概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-數(shù)學(xué)期望課件

Ch4-1第四章第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征Ch4-1第四章第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征Ch4-2分布函數(shù)能完整地描述r.v.的統(tǒng)計(jì)特性,但實(shí)際應(yīng)用中并不都需要知道分布函數(shù)，而只需知道r.v.的某些特征.判斷棉花質(zhì)量時(shí),既看纖維的平均長度

平均長度越長,偏離程度越小,質(zhì)量就越好;又要看纖維長度與平均長度的偏離程度例如：Ch4-2分布函數(shù)能完整地描述r.v.的統(tǒng)Ch4-3考察一射手的水平,既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高,還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小,即數(shù)據(jù)的波動(dòng)是否小.由上面例子看到，與r.v.有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義.Ch4-3考察一射手的水平,既要看他的平均Ch4-4

r.v.的平均取值——數(shù)學(xué)期望

r.v.取值平均偏離均值的情況——方差描述兩r.v.間的某種關(guān)系的數(shù)——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容隨機(jī)變量某一方面的概率特性都可用數(shù)字來描寫Ch4-4r.v.的平均取值——數(shù)學(xué)期望本隨機(jī)變量Ch4-5§4.1數(shù)學(xué)期望加權(quán)平均初賽復(fù)賽決賽總成績算術(shù)平均甲乙9085532287688805722575勝者甲甲乙甲甲3:3:42:3:52:2:673.770.066.873.270.167.8甲乙乙引例學(xué)生甲乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,觀察其勝負(fù)§4.1Ch4-5§4.1數(shù)學(xué)期望加權(quán)平均初復(fù)決總算術(shù)甲9Ch4-6為這3個(gè)數(shù)字的加權(quán)平均稱數(shù)學(xué)期望的概念源于此Ch4-6為這3個(gè)數(shù)字的加權(quán)平均稱數(shù)學(xué)期望的概念源于此Ch4-7設(shè)X為離散r.v.其分布為若無窮級(jí)數(shù)其和為X

的數(shù)學(xué)期望記作E(X),即數(shù)學(xué)期望的定義定義絕對(duì)收斂,則稱定義Ch4-7設(shè)X為離散r.v.其分布為若無窮級(jí)數(shù)其Ch4-8設(shè)連續(xù)r.v.X的d.f.為若廣義積分絕對(duì)收斂,則稱此積分為X

的數(shù)學(xué)期望記作E(X),即數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——加權(quán)平均它是一個(gè)數(shù)不再是r.v.定義Ch4-8設(shè)連續(xù)r.v.X的d.f.為若廣義積分絕Ch4-9例1

X~B(n,p),求E(X)

.解特例若Y~B(1,p),則E(Y)

例1Ch4-9例1X~B(n,p),Ch4-10例2

X~N(,2),求E(X)

.解例2Ch4-10例2X~N(,2)Ch4-11常見r.v.的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p

的0-1分布pB(n,p)npP()Ch4-11常見r.v.的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為Ch4-12分布期望概率密度U(a,b)E()N(,2)Ch4-12分布期望概率密度U(a,b)E()N(,Ch4-13注意不是所有的r.v.都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在!Ch4-13注意不是所有的r.v.都有數(shù)學(xué)期望例如：柯Ch4-14設(shè)離散r.v.X

的概率分布為

若無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則設(shè)連續(xù)r.v.的d.f.為f(x)絕對(duì)收斂,則若廣義積分

r.v.函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望一維★Ch4-14設(shè)離散r.v.X的概率分布為若無窮級(jí)數(shù)Ch4-15例3

設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布律如表，Y=X2,求E(Y)。

解由定理，有

E(Y)=E(X2)=(-1)2×0.4+02×0.3+12×0.3=0.7XP-1010.40.30.3Ch4-15例3設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布律如表，Y=X2,Ch4-16解

