極限與導(dǎo)數(shù)方法小結(jié)課件

求極限與導(dǎo)數(shù)的方法小節(jié)極限的起源(歐洲篇）提到極限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖論—一個困擾了數(shù)學(xué)界十幾個世紀的問題。阿基里斯悖論是由古希臘的著名哲學(xué)家芝諾提出的，他的話援引如下：不能追上一只逃跑的烏龜，因為在他到達烏龜所在的地方所花的那段時間里，烏龜能夠走開。然而即使它等著他，阿基里斯也必須首先到達他們之間一半路程的目標，并且，為了他能到達這個中點，他必須首先到達距離這個中點一半路程的目標，這樣無限繼續(xù)下去。從概念上，面臨這樣一個倒退，他甚至不可能開始，因此運動是不可能的?！本褪沁@樣一個從直覺與現(xiàn)實兩個角度都不可能的問題困擾了世人十幾個世紀，直至十七世紀隨著微積分的發(fā)展，極限的概念得到進一步的完善，人們對“阿基里斯”悖論造成的困惑才得以解除極限的起源（中國篇）無獨有偶，我國春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)名著《莊子》記載著惠施的一句名言“一尺之錘，日取其半，萬事不竭。”也就是說，從一尺長的竿，每天截取前一天剩下的一半，隨著時間的流逝，竿會越來越短，長度越來越趨近于零，但又永遠不會等于零。這更是從直觀上體現(xiàn)了極限思想。

我國古代的劉徽和祖沖之計算圓周率時所采用的“割圓術(shù)”則是極限思想的一種基本應(yīng)用。所謂“割圓術(shù)”，就是用半徑為R的圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n一倍一倍地增多，多邊形的面積An就越來越接近于圓的面積πR2。在有限次的過程中，用多邊形的面積來逼近圓的面積，只能達到近似的程度。但可以想象，如果把這個過程無限次地繼續(xù)下去，就能得到精確的圓面積。極限的定義1.數(shù)列極限的定義設(shè)｛an｝為數(shù)列，a為定數(shù)若對任給的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當n>N時有|an-a|<ε則稱數(shù)列{an}收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限2.函數(shù)極限的定義設(shè)f為定義在[a,+∞)上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對任給的ε>0存在正數(shù)M（≧a），使得當x>M時有|f(x)-A|<ε則稱函數(shù)f當x趨于+∞時以A為極限，記做=A或f(x)→A(x→+∞)極限存在的條件夾逼準則單調(diào)有界單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列(2)定義(1)兩個重要極限利用等價無窮小求極限這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括：(1)有限個無窮小的和、差、積仍是無窮小.(2)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.(3)非零無窮小與無窮大互為倒數(shù).(4)等價無窮小代換(當求兩個無窮小之比的極限時，分子與分母都可用等價無窮小代替).[3]設(shè)α~α'、β~β'且

；則：β與α是等價無窮小的充分必要條件為：β=α+0(α)常用等價無窮?。寒斪兞縳→0時，

例導(dǎo)數(shù)的起源大約在1629年，法國數(shù)學(xué)家費馬研究了作曲線的切線和求函數(shù)極值的方法；1637年左右，他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時，他構(gòu)造了差分f(A+E)-f(A),發(fā)現(xiàn)的因子E就是我們所說的導(dǎo)數(shù)f'(A)。17世紀生產(chǎn)力的發(fā)展推動了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展，在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上，大數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統(tǒng)地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數(shù)術(shù)”，他稱變量為流量，稱變量的變化率為流數(shù)，相當于我們所說的導(dǎo)數(shù)。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數(shù)術(shù)和無窮級數(shù)》，流數(shù)理論的實質(zhì)概括為：他的重點在于一個變量的函數(shù)而不在于多變量的方程；在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構(gòu)成；最在于決定這個比當變化趨于零時的極限。導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在U(x0)有定義，若極限存在，則稱f(x)在x0可導(dǎo)，此極限稱為f(x)在x0的導(dǎo)數(shù)，記為f'(x0)或，若此極限不存在，則稱f(x)在x0不可導(dǎo)幾何意義：函數(shù)f(x)在x0導(dǎo)數(shù)f'(x0)在幾何上標書曲線y=f(x)在點（x0，f(x0))處切線的斜率高級導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則1，四則運算法則設(shè)u(x)與v(x)在x處可導(dǎo)，則(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x)(u(x)-v(x))'=u'(x)-v'(x)(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)(u(x)/v(x))'=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/v(x)22，反函數(shù)求導(dǎo)法則若函數(shù)f(x)在x的某鄰域連續(xù)，并嚴格單調(diào)，函數(shù)y=f(x)在函數(shù)x可導(dǎo)，且f'(x)≠0，則它的反函數(shù)x=φ(y)在y=(y=f(x))可導(dǎo)，且φ'(y)=例題設(shè)求導(dǎo)數(shù)y’

例題2設(shè)求倒數(shù)y'例題設(shè)求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y'兩端同時對x求導(dǎo)5，參數(shù)方程求導(dǎo)法則