《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程實施大綱30學(xué)時

PAGEPAGE113概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程實施大綱基本理念第一，著重基礎(chǔ)，著重標(biāo)準(zhǔn)。在我國迄今為止，有關(guān)數(shù)理統(tǒng)計教材不少，這些教材和理論參考文獻(xiàn)各自保持了自己的特色。只有著重基礎(chǔ)，著重標(biāo)準(zhǔn)，才能與國際先進(jìn)的理論研究趨勢保持一致。第二，力求在簡潔的基礎(chǔ)上使學(xué)生能從整體上了解和掌握該課程的內(nèi)容體系，使學(xué)生能夠在實際工作中、其它學(xué)科的學(xué)習(xí)中能靈活自如地應(yīng)用這些理論。二、課程描述《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》是研究隨機現(xiàn)象客觀規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，是高等學(xué)校理、工科有關(guān)專業(yè)的基礎(chǔ)干課，對高校的統(tǒng)計專業(yè)本科生它也是一門學(xué)科基礎(chǔ)課程。從學(xué)科性質(zhì)上講，它是一門基礎(chǔ)性學(xué)科，它為統(tǒng)計專業(yè)學(xué)生后繼專業(yè)課程的學(xué)習(xí)提供方法論的指導(dǎo)。學(xué)生對這門課的掌握程度直接關(guān)系到統(tǒng)計學(xué)科培養(yǎng)目標(biāo)“經(jīng)濟和管理領(lǐng)域中善于在定性分析基礎(chǔ)上從事定量分析的專門統(tǒng)計人才”的實現(xiàn)。本課程為理、工、經(jīng)、管各專業(yè)的后繼專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課（如隨機過程、統(tǒng)計信號處理、隨機信號分析、統(tǒng)計模式識別、統(tǒng)計物理、計量經(jīng)濟學(xué)等）提供概念、理論基礎(chǔ)和應(yīng)用方法支持，為今后從事的各種隨機動態(tài)系統(tǒng)（如通信系統(tǒng)、計算機控制系統(tǒng)）的規(guī)劃論證、系統(tǒng)分析、設(shè)計、仿真、決策與控制研究提供數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法支持。三、教師簡介四、課程目標(biāo)通過本課程的教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念，了解它的基本理論與方法，從而使學(xué)生初步掌握處理隨機現(xiàn)象的基本思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生運用概率統(tǒng)計方法分析和解決實際問題的能力。五、課程內(nèi)容及學(xué)時分配（1）隨機事件及其概率（5學(xué)時）隨機事件與樣本空間，事件的關(guān)系，事件的運算及性質(zhì)，事件的獨立性，樣本空間的劃分（完備事件組），概率的定義，概率的基本性質(zhì)，古典概型，條件概率，加法公式，乘法公式，全概率公式和貝葉斯公式，獨立重復(fù)實驗，貝努利概型及計算。重點：事件的關(guān)系及運算性質(zhì)，事件的獨立性，概率的性質(zhì)及各種概率的計算。難點：概率的計算（2）一維隨機變量及其分布（6學(xué)時）隨機變量的概念，隨機變量分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，離散型隨機變量的分布律及性質(zhì)，連續(xù)型隨機變量的概率密度及性質(zhì)，二項分布，泊松分布，正態(tài)分布，均勻分布和指數(shù)分布，隨機變量的函數(shù)的分布。重點：一維隨機變量分布函數(shù)及分布律，連續(xù)型隨機變量的概率密度及性質(zhì)，幾種重要的分布，一維隨機變量的函數(shù)的分布.難點：一維隨機變量的函數(shù)的分布（3）多維隨機變量及其分布（5學(xué)時）二維隨機變量的概念，二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)及性質(zhì)，二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律及性質(zhì)，二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度及性質(zhì)，二維隨機變量的邊緣分布，隨機變量的獨立性。重點：二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)及聯(lián)合分布律，二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度，二維隨機變量的邊緣分布，隨機變量的獨立性，二維離散型隨機變量的函數(shù)的分布。難點：二維隨機變量的邊緣分布及隨機變量的獨立性，二維離散型隨機變量的函數(shù)的分布（4）隨機變量的數(shù)字特征（5學(xué)時）數(shù)學(xué)期望（均值）和方差的概念、性質(zhì)及計算，二項分布，泊松分布，正態(tài)分布，均勻分布和指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差，隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，相關(guān)系數(shù)。重點：各種分布的數(shù)字特征難點：隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，相關(guān)系數(shù)（5）數(shù)理統(tǒng)計的基本概念（3學(xué)時）總體與個體，樣本與簡單隨機樣本，統(tǒng)計量，樣本均值，樣本方差及樣本矩，三種分布（分布、分布、分布）及其性質(zhì)，分位數(shù)，正態(tài)總體某些常用統(tǒng)計量的分布。重點：數(shù)理統(tǒng)計的基本統(tǒng)計量和三大分布難點：三大分布的構(gòu)造和性質(zhì)（6）參數(shù)估計（4學(xué)時）點估計的概念，矩估計法，極大似然估計法，估計量的無偏性、有效性和一致性評選標(biāo)準(zhǔn)，區(qū)間估計的概念，單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間。重點：矩估計和極大似然估計，置信區(qū)間難點：區(qū)間估計假設(shè)檢驗（2學(xué)時）顯著性檢驗的基本思想，步驟，可能產(chǎn)生兩種錯誤，單個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗。重點：正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗難點：雙正態(tài)總體下的假設(shè)檢驗六、課程實施第一講課時/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）事件及事件的概率的概率2/12015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、了解隨機試驗、樣本空間、樣本點的概念;二、掌握隨機事件的概念及事件的關(guān)系與運算;三、了解事件的概率的公理化定義教學(xué)內(nèi)容知識點：一、隨機試驗的概念、樣本空間、樣本點的概念；二、隨機事件的概念、隨機事件的關(guān)系及運算；三、事件的概率的概念及性質(zhì)；重點:事件的關(guān)系運算，事件的概率難點:隨機事件的關(guān)系及運算；教學(xué)過程及教學(xué)方法隨機現(xiàn)象、隨機試驗、樣本空間、樣本點（案例，提問，講授）例1-1E1：拋一枚均勻硬幣，觀察其正反面出現(xiàn)的情況；E2:將一枚硬幣連拋三次，觀察其正面出現(xiàn)的次數(shù)；E3:擲一顆骰子，觀察可能出現(xiàn)的點數(shù)；E4:記錄電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)E5:在一批燈泡中任取一只，測試其壽命；E6:將一枚硬幣連拋兩次，考慮正反面出現(xiàn)的情況.通過上例引出隨機試驗的的三個特點、樣本空間樣本點的概念樣本空間：實驗的所有可能結(jié)果所組成的集合稱為樣本空間，記為.樣本點：試驗的每一個可能的結(jié)果或樣本空間的元素稱為一個樣本點，記作.在一次試驗中不可能發(fā)生的事件和一定會發(fā)生的事件，即兩個特殊的事件：必然事件和不可能事件隨隨機事件的概念事件之間的運算關(guān)系事件本質(zhì)上就是集合，隨機事件事實上是樣本空間的子集，因此隨機事件之間就存在著類似集合之間的關(guān)系：1.包含關(guān)系：如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記作對于任何事件A都有：2.相等事件：若事件A與B相互包含，則稱事件A與B相等，記作3.和（并）事件：事件A發(fā)生或事件B發(fā)生（或事件A和B至少有一個發(fā)生），記作（或）.推廣：事件中至少有一個發(fā)生，即為事件，可簡記為4.積（交）事件：事件A發(fā)生且事件B發(fā)生（即事件A和B同時發(fā)生），記作（或）.推廣：事件同時發(fā)生，即為事件，可簡記為事件的差：事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生，記作（或）.互斥事件：事件A,B不會同時發(fā)生，即，則稱事件A與B互斥.對立事件：事件A,B有且只有一個發(fā)生，即且，則稱事件A與B互為對立事件，A的對立事件記為.注意：若隨機事件A與B對立，則A與B互斥，反之不一定成立。事件的關(guān)系與運算即為集合之間的關(guān)系從集合的運算規(guī)則可以得到相應(yīng)的事件的運算性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）除此之外，事件還具有如下的運算規(guī)律：交換律；結(jié)合律分配律德摩根(De-Morgan)公式.結(jié)合律、分配律和德摩根公式還可以推廣至任意有限個或可數(shù)無窮多個事件的情況.