例4

已知X~U(－１,1),Y=X2,求E(Y)Ch4-16解例4已知X~U(－１,1),YCh4-17設(shè)離散r.v.(X,Y)的概率分布為Z=g(X,Y),絕對(duì)收斂,則若級(jí)數(shù)二維★Ch4-17設(shè)離散r.v.(X,Y)的概率分布為Ch4-18設(shè)連續(xù)r.v.(X,Y)的聯(lián)合d.f.為f(x,y)，Z=g(X,Y),絕對(duì)收斂,則若廣義積分Ch4-18設(shè)連續(xù)r.v.(X,Y)的聯(lián)合d.fCh4-19例５設(shè)(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的數(shù)學(xué)期望.解例3Ch4-19例５設(shè)(X,Y)~N(0,1;Ch4-20

E(C)=C

E(aX)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y).數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)常數(shù)期望性質(zhì)Ch4-20E(C)=CE(aX)=aCh4-21性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定獨(dú)立反例見附錄1注Ch4-21性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)Ch4-22例６

設(shè)二維r.v.(X,Y)的d.f.為求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解

例5Ch4-22例６設(shè)二維r.v.(X,Y)的d.Ch4-23由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)X,Y獨(dú)立Ch4-23由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)X,Y獨(dú)立Ch4-24數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用應(yīng)用Ch4-24數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用應(yīng)用Ch4-25據(jù)統(tǒng)計(jì)65歲的人在10年內(nèi)正常死亡解應(yīng)用1的概率為0.98,因事故死亡概率為0.02.保險(xiǎn)公司開辦老人事故死亡保險(xiǎn),參加者需交納保險(xiǎn)費(fèi)100元.若10年內(nèi)因事故死亡公司賠償

a元,應(yīng)如何定a,才能使公司可期望獲益;若有1000人投保,公司期望總獲益多少?設(shè)Xi

表示公司從第i

個(gè)投保者身上所得的收益,i

=1~1000.則Xi~0.980.02100100應(yīng)用1Ch4-25據(jù)統(tǒng)計(jì)65歲的人在10年內(nèi)正常死亡解應(yīng)用1的概率Ch4-26由題設(shè)公司每筆賠償小于5000元,能使公司獲益.公司期望總收益為若公司每筆賠償3000元,能使公司期望總獲益40000元.Ch4-26由題設(shè)公司每筆賠償小于5000元,能使公司獲Ch4-27

為普查某種疾病,n個(gè)人需驗(yàn)血.驗(yàn)血方案有如下兩種：分別化驗(yàn)每個(gè)人的血,共需化驗(yàn)n

次；分組化驗(yàn),k

個(gè)人的血混在一起化驗(yàn),若結(jié)果為陰性,則只需化驗(yàn)一次;若為陽性,則對(duì)k

個(gè)人的血逐個(gè)化驗(yàn),找出有病者,此時(shí)

k

個(gè)人的血需化驗(yàn)k+1次.設(shè)每人血液化驗(yàn)呈陽性的概率為

p,且每人化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的.試說明選擇哪一方案較經(jīng)濟(jì).驗(yàn)血方案的選擇應(yīng)用2應(yīng)用2Ch4-27為普查某種疾病,n個(gè)人需驗(yàn)血Ch4-28解只須計(jì)算方案(2)所需化驗(yàn)次數(shù)的期望.為簡(jiǎn)單計(jì),不妨設(shè)n

是k

的倍數(shù)，共分成n/k組.設(shè)第i組需化驗(yàn)的次數(shù)為Xi,，則Xi

P1k+1

Ch4-28解只須計(jì)算方案(2)所需化驗(yàn)次數(shù)的期望.設(shè)第Ch4-29若則E(X)<n例如,當(dāng)

時(shí),選擇方案(2)較經(jīng)濟(jì).Ch4-29若則E(X)<n例如,當(dāng)Ch4-30市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年需求量為X噸，X~U[2000,4000],每出售一噸可賺3萬元,售不出去，則每噸需倉庫保管費(fèi)1萬元，問應(yīng)該生產(chǎn)這種商品多少噸,才能使平均利潤最大？解設(shè)每年生產(chǎn)y噸的利潤為Y顯然，2000<y<4000應(yīng)用3應(yīng)用3Ch4-30市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年需求量為Ch4-31Ch4-31Ch4-32顯然，故y=3500時(shí),E(Y)最大,E(Y)=8250萬元Ch4-32顯然，故y=3500時(shí),E(Y)最大,Ch4-33設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑

