數(shù)列、函數(shù)的極限課件

§2數(shù)列的極限（limit）數(shù)列的概念數(shù)列極限的定義數(shù)列極限的性質(zhì)高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的差別在于：研究對(duì)象：變量與常量；研究方法：無(wú)限觀念與有限觀念。極限概念是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)最基本的概念，導(dǎo)數(shù)，定積分和級(jí)數(shù)等概念都是以極限為基礎(chǔ)的，整個(gè)微積分是建立在極限理論之上的。Step1以直代曲；Step2考察變化趨勢(shì)。1.極限概念的引入一.數(shù)列的概念例2.求單位半徑園的周長(zhǎng)。Step1：以直代曲，得到一系越來(lái)越逼近于圓周長(zhǎng)的近似值；Step2：考察這一系列值的變化趨勢(shì)，從而確定出圓周長(zhǎng)的準(zhǔn)確值圓周長(zhǎng)：

.例如定義2.

定義3.

為有界序列。例：Sep.22Sun.Review函數(shù)運(yùn)算：四則運(yùn)算，反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)；基本初等函數(shù)與初等函數(shù)；數(shù)列：概念，子列，有界；極限：極限思想、精確定義、幾何意義，子列，有界，幾個(gè)特殊數(shù)列的極限；二.數(shù)列極限(limit)的定義極限概念的定性描述limit“無(wú)限增大”與“無(wú)限接近”如何定量描述？例如果數(shù)列沒(méi)有極限,則稱數(shù)列是發(fā)散的.注意：幾何解釋:證明：證明：三.數(shù)列極限的性質(zhì)1.唯一性定理1.

收斂數(shù)列的極限是唯一的,即證明：矛盾！矛盾！Sep.28Fri.Review函數(shù)運(yùn)算：四則運(yùn)算，反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)；基本初等函數(shù)與初等函數(shù)；數(shù)列：概念，子列，有界；極限：極限思想、精確定義、幾何意義，子列，有界，幾個(gè)特殊數(shù)列的極限；極限性質(zhì)：唯一性。定理2.

收斂數(shù)列必有界。2.有界性證明：注意：1).有界性是數(shù)列收斂的必要條件；2).無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.3.夾逼性定理3.證明：解：證明：4.保號(hào)性定理4.證明：推論：證明：*********************證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)

時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明*********************5.子列收斂性定理5

收斂數(shù)列的任意子列也收斂，且極限相同.由此性質(zhì)可知,限,例如，

發(fā)散!則原數(shù)列一定發(fā)散.說(shuō)明:

若數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同的極Hw:p361，2(2).推論：證明：Oct.13Mon.

Review

數(shù)列極限：極限思想、精確定義、幾何意義，子列，；2.數(shù)列極限性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性，夾逼性，子列并歸性?！?函數(shù)的極限函數(shù)在有限點(diǎn)處的極限單側(cè)極限時(shí)的極限函數(shù)極限的性質(zhì)1.函數(shù)在有限點(diǎn)處的極限一.函數(shù)極限的定義注意：幾何解釋：解：x=-1:0.01:1;y=x.*sin(1./x);plot(x,y)holdplot(x,x);plot(x,-x);解：x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y)2.單側(cè)極限例如,左極限右極限例1問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”.兩種情形：幾何解釋：解：解：

定理

極限的七種形式：二.函數(shù)極限的性質(zhì)定理1

（唯一性）證明：定理2（局部有界性）推論：證明:定理3

（保號(hào)性）定理4

證明：推論：Oct.15Wed.

Review

數(shù)列極限性質(zhì)：唯一性，有界性，夾逼性，保號(hào)性，子列收斂性；函數(shù)極限：趨于有限點(diǎn)，單側(cè)極限(左右極限).3.函數(shù)極限性質(zhì)：唯一性，局部有界性，保號(hào)性。子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理5（函數(shù)極限的并歸性）證明：函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系例1.證明：二者不相等，例2.證明：故由函數(shù)極限并歸性知，定理6.

（夾逼性）

例Hw:p363(2,4)，4;p391，3.1.數(shù)列:研究其變化規(guī)律;2.數(shù)列極限:極限思想、精確定義、幾何意義;3.收斂數(shù)列的性質(zhì):