《數(shù)學(xué)分析》（3-2）課程實(shí)施大綱

,.(由以下命題4系2)命題3設(shè)冪級(jí)數(shù)和的收斂半徑分別為和,,則ⅰ>,—Const，.ⅱ>+,.ⅲ>()(),,.3.和函數(shù)的性質(zhì):命題4設(shè)在(內(nèi).則ⅰ>在內(nèi)連續(xù);ⅱ>若級(jí)數(shù)或收斂,則在點(diǎn)(或)是左(或右)連續(xù)的;ⅲ>對(duì),在點(diǎn)可微且有。ⅳ>對(duì),在區(qū)間上可積,且.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),無(wú)論級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂與否,均有.這是因?yàn)?由級(jí)數(shù)收斂,得函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù),因此有.推論1和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任意次可導(dǎo),且有,…….由系1可見,是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的必要條件是任意次可導(dǎo).推論2若,則有例7驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程.驗(yàn)證：所給冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?.,代入,例8求的收斂半徑與和函數(shù)．解：首先確定收斂域：；再求和函數(shù)：設(shè)，，則，其中，收斂域?yàn)椤Ｋ云渲?，收斂域?yàn)?。所以所以從而所以所以所求和函?shù)為例9求級(jí)數(shù)的和．提示：，而是在處的值。例10求的值．解：先求的和函數(shù)．因?yàn)椋援?dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散．當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)為發(fā)散，當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)為收斂．從而原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋O(shè)其和函數(shù)為，，則，又，所以，所以課堂練習(xí)：習(xí)題中選擇1-2題五．小結(jié)7.6.5教學(xué)方法：講授法7.6.6作業(yè)安排及課后反思：作業(yè)：P54：1(2),(6),(7);2(1),(2);6課后反思：1．缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的求法2．總結(jié)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的基本步驟7.6.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求：復(fù)習(xí)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的性質(zhì)7.6.8參考資料：吳良森等主編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，P76-P907.7教學(xué)單元七7.77.7.2教學(xué)目標(biāo)：理解函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開的條件，掌握初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開．7.7.3教學(xué)內(nèi)容：第十四章冪級(jí)數(shù)——§2函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式；教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式；7.7.4教學(xué)過(guò)程：函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開（4學(xué)時(shí)）函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開:1、Taylor級(jí)數(shù)Taylor公式：.余項(xiàng)的形式:Peano型余項(xiàng)：，（只要求在點(diǎn)某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，存在）Lagrange型余項(xiàng)：在與之間，或.積分型余項(xiàng):當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)時(shí),有.Cauchy余項(xiàng):在上述積分型余項(xiàng)的條件下,有Cauchy余項(xiàng).特別地，時(shí)，Cauchy余項(xiàng)為在與之間.Taylor級(jí)數(shù):Taylor公式僅有有限項(xiàng),是用多項(xiàng)式逼近函數(shù).項(xiàng)數(shù)無(wú)限增多時(shí),得稱此級(jí)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).要函數(shù)在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo),就可寫出其Taylor級(jí)數(shù).稱=時(shí)的Taylor級(jí)數(shù)為Maclaurin級(jí)數(shù),即級(jí)數(shù)。自然會(huì)有以下問(wèn)題:對(duì)于在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù),在的定義域內(nèi)或在點(diǎn)的某鄰域內(nèi),函數(shù)和其Taylor級(jí)數(shù)是否相等呢?2．函數(shù)與其Taylor級(jí)數(shù)的關(guān)系例1函數(shù)在點(diǎn)無(wú)限次可微，求得：其Taylor級(jí)數(shù)為.該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?僅在區(qū)間內(nèi)有=.而在其他點(diǎn)并不相等,因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散.那么,在Taylor級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn),是否必有和其Taylor級(jí)數(shù)相等呢?回答也是否定的.例2函數(shù)在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)且有，因此其Taylor級(jí)數(shù)，在內(nèi)處處收斂，但除了點(diǎn)外,函數(shù)和其Taylor級(jí)數(shù)并不相等。另一方面，在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)倘有,則在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)且級(jí)數(shù)必為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).綜上，我們有如下結(jié)論：⑴對(duì)于在點(diǎn)無(wú)限次可導(dǎo)的函數(shù)，其Taylor級(jí)數(shù)可能除點(diǎn)外均發(fā)散,即便在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)其Taylor級(jí)數(shù)收斂，和函數(shù)也未必就是。由此可見，不同的函數(shù)可能會(huì)有完全相同的Taylor級(jí)數(shù)。⑵若冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)收斂于函數(shù)，則該冪級(jí)數(shù)就是函數(shù)在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)。于是，為把函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)表示為關(guān)于的冪級(jí)數(shù)，我們只能考慮其Taylor級(jí)數(shù).3．函數(shù)的Taylor展開式若在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)收斂且和恰為，則稱函數(shù)在點(diǎn)可展開成Taylor級(jí)數(shù)(自然要附帶展開區(qū)間，稱此時(shí)的Taylor級(jí)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的Taylor展開式或冪級(jí)數(shù)展開式，簡(jiǎn)稱函數(shù)在點(diǎn)可展為冪級(jí)數(shù)。