X(mm)~N(,1).已知銷售每個(gè)零件的利潤T(元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下的關(guān)系：?jiǎn)柶骄睆?/p>

為何值時(shí),銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？應(yīng)用4應(yīng)用4Ch4-33設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件Ch4-34解Ch4-34解Ch4-35即可以驗(yàn)證，零件的平均利潤最大.故時(shí),銷售一個(gè)Ch4-35即可以驗(yàn)證，零件的平均利潤最大.故時(shí),銷售一Ch4-36柯西Augustin-Louis

Cauchy

1789-1857柯西法國數(shù)學(xué)家Ch4-36柯西Augustin-LouisCh4-37柯西簡(jiǎn)介法國數(shù)學(xué)家27歲當(dāng)選法國科學(xué)院院士早在1811年就解決了拉格朗日向他提出的一個(gè)問題：凸多面體的角是否被它的面所決定？柯西作了肯定的回答.這一直是幾何學(xué)中一個(gè)精彩的結(jié)果.在概率論中他給出了有名的柯西分布.然而他一生中最重要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)在另外三個(gè)領(lǐng)域：微積分學(xué)、復(fù)變函數(shù)和微分方程.Ch4-37柯西簡(jiǎn)介法國數(shù)學(xué)家27歲當(dāng)選法國科Ch4-38柯西在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、誤差理論以及天體力學(xué)、光學(xué)、彈性力學(xué)諸方面都有出色的工作，特別是他弄清了彈性理論的基本數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，為彈性力學(xué)奠定了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ).在這三個(gè)領(lǐng)域中我們常常能見到以柯西名字命名的定理、公式和方程等:柯西積分定理;柯西積分公式;柯西-黎曼方程;柯西判別法則;柯西不等式;柯西初值問題Ch4-38柯西在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、誤差理論以《微積分在幾何上的應(yīng)用》1826年柯西的著作大多是急就章，但都樸實(shí)無華，有思想,有創(chuàng)見.他所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的定理和公式,往往是一些最簡(jiǎn)單、最基本的事實(shí).因而，他的數(shù)學(xué)成就影響廣泛，意義深遠(yuǎn).柯西是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，一生共發(fā)表論文800余篇，著書7本.《柯西全集》共有27卷，其中最重要的為：《分析教程》1821年《無窮小分析教程概論》1823年Ch4-39《微積分在幾何上的應(yīng)用》1826年柯西的Ch4-40若

X服從柯西(Cauchy)分布,其p.d.f.為簡(jiǎn)記

X~C()分布,Ch4-40若X服從柯西(Cauchy)分布,簡(jiǎn)記Ch4-41性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定獨(dú)立反例1XYpij-101-1010p?jpi?附錄[附錄]Ch4-41性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)Ch4-42XYP-101但Ch4-42XYP-10Ch4-43反例2Ch4-43反例2Ch4-44但Ch4-44但Ch4-45第四章第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征Ch4-1第四章第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征Ch4-46分布函數(shù)能完整地描述r.v.的統(tǒng)計(jì)特性,但實(shí)際應(yīng)用中并不都需要知道分布函數(shù)，而只需知道r.v.的某些特征.判斷棉花質(zhì)量時(shí),既看纖維的平均長度

