概率統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程課件第六章大數(shù)定律與中心極限定理

第六章大數(shù)定律與中心極限定理本章要解決的問題

為何能以某事件發(fā)生的頻率作為該事件的概率的估計(jì)？為何能以樣本均值作為總體期望的估計(jì)？為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)是什么？大數(shù)定律中心極限定理1第六章大數(shù)定律與中心極限定理本章要解決的問題為何能以設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量

X的期望E(X)存在，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)

>0,馬爾可夫（Markov）不等式證

僅證連續(xù)型隨機(jī)變量的情形

重要不等式

6.1大數(shù)定律2設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量X的期望E(X)存在，馬爾可夫（Ma設(shè)隨機(jī)變量

X的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩E(|X|k)存在，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)

>0,推論1設(shè)隨機(jī)變量

X的方差D(X)存在，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)

>0,推論2

——切貝雪夫（chebyshev）不等式或3設(shè)隨機(jī)變量X的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩E(|X|k)存在，推例1

設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.試估計(jì)在任選的6000粒種子中,良種所占比例與

1/6比較上下小于1%的概率.解

設(shè)

X

表示6000粒種子中的良種數(shù),X~B(6000,1/6)4例1設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.試估計(jì)解設(shè)實(shí)際精確計(jì)算：用Poisson分布近似計(jì)算：取=10005實(shí)際精確計(jì)算：用Poisson分布近似計(jì)算：取=10例2

設(shè)每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.75,

試用Chebyshev不等式估計(jì),n

多大時(shí),才能在

n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件

A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率大于0.90?解設(shè)

X

表示

n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(n,0.75)要使，求n6例2設(shè)每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.75,解即即由Chebyshev不等式，=0.01n,故令解得7即即由Chebyshev不等式，=0.01n,故若E(X)=,D(X)=2,類似于正態(tài)分布的3原理，由Chebyshev不等式可估計(jì)由Chebyshev不等式，可看出D(X)反映了X偏離E(X)的程度.固定，較小者，較小.Chebyshev不等式對(duì)于22無實(shí)際意義8若E(X)=,D(X)=2,類似于大數(shù)定律貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律設(shè)

nA

是n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p

是每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率，則有或9大數(shù)定律貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律設(shè)nA是證引入隨機(jī)變量序列{Xk}設(shè)則相互獨(dú)立，記由Chebyshev不等式10證引入隨機(jī)變量序列{Xk}設(shè)則相互獨(dú)立，記由Chebys故11故11在概率的統(tǒng)計(jì)定義中，事件A

發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：頻率與

p

有較大偏差是小概率事件,因而在n

足夠大時(shí),可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律的意義：12在概率的統(tǒng)計(jì)定義中，事件A發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A定義a

是一常數(shù)，(或則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)a,記作故是一系列隨機(jī)變量，設(shè)有若13定義a是一常數(shù)，(或則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)a在Bernoulli定理的證明過程中，

Yn

是相互獨(dú)立的服從0-1分布的隨機(jī)變量序列{Xk}的算術(shù)平均值,Yn

依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望p.

結(jié)果同樣適用于服從其它分布的獨(dú)立隨機(jī)變量序列.14在Bernoulli定理的證明過程中，Yn是相互的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)為有Chebyshev大數(shù)定律相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量序列(指任意給定n>1,相互獨(dú)立)，證明：由chebyshev不等式可得。15的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)為有Chebyshev大數(shù)定律相互獨(dú)立，推論：獨(dú)立同分布時(shí)的Chebyshev大數(shù)定律相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量序列則有或且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差16推論：獨(dú)立同分布時(shí)的Chebyshev大數(shù)定律相互獨(dú)定理的意義：當(dāng)

n

足夠大時(shí)，算術(shù)平均值幾乎就是一個(gè)常數(shù),可以用算術(shù)平均值近似地代替數(shù)學(xué)期望.具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨(dú)立隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.17定理的意義：當(dāng)n足夠大時(shí)，算術(shù)平均值幾乎就是一個(gè)常數(shù),具§6.2中心極限定理定理1獨(dú)立同分布的中心極限定理

