不等式與不等關系知識梳理

PAGE不等式與不等關系【考綱要求】1.了解不等關系、不等式（組）的實際背景；2.理解并掌握不等式的性質，理解不等關系；3.能用不等式的基本性質解決某些數學問題.【知識網絡】不等式與不等關系不等式與不等關系不等式的性質基本性質的應用實際背景【考點梳理】要點一、符號法則與比較大小1.實數的符號任意，則（為正數）、或（為負數）三種情況有且只有一種成立。2.兩實數的加、乘運算結果的符號具有以下符號性質：①兩個同號實數相加，和的符號不變符號語言：；②兩個同號實數相乘，積是正數符號語言：；③兩個異號實數相乘，積是負數符號語言：④任何實數的平方為非負數，0的平方為0符號語言：，.3、比較兩個實數大小的法則：對任意兩個實數、①；②；③。對于任意實數、,,,三種關系有且只有一種成立。要點詮釋：這三個式子實質是運用實數運算來比較兩個實數的大小關系。它是本章的基礎，也是證明不等式與解不等式的主要依據。

要點二、不等式的基本性質１．不等式的基本性質（1）（2）（3）（4）２．不等式的運算性質（１）加法法則：（２）減法法則：（３）乘法法則：（４）除法法則：（５）乘方法則：（６）開方法則：要點詮釋：不等式的概念和性質是進行不等式的變換，證明不等式和解不等式的依據，應正確理解和運用不等式的性質，弄清每條性質的條件與結論，注意條件與結論之間的關系。基本不等式可以在解題時直接應用。要點三、比較大小的方法1、作差法：任意兩個代數式、，可以作差后比較與0的關系，進一步比較與的大小。2、作商法：任意兩個值為正的代數式、，可以作商后比較與1的關系，進一步比較與的大小。3、中間量法：若且，則（實質是不等式的傳遞性）.一般選擇0或1為中間量.4、利用函數的單調性比較大?。喝魞蓚€式子具有相同的函數結構，可以利用相應的基本函數的單調性比較大小.【典型例題】類型一：比較代數式（值）的大小例1．已知：,比較和的大小.【解析】∵，，∴∴.【總結升華】作差比較法基本步驟：作差，變形，判斷差的符號，結論，其中判斷差的符號為目的，變形是關鍵，常用變形技巧有因式分解，配方，拆、拼項等方法.舉一反三：【高清課堂：不等式與不等關系394833典型例題一】【變式1】若，則下列不等式中，不能成立的是()A.B.C.D.【解析】取特殊值，代入驗證即可【答案】B【變式2】已知,試比較和的大小.【解析】∵，又∵即∴當時，；當時，.【變式3】且，比較與的大小.【解析】作差：(1)當，即時，，此時.(2)當，即(3)當，,此時，其中時取等號.(4)當即時，，此時例2．已知：、,且,比較的大小.【解析】∵、，∴，作商：（*）(1)若a>b>0,則，a-b>0,,此時成立；(2)若b>a>0,則,a-b<0，,此時成立。綜上，總成立?！究偨Y升華】1、作商比較法的基本步驟是:判定式子的符號并作商變形判定商式大于1或等于1或小于1結論。2、正數的冪的乘積形式的大小比較一般用作商比較法.舉一反三：【變式】已知為互不相等的正數，求證：【解析】為不等正數，不失一般性，設這時，，則有：由指數函數的性質可知：，即.類型二：不等式性質的應用例3.（2016浙江高考）已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若logab>1，則（）A.(a-1)(b-1)<0 B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0 D.(b-1)(b-a)>0【解析】logab>logaa=1,當a>1時，b>a>1,故b-1>0,b-a>0,所以(b-1)(b-a)>0;當0<a<1時，0<b<a<1,故b-1<0,b-a<0,所以(b-1)(b-a)>0,故選D.【總結升華】判別不等式成立與否，應緊扣不等式性質，當出現(xiàn)字母代數式最常用賦值法.舉一反三：【變式1】對于實數，判斷以下命題的真假.（1）若,則；（2）若，則；（3）若,則；（4）若,則;(5)若，則；（6）若且,則．(7)若，則；(8)若，則【解析】（１）因為的符號不定，所以無法判定和的大小，故原命題為假命題.（２）因為,所以,從而，故原命題為真命題.（３）因為，所以①；又，所以②綜合①②得，故原命題為真命題.（４）兩個負實數，絕對值大的反而?。试}為真命題．（5）因為當時，不成立，故原命題為假命題..（6）因為，所以又因，所以．故原命題為真命題．（7）因為的函數在上單調遞增，故原命題為真命題．（8）因為，所以，故原命題為真命題．【高清課堂：不等式與不等關系394833典型例題四】【變式2】已知且,求的取值范圍.【解析】設解得，所以由得由得所以即【變式3】已知，那么下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【解析】D；特殊值法：令，類型三：不等關系在實際問題中的應用例4.(2015懷化一模)某單位有員工1000名，平均沒人每年創(chuàng)造利潤10萬元.為了增加企業(yè)競爭力，決定優(yōu)化產業(yè)結構，調整出名員工從事第三產業(yè)，調整后他們平均每人創(chuàng)造利潤為萬元，剩下的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可以提高.(1)若要保證剩余員工創(chuàng)造的年總利潤不低于原來1000名員工創(chuàng)造的年總利潤，則最多調整出多少名員工從事第三產業(yè)？(2)在(1)的條件下，若調整出的員工創(chuàng)造的年總利潤不高于剩余員工創(chuàng)造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？【解析】(1)由題意得即，又,即最多調整500名員工從事第三產業(yè).(2)從事第三產業(yè)的員工創(chuàng)造的年總利潤為萬元,從事原來產業(yè)的員工的年總利潤為萬元則即恒成立當且僅當即時等號成立.即的取值范圍為.舉一反三：【變式】(2015高郵市校級模擬)某人準備購置一塊占地1800平方米的矩形地塊,中間建三個矩形溫室大棚,大棚周圍均是寬為1米的小路(陰影部分表示),大棚占地面積為S平方米,其中a:b=1