平均長度越長,偏離程度越小,質(zhì)量就越好;又要看纖維長度與平均長度的偏離程度例如：Ch4-2分布函數(shù)能完整地描述r.v.的統(tǒng)Ch4-47考察一射手的水平,既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高,還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小,即數(shù)據(jù)的波動(dòng)是否小.由上面例子看到，與r.v.有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義.Ch4-3考察一射手的水平,既要看他的平均Ch4-48

r.v.的平均取值——數(shù)學(xué)期望

r.v.取值平均偏離均值的情況——方差描述兩r.v.間的某種關(guān)系的數(shù)——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容隨機(jī)變量某一方面的概率特性都可用數(shù)字來描寫Ch4-4r.v.的平均取值——數(shù)學(xué)期望本隨機(jī)變量Ch4-49§4.1數(shù)學(xué)期望加權(quán)平均初賽復(fù)賽決賽總成績算術(shù)平均甲乙9085532287688805722575勝者甲甲乙甲甲3:3:42:3:52:2:673.770.066.873.270.167.8甲乙乙引例學(xué)生甲乙參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,觀察其勝負(fù)§4.1Ch4-5§4.1數(shù)學(xué)期望加權(quán)平均初復(fù)決總算術(shù)甲9Ch4-50為這3個(gè)數(shù)字的加權(quán)平均稱數(shù)學(xué)期望的概念源于此Ch4-6為這3個(gè)數(shù)字的加權(quán)平均稱數(shù)學(xué)期望的概念源于此Ch4-51設(shè)X為離散r.v.其分布為若無窮級(jí)數(shù)其和為X

的數(shù)學(xué)期望記作E(X),即數(shù)學(xué)期望的定義定義絕對(duì)收斂,則稱定義Ch4-7設(shè)X為離散r.v.其分布為若無窮級(jí)數(shù)其Ch4-52設(shè)連續(xù)r.v.X的d.f.為若廣義積分絕對(duì)收斂,則稱此積分為X

的數(shù)學(xué)期望記作E(X),即數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——加權(quán)平均它是一個(gè)數(shù)不再是r.v.定義Ch4-8設(shè)連續(xù)r.v.X的d.f.為若廣義積分絕Ch4-53例1

X~B(n,p),求E(X)

.解特例若Y~B(1,p),則E(Y)

例1Ch4-9例1X~B(n,p),Ch4-54例2

X~N(,2),求E(X)

.解例2Ch4-10例2X~N(,2)Ch4-55常見r.v.的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為p

的0-1分布pB(n,p)npP()Ch4-11常見r.v.的數(shù)學(xué)期望分布期望概率分布參數(shù)為Ch4-56分布期望概率密度U(a,b)E()N(,2)Ch4-12分布期望概率密度U(a,b)E()N(,Ch4-57注意不是所有的r.v.都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為但發(fā)散它的數(shù)學(xué)期望不存在!Ch4-13注意不是所有的r.v.都有數(shù)學(xué)期望例如：柯Ch4-58設(shè)離散r.v.X

的概率分布為

若無窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則設(shè)連續(xù)r.v.的d.f.為f(x)絕對(duì)收斂,則若廣義積分

r.v.函數(shù)Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望一維★Ch4-14設(shè)離散r.v.X的概率分布為若無窮級(jí)數(shù)Ch4-59例3

設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布律如表，Y=X2,求E(Y)。

解由定理，有

E(Y)=E(X2)=(-1)2×0.4+02×0.3+12×0.3=0.7XP-1010.40.30.3Ch4-15例3設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布律如表，Y=X2,Ch4-60解

例4

已知X~U(－１,1),Y=X2,求E(Y)Ch4-16解例4已知X~U(－１,1),YCh4-61設(shè)離散r.v.(X,Y)的概率分布為Z=g(X,Y),絕對(duì)收斂,則若級(jí)數(shù)二維★Ch4-17設(shè)離散r.v.(X,Y)的概率分布為Ch4-62設(shè)連續(xù)r.v.(X,Y)的聯(lián)合d.f.為f(x,y)，Z=g(X,Y),絕對(duì)收斂,則若廣義積分Ch4-18設(shè)連續(xù)r.v.(X,Y)的聯(lián)合d.fCh4-63例５設(shè)(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的數(shù)學(xué)期望.解例3Ch4-19例５設(shè)(X,Y)~N(0,1;Ch4-64

E(C)=C

E(aX)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)當(dāng)X,Y獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y).數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)常數(shù)期望性質(zhì)Ch4-20E(C)=CE(aX)=aCh4-65性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定獨(dú)立反例見附錄1注Ch4-21性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)Ch4-66例６