當(dāng)=0時(shí),稱Taylor展開式為Maclaurin展開式。通常多考慮的是Maclaurin展開式。4?？烧箺l件Th1（必要條件）函數(shù)在點(diǎn)可展在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù).Th2（充要條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù).則在區(qū)間內(nèi)等于其Taylor級(jí)數(shù)(即可展)的充要條件是:對(duì),有.其中是Taylor公式中的余項(xiàng).證：把函數(shù)展開為階Taylor公式，有.Th3（充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)有任意階導(dǎo)數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)所成函數(shù)列一致有界,則函數(shù)可展.證：利用Lagrange型余項(xiàng)，設(shè)，則有.例3展開函數(shù)ⅰ>按冪;ⅱ>按冪.解：,,.所以，ⅰ>.可見，的多項(xiàng)式的Maclaurin展開式就是其本身。ⅱ>初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式:為得到初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，或直接展開，或間接展開。1..(驗(yàn)證對(duì)R，在區(qū)間(或)上有界,得一致有界，因此可展)..2.,.,.可展是因?yàn)樵趦?nèi)一致有界.3.二項(xiàng)式的展開式:為正整數(shù)時(shí),為多項(xiàng)式,展開式為其自身;為不是正整數(shù)時(shí),可在區(qū)間內(nèi)展開為=利用二項(xiàng)式的展開式,可得到很多函數(shù)的展開式。例如取,得，.時(shí),,.間接展開：利用已知展開式,進(jìn)行變量代換、四則運(yùn)算以及微積運(yùn)算,可得到一些函數(shù)的展開式，利用微積運(yùn)算時(shí)，要求一致收斂。冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)閉一致收斂，總可保證這些運(yùn)算暢通無(wú)阻，4...事實(shí)上，利用上述的展開式,兩端積分，就有,.驗(yàn)證知展開式在點(diǎn)收斂,因此,在區(qū)間上該展開式成立.5..由.兩端積分,有驗(yàn)證知上述展開式在點(diǎn)收斂,因此該展開式在區(qū)間上成立.例4展開函數(shù).解：.例5展開函數(shù).解：例5（2001華東師大）設(shè)求解：因?yàn)椋愿鶕?jù)泰勒系數(shù)公式有：且所以例6求函數(shù)在處的冪級(jí)數(shù)展開式。解：因?yàn)椋哉n堂練習(xí)：習(xí)題中選擇1-2題三．小結(jié)7.7.5教學(xué)方法：講授法7.7.6作業(yè)安排及課后反思：作業(yè)：P63:1;2(4),(6);3(2);4(1)課后反思：總結(jié)求函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的方法，特別是間接求法7.7.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求：復(fù)習(xí)泰勒公式7.7.8參考資料：吳良森等主編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，P90-P1017.8教學(xué)單元八7.8.1教學(xué)日期：7.8.2教學(xué)目標(biāo)：掌握三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的概念，能將一些怪為同期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)．7.8.3教學(xué)內(nèi)容：第十五章傅立葉級(jí)數(shù)——§1傅立葉級(jí)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：Fourier級(jí)數(shù)的斂散性判定方法。函數(shù)的為周期的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開教學(xué)難點(diǎn)：計(jì)算傅立葉系數(shù)7.8.4教學(xué)過(guò)程：第十五章傅里葉級(jí)數(shù)§傅里葉級(jí)數(shù)一．三角級(jí)數(shù)·正交函數(shù)系1．三角級(jí)數(shù)和三角函數(shù)系概念在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中，常會(huì)碰到一種周期運(yùn)動(dòng)．最簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)，可用正弦函數(shù)來(lái)描寫．由所表達(dá)的周期運(yùn)動(dòng)也稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其中為振幅,為初相角，為角頻率，于是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期是．較為復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)，則常是幾個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。的疊加由于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為，所以函數(shù)的周期為．對(duì)無(wú)窮多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行疊加就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)收斂，則它所描述的是更為一般的周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象．對(duì)于級(jí)數(shù)，我們只要討論（如果，可用代替）的情形．由于所以記，，，則級(jí)數(shù)可寫成它是由三角函數(shù)列（也稱為三角函數(shù)系）所產(chǎn)生的一般形式的三角級(jí)數(shù)．容易驗(yàn)證，若三角級(jí)數(shù)收斂，則它的和一定是一個(gè)以為周期的函數(shù)．2．三角級(jí)數(shù)收斂性定理若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上絕對(duì)收斂且一致收斂．證明3．三角函數(shù)系具有特性首先容易看出性質(zhì)：三角函數(shù)系中所有函數(shù)具有共同的周期．性質(zhì)：在三角函數(shù)系中，任何兩個(gè)不相同的函數(shù)的乘積在上的積分都等于零，即而中任何一個(gè)函數(shù)的平方在上的積分都不等于零，即通常把兩個(gè)函數(shù)與在上可積，且的函數(shù)與稱為在上是正交的．由此，我們說(shuō)三角函數(shù)系在上具有正交性，或說(shuō)是正交函數(shù)系．二．以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)應(yīng)用三角函數(shù)系的正交性，我們討論三角級(jí)數(shù)的和函數(shù)與級(jí)數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系．定理若在整個(gè)數(shù)抽上且等式右邊級(jí)數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系一般說(shuō)，若是以為周期且在上可積的函數(shù)，則可按公式計(jì)算出，它們稱為函數(shù)（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉系數(shù)，以的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)稱為（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉級(jí)數(shù)，記作這里記號(hào)“～”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)．由定理知道：若式右邊的三角級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)抽上一致收斂于其和函數(shù)，則此三角函數(shù)就是的傅里葉級(jí)數(shù)，即此時(shí)式中的記號(hào)“～”可換為等號(hào)．然而，若從以為周期且在上可積的函數(shù)出發(fā)，按公式求出其傅里葉系數(shù)并得到傅里葉級(jí)數(shù)，這時(shí)還需討論此級(jí)數(shù)是否收斂．如果收斂，是否收斂于本身．這就是下一段所要敘述的內(nèi)容．三．