例1-2甲、乙、丙三人各向目標(biāo)射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標(biāo)，試用A、B、C的運算關(guān)系表示下列事件：（1）至少有一人命中目標(biāo)：（2）恰有一人命中目標(biāo)：（3）恰有兩人命中目標(biāo)：（4）最多有一人命中目標(biāo)：（5）三人均命中目標(biāo)：（6）三人均未命中目標(biāo)：三、概率的統(tǒng)計定義及性質(zhì)1.頻率定義1-1事件在次相同的重復(fù)試驗中出現(xiàn)次，則稱為事件在次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率.顯然，頻率具有下列性質(zhì)：（1）（非負(fù)性）；（2）（規(guī)范性）；（3）（可加性）若為兩兩互斥事件，則概率的統(tǒng)計定義定義1-2在相同條件下進(jìn)行次重復(fù)試驗，事件發(fā)生的次數(shù)為，事件發(fā)生的頻率為.如果當(dāng)充分大時，穩(wěn)定地在一常數(shù)值得附近擺動，則稱為事件的概率，記作.由概率的統(tǒng)計定義與頻率的性質(zhì)，易見概率具有以下性質(zhì)：（1）（非負(fù)性）；（2）（規(guī)范性）；（3）（可加性）若為兩兩互斥事件，則由概率的定義可知，概率是衡量事件發(fā)生可能性大小的量.概率的統(tǒng)計定義雖然直觀，但在實用上，不可能對每一事件都做大量的的重復(fù)試驗，從中得到頻率的穩(wěn)定值，因此不便于實際計算使用.另外，從數(shù)學(xué)上看，有些說法也不嚴(yán)密，不便于理論研究上使用.3.概率的公理化定義及性質(zhì)前蘇聯(lián)科學(xué)家柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov）從頻率的穩(wěn)定性與概率的統(tǒng)計定義得到啟發(fā)，于1933年提出了如下概率的公理化定義.定義1-3隨機試驗的樣本空間為，如對于果的每個事件，總有唯一確定得實數(shù)與之對應(yīng)，并且滿足下列三條性質(zhì)：（1）（非負(fù)性）；（2）（規(guī)范性）；（3）（可列可加性）若為兩兩互斥事件，則稱為事件的概率.概率的公理化定義看起來抽象，但它反映了事件概率的本質(zhì).需要指出的是：可視為事件的函數(shù)，值域為，定義域為全體事件的集合.從概率的公理化定義可以導(dǎo)出概率的重要性質(zhì)性質(zhì)1，即不可能事件的概率為0性質(zhì)2（有限可加性）為兩兩互不相容事件，即，則(1-1)性質(zhì)3設(shè)為兩個事件，（1）；(1-2)（2）若，則.性質(zhì)4(1-3)性質(zhì)5(加法公式).(1-4)推論1(1-5)(1-6)例1-4已知,求(1),(2),(3),(4).例1-5某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數(shù)分別占全體市民人數(shù)的30%,其中有10%的人同時定甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.作業(yè)安排教材習(xí)題一:5,6,7,8課外思考1.事件A表示三個人對某個問題的回答中至少有一人說“否”，B表示三個人對某問題的回答都說“是”。請問：事件，各表示什么含義？2.社會經(jīng)濟現(xiàn)象是否只分成確定性現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象？“某天的天氣狀況”是否屬于這兩類現(xiàn)象？試舉出至少3種不屬于這兩類現(xiàn)象的社會經(jīng)濟現(xiàn)象。3.隨機事件與集合的對應(yīng)關(guān)系是怎樣的？4.對立事件和互斥事件有和區(qū)別？5.小概率事件是否不會發(fā)生？7.“概率為0的事件”是否必然是不可能事件？8.老師把n本學(xué)生的作業(yè)本隨機的發(fā)給這n個學(xué)生，每人一本，計算至少有一個學(xué)生拿到自己的作業(yè)本的概率？9.設(shè)A,B為兩個隨機事件，且已知，就下列三種情形下求概率（1）A與B互斥；（2）；（3）10.設(shè)A,B,C為三個隨機事件，且，，.求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率第二講課時/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）等可能概型和條件概率2/22015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、掌握古典概型和幾何概型的計算方法;二、掌握條件概率和乘法公式三、掌握事件的獨立性教學(xué)內(nèi)容知識點：一、古典概型和幾何概型；二、條件概率、乘法公式和全概率公式；三、事件的獨立性；重點:古典概型，條件概率及乘法公式、事件的獨立性難點:事件獨立性的應(yīng)用；教學(xué)過程及教學(xué)方法一、古典概型定義2-1若隨機試驗滿足以下條件：樣本空間只有有限個樣本點，即；每個基本事件的發(fā)生是等可能的，即，則稱此試驗為古典概型，或稱等可能概型.設(shè)事件包含個基本事件，即，則有由此，在古典概型中，如果樣本空間的樣本點總數(shù)為，事件由個樣本點組成，則事件的概率為(2-1)典型例子：抽球問題、分球入盒問題、隨機取數(shù)問題、分組分配問題等。例2-1設(shè)盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個球，求取到一紅一白的概率.解設(shè)事件A:“取到一紅一白”故例2-2將3個球隨機的放入3個盒子中去，問：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？解設(shè)A:“每盒恰有一球”,B:“空一盒”(2).例2-330名學(xué)生中有3名運動員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率解設(shè)事件A:“每組有一名運動員”;事件B:“3名運動員集中在一組”(1);(2);另外，如果隨機試驗滿足下述兩個條件：（1）它的樣本空間含有無窮多個樣本點；（2）每個樣本點的出現(xiàn)是等可能的，則稱這種試驗為幾何概型。幾何概型中事件A的概率的計算公式：，其中表示樣本空間的測度（一維中表示區(qū)間的長度，二維中表示平面區(qū)域的面積，三維中表示空間域的體積），表示事件A的測度。例2-4在單位圓O的一條直徑MN上隨機的取一點Q,試求過Q點且與MN垂直的弦的長度超過1的概率.甲、乙兩船均為7點至8點到達(dá)某碼頭，且兩船到達(dá)時間是隨機的，每只船卸貨需要20分鐘，碼頭同時只能允許一只船卸貨，試計算兩只船使用碼頭時發(fā)生沖突的概率.二、條件概率及乘法公式在解決許多問題時，往往需要有某些附加信息（條件）下求事件的概率。如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作.一般情況下例如擲一顆均勻的骰子，A={擲出2點}，B={擲出偶數(shù)點}，，已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是B，B中共有3個元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有1個在集合A中，于是，容易看到由此引出定義3-1設(shè)為兩個事件，且，則稱(3-1)為事件發(fā)生的條件下，事件的條件概率.易驗證符合概率定義的三條公理，故對概率已證明的結(jié)果都適用于條件概率，例如，對于任意事件，有.又如，對于任意事件，有由條件概率的定義，不難推出如下乘法公式.乘法公式(3-2)(3-3)(3-4)其中，.利用它們可以計算兩個事件同時發(fā)生的概率。例3-1已知隨機事件A和B的概率分別為，，條件概率為，求及.例3-2一批產(chǎn)品共10件,1其中3件次品,每次從中任取一件不放回,問第三次才取得正品的概率等于多少?解表示第一次取到次品;表示第二次取到次品;表示第三次取到正品則根據(jù)乘法公式注意與的區(qū)別。請看下面的例子。例3-3甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個零件中，有189個是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個零件中任取一個，問這個零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？分析：設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)的}，A={是標(biāo)準(zhǔn)件}，則該題所求為。若題目改為：發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的，問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？則求的是.總之事件B的發(fā)生在中作為結(jié)果，而在中作為條件。三、事件的獨立性及其應(yīng)用一般地，,但在特殊條件下也有例外，先看下面例子.例3-4設(shè)袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從袋中有放回地抽取兩次，每次取一個,用表示“第一次抽取得紅球”，表示“第二次取得紅球”，求，.解.顯然，上例中，由此可以得到，此時稱事件相互獨立.定義3-2設(shè)為兩個事件，如果滿足(3-5)則稱事件相互獨立，簡稱獨立.需要說明的是在實際應(yīng)用中，往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立。例如甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊，記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨立？又如一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)Ai={第i件是合格品}，i=1,2，若抽取是有放回的,則A1與A2獨立；若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立。顯然，當(dāng)事件相互獨立，且時，有定理3-1以下四命題等價（1）事件相互獨立.