設(shè)二維r.v.(X,Y)的d.f.為求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解

例5Ch4-22例６設(shè)二維r.v.(X,Y)的d.Ch4-67由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)X,Y獨(dú)立Ch4-23由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)X,Y獨(dú)立Ch4-68數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用應(yīng)用Ch4-24數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用應(yīng)用Ch4-69據(jù)統(tǒng)計(jì)65歲的人在10年內(nèi)正常死亡解應(yīng)用1的概率為0.98,因事故死亡概率為0.02.保險(xiǎn)公司開辦老人事故死亡保險(xiǎn),參加者需交納保險(xiǎn)費(fèi)100元.若10年內(nèi)因事故死亡公司賠償

a元,應(yīng)如何定a,才能使公司可期望獲益;若有1000人投保,公司期望總獲益多少?設(shè)Xi

表示公司從第i

個(gè)投保者身上所得的收益,i

=1~1000.則Xi~0.980.02100100應(yīng)用1Ch4-25據(jù)統(tǒng)計(jì)65歲的人在10年內(nèi)正常死亡解應(yīng)用1的概率Ch4-70由題設(shè)公司每筆賠償小于5000元,能使公司獲益.公司期望總收益為若公司每筆賠償3000元,能使公司期望總獲益40000元.Ch4-26由題設(shè)公司每筆賠償小于5000元,能使公司獲Ch4-71

為普查某種疾病,n個(gè)人需驗(yàn)血.驗(yàn)血方案有如下兩種：分別化驗(yàn)每個(gè)人的血,共需化驗(yàn)n

次；分組化驗(yàn),k

個(gè)人的血混在一起化驗(yàn),若結(jié)果為陰性,則只需化驗(yàn)一次;若為陽性,則對(duì)k

個(gè)人的血逐個(gè)化驗(yàn),找出有病者,此時(shí)

k

個(gè)人的血需化驗(yàn)k+1次.設(shè)每人血液化驗(yàn)呈陽性的概率為

p,且每人化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的.試說明選擇哪一方案較經(jīng)濟(jì).驗(yàn)血方案的選擇應(yīng)用2應(yīng)用2Ch4-27為普查某種疾病,n個(gè)人需驗(yàn)血Ch4-72解只須計(jì)算方案(2)所需化驗(yàn)次數(shù)的期望.為簡(jiǎn)單計(jì),不妨設(shè)n

是k

的倍數(shù)，共分成n/k組.設(shè)第i組需化驗(yàn)的次數(shù)為Xi,，則Xi

P1k+1

Ch4-28解只須計(jì)算方案(2)所需化驗(yàn)次數(shù)的期望.設(shè)第Ch4-73若則E(X)<n例如,當(dāng)

時(shí),選擇方案(2)較經(jīng)濟(jì).Ch4-29若則E(X)<n例如,當(dāng)Ch4-74市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年需求量為X噸，X~U[2000,4000],每出售一噸可賺3萬元,售不出去，則每噸需倉庫保管費(fèi)1萬元，問應(yīng)該生產(chǎn)這種商品多少噸,才能使平均利潤最大？解設(shè)每年生產(chǎn)y噸的利潤為Y顯然，2000<y<4000應(yīng)用3應(yīng)用3Ch4-30市場(chǎng)上對(duì)某種產(chǎn)品每年需求量為Ch4-75Ch4-31Ch4-76顯然，故y=3500時(shí),E(Y)最大,E(Y)=8250萬元Ch4-32顯然，故y=3500時(shí),E(Y)最大,Ch4-77設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑

X(mm)~N(,1).已知銷售每個(gè)零件的利潤T(元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下的關(guān)系：?jiǎn)柶骄睆?/p>

為何值時(shí),銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？應(yīng)用4應(yīng)用4Ch4-33設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件Ch4-78解Ch4-34解Ch4-79即可以驗(yàn)證，零件的平均利潤最大.故時(shí),銷售一個(gè)Ch4-35即可以驗(yàn)證，零件的平均利潤最大.故時(shí),銷售一Ch4-80柯西Augustin-Louis

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