直線與平面平行判定和性質(zhì)經(jīng)典練習詳細詳解

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直線、平面平行的判斷及其性質(zhì)

1.以下命題中，正確命題的是④.①若直線l上有無數(shù)個點不在平面內(nèi)，則l∥;②若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的隨意一條直線都平行；③假如兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行；④若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的隨意一條直線都沒有公共點.2.以下條件中，不可以判斷兩個平面平行的是（填序號）.①一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面②一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面③一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面④一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面答案①②③3.關(guān)于平面和共面的直線m、n，以下命題中假命題是（填序號）.①若m⊥，m⊥n，則n∥②若m∥，n∥，則m∥n③若m，n∥，則m∥n④若m、n與所成的角相等，則m∥n答案①②④已知直線a,b,平面，則以下三個命題：

①若a∥b,b,則a∥;②若a∥b,a∥,則b∥;③若a∥,b∥,則a∥b.其中真命題的個數(shù)是.答案05.直線a//平面M,直線bM,那么a//b是b//M的條件.A.充分而不用要B.必要而不充分C.充要D.不充分也不用要能保證直線a與平面平行的條件是

A.a，b，a//bB.b，a//bC.b，c//，a//b，a//cD.b，Aa，Ba，Cb，Db且ACBD7.假如直線a平行于平面,則aaA.平面內(nèi)有且只有素來線與B.平面內(nèi)無數(shù)條直線與平行平行C.平面內(nèi)不存在與a平行的直線D.平面內(nèi)的隨意直線與直線a都平行8.假如兩直線a∥b,且a∥平面,則b與的地點關(guān)系A(chǔ).訂交B.b//C.bD.b//或b以下命題正確的個數(shù)是優(yōu)異文檔適用標準文案

（1）若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi),則l∥α

2）若直線l與平面α平行,則l與平面α內(nèi)的隨意素來線平行

3）兩條平行線中的一條直線與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行

4）若素來線a和平面α內(nèi)素來線b平行,則a∥α

A.0個B.1個C.2個D.3個11.b是平面α外的一條直線，以下條件中可得出∥α是bA.b與α內(nèi)的一條直線不訂交B.b與α內(nèi)的兩條直線不訂交C.b與α內(nèi)的無數(shù)條直線不訂交D.b與α內(nèi)的所有直線不訂交已知兩條訂交直線a、b，a∥平面α，則b與α的地點關(guān)系

A.b∥αB.b與α訂交C.bαD.b∥α或b與α訂交

13.以下列圖，已知S是正三角形ABC所在平面外的一點，且SA=SB=SC，SG為△SAB上

的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點，試判斷SG與平面DEF的地點關(guān)系，并賞賜證明.

SG∥平面DEF，證明以下：

方法一：三角形中位線連結(jié)CG交DE于點H，以下列圖.

∵DE是△ABC的中位線，

∴DE∥AB.

在△ACG中，D是AC的中點，

DH∥AG.

H為CG的中點.

FH是△SCG的中位線，

FH∥SG.

又SG平面DEF，F(xiàn)H平面DEF，

SG∥平面DEF.

方法二：平面平行的性質(zhì)

EF為△SBC的中位線，∴EF∥SB.

EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF∥平面SAB.

同理可證，DF∥平面SAB，EF∩DF=F，

∴平面SAB∥平面DEF，又SG平面SAB，∴SG∥平面DEF.

以下列圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是BC、CC1、

C1D1、A1A的中點.求證：

1）BF∥HD1；

2）EG∥平面BB1D1D；

3）平面BDF∥平面B1D1H.

證明平行四邊形的性質(zhì)，平行線的傳達性

（1）以下列圖，取BB1的中點M，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，

HD1∥MC1.

又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.優(yōu)異文檔適用標準文案（2）取BD的中點O，連結(jié)EO，DO，則OE1DC，12又D1G1DC，∴OED1G，2∴四邊形11OEGD是平行四邊形，∴GE∥DO.又D1O平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.

3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1

HD1=D1，DB∩BF=B，∴平面BDF∥平面B1D1H.

以下列圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點.