（2）事件相互獨立.（3）事件相互獨立.（4）事件相互獨立.證明這里僅證（1）與（2）等價，其他情況可以類似加以證明.由于與互不相容，于是有,若相互獨立,則故由定義知，事件相互獨立.若相互獨立，則故由定義知，事件相互獨立綜上，（1）與（2）等價.證畢.例3-5從一付52張(不含大小王)的撲克牌中任意抽取一張，A表示抽出一張A，B表示抽出一張黑桃，問A與B是否獨立？解一,,得到,故與獨立.事件相互獨立的概念可以推廣到有限多個事件上定義3-3設(shè)為三個事件，如果滿足則稱為相互獨立事件.上述定義中若僅滿足前三個式子，則稱兩兩獨立，需要指出的是：相互獨立必然兩兩獨立，反之不一定.例3-6從分別標(biāo)有1,2,3,4四個數(shù)字的4張卡片中隨機抽取一張,以事件A表示“取到1或2號卡片”;事件B表示“取到1或3號卡片”;事件C表示“取到1或4號卡片”.則事件A,B,C兩兩獨立但不相互獨立.事實上進(jìn)一步可以定義個事件的獨立性定義3-4設(shè)個事件，對于任意個事件，如果滿足則稱事件相互獨立.同樣，事件相互獨立則它們必然兩兩獨立，反之不一定對.例3-7若每個人血清中含肝炎病毒的概率為0.4%，今混合來自不同地區(qū)的100個人的血清，求此血清中有肝炎病毒的概率.解用表示第個人的血清中含有肝炎病毒，，則作業(yè)安排教材習(xí)題二（2,4,7,8,12,13,14,15），習(xí)題三（3,7,8）課外思考1.盒中有3個紅球、2個白球，每次從盒中任取一只觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球、第3、4次取得紅球的概率.2.一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去，只好用抽簽的方法來解決.3.一個被劫持的人質(zhì)被隱藏在地區(qū)的概率是.人質(zhì)在地區(qū)隱藏時，被解救的概率是，根據(jù)調(diào)查的線索和個地區(qū)的辦案能力，公安部門對和的判斷如下：計算人質(zhì)能夠被解救的概率？4.設(shè)有兩門高射炮，每一門擊中飛機的概率都是0.6，求下列事件的概率：（1）同時發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機的概率是多少？（2）若有一架敵機入侵領(lǐng)空，欲以99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮？5.獨立與互斥有沒有關(guān)系？第三講課時/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）全概率公式、貝葉斯公式、貝努里概型2/32015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、掌握全概率公式，會應(yīng)用全概率公式計算概率；二、掌握貝葉斯公式，會用貝葉斯公式計算概率三、掌握伯努利概型教學(xué)內(nèi)容知識點：一、全概率公式二、貝葉斯公式三、伯努利概型重點:全概率公式和貝葉斯公式及貝努里概型難點:全概率公式和貝葉斯公式教學(xué)過程及教學(xué)方法一、全概率公式引例有三個箱子分別編號為一、二、三.一號箱裝有1個紅球4個白球,二號箱裝有2紅3白球,三號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.分析：記Ai={球取自i號箱},i=1,2,3，B={取得紅球}，其中兩兩互斥，事件B的發(fā)生總是伴隨著之一同時發(fā)生，即，且兩兩互斥，運用加法公式得代入數(shù)據(jù)計算即得.全概率公式是概率論的重要公式之一，它解決問題的基本思想是把復(fù)雜事件的概率轉(zhuǎn)化為簡單事件的概率的運算.基本方法是：將復(fù)雜事件化為兩兩互不相容事件之和，再利用概率的的可加性.定理3-2設(shè)隨機試驗中的任一事件，事件是的一個完備事件組，即(如圖1-2)且,則有.(3-6)上述公式稱為全概率公式.BBA1A2A3A4A5圖1-1證明由已知條件有.由于，所以兩兩互不相容，根據(jù)概率的有限可加性和乘法公式得,證畢.需要指出的是，我們可以將事件視為“結(jié)果”，則視為導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生的“原因”，稱為先驗概率.全概率公式中，把求的問題轉(zhuǎn)化為求和的問題.看似復(fù)雜化了，但在很多情況下，直接求很不容易，而諸和卻往往容易得到，從而使求的問題得到解決.在使用全概率公式時關(guān)鍵是選取完備事件組，而且完備事件組中每個事件的概率及條件概率容易計算.我們還可以從另一個角度去理解全概率公式：某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，則A發(fā)生的概率是，每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式。由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系。例3-8某機床廠從三個不同的軸承制造廠購進(jìn)一批軸承，從第一廠、第二廠、第三廠分別進(jìn)貨為、和.根據(jù)以往經(jīng)驗得知三廠的產(chǎn)品次品率分別為、和.問該機床廠購進(jìn)這批軸承的次品率是多少？解設(shè)“取到的軸承是第廠制造”為事件“取出的一只軸承是次品”為事件.由全概率公式其中于是二、貝葉斯公式引例某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自一號箱的概率.或者問:該球取自哪號箱的可能性最大?分析：這一類問題是“已知結(jié)果求原因”.在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小。為解決這類問題我們引出貝葉斯公式：定理3-3設(shè)為一事件且，事件構(gòu)成一個完備事件組，且，則有.(3-7)證由條件概率公式，得又由乘法公式，由全概率公式將這兩個關(guān)系式代入上式，即得證.在全概率公式中，我們將事件視為“結(jié)果”，則視為導(dǎo)致結(jié)果發(fā)生的“原因”.有時我們還想知道結(jié)果的發(fā)生到底主要由什么原因引起，即需求，稱之為驗后概率.在例3-8中，可將機床廠購進(jìn)次品軸承視為“后果”，其“原因”來至三個軸承制造廠的產(chǎn)品，為討論三個軸承廠的產(chǎn)品對這批軸承次品率的影響的大小，需要計算，這時需要使用貝葉斯（Bayes）公式.例3-9繼續(xù)討論例1-17.若從機床廠購進(jìn)的這批軸承中任取一只，這只軸承是次品，問此次品由每家軸承廠制造的概率分別為多少?解計算和，在例3-8中已經(jīng)計算出，因此三、伯努利（Bernoulli）試驗在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，且任何一次試驗發(fā)生的結(jié)果都不受其他各次試驗結(jié)果的影響，稱這樣的試驗為重復(fù)獨立試驗，若在次重復(fù)獨立試驗中，每次試驗的可能結(jié)果只有兩個：或，則稱次重復(fù)獨立試驗為重伯努利試驗.定理3-4設(shè)在一次試驗中發(fā)生的概率為，則在重伯努利試驗中事件發(fā)生次的概率為（證略）例3-10某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.3,重復(fù)射擊10次,求恰好命中3次的概率.解10次射擊為10重伯努利試驗,在一次試驗中擊中目標(biāo)為事件,則作業(yè)安排教材習(xí)題三：8,9,10,16,20,21，課外思考1.有甲乙兩個袋子,甲袋中有兩個白球,1個紅球,乙袋中有兩個紅球,一個白球.這六個球手感上不可區(qū)別.今從甲袋中任取一球放入乙袋,攪勻后再從乙袋中任取一球,問此球是紅球的概率？2.市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品,已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2,且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％,試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率.3.有6盒粉筆,其中:3盒,每盒有三只白粉筆,6只紅粉筆,設(shè)為第一類;2盒,每盒有3只白粉筆,3只紅粉筆,設(shè)為第二類;1盒,盒內(nèi)有3只白粉筆,無紅粉筆,設(shè)為第三類.現(xiàn)在從6盒中任取一只粉筆,求抽到紅粉筆的概率.4.甲、乙、丙三人同時對飛機進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率.5.某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對這種試驗反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?6.對以往數(shù)據(jù)的分析表明,當(dāng)機器調(diào)整為良好時,產(chǎn)品的合格率為90%,有故障時產(chǎn)品的合格率為30%.早上開機先調(diào)整機器.按照經(jīng)驗知道機器調(diào)整好的概率為75%.試求當(dāng)?shù)谝患a(chǎn)品是合格品時,機器調(diào)整好的概率.7.數(shù)字通訊過程中,信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號,其中發(fā)0的概率為0.55,發(fā)1的概率為0.45.由于信道中存在干擾,在發(fā)0的時候,接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”.在發(fā)1的時候,接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”.現(xiàn)接收端接收到一個“1”的信號.問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?8.全概率公式與貝葉斯公式有和區(qū)別，各自能解決什么問題？9.學(xué)生甲在畢業(yè)時向兩個相互無關(guān)的用人單位遞交了求職信，根據(jù)經(jīng)驗，他被第一個單位錄用的概率為0.4，被第二個單位錄用的概率為0.5，現(xiàn)在知道他至少被某個單位錄用了，計算他也被另一單位錄用的概率。