收斂性定理下面的定理稱為傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理定理若以為周期的函數(shù)在上按段光滑，則在每一點(diǎn)，的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于在點(diǎn)的左、右極限的算術(shù)平均值，即．其中為的傅里葉系數(shù)．定理說(shuō)明：若的導(dǎo)函數(shù)在上連續(xù)，則稱在上光滑．但若定義在上除了至多有有限個(gè)第一間斷點(diǎn)的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上除了至多有限個(gè)點(diǎn)外都存在且連續(xù)，在這有限個(gè)點(diǎn)上導(dǎo)函數(shù)的左、右極限存在，則稱在上按段光滑．根據(jù)上述定義，若函數(shù)在上按段光滑，則有如下重要性質(zhì)：在上可積．在上每一點(diǎn)都存在，且有：在補(bǔ)充定義在上那些至多有限個(gè)不存在點(diǎn)上的值后（仍記為），在上可積．從幾何圖形上講，在區(qū)間上按段光滑函數(shù)，是由有限個(gè)光滑弧段所組成，它至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)與角點(diǎn)．收斂定理指出，的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)處收斂于這一點(diǎn)上的左、右極限的算術(shù)平均值；而當(dāng)在點(diǎn)連續(xù)時(shí)，則有，即此時(shí)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂于．于是有如下推論．推論若是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在上按段光滑，則的傅里葉級(jí)數(shù)在上收斂于．根據(jù)收斂定理的假設(shè)，是以為周期的函數(shù)，所以系數(shù)公式中的積分區(qū)間可以改為長(zhǎng)度為的任何區(qū)間，而不影響的值：其中為任何實(shí)數(shù)．注意：在具體討論函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開式時(shí)，常只給出函數(shù)在（或）上的解析表達(dá)式，但讀者應(yīng)理解為它是定義在整個(gè)數(shù)軸上以為周期的函數(shù)．即在以外的部分按函數(shù)在上的對(duì)應(yīng)關(guān)系作周期延拓．如為上的解析表達(dá)式，那么周期延拓后的函數(shù)為因此我們說(shuō)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)就是指函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)．四．例題例1設(shè)求的傅里葉級(jí)數(shù)展開式．解：（略）例2把下列函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)：解：所以當(dāng)時(shí)當(dāng)，收斂于所以即當(dāng)或時(shí)，收斂于．五．小結(jié)7.8.57.8.6作業(yè)：P76:1(1);3課后反思：總結(jié)要掌握函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式的方法：作周期延拓；判斷延拓后函數(shù)是否按段光滑？利用公式（10、）計(jì)算；按收斂定理寫出函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式．7.8.7復(fù)習(xí)已學(xué)的定積分的計(jì)算方法7.8.8吳良森等主編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，P105-P1127.9教學(xué)單元九7.8.1教學(xué)日期：7.8.2教學(xué)目標(biāo)：掌握三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的概念，能將一些以為同期的函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)．7.8.3教學(xué)內(nèi)容：第十五章傅立葉級(jí)數(shù)——§2以為同期的函數(shù)的展開式教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的為周期的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開，正（余）弦展開。教學(xué)難點(diǎn)：利用公式計(jì)算7.8.4教學(xué)過(guò)程：§2以2為同期的函數(shù)的展開式一．以2為同期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)1．以2為同期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以2為同期的函數(shù)，令或則是以為同期的函數(shù)．若在上可積，則在上也可積．的傅里葉級(jí)數(shù)為（1）其中（2）（3）現(xiàn)在把代入（1），（2）和（3）得（4）與（5）這樣就得到的傅里葉級(jí)數(shù)和它的傅里葉系數(shù)．若在上按段光滑，則同樣可由收斂定理知：．2．求以2為同期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的展開式求展開式的一般方法：按（4），（5）計(jì)算系數(shù)；將求出的系數(shù)代入級(jí)數(shù)若在上按段光滑，則例1把函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)．解：由于在（-5，5）上按段光滑，因此可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)．于是當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于當(dāng)和5時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于課堂提問(wèn)：函數(shù)在展開成傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)公式是怎樣的？二．偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以2為同期的偶函數(shù)，或是定義在上的偶函數(shù)，則在上，是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，因此的傅里葉系數(shù)為于是的傅里葉級(jí)數(shù)為．由于上式只含有余弦函數(shù)的項(xiàng)，所以上式右端的級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù)同理，設(shè)是以2為同期的奇函數(shù)，或是定義在上的奇函數(shù)，則得的傅里葉系數(shù)為于是的傅里葉級(jí)數(shù)為由于上式只含有正弦函數(shù)的項(xiàng)，所以上式右端的級(jí)數(shù)稱為正弦級(jí)數(shù)若，則偶函數(shù)所展開成的余弦級(jí)數(shù)為其中，奇函數(shù)所展開成的余弦級(jí)數(shù)為．其中，例設(shè)函數(shù)求的傅里葉級(jí)數(shù)展開式．例3把定義在上的函數(shù)（其中）展開成正弦級(jí)數(shù)．例4把在內(nèi)展開成：（i）正弦數(shù)；(ii)余弦級(jí)數(shù)．解：（1）展開成正弦級(jí)數(shù)：所以的正弦級(jí)數(shù)為當(dāng)時(shí)右邊級(jí)數(shù)收斂于． （2）展開成余弦級(jí)數(shù)：所以的余弦級(jí)數(shù)為當(dāng)時(shí)右邊級(jí)數(shù)收斂于．把定義在上的函數(shù)作偶式延拓或作奇式延拓發(fā)到上．然后求延拓后函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)．但顯然可見，對(duì)于定義在上的函數(shù)，將它展開成余弦級(jí)數(shù)或正弦級(jí)數(shù)時(shí)，可以不必作延拓而直接計(jì)算出它的傅里葉系數(shù)．四．小結(jié)7.9.57.9.6作業(yè)：p84:2;6課后反思：利用展開成傅葉級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和的方法7.9.7傅里葉系數(shù)公式及定積分的計(jì)算技巧7.9.8吳良森等主編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，P112-P1207.10教學(xué)單元十7.8.1教學(xué)日期：7.8.2教學(xué)目標(biāo)：理解收斂性定理證明．