求證：MN∥平面AA1C1C.

證明方法一：平行四邊形的性質(zhì)

A1C1中點為F，連結(jié)NF，F(xiàn)C，

N為A1B1中點，

NF∥B1C1，且NF=1B1C1，2

又由棱柱性質(zhì)知B1C1BC，

M是BC的中點，∴NFMC，

∴四邊形NFCM為平行四邊形.

MN∥CF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1C.

方法二：三角形中位線的性質(zhì)

連結(jié)AM交C1C于點P，連結(jié)A1P，

∵M是BC的中點，且MC∥B1C1，∴M是B1P的中點，

又∵N為A1B1中點，

MN∥A1P，又A1P平面AA1C1，MN平面AA1C1，∴MN∥平面AA1C1C.

方法三：平面平行的性質(zhì)

設(shè)B1C1中點為Q，連結(jié)NQ，MQ，

∵M、Q是BC、B1C1的中點，

∴MQCC1，又CC1平面AA1C1C，MQ平面AA1C1C，

∴MQ∥平面AA1C1C.

N、Q是A1B1、B1C1的中點，

∴NQA1C1，又A1C1平面AA1C1C，NQ平面AA1C1C，

NQ∥平面AA1C1C.

又∵MQ∩NQ=B，∴平面MNQ∥平面AA1C1C，

MN平面MNQ∴MN∥平面AA1C1C.

以下列圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點E，F(xiàn)，且B1E=C1F.

求證：EF∥平面ABCD.優(yōu)異文檔適用標準文案

方法一：平行四邊形的性質(zhì)

E作ES∥BB1交AB于S，過F作FT∥BB1交BC于T，連結(jié)ST，則AEES，且BFFTAB1B1BBC1C1CB1E=C1F，B1A=C1B，∴AE=BF∴ESFT，∴ES=FTB1BCC1又∵ES∥B1B∥FT，∴四邊形EFTS為平行四邊形.

EF∥ST，又ST平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.

方法二：相像三角形的性質(zhì)

連結(jié)B1F交BC于點Q，連結(jié)AQ，

B1C1∥BC，∴B1FC1FB1QC1B

∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴B1EB1FB1DB1Q

EF∥AQ，又AQ平面ABCD，EF平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.

方法三：平面平行的性質(zhì)

過E作EG∥AB交BB1于G，連結(jié)GF，則B1EB1G，B1AB1B

B1E=C1F，B1A=C1B，

C1EB1G，∴FG∥B1C1∥BC，C1BB1B

EG∩FG=G，AB∩BC=B，

∴平面EFG∥平面ABCD，而EF平面EFG，

EF∥平面ABCD.

以下列圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q

CC1上的點，問：當點Q在什么地點時，平面D1BQ∥平面PAO？

面面平行的判斷

當Q為CC1的中點時，

平面D1BQ∥平面PAO.

Q為CC1的中點，P為DD1的中點，∴QB∥PA.

P、O為DD1、DB的中點，∴D1B∥PO.

PO∩PA=P，D1B∩QB=B，

D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

直線與平面平行的性質(zhì)定理

18.以下列圖，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形.優(yōu)異文檔適用標準文案

1）求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.

2）若AB=4，CD=6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.

1）證明∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.

HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.

EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，∴EF∥AB.∴AB∥平面EFGH.

同理可證，CD∥平面EFGH.

解設(shè)EF=x（0＜x＜4），由于四邊形EFGH為平行四邊形，∴CFx.則FG=BF=BCCF=1-x.進而FG=6-3x.∴四邊形EFGH的周長CB46BCBC42l=2(x+6-3x)=12-x.又0＜x＜4,則有8＜l＜12,∴四邊形EFGH周長的取值范圍是（8，212）.19.以下列圖，平面∥平面，點A∈，C∈，點B∈，D∈,點E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AE∶EB=CF∶FD.

1）求證：EF∥;

2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60°，求EF

的長.

1）證明兩個平行平面同時與第三個平面訂交，則交線平行；平行線分線段成比率

方法①當AB，CD在同一平面內(nèi)時，由∥，平面∩平面ABDC=AC，

平面∩平面ABDC=BD，∴AC∥BD，

AE∶EB=CF∶FD，∴EF∥BD，

又EF,BD,∴EF∥.