10.在回答有A,B,C,D的個選項的選擇題時，由于題目較難，全班只有5%的學(xué)生能解出正確答案。假定能解出正確答案的學(xué)生回答正確的概率是0.99，不能解出答案的學(xué)生隨機猜測答案。計算答題正確的學(xué)生是猜對答案的概率。第四講課時/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）隨機變量的概念、離散型隨機變量2/42015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、掌握隨機變量的概念二、掌握離散型隨機變量的分布律三、掌握常用的幾種離散型隨機變量教學(xué)內(nèi)容知識點：隨機變量的概念；二、離散型隨機變量的分布律；三、常用的幾種離散型隨機變量重點:離散型隨機變量的分布律；難點:隨機變量的概念教學(xué)過程及教學(xué)方法隨機變量的概念對一隨機試驗，其結(jié)果可以是數(shù)量性的，也可以是非數(shù)量性的.對這兩種情況，都可以把試驗結(jié)果數(shù)量化.例4-1設(shè)有10件產(chǎn)品，其中5件正品，5件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，問這3件產(chǎn)品中的次品數(shù)是多少？例4-2在一批電子元件中任取一只測試，其使用壽命(單位為h)是一個變量，它的可能取值為上的任意實數(shù)，樣本空間為,則可看作定義在的函數(shù).例4-3擲一枚均勻硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情況.從上面例子中變量的共同特點加以概括抽象，得出隨機變量的定義.定義4-1設(shè)隨機試驗的樣本空間，如果對于每一個樣本點，有一個實數(shù)與之對應(yīng)，得到一個定義在上的單值實值函數(shù)，稱為隨機變量，簡記為.通?？梢园央S機變量分為兩種類型：離散型隨機變量和非離散型隨機變量，如果隨機變量的所有可能取值為有限個或可列無窮個，則此類隨機變量為離散型隨機變量；反之，為非離散型隨機變量，在非離散型隨機變量中最重要的并且應(yīng)用最廣泛的是連續(xù)型隨機變量.下面將分別介紹離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量.二、離散型隨機變量的分布律定義4-2如果隨機變量的所有可能取值只有有限個或可列無窮多個，則稱為離散型隨機變量.上節(jié)例3-1，例3-3中的隨機變量為離散型隨機變量，例3-2的隨機變量不是離散型隨機變量.定義4-3若隨機變量的所有可能取值為事件的概率為，則稱（4-1）為離散型隨機變量的概率分布或分布律，其中滿足：（非負(fù)性）（4-2）（規(guī)范性）（4-3）注：上面這兩條性質(zhì)可以用來判斷一個數(shù)列是否是某個隨機變量的分布律。例4-4判斷下面的數(shù)列可否作為某隨機變量的分布律：（1）（2）（3）例4-5設(shè)隨機變量X的分布律為，試確定常數(shù)a.例4-6設(shè)隨機變量X的分布律為，試確定常數(shù)a.離散型隨機變量分布律的表示方法有：公式法列表法（3）矩陣法例4-7討論例2-1中隨機產(chǎn)品中次品件數(shù)，它所有可能取值是0,1,2,3.則的分布律為例4-8從號碼為1,2,3,4,5的5個球中，隨機取3個，已經(jīng)求得最大號碼X的分布律為，試求：；；；.三、常用的幾個離散型隨機變量的分布1.0-1分布（4-4）或表示為其中，則稱服從參數(shù)為的0-1分布.只有兩個結(jié)果的隨機試驗所確定的隨機變量均可看做服從（0-1）分布。例如一枚硬幣扔一次，確定的隨機變量.再如抽樣檢查，結(jié)果為正品或次品，確定的隨機變量.2．二項分布若隨機變量的分布律為（4-5）或其中為正整數(shù)，，則稱服從參數(shù)為的二項分布，記為注：0-1分布是二項分布的特殊情形。例4-9從某大學(xué)到火車站途中有6個交通崗,假設(shè)在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設(shè)為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.解由題意,,于是,的分布律為:（1）（2）.例4-10池塘中有1000條魚,其中鰱魚400條,鯽魚350條,隨機撈4次,每次一條,撈后放回.設(shè)X為4次中撈到鰱魚的條數(shù).(1)求X的分布律；(2)求至少撈到2條鰱魚的概率.（有放回抽樣）注：本例中的“有放回?fù)啤备臑椤睙o放回?fù)啤?，由于魚的數(shù)量較大，第一次撈出鰱魚的概率為，即使第一次撈到的是鰱魚，第二次再撈到鰱魚的概率為，這與0.4差異不大，所以仍然可以看做獨立試驗，按二項分布來解題。泊松（Poisson）分布若隨機變量的分布律為（4-6）其中，則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為.泊松分布描述了大量試驗中稀有事件（即小概率事件）出現(xiàn)次數(shù)的概率分布。例4-11某市的120電話每分鐘接到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為5的泊松分布，求每分鐘接到的呼叫次數(shù)大于4的概率解設(shè)每分鐘120電話接到的呼叫次數(shù)為，則歷史上泊松分布是作為二項分布的近似引入的，在實際問題中服從或近似服從泊松分布的隨機變量也很常見，例如，一個時間間隔內(nèi)，某地區(qū)發(fā)生的交通事故次數(shù)；一紡錠在某一時間段內(nèi)發(fā)生的斷頭數(shù)；一段時間間隔內(nèi)某放射物放射的粒子數(shù)；一段時間間隔內(nèi)某容器內(nèi)的細(xì)菌數(shù)等等.例4-12某人射擊，命中率為0.02，獨立射擊500次，求至少擊中2次的概率。分析：設(shè)X為500次射擊中命中的次數(shù)，則，需計算上面的數(shù)字計算量太大，因此我們介紹下面的定理：泊松定理若隨機變量，當(dāng)n比較大，p比較?。ㄒ话惝?dāng)）時，X近似服從參數(shù)為的泊松分布，即（4-7）其中.利用泊松定理，例4-12中取=10因此.4.幾何分布設(shè)在獨立重復(fù)試驗中，事件A出現(xiàn)的概率為p，隨機變量X是事件A首次出現(xiàn)時的試驗次數(shù)，則X的分布律為稱此分布為具有參數(shù)為p的幾何分布，也稱X為首次成功的等待時間。例4-13袋中有n把鑰匙，其中只有一把能把門打開，每次抽取一把鑰匙去開門，試在(a)有放回抽取(b)無放回抽取兩種情況下，求首次打開門時試用鑰匙次數(shù)的分布律。例4-14袋中有a個白球b個黑球，有放回地隨機抽取，每次取1個，直到取到白球停止抽取，X為抽取次數(shù)，求作業(yè)安排教材習(xí)題四：1,2,3,4課外思考1.設(shè)每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為的泊松分布，且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為.求任選一對夫婦，至少有3個孩子的概率。2.一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？3.為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)共有300臺設(shè)備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設(shè)備的故障可由一人來處理.問至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?第五講課時/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）隨機變量及分布函數(shù)、連續(xù)型隨機變量及概率密度2/52015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、掌握隨機變量分布函數(shù)二、掌握連續(xù)型隨機變量及其概率密度三、熟悉幾個常用連續(xù)型隨機變量的分布教學(xué)內(nèi)容知識點：一、隨機變量分布函數(shù)的概念和性質(zhì)；二、連續(xù)型隨機變量的概率密度概念及性質(zhì)；三、幾個常用連續(xù)型隨機變量的分布重點:分布函數(shù)的概念，概率密度概念，幾個重要分布難點:分布函數(shù)的概念，概率密度概念教學(xué)過程及教學(xué)方法一、分布函數(shù)的定義及性質(zhì)定義4-4設(shè)是一個隨機變量，對任意實數(shù)，令（4-8）稱為隨機變量的分布函數(shù).由分布函數(shù)的定義可知，對任意實數(shù),有.因此，如果已知隨機變量的分布函數(shù)就能確定落在區(qū)間的概率.在這個意義上，分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性.分布函數(shù)是普通的實值函數(shù)，起定義域為,值域為.通過分布函數(shù)，能夠用微積分的數(shù)學(xué)工具來研究隨機變量.隨機變量的分布函數(shù)具有下列性質(zhì)（1）（單調(diào)性）是變量的單調(diào)不減函數(shù)，即當(dāng)時，有.（2）（有界性）,且（3）（右連續(xù)性）右連續(xù)，即.反之，若函數(shù)滿足性質(zhì)(1)-(3)，則必是某一隨機變量的分布函數(shù).例4-15設(shè)有函數(shù)，試說明F(x)能否是某個隨機變量的分布函數(shù)。例4-16設(shè)離散型隨機變量的分布律為求的分布函數(shù).解的所有可能取值為0,1,2，而，這3個點將實軸分為4個部分當(dāng)時，事件為不可能事件，因此當(dāng)時，事件，因此當(dāng)時，事件，因此當(dāng)時，，因此故一般地，若設(shè)離散型隨機變量X的分布律是則其分布函數(shù)是X取的所有值xk的概率之和，即(4-9)或簡寫為(4-10)離散型隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù)，分布函數(shù)的跳躍點對應(yīng)離散型隨機變量的可能取值點，跳躍高度對應(yīng)隨機變量取對應(yīng)值的概率.反之，如果某隨機變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù)，則該隨機變量必為離散型.