7.8.3教學(xué)內(nèi)容：第十五章傅立葉級(jí)數(shù)——§3收斂性定理證明教學(xué)重點(diǎn)：收斂性定理證明教學(xué)難點(diǎn)：收斂性定理證明7.8.4教學(xué)過(guò)程：§3*收斂性定理證明為了證明傅里葉級(jí)數(shù)的收斂定理，先證明下面兩個(gè)預(yù)備定理．預(yù)備定理（貝塞耳不等式）若函數(shù)在上可積，則其中為的傅里葉系數(shù)，式稱為貝塞耳不等式．推論若為可積函數(shù)，則因?yàn)榈淖筮吋?jí)數(shù)收斂，所以當(dāng)時(shí)，通項(xiàng)，亦即有與，這就是式．這個(gè)推論也稱為黎曼一勒貝格定理．推論若為可積函數(shù)，則預(yù)備定理若是以為周期的函數(shù)，且在上可積，則它的傅里葉級(jí)數(shù)部分和可寫成當(dāng)時(shí)，被積函數(shù)中的不定式由極限來(lái)確定．式也稱為的傅里葉級(jí)數(shù)部分和的積分表示式．現(xiàn)在證明定理（收斂定理），重述如下：若以為周期的函數(shù)在上按段光滑，則在每一點(diǎn)，的傅里葉級(jí)數(shù)（§1,(12)）收斂于在點(diǎn)的左、右極限的算術(shù)平均值，即其中為的傅里葉系數(shù)．小結(jié)7.10.57.10.6作業(yè)：p7.10.7預(yù)習(xí)課本知識(shí)內(nèi)容7.10.8吳良森等主編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，P120-PP1297.11教學(xué)單元十一7.11.1教學(xué)日期：7.11.2教學(xué)目標(biāo)：理解平面點(diǎn)集中的一基本概念：開集、鄰域、聚點(diǎn)、閉集、有界點(diǎn)集等，理解Cauchy準(zhǔn)則，閉域套定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理，掌握二元函數(shù)的概念7.11.3教學(xué)內(nèi)容：第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)——§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：二元函數(shù)的概念．教學(xué)難點(diǎn)：平面點(diǎn)集中的一基本概念7.11.4教學(xué)過(guò)程：第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)§1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)一、平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集：坐標(biāo)平面上滿足某種條件P的點(diǎn)的集合，稱為平面點(diǎn)集，記為滿足的條件P}．常見平面點(diǎn)集:（1）全平面：．（2）半平面:,,．等．（3）以點(diǎn)為中心，為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)集合：（4）矩形及其內(nèi)部所有點(diǎn)的集合：鄰域：設(shè)點(diǎn)為平面上一點(diǎn)點(diǎn)A的圓鄰域：點(diǎn)A的方鄰域：圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域，通常用“點(diǎn)A的鄰域”泛指這兩種形式的鄰域，記為或．點(diǎn)A空心鄰域：或注：的區(qū)別．二、平面點(diǎn)集的基本概念1．內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)設(shè)A是R2中任意一點(diǎn)，E是R2任意一子集，內(nèi)點(diǎn)：若存在點(diǎn)A的某個(gè)鄰域，使得，則稱點(diǎn)A為E的內(nèi)點(diǎn)；全體內(nèi)點(diǎn)的集合稱為E的內(nèi)部，記作；外點(diǎn)：若存在點(diǎn)A的某個(gè)鄰域，使得，則稱點(diǎn)A為E的外點(diǎn)；界點(diǎn)：若存在點(diǎn)A的任何鄰域內(nèi)既含有屬于E的點(diǎn)，又含有不屬于E的點(diǎn)，則稱點(diǎn)A為E的界點(diǎn)．例1、確定集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)集和邊界．例2、為Dirichlet函數(shù),確定集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)集．2．聚點(diǎn)和孤立點(diǎn)聚點(diǎn):若在點(diǎn)的任何空心鄰域內(nèi)都含有中的點(diǎn)，則稱是的聚點(diǎn)，聚點(diǎn)本身可能屬于，也可能不屬于．孤立點(diǎn):若點(diǎn)，但不是的聚點(diǎn)，即存在某一正數(shù)，使得，則稱點(diǎn)是的孤立點(diǎn)．3．關(guān)系孤立點(diǎn)一定是界點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)和非孤立點(diǎn)的界點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；既不是聚點(diǎn)，又不是孤立點(diǎn)，則必為外點(diǎn)．例：，確定集的聚點(diǎn)集．解：的聚點(diǎn)集．開集和閉集開集：若平面點(diǎn)集所屬的每一點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)（即），則稱為開集．閉集：若平面點(diǎn)集的所有聚點(diǎn)都屬于，則稱為閉集．若點(diǎn)集沒有聚點(diǎn)，這時(shí)也稱為閉集．和空集為既開又閉集．5．(以連通性分為)開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域開域:若非空開集具有連通性，即中任意兩點(diǎn)之間都可用一條完全含于的有限折線（由有限條直線段連接而成的折線）相連接，則稱為開域（或稱連通開集）．閉域:開域連同其邊界所成的點(diǎn)集稱為閉域．區(qū)域:開域、閉域，或者開域連同其一部分界點(diǎn)所成的點(diǎn)集，統(tǒng)稱為區(qū)域．以上常見平面點(diǎn)集均為區(qū)域．6.有界集與無(wú)界集有界點(diǎn)集:對(duì)于平面點(diǎn)集，若存在某一正數(shù)，使得其中是坐標(biāo)原點(diǎn)（也可以是其他固定點(diǎn)），則稱是有界點(diǎn)集．否則就是無(wú)界點(diǎn)集．7.點(diǎn)集的直徑兩點(diǎn)的距離：．點(diǎn)集的直徑：．8.三角不等式對(duì)上任何三點(diǎn),和，皆有三、點(diǎn)列的極限定義設(shè)為平面點(diǎn)列，為一固定點(diǎn)．若對(duì)任給的正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，則稱點(diǎn)列收斂于點(diǎn)，記作或．例1,,．例2設(shè)為點(diǎn)集的一個(gè)聚點(diǎn)，則存在中有點(diǎn)列,使．四、中的完備性定理Cauchy收斂準(zhǔn)則定理（柯西準(zhǔn)則）平面點(diǎn)列收斂的充要條件是：任給正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切正整數(shù)，都有．2.閉集套定理定理（閉域套定理）設(shè)是中的閉域列，它滿足：,則存在唯一的點(diǎn)．聚點(diǎn)原理定理（聚點(diǎn)定理）設(shè)為有界無(wú)限點(diǎn)集，則在中至少有一個(gè)聚點(diǎn)．推論有界無(wú)限點(diǎn)列必存在收斂子列．有限復(fù)蓋定理定理（有限覆蓋定理）設(shè)為一有界閉域，為一開域族，它覆蓋了（即，則在中必存在有限個(gè)開域它們同樣覆蓋了（即）．五、二元函數(shù)1．二元函數(shù)的定義、記法、圖象定義設(shè)平面點(diǎn)集，若按照某對(duì)應(yīng)法則中每一點(diǎn)都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱為定義在上的二元函數(shù)（或稱為到的一個(gè)映射），記作且稱為的定義域；所對(duì)應(yīng)的為在點(diǎn)的函數(shù)值，記作；全體函數(shù)值的集合為的值域，記作．通常還把的坐標(biāo)稱為的自變量，而把稱為因變量．在映射意義下，上述稱為的象，稱為的原象．當(dāng)把和它所對(duì)應(yīng)的象一起組成三維數(shù)組時(shí)，三維歐式空間中的點(diǎn)集．便是二元函數(shù)的圖象．通常的圖象是一空間曲面，的定義域便是該曲面在平面上的投影．為方便起見，由式所確定的二元函數(shù)也記作，2、定義域例：求下列函數(shù)的定義域并作圖：（1）;（2）.六．