方法②當AB與CD異面時，

設(shè)平面ACD∩=DH，且DH=AC.

∵∥，∩平面ACDH=AC，

AC∥DH，∴四邊形ACDH是平行四邊形，在AH上取一點G，使AG∶GH=CF∶FD，又∵AE∶EB=CF∶FD，∴GF∥HD，EG∥BH，又EG∩GF=G，∴平面EFG∥平面.

∵EF平面EFG，∴EF∥.綜上，EF∥.

2）解三角形中位線

以下列圖，連結(jié)AD，取AD的中點M，連結(jié)ME，MF.

E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，∴ME∥BD，MF∥AC，

ME=1BD=3，MF=1AC=2，22

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∴∠EMF為AC與BD所成的角（或其補角），

∴∠EMF=60°或120°，

∴在△EFM中由余弦定理得，

EF=ME2MF22MEMFcosEMF=32221，232=1362EF=7或EF=19.

正方形ABCD與正方形ABEF所在平面訂交于AB，在AE、BD上各有一點P、Q，且AP=DQ.

求證：PQ∥平面BCE.

證明方法一：平行四邊形的性質(zhì)以下列圖，作PM∥AB交BE于M，

QN∥AB交BC于N，連結(jié)MN.

∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB，∴AE=BD.

又∵AP=DQ，∴PE=QB，

又∵PM∥AB∥QN，∴PMPEQNBQPMQN，∴PMQN，ABAE，DCBD，ABDC∴四邊形PMNQ為平行四邊形，∴PQ∥MN.

MN平面BCE，PQ平面BCE，

∴PQ∥平面BCE.

方法二：相像三角形的性質(zhì)以下列圖，連結(jié)AQ，并延伸交BC于K，

連結(jié)EK，

∵AE=BD，AP=DQ，

∴PE=BQ，∴AP=DQ①PEBQ

又∵AD∥BK，∴DQ=AQ②BQQK

由①②得AP=AQ，∴PQ∥EK.PEQK

PQ平面BCE，EK平面BCE，∴PQ∥平面BCE.

方法三：平面平行的性質(zhì)以下列圖，在平面ABEF內(nèi)，過點P作

PM∥BE，交AB于點M，

連結(jié)QM.

PM∥BE，PM平面BCE，

即PM∥平面BCE，∴AP=AM①PEMB

又∵AP=DQ，∴PE=BQ，優(yōu)異文檔適用標準文案

∴AP=DQ②PEBQ

由①②得AM=DQ，∴MQ∥AD，MBBQ

MQ∥BC，又∵MQ平面BCE，∴MQ∥平面BCE.

又∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCE，

PQ平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.

以下列圖，正四棱錐P—ABCD的各棱長均為13，M，N分別為PA，BD上的點，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.

1）求證：直線MN∥平面PBC；

2）求線段MN的長.

1）證明：方法一：相像三角形的性質(zhì)

連結(jié)AN并延伸交BC于Q，

連結(jié)PQ，以下列圖.

AD∥BQ，∴△AND∽△QNB，AN=DN=AD=8，NQNBBQ5PMBN5又∵==，

AM=AN=8，∴MN∥PQ，MPNQ5

又∵PQ平面PBC，MN平面PBC，

MN∥平面PBC.

方法二：平行四邊形的性質(zhì)

以下列圖，作MQ∥AB交PB于Q，作NR∥AB交BC于R，

連結(jié)QR.

MQ∥AB∥NR，∴PMMQ，NRBN，PAABDCBD又∵PMBN，∴MQNR，MAND∴四邊形MNRQ為平行四邊形，∴MN∥QR.

QR平面PBC，MN平面PBC，∴MN∥平面PBC.

方法三：平面平行的性質(zhì)

以下列圖，在平面ABP內(nèi)，過點M作MN∥PB，交AB于點O，

連結(jié)ON.

MO∥PB，MO平面PBC，PB平面PBC

MO∥平面PB