例4-17向[0,1]區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以表示質(zhì)點坐標(biāo).假定質(zhì)點落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求的分布函數(shù).解，是落在[0,1]內(nèi)，而當(dāng)時，,因此.當(dāng)時，由題意可得，其中為比例常數(shù).當(dāng)時,,因為在右連續(xù)，所以，故綜上所述，的分布函數(shù)為處處連續(xù).從例4-17可看出為連續(xù)函數(shù)，有別于離散型隨機變量的分布函數(shù)，下一節(jié)將討論連續(xù)型隨機變量二、連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義4-5設(shè)為隨機變量的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)函數(shù)，使得對任意，都有(4-11)則稱為連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)稱為概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度.概率密度函數(shù)具有下列性質(zhì)（1）（非負(fù)性）；(4-12)（2）（規(guī)范性）.(4-13)可以證明，滿足上述兩條性質(zhì)的必是某一隨機變量的密度函數(shù).定理4-1設(shè)為連續(xù)型隨機變量，，依次為的分布函數(shù)和概率密度，則（1）在上連續(xù);（2）在的連續(xù)點處，；（3）取任一實值得概率為零，即（4）連續(xù)型隨機變量X取任一指定實數(shù)值a的概率均為0，即.這是因為，當(dāng)時，得到.所以對于連續(xù)型隨機變量X，有下面的結(jié)論：例2-18設(shè)隨機變量的概率密度為確定常數(shù)；落在的概率；的分布函數(shù).解（1）由概率密度的規(guī)范性，有所以（2）（3）當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，所以的分布函數(shù)三、常用的幾個連續(xù)型隨機變量分布1.均勻分布若隨機變量X的概率密度函數(shù)為（4-14）則稱X在區(qū)間上服從均勻分布，記作.服從[a,b]上的均勻分布的隨機變量X的分布函數(shù)是，當(dāng)時，其概率為.由于是確定得常數(shù)，因此取值于中任一小區(qū)間的概率與該小區(qū)間的長度成正比，而與該小區(qū)間的位置無關(guān)，這就是均勻分布的意義.均勻分布常見于下列情形：如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等。例4-19在某公共汽車起點站，每隔10min發(fā)出一輛客車，一位乘客任意時刻到站候車.求該乘客候車超過3分鐘的概率.解設(shè)乘客候車時間為隨機變量，由題意可知，服從上的均勻分布，其概率密度為則2.指數(shù)分布若隨機變量概率密度為（4-15）其中，則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記作容易得到的分布函數(shù)為（4-16）指數(shù)分布有著重要的應(yīng)用，常用作各種“壽命”分布的近似，如無線電元件的壽命，動物的壽命，隨機服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時間等.指數(shù)分布具有“無記憶性”，即對任意有（4-17）如果用表示某一元件的壽命，那么上式表明，在已知元件已經(jīng)使用了s時間的條件下，還能至少使用t時間的概率，與從開始使用時算起它至少能使用t的概率相等.這就是說元件對它使用過s時間沒有記憶，當(dāng)然指數(shù)分布描述的是“無老化”的壽命分布，對一些壽命長的元件，在初期階段老化現(xiàn)象很小，在這一階段指數(shù)分布比較確切地描述其壽命的分布情況.(4-17)式容易證明，事實上例4-20電子元件的壽命X(年)服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布。(1)求該電子元件壽命超過2年的概率；(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？公路橋每天第一輛汽車過橋時刻為T，設(shè)[0,t]時段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為lt的泊松分布，求T的概率密度。作業(yè)安排教材習(xí)題四：19,20,23,24課外思考1.X具有離散均勻分布，即P(X=xi)=1/n,i=1,2,…,n，求X的分布函數(shù)。2.設(shè)隨機變量X的概率密度為，試求（1）X的分布函數(shù)；（2）.3.設(shè)隨機變量X的概率密度為，試求常數(shù)k；（2）X的分布函數(shù)；（3）.4.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為，求分布函數(shù)F(x).5.已知隨機變量X的概率密度為，求的概率密度。6.設(shè)隨機變量，若，求.第六講課時/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）正態(tài)分布、一維隨機變量的函數(shù)的分布2/62015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、掌握正態(tài)分布二、掌握離散型隨機變量函數(shù)的分布三、掌握連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布教學(xué)內(nèi)容知識點：一、正態(tài)分布二、離散型隨機變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布重點:正態(tài)分布、隨機變量函數(shù)的分布難點:隨機變量函數(shù)的分布教學(xué)過程及教學(xué)方法一、常用的幾個連續(xù)型隨機變量分布（續(xù)）3.正態(tài)分布若隨機變量概率密度為（4-18）其中是常數(shù)，且，則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記作正態(tài)分布的概率密度函數(shù)除了具有一般的密度函數(shù)的性質(zhì)之外，還有下面的性質(zhì)：（1）函數(shù)的曲線關(guān)于軸對稱，即有（2）函數(shù)在上單調(diào)增加，在上單調(diào)遞減；在取得最大值；（3）函數(shù)的兩個拐點的橫坐標(biāo)是；（4）函數(shù)以x軸為水平漸近線，即；（5）參數(shù)決定了正態(tài)分布密度函數(shù)曲線圖的中心位置，決定了正態(tài)曲線圖中峰的陡峭程度，越小，峰越陡；正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)μ和σ唯一確定，當(dāng)μ和σ不同時，是不同的正態(tài)分布。當(dāng)，時的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別用記號表示，即（4-19）（4-20）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度除了具有正態(tài)分布的上述性質(zhì)之外，還有下面的性質(zhì)：事實上，（4-21）事實上，定理4-2若，則.證明令，則Y的分布函數(shù)為令，則有故.注：的計算比較復(fù)雜，為了使用方便，書后附有的函數(shù)值表可供查用易知.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。根據(jù)定理，只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題。即有下面的結(jié)論：若，則.若，則.例4-22某地區(qū)18歲女青年的血壓(收縮壓)服從.在該地區(qū)任選一位18歲女青年,測量她的血壓,（1）求，;（2）確定最小的,使.解由，得（1）（2）由于即查表得故需注：設(shè)，則(1)(2)(3)盡管正態(tài)分布的隨機變量的取值范圍是，但它的值幾乎都集中在區(qū)間內(nèi)超出這個范圍的可能性不到0.3%，這在統(tǒng)計學(xué)上的稱為準(zhǔn)則.二、一維離散型隨機變量的函數(shù)及其分布在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣。比如，已知圓柱截面直徑d的分布；再比如，已知t=t0時刻噪聲電壓V的分布。即設(shè)隨機變量X的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由X的分布求出Y的分布？引例設(shè)隨機變量，求的分布律。一般地，若離散型隨機變量X的分布律為則如果中有一些是相同的，則把它們合并，概率相加即可。散型隨機變量試分別求的分布律解-10120.20.30.40.1-20242125故的分布律為-20240.20.30.40.1的分布律為12540.30.60.10.1三、連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的的分布設(shè)為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，隨機變量是的函數(shù)：求的概率密度的一般方法是可先求的分布函數(shù)然后在求的概率密度此法也叫“分布函數(shù)法”.例4-23設(shè)，求的概率密度.解的概率密度為由于，故當(dāng)時當(dāng)時即從而，的概率密度下面給出一個定理，在滿足定理條件時可直接用它求出隨機變量函數(shù)的概率密度。定理4-3設(shè)隨機變量的概率密度為，函數(shù)處處可導(dǎo)且恒有（或恒有）去，其反函數(shù)為，則也是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為（4-22）其中定理4-3的證明從略，下面用一個例子說明它的應(yīng)用.