小結(jié)7.10.57.10.6作業(yè)：p100:5;8(1),(6),(7),(10);9課后反思：7.10.7集合的作圖7.10.8吳良森等主編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，P134-P1477.12教學(xué)單元十二7.11.1教學(xué)日期：7.11.2教學(xué)目標(biāo)：理解掌握二元函數(shù)極限、累次極限定義與性質(zhì)7.11.3教學(xué)內(nèi)容：第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)——§2多元函數(shù)極限教學(xué)重點(diǎn)：二元函數(shù)的極限教學(xué)難點(diǎn)：二元函數(shù)的極限不存在判定7.11.4教學(xué)過(guò)程：§2二元函數(shù)極限一．二元函數(shù)極限1．二元函數(shù)極限定義設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，為的一個(gè)聚點(diǎn)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，都有則稱在上當(dāng)時(shí)，以為極限，記作在對(duì)于不致產(chǎn)生誤解時(shí)，也可簡(jiǎn)單地寫作當(dāng)分別用坐標(biāo)表示時(shí),式也常寫作例1用“”定義驗(yàn)證極限.例2用“”定義驗(yàn)證極限.例3，證明證：（用極坐標(biāo)變換）2。極限與子集上極限的關(guān)系定理的充要條件是：對(duì)于，只要是E的聚點(diǎn)，就有推論1設(shè)，是的聚點(diǎn)，若極限不存在，則極限也不存在．推論2設(shè)，是和的聚點(diǎn)，若存在極限，，但，則極限不存在．推論3極限存在對(duì)D內(nèi)任一點(diǎn)列，但,數(shù)列收斂．推論1相當(dāng)于數(shù)列與子列關(guān)系中“子列不存在極限，則數(shù)列不存在極限”．推論2相當(dāng)于數(shù)列與子列關(guān)系中“若兩個(gè)子列存在不同的極限，則數(shù)列不存在極限”．推論3相當(dāng)于海涅定理．通常為證明極限不存在,可證明沿某個(gè)方向的極限不存在,或證明沿某兩個(gè)方向的極限不相等,或證明方向極限與方向有關(guān)．但應(yīng)注意，沿任何方向的極限存在且相等全面極限存在(以下例5)．例4設(shè)，證明極限不存在．例5求下列極限:（1）;（2）;（3）;（4）.3．極限的定義定義設(shè)為二元函數(shù)的定義域，的一個(gè)聚點(diǎn)．若對(duì)任給正數(shù)，總存在點(diǎn)鄰域，使得當(dāng)時(shí)，都有，則稱時(shí)，存在非正常極限，記作或仿此可類似地定義：．例6驗(yàn)證.二、累次極限1．累次極限的定義在上一段所研究的極限中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于．這種極限也稱為重極限．在這一段里，我們要考察依一定的先后順序相繼趨于與時(shí)的極限，這種極限稱為累次極限．定義設(shè)的聚點(diǎn)，是的聚點(diǎn)，是的聚點(diǎn)，二元函數(shù)在集合上有定義．若對(duì)每一個(gè)，存在極限，由于此極限一般于有關(guān)，因此記作．而且進(jìn)一步存在極限．則稱此極限為二元函數(shù)先對(duì)后對(duì)的累次極限，并記作．或簡(jiǎn)記作．類似地可以定義先后對(duì)的累次極限．例7,求在點(diǎn)的兩個(gè)累次極限．例8,求在點(diǎn)的兩個(gè)累次極限．例9,求在點(diǎn)的兩個(gè)累次極限．2．二極限與累次極限的關(guān)系⑴兩個(gè)累次極限存在時(shí),可以不相等．⑵兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí),另一個(gè)可以不存在．例如函數(shù)在點(diǎn)的情況．⑶二重極限存在時(shí),兩個(gè)累次極限可以不存在．例如：例10中的函數(shù),由，可見二重極限存在，但兩個(gè)累次極限均不存在．⑷兩個(gè)累次極限存在(甚至相等)二重極限存在．（參閱例4和例8）．綜上，二重極限、兩個(gè)累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系，但有以下確定關(guān)系：Th2若二重極限和累次極限(或另一次序)都存在，則必相等．證明推論1二重極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí)，三者相等．推論2兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí)，二重極限不存在．推論1給出了累次極限次序可換的一個(gè)充分條件，但兩個(gè)累次極限中一個(gè)存在，另一個(gè)不存在二重極限不存在．三．小結(jié)7.127.12作業(yè)：P106:1(1),(3),(5)(7);2(1),(2),4課后反思：總結(jié)二重極限、兩個(gè)累次極限的求法及存在性判定7.12一元函數(shù)極限的證明方法和極限的求法7.12吳良森等主編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，P147-P1557.13教學(xué)單元十三7.17.13.2教學(xué)目標(biāo)：7.13.3教學(xué)內(nèi)容：第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)——§教學(xué)重點(diǎn)：二元函數(shù)的連續(xù)的定義與性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：有界閉域上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)．7.1§二元函數(shù)的連續(xù)性一．二元函數(shù)的連續(xù)性概念定義設(shè)為定義在點(diǎn)集上的二元函數(shù)，（它或者是的聚點(diǎn)，或者是的孤立點(diǎn)）．對(duì)于任給的正數(shù)，總存在相應(yīng)的正數(shù)，只要，就有則稱關(guān)于集合在點(diǎn)連續(xù)．在不致誤解的情況下，也稱在點(diǎn)連續(xù)．若在上任何點(diǎn)都關(guān)于集合連續(xù)，則稱為上的連續(xù)函數(shù)．由上述定義知道：若是的孤立點(diǎn)，則必定是關(guān)于的連續(xù)點(diǎn)；若是的聚點(diǎn)，則關(guān)于在連續(xù)等價(jià)于如果是的聚點(diǎn)，而式不成立（其含義與一元函數(shù)的對(duì)應(yīng)情形相同），則稱是的不連續(xù)點(diǎn)（或稱間斷點(diǎn)）．特別當(dāng)式左邊極限存在但不等于時(shí)，是的可去間斷點(diǎn)．把上節(jié)例、給出的函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù)；例給出的函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)，又若把例的函數(shù)改為其中為固定實(shí)數(shù)，亦即函數(shù)只定義在直線上．這是由于，因此，在原點(diǎn)沿著直線是連續(xù)的．設(shè)、，則稱（3）為函數(shù)在點(diǎn)的全增量．和一元函數(shù)一樣，可用增量形式來(lái)描述連續(xù)性，即當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)連續(xù)．如果在全增量中取，則相應(yīng)的函數(shù)增量稱為偏增量，記作一般說(shuō)來(lái)，函數(shù)的全增量并不等于相應(yīng)的兩個(gè)偏增量之和．若一個(gè)偏增量的極限為零，例如，它表示在的兩個(gè)自變量中，當(dāng)固定時(shí)，作為的一元函數(shù)在連續(xù)．同理，若，則表示在連續(xù)．容易證明：當(dāng)在其定義域的內(nèi)點(diǎn)連續(xù)時(shí)，在和都連續(xù)．但是反過(guò)來(lái)，二元函數(shù)對(duì)單個(gè)自變量都連續(xù)并不能保證該函數(shù)的連續(xù)性（除非再增加條件）．例如二元函數(shù)在原點(diǎn)處顯然不連續(xù)．但由于因此在原點(diǎn)處對(duì)和對(duì)分別都連續(xù)．若二元函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，則與一元函數(shù)一樣，可以證明它在這一點(diǎn)近旁具有局部有界性、局部保號(hào)性以及相應(yīng)的有理運(yùn)算的各個(gè)法則．定理（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)和在平面上點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并在點(diǎn)連續(xù)；函數(shù)在平面上點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并在點(diǎn)連續(xù)，其中，．則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)也連續(xù)．二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．它們可以看作是閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣．