等差數(shù)列及其前n項(xiàng)及講義

等差數(shù)列及其前n項(xiàng)及講義等差數(shù)列及其前n項(xiàng)及講義8/8等差數(shù)列及其前n項(xiàng)及講義等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、等差數(shù)列的有關(guān)見(jiàn)解（一）等差數(shù)列的定義：假如一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差．．．．．．．．．．．．．．．．等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差。．．．．．．．利用：“an1－an＝d(d為常數(shù))”判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列。注意：項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)起或第4項(xiàng)起，那么此數(shù)列不是（1）假如一個(gè)數(shù)列不是從第2等差數(shù)列；（2）等差數(shù)列要求這個(gè)常數(shù)必然同樣；（3）公差d：d＝an1－an＝an－an1(n≥2)；（4）當(dāng)d＝0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；當(dāng)d＞0，數(shù)列為遞加數(shù)列；當(dāng)d＜0，數(shù)列為遞減數(shù)列；（5）公差必然為后一項(xiàng)減前一項(xiàng)，不可以顛倒。（二）、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式假如等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n－1)d，或許．．．．．．．通項(xiàng)公式的變形：a＝a＋(n－m)。n．m．．．．．．d（三）、等差中項(xiàng)：（1）由三個(gè)數(shù)a，A，b構(gòu)成的等差數(shù)列，A叫做a和b的等差中項(xiàng)，則2A＝a＋b；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2）若在一個(gè)等差數(shù)列中，除掉首項(xiàng)和末項(xiàng)之外，每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an＝an1＋an1。3）特別地：在△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，則B＝600。例1：已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列a3＝5，a7＝－7，則a15＝____________?！净玖糠ā?431【剖析】－4.變式練習(xí)1：若等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a2是對(duì)于x的方程x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。12311a1＝2，【解】由題意知∴a＝2n.a1a2＝a4，a1a1＋d＝a1＋3d，d＝2，變式練習(xí)2：（1）方程x2－6x＋1＝0的兩根的等差中項(xiàng)為_(kāi)_______。（2）等差數(shù)列{an}中，前三項(xiàng)挨次為1，5，1，則公差d＝________.x16xx【剖析】(1)設(shè)方程兩根為x112、x212x＋x＝3.，則x＋x＝6，因此其等差中項(xiàng)為2(2)由1＋1＝2×5得x＝2，故知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差d＝1.x＋1x6x312變式練習(xí)3：等差數(shù)列{an}中，若a7－a3＝20，則a2017－a2011＝()A：40B：30C：25D：20【剖析】選B.由于4d＝a7－a3＝20，因此d＝5，于是a2017－a2011＝6d6×5＝30.二、等差數(shù)列的性質(zhì)1、d＞0，{an}是遞加數(shù)列；d＝0，{an}是常數(shù)列；d＜0，{an}是遞減數(shù)列。2、公差d＝ana1＝anam(m、n∈N＋)n1nm3、若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋anm、n、p、q∈N＋；特別地：mn＝k，則2ak＝am＋an(角標(biāo)公式)2例2：在公差為d的等差數(shù)列{an}中，1）若a2＋a3＋a23＋a24＝48，則a13________________。2）若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2×a5＝52，則d＝____________。a＝4，a＝13，【剖析】：（1）a13＝12.（2）∴22或∴d＝3或d＝－3.a5＝13a5＝4，變式練習(xí)1：已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，則a4＋a8＝___________。2【剖析】：3變式練習(xí)2：（1）在等差數(shù)列中a1＋a9＝15，a8＝4，則a2＝()A：10B：11C：12D：9【剖析】B（2）在等差數(shù)列{an}中，若a4＝10，則a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝()A：30B：40C：50D：60【剖析】C變式練習(xí)3：在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，則log2(2a12a22a10)＝()A：10B：20C：40D：2＋log52【剖析】a1＋a2＋?＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20，進(jìn)而log2··?·220＝20.()＝log2變式練習(xí)4：在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，則a7－1a8的值為2()A：4B：6C：8D：10【剖析】選C.由于a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，因此a6＝16.因此a7－111a8＝2(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝822三、等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn1、公式：Sn＝n(a1an)＝na1＋n(n1)d；22由前n項(xiàng)和公式得：Sn＝An2＋Bn＋C，則{an}成等差數(shù)列的充要條件是C＝0。2、性質(zhì)：{an}中，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列。（1）、在等差數(shù)列例3：設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3＝3，S9－S6＝27，則該數(shù)列的首項(xiàng)a1等于()6363A：－B：－C：D：5555【剖析】：由得解得a1=.應(yīng)選D.變式練習(xí)1：在等差數(shù)列an中，已知S848，S12168，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式?！酒饰觥浚篴18,d4an＝4n－12變式練習(xí)2：《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十一尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問(wèn)第十天織尺數(shù)為（）A：6B：9C：12D：15【剖析】：S7＝21，a2a5a815，則a10＝15變式練習(xí)3：已知數(shù)列an為等差數(shù)列，前30項(xiàng)的和為50，前50項(xiàng)的和為30，求前80項(xiàng)的和。50900A30BA4【剖析】：解：設(shè)SnAn2Bn75，2500A50B解得30B4915Sn4n249nS80480249808075157515注：等差數(shù)列有以下性質(zhì)：若Spq,Sqppq則Spqpq。例4：在等差數(shù)列an中，已知a4a512，那么它的前8項(xiàng)之和S8等于（）A：12B：24C：36D：48【剖析】：D變式練習(xí)1：已知等差數(shù)列an中，a2a5a9a1260，那么S13（）A：390B：195C：180D：120【剖析】：C變式練習(xí)2：在等差數(shù)列{an}中，a21＝20，則S41＝__________。【剖析】820變式練習(xí)3：已知在等差數(shù)列an中，a3、a15是方程x2－6x－10＝0的根，則S17＝（）A：41B：51C：61D：68【剖析】：B變式練習(xí)4：an的公差d，a2a4a10080，那么S100（）已知等差數(shù)列12A：80B：120C：135D：160【剖析】：B例5：等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，則它的前3m項(xiàng)的和為()A：130B：170C：210D：260【剖析】：C變式練習(xí)1：設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S31，則S6()S63S123B：1C：8D：1A：3910【剖析】：A變式練習(xí)2：an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7a8a9（）等差數(shù)列{A．63B．45C．36D．27【剖析】：B變式練習(xí)3：等差數(shù)列an共有3m項(xiàng)，若前2m項(xiàng)的和為200，前3m項(xiàng)的和為225，則中m的和（）A：50B：75C：100D：125【剖析】：B四、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值1、等差數(shù)列前n和Sn＝na1＋n(n1)d＝1d2＋(a1－d)上式可成：Sn＝An2＋222Bn。當(dāng)d≠0，數(shù)列S1，S2，??Sn的象是拋物上的一群弧立點(diǎn)。2、等差數(shù)列前n和的最：（1）利用二次函數(shù)象的性；（2）當(dāng)a1＞0，d＜0，由am≥0，am1≤0，Sm最大；（3）a1＜0，d＞0，由am≤0，am1≥0，Sm最小。例6：在等差數(shù)列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大?！酒饰觥浚悍椒ㄒ唬骸逽17＝9得：25×17＋17(171)d＝25×9＋9(91)dS22得：d＝－2，∴Sn＝25n＋n(n1)(2)＝－(n－13)2＋1692∴當(dāng)n＝13，Sn有最大169。方法二：同法一先求出d＝－2，∵a1＝25＞0n1an25(n1)013得2由252n01an1n122