例4-24設(shè)，求（為常數(shù)，且）解，的反函數(shù)為且，的值域為又故根據(jù)定理4-3可得從而上式表明，從而說明服從正態(tài)分布的隨機變量的線性函數(shù)也服從正態(tài)分布注：若在有限區(qū)間以外等于零，則在定理4-3中，只需要假設(shè)在上處處可導(dǎo)，恒有（或恒有）此時，式（4-22）中.區(qū)間也可改成開區(qū)間，半開半閉區(qū)間.作業(yè)安排教材習(xí)題四：27，28；習(xí)題六：1,3,5,6,8課外思考1.設(shè)，且，求.2.設(shè)X具有概率密度，求Y=X2的概率密度。3.設(shè)X的密度函數(shù)為，求的密度函數(shù)。4.設(shè)，求的密度函數(shù)。第七講課時/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)2/72015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、掌握二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)的概念及性質(zhì)二、掌握二維隨機離散型隨機變量及其聯(lián)合分布律三、掌握二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度教學(xué)內(nèi)容知識點：一、二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)及性質(zhì)二、二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律及性質(zhì)三、二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度及性質(zhì)四、兩個常用二維分布重點:二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律及性質(zhì)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度及性質(zhì)難點:利用二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度求概率教學(xué)過程及教學(xué)方法一、二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維隨機變量及其分布，但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述。在打靶時，命中點的位置是由一對隨機變量(兩個坐標(biāo))來確定的，飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量(三個坐標(biāo))來確定的等等。由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的困難，我們重點討論二維隨機變量，請注意與一維情形的對照。定義5-1設(shè)隨機試驗的樣本空間和是定義在上的隨機變量，則稱為二維隨機變量或二維隨機向量.一般地，的性質(zhì)不僅與，有關(guān)，而且還依賴于，的關(guān)系，因此必須把作為一個整體研究.首先引入的分布函數(shù)的概念.定義5-2設(shè)是二維隨機變量，對任意實數(shù)，二元函數(shù)（5-1）稱為的分布函數(shù)，或稱為與的聯(lián)合分布函數(shù).表示事件與事件同時發(fā)生的概率.如果把看作平面上隨機點的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)在的函數(shù)值，就是隨機點落在平面上以點為頂點而位于該點左下方無限矩形區(qū)域D內(nèi)的概率.如圖5-1yyx(x,y)O圖5-1(x(x2,y1)(x1,y2)yxO圖5-2(x2,y2)(x1,y1)與一維隨機變量類似地，二維隨機變量的分布函數(shù)具有以下4條基本性質(zhì)：（1）（單調(diào)性）是變量和不減函數(shù)，即對于任意固定的，當(dāng)時，有；對于任意固定的，當(dāng)時，有.(2)(有界性)對任意實數(shù),，有；且對于固定的，有;對固定的，有；以及；（3）（右連續(xù)性）；（4）（矩形不等式）對任意實數(shù)，有.例5-1已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為求（1）常數(shù)A，B，C；（2）.解（1）由聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)可解得（2）二維隨機離散型隨機變量及其聯(lián)合分布律定義3-3如果二維隨機變量的所有可能取值是有限對或可列無窮對，則稱為二維離散型隨機變量.設(shè)二維離散型隨機變量所有可能取值為，記（5-3）則稱式（5-3）為二維離散型隨機變量的概率分布或分布律，或稱為隨機變量與的聯(lián)合概率分布或聯(lián)合分布律.也常用表格形式表示YX……顯然，滿足以下兩個條件：（1）（非負(fù)性）（2）（規(guī)范性）另外，二維離散型隨機變量的分布函數(shù)與分布律之間的關(guān)系為（5-4）其中和式是對一切滿足的求和.例5-2袋中有兩只紅球，三只白球，記隨機變量與分別為現(xiàn)在下列兩種抽球方式下,分別求的分布律.（1）不放回地抽球二次；（2）有放回地地抽球二次解(1)若是不放回地抽取,則；；分布律見表XY1011/103/1003/103/10(2)若是有放回地抽取，則分布律為表XY1014/256/2506/259/25二維連續(xù)型隨機變量及其聯(lián)合概率密度定義5-4設(shè)為二維隨機變量的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)函數(shù)，使得對任意實數(shù)有(5-4)則稱為二維連續(xù)型隨機變量，函數(shù)稱為的概率密度，或稱為隨機變量和的聯(lián)合概率密度函數(shù).由定義，概率密度具有以下4條性質(zhì)（1）（非負(fù)性）（2）（規(guī)范性）（3）若在處連續(xù)，則有（4）設(shè)G是平面上以區(qū)域，則點落在G內(nèi)的概率為例5-3設(shè)，（1）求常數(shù)A；（2）求；（3）求(X,Y)落在三角形區(qū)域內(nèi)的概率.解（1）由規(guī)范性解得（2）（3）例5-4設(shè)二維隨機變量的概率密度為求（1）分布函數(shù)；（2）.解（1）由定義即（2）下面介紹兩個常用的二維連續(xù)型分布1.二維均勻分布若二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為（5-5）其中表示區(qū)域D的面積，則稱(X,Y)在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布.易見，若(X,Y)在區(qū)域D上(內(nèi))服從均勻分布，則對D內(nèi)任意區(qū)域G，有例5-5設(shè)在圓域上服從均勻分布，求.解由題意，的概率密度為故2.二維正態(tài)分布若二維隨機變量的概率密度為，（5-6）其中均為常數(shù)，且，則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布，記作作業(yè)安排教材習(xí)題五：1,2課外思考1.把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求(X,Y)的分布律。2.設(shè)(X,Y)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，試求（1）(X,Y)的概率密度；（2）；（3）第八講課時/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）邊緣分布、隨機變量的獨立性、二維隨機變量函數(shù)的分布3/82015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、掌握二維隨機變量（X,Y）關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)和邊緣分布律.二、掌握二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度函數(shù)三、掌握隨機變量的獨立性四、掌握二維隨機變量函數(shù)的分布，記住幾個常用的結(jié)論教學(xué)內(nèi)容知識點：一、二維隨機變量的邊緣分布函數(shù)及性質(zhì)二、二維離散型隨機變量的邊緣分布律及性質(zhì)三、二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度函數(shù)及性質(zhì)四、隨機變量的獨立性及其判定五、二維離散型隨機變量函數(shù)的分布重點:邊緣分布，隨機變量的獨立性及其判定，二維離散型隨機變量函數(shù)的分布難點:邊緣分布，隨機變量的獨立性及其判定，二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布教學(xué)過程及教學(xué)方法一、邊緣分布二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機變量(X,Y)的取值及其概率規(guī)律，而單個隨機變量X,Y也具有自己的概率分布。那么要問：二者之間有沒有關(guān)系呢？如果有，是什么關(guān)系?接下來我們就來探求這個問題。二維隨機變量作為一個整體，具有分布函數(shù)，而和都是隨機變量，分別也有自己的分布函數(shù)，現(xiàn)將它們分別記成、，依次成為二維隨機變量關(guān)于和的邊緣分布函數(shù).和都可以由確定：（5-7）（5-8）1.二維離散型隨機變量的邊緣分布律設(shè)是二維離散型隨機變量，分布律為，由式（5-4）與式（5-7）知，邊緣分布函數(shù)（5-9）其中，式（5-9）中的和式是對一切滿足的和所有的求和.與式（4-10）比較，得到（5-10）其中和式對所有的求和.同理可得（5-11）其中和式對所有的求和.記，，稱和分別為為關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律.