定理（有界性與最大、最小值定理）若函數(shù)在有界閉域上連續(xù)，則在上有界，且能取得最大與最小值．定理（一致連續(xù)性定理）若函數(shù)在有界閉域上連續(xù)，則在上一致連續(xù)．即對(duì)任何，總存在只依賴于的正數(shù)，使得對(duì)一切點(diǎn)、，只要，就有：．定理（介值性定理）設(shè)函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，若為中任意兩點(diǎn)，且，則對(duì)任何滿足不等式的實(shí)數(shù)，必存在點(diǎn)，使得．實(shí)際上，定理與中的有界閉域可以改為有界閉集.但是，介值性定理中考察的點(diǎn)集只能假設(shè)是一區(qū)域，這是為了保證它具有連通性，而一般的開集或閉集不一定具有這一特性，此外，由定理可知，若為區(qū)域上連續(xù)函數(shù)，則必定是一個(gè)區(qū)間（有限或無(wú)限）．例（華東師大2003年）若函數(shù)在上對(duì)連續(xù)，且存在，對(duì)，滿足，試證：在上連續(xù)．證明：，有然后利用已知條件證．所以，在上連續(xù)．課堂練習(xí)：習(xí)題中選擇1-2題三．小結(jié)7.137.13作業(yè)：P112:1(3),(4),2,4課后反思：總結(jié)一元函數(shù)與多元函數(shù)連續(xù)性的區(qū)別與聯(lián)系7.13復(fù)習(xí)一元函數(shù)的連續(xù)性7.13吳良森等主編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，P155-P1647.14教學(xué)單元十四7.147.14.2教學(xué)目標(biāo)：7.14.3教學(xué)內(nèi)容：第十七章多元函數(shù)微分學(xué)——§教學(xué)重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)、全微分定義與求法．教學(xué)難點(diǎn)：可微條件．7.14第十七章多元函數(shù)微分學(xué)§1可微性一．可微性與全微分定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，對(duì)于中的點(diǎn)，若函數(shù)在點(diǎn)處的全增量可表示為：=其中是僅與點(diǎn)有關(guān)的常數(shù)，,是較高階的無(wú)窮小量，則稱函數(shù)在點(diǎn)可微．并稱式中關(guān)于的線形函數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)的全微分，記作由，可見是的線形主部，特別當(dāng)充分小時(shí),全微分可作為全增量的近似值，即在使用上，有時(shí)也把(1)式寫成如下形式，其中，=．考察函數(shù)在點(diǎn)處的可微性．二．偏導(dǎo)數(shù)1．偏導(dǎo)數(shù)的定義、記法定義設(shè)函數(shù)．若，且在的某一鄰域內(nèi)有定義，則當(dāng)極限（5）存在時(shí)．稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，記作或|．注意1這里符號(hào)專用于偏導(dǎo)數(shù)算符，與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相仿，但又有差別．注意2在上述定義中，在點(diǎn)存在關(guān)于（或）的偏導(dǎo)數(shù)，至少在（或）的偏導(dǎo)數(shù)，至少在（或）上必須有定義．若函數(shù)在區(qū)域上每一個(gè)點(diǎn)都存在對(duì)（或?qū)Γ┑钠珜?dǎo)數(shù)，則得到函數(shù)在區(qū)域上對(duì)（或?qū)Γ┑钠珜?dǎo)數(shù)（也簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)），記作或（或）．也可簡(jiǎn)單地記作或或．2。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：作為一元函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)，就是曲線C在點(diǎn)處的切線對(duì)于軸的斜率，即與軸正向所成傾斜的正切．同樣，是平面與曲面的交線在點(diǎn)處的切線關(guān)于軸的斜率．3。求偏導(dǎo)數(shù)由偏導(dǎo)數(shù)的定義還知道，函數(shù)對(duì)哪一個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)，是先把其他自變量看作常數(shù)，從而變成一元函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題．因此第五章中有關(guān)求導(dǎo)的一些法則，對(duì)多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)仍然適用．例2求函數(shù)在點(diǎn)關(guān)于和關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)．例3求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．例4求三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．例5證明函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),并求和．證：，所以在點(diǎn)連續(xù)．，不存在．三．可微條件1．必要條件:定理17．1（可微的必要條件）若二元函數(shù)在其定義域內(nèi)一點(diǎn)處可微，則在該點(diǎn)關(guān)于每個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)都存在，且（1）式中的．依此函數(shù)在點(diǎn)的全微分（2）可惟一地表示為．與一元函數(shù)的情況一樣，由于自變量的增量等于自變量的微分，即，所以全微分又可寫為．若函數(shù)在區(qū)域上每一個(gè)點(diǎn)都可微，則稱函數(shù)在區(qū)域上可微，且在上全微分為．例5討論函數(shù)在原點(diǎn)的偏導(dǎo)存在性與可微性．2．充分條件定理17．2（可微的充分條件）若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在，且與在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)在點(diǎn)可微．定理17.2若在點(diǎn)處連續(xù)，點(diǎn)存在，則函數(shù)在點(diǎn)可微．證：，即在點(diǎn)可微．要求至少有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)并不是可微的必要條件.例5設(shè)，驗(yàn)證函數(shù)在點(diǎn)可微，但和在點(diǎn)處不連續(xù)．（簡(jiǎn)證,留為作業(yè)）．證：因此，即,在點(diǎn)可微，．但時(shí),有,沿方向不存在,沿方向極限不存在；又時(shí),，因此，不存在，在點(diǎn)處不連續(xù)．由關(guān)于和對(duì)稱，也在點(diǎn)處不連續(xù)．四．中值定理定理設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)，若屬于該鄰域，則存在和使得（12）例6設(shè)在區(qū)域D內(nèi).證明在D內(nèi)．五．連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在及可微之間的關(guān)系從可微性概念看到，函數(shù)在可微點(diǎn)處必連續(xù)，但在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)處不一定存在偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)然它更不能保證函數(shù)在該點(diǎn)可微．例如，函數(shù)（圓錐）在原點(diǎn)連續(xù)，但在該點(diǎn)不存在偏導(dǎo)數(shù)，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)．例如：在原點(diǎn)不連續(xù)，但卻存在偏導(dǎo)數(shù)，且．這是因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)只是刻畫了函數(shù)沿軸或軸方向的變化特征．所以這個(gè)例子只能說(shuō)明在原點(diǎn)分別對(duì)和對(duì)必定連續(xù)，但由此并不能保證作為二元函數(shù)在原點(diǎn)連續(xù)．與定理17．2相仿，只有對(duì)偏導(dǎo)數(shù)附加適當(dāng)?shù)臈l件后，才能保證函數(shù)的連續(xù)性．六．可微性的幾何意義與應(yīng)用1．