∴當(dāng)n＝13，Sn有最大169。變式練習(xí)1：在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，S4＝S9，Sn取最大，n＝__________?！酒饰觥浚?或7變式練習(xí)2：在等差數(shù)列{an}中，前n和Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，當(dāng)Sn取最小，n＝（）。A：6B：7C：8D：9a111236A【剖析】：Sn(n6)d2變式練習(xí)3：在等差數(shù)列{an}中，前n和Sn，若S16＞0，S17＜0，當(dāng)Sn取最大，n＝（）。A：16B：8C：9D：10a1a160a1a160a8a90a80【剖析】：得得故Ba1a170a90a90a90例7：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a2＝4，a8＝－14，算｜a1｜＋｜a2｜＋??＋｜an1｜＋｜an｜的?！酒饰觥浚骸遖n1，當(dāng)n≤3，an＞n3｜a1｜＋｜a2｜＋??＋｜an－1｜＋｜an｜a1a2a3an,(n3)＝a1a2a3a4a5an,(n4)(a1an)n3n217n3),(n3)＝2,(n＝22(a1a2a3)(a1a2an),(n4)3n217n48,(n4)2課后綜合練習(xí)n1n＋1n＋)，a101的（）1、在數(shù)列{a}中，a＝2，2a＝2a＋1(n∈NA：49B：50C：51D：52【剖析】：D2、在等差數(shù)列{a}中首70，公差－9，個(gè)數(shù)列中最小的一（）nA：a8B：a9C：a10D：a11【剖析】：B3、在等差數(shù)列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，a1等于（）A：－9B：－8C：－7D：－4【剖析】：B4、已知數(shù)列{an}等差數(shù)列，且a1＋a7＋a13＝，tan(a2＋a12)的（）A：3B：－3C：±33D：－3【剖析】：B5、在等差數(shù)列{an}中，首a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7，k的是（）A：21

B：22

C：23

D：24【剖析】：B6、已知等差數(shù)列

{an

}的公差

1，且

a1＋a2＋a3＋??＋

a99＝99，

a3＋a6＋a9＋??＋a96＋a99＝（A：99B：66

）C：33

D：0【剖析】：B7、已知數(shù)列

{an}等差數(shù)列且

a1＋a5＋a9＝4

，

cos(a2＋a8)的

(

)3B：13D：－1A：C：－2222【剖析】選D8、在等差數(shù)列

{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋

a8＝33，則a3＋a6＋a9的值為

(

)A：30

B：27

C：24

D：21【剖析】選B.令b1＝a1＋a4＋a7＝39，b2＝a2＋a5＋a8＝33，b3＝a3＋a6＋a9，由于{an}成等差數(shù)列，因此b1，b2，b3成等差數(shù)列，因此a3＋a6a9＝b3＝b2＋(b2－b1)＝2b2－b1＝27.9、等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝2，S4＝8，則S6等于_______________?！酒饰觥浚?410、在等差數(shù)列an中，若S4＝1，S8＝4，則a17＋a18＋a19＋a20＝____?！酒饰觥浚?11、在等差數(shù)列an中，a1a2a315,anan1an278，Sn155，n________________?！酒饰觥浚?012、設(shè)等差數(shù)列{an}知足sin2a4cos2a7sin2a7cos2a4＝1，公差d∈(－1，0)，當(dāng)且sin(a5a6)僅當(dāng)n＝9時(shí)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn獲得最大值，求該數(shù)列首項(xiàng)a1的取值范圍________?！酒饰觥浚?4,3)3213、等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6。（1）求{