我們可以在一個表中表示出聯(lián)合分布律和邊緣分布律：YX………或者單獨寫為：X的邊緣分布律Y的邊緣分布律例5-6試求例5-2中關(guān)于和關(guān)于的分布律解在例5-2中，我們已求得在不放回的抽取方式下的聯(lián)合分布律為YX1011/103/1003/103/10把上面表格中按行相加，可得關(guān)于的邊緣分布律為X10P2/53/5同理在表格中按列相加，可得關(guān)于的邊緣分布律為Y10P2/53/5在例5-2中在有放回的抽取方式下的聯(lián)合分布律為YX1014/256/2506/259/25按照同樣的方法可求得關(guān)于，關(guān)于的邊緣分布律為由邊緣分布律的計算容易找到聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系，由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布。2.二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度函數(shù)設(shè)二維隨機變量的概率密度為，由式（5-7）知由此可知，是連續(xù)型隨機變量，則其概率密度函數(shù)為（5-12）同理，也是連續(xù)型隨機變量，起概率密度函數(shù)為（5-13）稱，分別為關(guān)于和關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù).例5-7設(shè)的概率密度為求關(guān)于和關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù).解由式（5-13）有再由式（5-14）有例5-8設(shè)二維隨機變量，求關(guān)于和關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù).解的了概率密度為則的邊緣密度為作變量代換，得關(guān)于的邊緣概率密度為即的邊緣分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布同理可得，關(guān)于的邊緣概率密度為關(guān)于二維正態(tài)分布還有下面更一般的結(jié)論二維隨機變量，則關(guān)于的邊緣密度為（5-14）關(guān)于的邊緣密度為（5-15）即隨機變量的獨立性定義5-7設(shè)分別是二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù).若對于所有的滿足即則稱隨機變量X與Y相互獨立（mutuallyindependent）．1．離散型隨機變量的獨立性定理3-1若二維離散型隨機變量在所有可能取值處，均有（5-16）則稱隨機變量X與Y是相互獨立（mutuallyindependent）的．(證明略)例5-9設(shè)隨機變量X在區(qū)間[0,3]上服從均勻分布，記（k=1，2）（1）求的聯(lián)合概率分布；（2）判斷X1與X2是否相互獨立？解由題設(shè)，隨機變量X的密度函數(shù)為（1）的全部可能取值為，且即X2X101pi·010p·j（2）因而≠故X1與X2不獨立．2．連續(xù)型隨機變量的獨立性定理5-2設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度和邊緣概率密度分別為,則隨機變量與相互獨立的充分必要條件是，在任意連續(xù)點處都成立例5-10設(shè)維隨機變量的概率密度為問與是否相互獨立？解同理顯然，故與不相互獨立.例5-11若二維隨機變量，則與相互獨立的充分必要條件是.證明的聯(lián)合密度函數(shù)為而關(guān)于和的邊緣密度函數(shù)的乘積為因此當(dāng)時，有即X與Y相互獨立。反之，若X和Y互相獨立，則令，則有于是可得．定理5-3設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，為連續(xù)函數(shù)，則隨機變量與也相互獨立．二維隨機變量的函數(shù)的分布離散型隨機變量函數(shù)的分布在上一節(jié)中，我們討論了一維隨機變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論，當(dāng)隨機變量X,Y的聯(lián)合分布已知時，如何求出它們的函數(shù)的分布？設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布律為是一個二元函數(shù)，是的函數(shù)，則Z仍然是離散型隨機變量，且其分布律為即注意：若中出現(xiàn)相等的，則應(yīng)把相等的值分別合并，并把對應(yīng)的概率相加。例5-12設(shè)的聯(lián)合概率分布律為求（1）求的分布律；（2）求的分布律．解為了明顯起見，以表格的形式給出過程和結(jié)果概率001231234Max(X,Y)11122222由此可得，的分布律0123412結(jié)論1設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且，，則結(jié)論2設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且，則結(jié)論3設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且，則2.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布與求一維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布的方法類似，可用“分布函數(shù)法”.設(shè)隨機量的概率密度為，是函數(shù)，先求的分布函數(shù)（5-17）其中.然后求導(dǎo)得的概率密度函數(shù).結(jié)論4設(shè)，，且X與Y相互獨立，則.結(jié)論5設(shè)隨機變量相互獨立，且，則即.作業(yè)安排教材習(xí)題五：9,10,12,13,14,17,18；教材習(xí)題六：9,10,11課外思考1.已知(X,Y)的分布函數(shù)為，求和.2.把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值，求(X,Y)的分布律。3.設(shè)(X,Y)的概率密度是，求（1）常數(shù)C；（2）關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù)。4.設(shè)服從如圖區(qū)域D上的均勻分布，求關(guān)于X和Y的邊緣概率密度。5.已知隨機變量(X,Y)的分布律為，已知X與Y獨立，求a,b的值。6.設(shè)(X,Y)的概率密度為，問X與Y是否獨立？7.設(shè)二維隨機變量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布，其中區(qū)域D為x軸，y軸及直線y=2x+1圍城的三角形區(qū)域.求(1)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)；(2)關(guān)于X及關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)；(3)X與Y是否獨立。8.設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為，（1）求A,B,C的值；（2）求(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)；（3）判斷X與Y的獨立性。9.設(shè)X與Y相互獨立且服從，求方程有實根的概率，并求當(dāng)時這概率的極限。10.設(shè)(X,Y)的概率密度函數(shù)為，求（1）A的值；（2）(X,Y)的分布函數(shù)；（3）兩個邊緣密度函數(shù)。11.設(shè)，則12.已知X與Y的分布律為且與獨立，求常數(shù)a,b.13.設(shè)隨機變量X與Y獨立，且均服從0-1分布，求下列隨機變量的分布律：(4)(Z,U)的聯(lián)合分布律。14.若X和Y獨立，具有共同的概率密度，求Z=X+Y的概率密度。15.卡車裝運水泥，設(shè)每袋水泥的重量X(kg)服從分布，該卡車的額定載重量為2000kg，問最多裝多少袋水泥,可使卡車超載的概率不超過0.05.第九講課時/課次:教學(xué)日期（學(xué)年/學(xué)期）數(shù)學(xué)期望和方差2/92015-16/1教學(xué)目標(biāo)一、掌握數(shù)學(xué)期望的概念、性質(zhì)和計算方法二、掌握常用分布的數(shù)學(xué)期望三、掌握方差的概念、性質(zhì)和計算方法教學(xué)內(nèi)容知識點：一、隨機變量的數(shù)學(xué)期望二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機變量的方差重點:數(shù)學(xué)期望和方差的概念、性質(zhì)和計算，常用分布的期望難點:數(shù)學(xué)期望和方差性質(zhì)和計算教學(xué)過程及教學(xué)方法一、隨機變量的數(shù)學(xué)期望引例甲每次投資成功的概率為70%，失敗的概率為30%，假設(shè)每次投資成功將獲利3萬元，投機失敗將損失1萬元，下次投資時甲期望贏利多少？分析：在以后的n次獨立重復(fù)的投資中，甲大約有0.7n次獲利3萬，大約有0.3n次獲利1萬元，每次投資平均獲利是于是，甲下次投資期望獲利1.8萬元。在這個例子中，甲的期望值是多次投資的平均收益。如果用隨機變量（投資成功時取3，投資失敗時取-1）描述甲的投資情況，則稱1.8是X的數(shù)學(xué)期望。用E(X)表示X的數(shù)學(xué)期望時，有在上面的例子中，數(shù)學(xué)期望指多次獨立重復(fù)投資時，每次投資的平均收益。定義7-1設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P｛X=xk｝=pk（k=1，2，…）若級數(shù)收斂，則稱其和為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望（mathematicalexpectation）或均值，記作（或），即=(7-1)若級數(shù)不絕對收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望不存在．顯然，離散型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望就是X的各可能取值與其對應(yīng)概率的乘積之和，它是X的概率意義上的平均值．例7-1有甲、乙兩人打靶，擊中的環(huán)數(shù)分別記為X和Y，數(shù)據(jù)如下，比較兩人誰的成績好.