可微性的幾何意義切平面的定義：定義3設(shè)是曲面上一點(diǎn)，為通過(guò)點(diǎn)的一個(gè)平面，曲面上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和到平面的距離分別為d與h．若當(dāng)Q在上以任何方式趨近于時(shí)恒有，則稱平面為曲面在點(diǎn)P處的切平面，P為切點(diǎn)．定理17．4曲面在點(diǎn)存在不平行于軸的切平面的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)可微．(證略)2．切平面的求法設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微，則曲面在點(diǎn)處的切平面方程為（其中），法線方向數(shù)為：，法線方程為．例7試求拋物面在點(diǎn)處的切平面方程和法線方程．3．作近似計(jì)算和誤差估計(jì):例8求的近似值．例9應(yīng)用公式計(jì)算某三角形面積．現(xiàn)測(cè)得,.若測(cè)量的誤差為的誤差為.求用此公式計(jì)算該三角形面積時(shí)的絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限．課堂練習(xí)：習(xí)題中選擇1-2題七．小結(jié)7.14.57.14作業(yè):P124:1(5),(7)(9),3,5;7;9;11,12課后反思：1．總結(jié)多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分的求法，2．總結(jié)多元函數(shù)的可導(dǎo)性與可微性的判定7.14復(fù)習(xí)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分定義與求法7.14吳良森等主編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，P168-P1817.15教學(xué)單元十五7.15.1教學(xué)日期：7.15.2教學(xué)目標(biāo)：熟悉復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．7.15.3教學(xué)內(nèi)容：第十七章多元函數(shù)微分學(xué)——§2復(fù)合函數(shù)微分法教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t．教學(xué)難點(diǎn)：抽象的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)．7.15.4教學(xué)過(guò)程：§2復(fù)合函數(shù)微分法以下列三種情況介紹復(fù)合線路圖：（1）；（2）,；（3）．一．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以二元復(fù)合函數(shù)：情況為例．定理若函數(shù)，，在點(diǎn)可微，在點(diǎn)可微，則復(fù)合函數(shù)．在點(diǎn)可微，且它關(guān)于與的偏導(dǎo)數(shù)分別為稱這一公式為鏈?zhǔn)椒▌t．證明：對(duì);,;.情況可寫出相應(yīng)的鏈?zhǔn)椒▌t．對(duì)外元，內(nèi)元,有，.例1設(shè)，而，求．例2設(shè)可微，在極坐標(biāo)變換下，證明．例3設(shè)，其中，求．例4用多元復(fù)合微分法計(jì)算下列一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）．例5，求和.例6設(shè)函數(shù)可微..求、和.二．復(fù)合函數(shù)的全微分若以和為自變量的函數(shù)可微，則其全微分為．如果作為中間變量又是自變量的可微函數(shù)，則由定理17.5知道，復(fù)合函數(shù)是可微的，其全微分為由于又是的可微函數(shù)，因此同時(shí)有這就是關(guān)于多元函數(shù)的一階（全）微分形式不變性．利用微分形式的不變性，更能有條理地計(jì)算復(fù)雜函數(shù)的全微分．例7設(shè)，利用微分形式不變性求，并由此導(dǎo)出．課堂練習(xí)：習(xí)題中選擇1-2題三．小結(jié)7.157.15作業(yè)：作業(yè):P132:1(1)(3),(5);2;3;8課后反思：總結(jié)多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式及應(yīng)用7.15復(fù)習(xí)一元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式7.15吳良森等主編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，P181-P1947.16教學(xué)單元十六7.17.16.2教學(xué)目標(biāo)：掌握方向?qū)?shù)與剃度概念．熟悉求7.16.3教學(xué)內(nèi)容：第十七章多元函數(shù)微分學(xué)——§教學(xué)重點(diǎn)：求方向?qū)?shù)與剃度教學(xué)難點(diǎn)：方向?qū)?shù)與剃度的意義7.1§3方向?qū)?shù)與梯度一．方向?qū)?shù)1．方向?qū)?shù)的定義定義1設(shè)三元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，為從點(diǎn)出發(fā)的射線，為上且含于內(nèi)的任一點(diǎn)，以表示與兩點(diǎn)間的距離．若極限．存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，記作或．對(duì)二元函數(shù)在點(diǎn)，可仿此定義方向?qū)?shù)．易見，、和是三元函數(shù)在點(diǎn)分別沿軸正向、軸正向和軸正向的方向?qū)?shù)．例1=．求在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)。其中，（1）為方向；（2）為從點(diǎn)到點(diǎn)的方向．解：（1）為方向的射線為，即.,.因此，（2）從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向數(shù)為方向的射線為：．,;．因此（略）．2．方向?qū)?shù)的計(jì)算定理17.6若函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)處任一方向的方向?qū)?shù)都存在，且。其中為方向的方向余弦．例2設(shè)，求在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)．例3設(shè)，這個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)（當(dāng)然也不可微），但在始于原點(diǎn)的任何射線上，都存在包含原點(diǎn)的充分小的一段，在這一段上的函數(shù)值為零．于是由方向?qū)?shù)定義，在原點(diǎn)處沿任何方向都有．這個(gè)例子說(shuō)明：(i)函數(shù)在一點(diǎn)可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件而不是必要條件；(ii)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)同樣不是方向?qū)?shù)存在的必要條件，當(dāng)然也不是充分條件。二．梯度1.梯度的定義定義2若在點(diǎn)存在對(duì)所有自變量的偏導(dǎo)數(shù)，則稱向量為函數(shù)在點(diǎn)的梯度，記作。向量的長(zhǎng)度（或模）為。易見，對(duì)可微函數(shù)，方向?qū)?shù)是梯度在該方向上的投影．2。梯度的幾何意義:對(duì)可微函數(shù),梯度方向是函數(shù)變化最快的方向。這是因?yàn)閨．其中是與夾角.可見時(shí)取最大值，在的反方向取最小值．例4設(shè)，求在點(diǎn)處的梯度及它的模．3．梯度的運(yùn)算性質(zhì)（ⅰ）．（ⅱ）(+)=+．（ⅲ）()=+．（ⅳ）．（ⅴ）()=.證：（ⅳ）,.．課堂練習(xí)：習(xí)題中選擇1-2題三．小結(jié)7.177.17作業(yè)：P136:2,3,5課后反思：理解掌握方向?qū)?shù)與剃度的意義7.17預(yù)習(xí)課本知識(shí)7.17吳良森等主編《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》，P194-P1977.18教學(xué)單元十八7.18.1教學(xué)日期：7.18.2教學(xué)目標(biāo)：掌握高階偏導(dǎo)數(shù)及極值等概念，了解泰勒公式，會(huì)求函數(shù)的極值7.18.3教學(xué)內(nèi)容：第十七章多元函數(shù)微分學(xué)——§泰勒公式與極值問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)：求函數(shù)極值．教學(xué)難點(diǎn)：泰勒公式．7.18.4教學(xué)過(guò)程：§4泰勒公式與極值問(wèn)題一．