高中數(shù)學(xué)第2章幾個重要的不等式學(xué)業(yè)分層測評10簡單形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式北師大選修4-5

第2章幾個重要的不等式學(xué)業(yè)分層測評10簡單形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式北師大版選修4-5(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標]一、選擇題1．已知，b為正數(shù)，且a＋＝1，則＝(ax＋by)2與＝ax2＋by2的關(guān)系是( )abPQA．P≤QB．P＜QC．P≥QD．P＞Q【剖析】設(shè)m＝(ax，by)，n＝(a，b)，則|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝ax2＋by2·a2＋b2ax2＋by2·a＋b＝ax2＋by2，所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.即P≤Q.【答案】A2．已知x＋＝1，那么22＋3y2的最小值是()yx56A.6B．52536C.D．3625【剖析】2x22x2＋321＋16＋3＝(2)·yy23562x·2＋3y·32626≥＝(x＋y)＝.52355【答案】B1493．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，則x＋y＋z的最小值為( )A．24B．30C．36D．48149【剖析】(x＋y＋z)x＋y＋z1232＝36，≥x·＋y·＋z·zxy149x＋y＋z≥36.1【答案】Cmn4．設(shè)x，y，m，n>0，且x＋y＝1，則u＝x＋y的最小值是()A．(m＋n)2B．mC.nD．(＋)2mnxy(xy)mnmn2(m【剖析】＝＋·＋≥x·＋y·＝依照柯西不等式，得＋xy＋xyn)2，當(dāng)且僅當(dāng)xy＝時，等號建立，mn2這時u取最小值為(m＋n).【答案】A5．函數(shù)y＝x－5＋26－x的最大值是()A.3B．5C．3D．5【剖析】依照柯西不等式，知y＝1×x－5＋2×6－x≤12＋22×x－52＋6－x2＝5.【答案】B二、填空題6．函數(shù)y＝x＋3－x的最大值為__________．【剖析】由x，3－x非負且(x)2＋(3－x)2＝3，所以x＋3－x≤2[x2＋3－x2]2×3＝6.【答案】6927．設(shè)x，y為正數(shù)，且x＋2y＝8，則x＋y的最小值為__________.【導(dǎo)學(xué)號：94910031】(x＋2y)92【剖析】x＋y322＝(x)2＋(2y)2]＋2xyx·3y·22≥＋2y＝25，x又x＋2＝8，y29225∴x＋y≥8.25【答案】88．設(shè)a，b，c，x，y，z都是正數(shù)，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cza＋b＋c30，則x＋y＋z＝________.【剖析】由柯西不等式，得25×36＝(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302.abc當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝k時取“＝”，由k2(x2＋2＋z2)2＝25×36，解得＝5，yk6a＋b＋c5所以＋＋＝k＝6.xyz5【答案】6三、解答題9．已知實數(shù)x，，z知足x＋2＋＝1，求t＝x2＋42＋z2的最小值．yyzy【解】由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.∵x＋2y＋z＝1，∴3(2＋4222221x＋z)≥1，即x＋4y＋z≥.y31111當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝z＝3，即x＝3，y＝6，z＝3時等號建立．故x2＋4y2＋z2的最小值為1.310．已知θ為銳角，a，b均為正數(shù)．2a2b2求證：(a＋b)≤cos2θ＋sin2θ.ab【證明】設(shè)m＝cosθ，sinθ，nθ，sinθ)，＝(cosaθ·cosb則|a＋b|＝cosθ＋sinθ·sinθ＝|m·n|≤|m||n|322abcosθ＋sinθ·1a2b2cos2θ＋sin2θ，2a2b2∴(a＋b)≤cos2θ＋sin2θ.能力提升]1．已知x，y為正數(shù)，且xy＝1，則1＋11＋1的最小值為()xyA．4B．21C．1D．411【剖析】1＋x1＋y122＝12＋1x·12＋y11212≥1×1＋×＝1＋xy＝22＝4.xy【答案】Aa＋a＋＋an12n1，則P，Q間的大2．設(shè)a1，a2，，an為正數(shù)，P＝n，Q＝11＋＋＋a12n小關(guān)系為()A．>B．≥QPQPC．P<QD．P≤Q【剖析】12n1＋1＋＋1n2(1＋1＋＋1)＝n，n個a1＋a2＋＋ann.∴≥1n11＋＋＋ana1a2即≥.PQ【答案】B3．已知函數(shù)y＝3x－5＋46－x，則函數(shù)的定義域為__________，最大值為__________．【剖析】函數(shù)的定義域為5,6]，且y＞0，4y＝3x－5＋46－x≤32＋42×x－52＋6－x2＝5，當(dāng)且僅當(dāng)36－x＝4x－5，134即x＝時取等號．25ymax＝5.【答案】5,6]54．△ABC的三邊長為a，b，c，其外接圓半徑為R.2221112求證：(a＋b＋c)sin2A＋sin2B＋sin2C≥36R.【證明】由三角形中的正弦定理得：sinA＝a，所以212＝4R2，2RsinA