解因此，可以認(rèn)為甲比乙的成績好.例7-2設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為則級數(shù)是收斂的，但所以數(shù)學(xué)期望不存在.設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f(x)，在數(shù)軸上取很密的分點，則X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是由于xi與xi+1很接近，所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來近似代替。因此X與以為概率，取值xi的離散型隨機變量近似，該離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望是，這正是的漸近和式。由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義。定義7-2設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為，則稱（7-2）為X的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。這里仍要求.若積分發(fā)散，則X的數(shù)學(xué)期望不存在．例7-3（柯西分布）設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為由于所以不存在．若隨機變量X密度函數(shù)為，則解下面計算幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望．1.0—1分布事實上，設(shè)，則1×p＋0×(1－p)=p即0—1分布的數(shù)學(xué)期望恰為隨機變量X取1的概率p．2.二項分布事實上，設(shè)，其概率分布為則（證明后面講）此結(jié)果表明，在n重伯努利試驗中，事件A發(fā)生的平均次數(shù)為np．例如，假設(shè)P(A)=0.1，則在100次的重復(fù)獨立試驗中，我們可以期望事件A大約會發(fā)生100×0.1=10次．3.泊松分布事實上，設(shè)，其概率分布為則可見，泊松分布P（）的數(shù)學(xué)期望恰是參數(shù)，記住這一結(jié)果在應(yīng)用中是十分方便的．比如，我們知道，通常在某段時間內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)服從泊松分布，因此，若要比較兩個商店在一段時間內(nèi)的平均客流量的大小，只須比較一下它們各自的顧客數(shù)的分布參數(shù)就可以了．4.幾何分布事實上，設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的幾何分布，令，利用冪級數(shù)逐項微分的方法可得的數(shù)學(xué)期望為5.均勻分布事實上，設(shè)，其概率密度為則==我們看到，均勻分布的數(shù)學(xué)期望恰是區(qū)間[a，b]的中點，這直觀地表示了數(shù)學(xué)期望的意義．6.指數(shù)分布事實上，設(shè)X～E()，其概率密度為（＞0）則．7.正態(tài)分布事實上，設(shè)X～N（，），其概率密度為（－∞＜x＜＋∞）則··0=可見，正態(tài)分布N（，）中的參數(shù)恰是它的數(shù)學(xué)期望．二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望，那么應(yīng)該如何計算呢？一種方法是：因為g(X)也是隨機變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來。一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來。使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的。那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？我們來看下面的例子。引例設(shè)隨機變量X的分布律為，求隨機變量Y=X2的數(shù)學(xué)期望。定理7-1（1）若離散型隨機變量X的分布律為，且級數(shù)收斂，則的數(shù)學(xué)期望是（7-3）（2）若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，且收斂，則的數(shù)學(xué)期望是.（7-4）該公式的重要性在于：當(dāng)我們求E[g(X)]時，不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了，這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便。定理7-2若隨機變量的函數(shù)是連續(xù)函數(shù).（1）若離散型隨機變量的分布律為，且收斂，則的數(shù)學(xué)期望是（7-5）（2）若連續(xù)型隨機變量的概率密度為，且收斂，那么（7-6）例7-5設(shè)隨機變量X的概率分布為X－1023P0.10.20.30.4求與的數(shù)學(xué)期望．解由公式（7.3），得==4×0.1＋1×0.2＋1×0.3＋4×0.4=2.5==(－1)×0.1＋(－3)×0.2＋1×0.3＋3×0.4=0.8例7-6設(shè)隨機變量X～E()，求．解由X～E()，知X的概率密度為故由公式（7.4）,有例7-7設(shè)隨機變量（X，Y）的概率密度為求的數(shù)學(xué)期望.解,由（7-6）式得例7-8假定國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機變量X(單位：噸)，它服從[2000,4000]上的均勻分布．設(shè)每售出這種商品一噸，可為國家賺得3萬美元外匯。若銷售不出積壓于庫，則每噸需保管費1萬美元。問應(yīng)組織多少貨源，才能使國家的平均收益最大．解依題意，X的概率密度為設(shè)某年準(zhǔn)備出口的此種商品量為t噸,（2000≤t≤4000），總收益為Y(單位：萬美元)，則由公式（7.4）可得由微積分知識不難算出，當(dāng)t=3500時，E(Y)達(dá)到最大．因此組織3500噸此種商品是最佳決策．三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)1（線性性質(zhì)）,(a、b為常數(shù)).證明（我們只證連續(xù)型隨機變量的情況，離散型情況讀者自證）.設(shè)（X,Y）的概率密度為f(x,y),邊緣分布為,則證畢.推論1為常數(shù)，則推論2設(shè)X為隨機變量，為常數(shù)，則有.推論3(1)；（2），其中為常數(shù)，為隨機變量，性質(zhì)2設(shè)X和Y為兩個相互獨立的隨機變量，則有.證明因為X和Y為相互獨立，（X，Y）的概率密度與邊緣概率密度之間存在關(guān)系式則證畢.這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個相互獨立的隨機變量之積的情形,若相互獨立,則.例7-9設(shè)X～B(n，p)，求解設(shè)而獨立同分布服從0-1分布B(1，p),且根據(jù)題意有根據(jù)數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)有由此看出，求二項分布的數(shù)學(xué)期望利用期望的性質(zhì)比直接用定義來做要簡單的多.四、方差的定義和性質(zhì)定義7-2設(shè)X為一個隨機變量，若數(shù)學(xué)期望存在，則稱之為隨機變量X的方差(variance)，記作，即(7-7)隨機變量X的方差反映了隨機變量的取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度．越小，則的取值越比較集中；反之，越大，則說明的取值越比較分散．方差的量綱與X不一致，為與的量綱一致，我們使用方差的算術(shù)平方根來計量隨機變量X取值的偏離程度，稱為均方差(meansquaredeviation)或標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)．顯然，方差是隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，因此，計算方差時，若已知離散型隨機變量X的概率分布為P｛X=xk｝=pk（k=1，2，…），則=若已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，則=可見，隨機變量的方差總是一個非負(fù)數(shù)，它是由隨機變量的概率分布完全確定的．因此，也可把隨機變量的方差稱為其分布的方差．由數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)得到如下的方差計算公式：(7-8)事實上，.易知，方差具有如下的性質(zhì)：性質(zhì)1設(shè)c為常數(shù)，；性質(zhì)2設(shè)與是相互獨立的隨機變量，則其中為常數(shù)．證明因（7-9）由假設(shè)與相互獨立，故，從而上式右端為0，于是由前式即得證畢.推論1設(shè)與相互獨立，則推論2設(shè)隨機變量相互獨立,則性質(zhì)3的充要條件是隨機變量取常數(shù)的概率為1，即.證略例7-10隨機變量相互獨立，且，證明:隨機變量,其中，為常數(shù)，.證明根據(jù)第六章，第三節(jié)的結(jié)果，正態(tài)分布的線性組合仍服從正態(tài)分布，得所以證畢.例7-11設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望及方差（＞0）都存在，令，求與．解由數(shù)學(xué)期望及方差的性質(zhì)，有E==0=D===1通常稱隨機變量為對應(yīng)于X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量．例7-12設(shè)維隨機變量的概率密度為求：解，同理又所以作業(yè)安排教材習(xí)題七：2,3,4,5,9,13課外思考1.有兩個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命服從同一指數(shù)分布，其概率密度為，若將這兩個電子裝置串聯(lián)組成整機，求整機壽