xué)生招收新成員，現(xiàn)有3名同學(xué)，每人只選報1個社團(tuán)，恰有2個社團(tuán)沒有同學(xué)選報的報法有________種用數(shù)字作答．解析：法一：第一步，選2名同學(xué)報名某個社團(tuán)，有Ceq\o\al2,3·Ceq\o\al1,4＝12種報法；第二步，從剩余的3個社團(tuán)里選一個社團(tuán)安排另一名同學(xué)，有Ceq\o\al1,3·Ceq\o\al1,1＝3種報法．由分步乘法計數(shù)原理得共有12×3＝36種報法．法二：第一步，將3名同學(xué)分成兩組，一組1人，一組2人，共Ceq\o\al2,3種方法；第二步，從4個社團(tuán)里選取2個社團(tuán)讓兩組同學(xué)分別報名，共Aeq\o\al2,4種方法．由分步乘法計數(shù)原理得共有Ceq\o\al2,3·Aeq\o\al2,4＝36種．答案：3613．2022·全國卷Ⅰ從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．用數(shù)字填寫答案解析：法一：直接法按參加的女生人數(shù)可分兩類：