高階偏導(dǎo)數(shù)由于的偏導(dǎo)函數(shù)，仍然是自變量與的函數(shù)，如果它們于與的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則說(shuō)函數(shù)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有如下四種情形：類似地可定義更高的偏導(dǎo)數(shù)，的三階偏導(dǎo)數(shù)共有八種情形，如…….例1求函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)和．例2求函數(shù)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)．注意從上面兩個(gè)例子看到，這些函數(shù)關(guān)于和的不同順序的兩個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)都相等（種既有關(guān)于又有關(guān)于的高階偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)），即．但這個(gè)結(jié)論并不對(duì)任何函數(shù)都成立，例如函數(shù)它的一階偏導(dǎo)數(shù)為。。進(jìn)而求在處關(guān)于和的兩個(gè)不同順序的混合偏導(dǎo)數(shù)，得。由此看到，這里的在原點(diǎn)處的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān)．那么，在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)呢？為此，我們按定義先把與表示成極限形式．由于。因此有。類似地有為使成立，必須使這兩個(gè)累次極限相等，即可以交換累次極限次序．下述定理出了使極限相等的一個(gè)充分條件．定理17.7若和都在點(diǎn)連續(xù)，則．這個(gè)定理的結(jié)論對(duì)元函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)也成立．如三元函數(shù)，若下述六元函數(shù)混合偏導(dǎo)數(shù)，，，，，在某一點(diǎn)都連續(xù)，則在這一點(diǎn)六個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)都相等；同樣，若二元函數(shù)在點(diǎn)存在直到階的連續(xù)混合偏導(dǎo)數(shù)，則在這一點(diǎn)階混合偏導(dǎo)數(shù)都與順序無(wú)關(guān)．今后除特別指出外，都假設(shè)相應(yīng)階數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從而混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)．下面討論復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)．設(shè)z是通過(guò)中間變量x,y而成為的函數(shù)，即其中．．若函數(shù)都具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，則作為復(fù)合函數(shù)的對(duì)同樣存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具體計(jì)算如下：，．顯然與仍是的復(fù)合函數(shù)，其中,是的函數(shù)，，，，是的函數(shù)．繼續(xù)求關(guān)于的二階偏導(dǎo)數(shù)=+=+．同理可得+，=例3設(shè)，求．二．中值定理和泰勒公式二元函數(shù)的中值公式和泰勒公式，與一元函數(shù)的拉格郎日公式和泰勒公式相仿，對(duì)于元函數(shù)也有同樣的公式，只是形式上更復(fù)雜一些．在敘述有關(guān)定理之前，先介紹凸區(qū)域的概念．若區(qū)域上任意兩點(diǎn)的連線都含于，則稱為凸區(qū)域．這就是說(shuō)，若為凸區(qū)域，則對(duì)任意兩點(diǎn)，和一切，恒有．定理17.8（中值定理）設(shè)二元函數(shù)在凸開域上連續(xù)，在的所有內(nèi)點(diǎn)都可微，則對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)，存在某，使得注意若是閉凸域，且對(duì)上任意兩點(diǎn)，及任意，都有，則對(duì)上連續(xù)，內(nèi)可微的函數(shù)，只要，也存在使式成立．例如是圓域在上連續(xù)，在內(nèi)可微，則必有式成立．倘若是矩形區(qū)域，那就不能保證對(duì)上任意兩點(diǎn)都有式成立．公式也稱為二元函數(shù)（在凸域上）的中值公式．它與定理的中值公式相比較，差別在于這里的中值點(diǎn)是在的連線上，而在定理17.3中與可以不相等．推論若函數(shù)在區(qū)域上存在偏導(dǎo)數(shù)，且，則在區(qū)域上為常量函數(shù)．定理17.9（泰勒定理）若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)內(nèi)任一點(diǎn)，存在相應(yīng)的，使得=+．稱為二元函數(shù)在點(diǎn)的階泰勒公式。其中，．例4求在點(diǎn)的泰勒公式（到二階為止），并用它計(jì)算．三．極值問(wèn)題多元函數(shù)的極值問(wèn)題是多元函數(shù)微分學(xué)的重要應(yīng)用，這里仍以二元函數(shù)為例進(jìn)行討論．定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義．若對(duì)于任何點(diǎn)，成立不等式(或)，則稱函數(shù)在點(diǎn)取得極大（或極?。┲?，點(diǎn)稱為的極大（或極小）值點(diǎn)．極大值、極小值統(tǒng)稱極值．極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)．注意：這里所討論的極值點(diǎn)只限于定義域的內(nèi)點(diǎn)．例5設(shè)，，．由定義直接知道，坐標(biāo)原點(diǎn)是的極小值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn)，但不是的極值點(diǎn)．這里因?yàn)閷?duì)任何點(diǎn)，恒有；對(duì)任何，恒有；而對(duì)于函數(shù)，在原點(diǎn)的任意小鄰域內(nèi)，既含有使的II、IV象限中的點(diǎn)，又含有使的II、IV象限中的點(diǎn)，所以既不是極大值又不是極小值．由定義可見，若在點(diǎn)取得極值，則當(dāng)固定時(shí)，一元函數(shù)必定在取相同的極值．同理，一元函數(shù)在也取相同的極值．于是得到二元函數(shù)取極值的必要條件如下：定理17.10（極值必要條件）若函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)，且在取得極值，則有．(8)反之，若函數(shù)在點(diǎn)滿足(16)，則稱點(diǎn)為的穩(wěn)定點(diǎn)．定理17.01指出：若存在偏導(dǎo)數(shù)，則其極限點(diǎn)必是穩(wěn)定點(diǎn)．但穩(wěn)定點(diǎn)并不都是極值點(diǎn)，如例5中的函數(shù)，原點(diǎn)為其穩(wěn)定點(diǎn)，但它在原點(diǎn)并不取得極值．與一元函數(shù)的情形相同，函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)上也有可能取得極值．例如在原點(diǎn)沒有偏導(dǎo)數(shù)，但是的極小值．為了討論二元函數(shù)在點(diǎn)取得極值的充分條件，我們假定具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并記（9）它稱為在的黑塞矩陣．定理17.11（極值充分條件）設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)()的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且是的穩(wěn)定點(diǎn)．則當(dāng)是正定矩陣時(shí)，在取得極小值；當(dāng)是負(fù)定矩陣時(shí)，在取得極大值；當(dāng)是不定矩陣時(shí)，在不取極值．根據(jù)正半定或負(fù)半定對(duì)稱所屬主子行列式的符號(hào)規(guī)則，定理17.11由又可寫成如下比較實(shí)用的形式：若函數(shù)f如定理17.11所設(shè)．是f的穩(wěn)定點(diǎn)，則有：當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)取得極小值;當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)取得極大值;當(dāng)時(shí)，f在點(diǎn)不能取得極值；當(dāng)時(shí)，不能肯定f在點(diǎn)是否取得極值．例6求的的極值．例7討論在原點(diǎn)是否取得極值．例8討論是否存在極值．例9證明：圓的所有外切三角形