設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立，服從同一分布，且有期望和方差：則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,18§6.2中心極限定理定理1獨(dú)立同分布的中心極限注：則

Yn

為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.即n

足夠大時(shí)，Yn

的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù)記近似近似服從19注：則Yn為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.即n足夠大時(shí)，Yn定理2德莫佛—拉普拉斯中心極限定理（DeMoivre-Laplace）

Yn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…則對(duì)任一實(shí)數(shù)x，有是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，p為A發(fā)生概率，即20定理2德莫佛—拉普拉斯中心極限定理即對(duì)任意的a<b,Yn

~N(np,np(1-p))(近似)證明：21即對(duì)任意的a<b,Yn~N(np,np(1例1

設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.試估計(jì)在任選的6000粒種子中，良種所占比例與

1/6比較上下不超過1%的概率.解設(shè)

X

表示6000粒種子中的良種數(shù),則X~B(6000,1/6)中心極限定理的應(yīng)用22例1設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.試估計(jì)解設(shè)近似23近似23比較幾個(gè)近似計(jì)算的結(jié)果用中心極限定理用二項(xiàng)分布(精確結(jié)果)用Poisson分布用Chebyshev不等式24比較幾個(gè)近似計(jì)算的結(jié)果用中心極限定理用二項(xiàng)分布(精確結(jié)果)用例2

某車間有200臺(tái)車床，每臺(tái)獨(dú)立工作，開工率為0.6.開工時(shí)每臺(tái)耗電量為r

千瓦.問供電所至少要供給這個(gè)車間多少電力,才能以

99.9%的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)？解設(shè)至少要供給這個(gè)車間

a千瓦的電力設(shè)X為200臺(tái)車床的開工數(shù).X~B(200,0.6),問題轉(zhuǎn)化為求

a,使X~N(120,48)(近似)25例2某車間有200臺(tái)車床，每臺(tái)獨(dú)立工作，開工解設(shè)至少由于將X近似地看成正態(tài)分布，故26由于將X近似地看成正態(tài)分布，故26反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得令解得(千瓦)27反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得令解得(千瓦)27例3

檢查員逐個(gè)地檢查某種產(chǎn)品,每檢查一只產(chǎn)品需要用10秒鐘.但有的產(chǎn)品需重復(fù)檢查一次，再用去10秒鐘.假設(shè)產(chǎn)品需要重復(fù)檢查的概率為0.5,求檢驗(yàn)員在8小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè)的概率.解檢驗(yàn)員在8小時(shí)內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè)即檢查1900個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間小于8小時(shí).設(shè)X為檢查1900個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：秒)設(shè)Xk

為檢查第k

個(gè)產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：秒),k=1,2,…,190028例3檢查員逐個(gè)地檢查某種產(chǎn)品,每檢查一只解檢驗(yàn)員

XkP10200.50.5相互獨(dú)立,且同分布,29XkP10200.53030中心極限定理的意義

在實(shí)際問題中，若某隨機(jī)變量可以看作是有相互獨(dú)立的大量隨機(jī)變量綜合作用的結(jié)果，每一個(gè)因素在總的影響中的作用都很微小，則綜合作用的結(jié)果服從正態(tài)分布.31中心極限定理的意義在實(shí)際問題中，若某隨機(jī)變量作業(yè)習(xí)題六1，2，3，4,532作業(yè)習(xí)題六1，2，3，4,53第六章大數(shù)定律與中心極限定理本章要解決的問題

為何能以某事件發(fā)生的頻率作為該事件的概率的估計(jì)？為何能以樣本均值作為總體期望的估計(jì)？為何正態(tài)分布在概率論中占有極其重要的地位？大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ)是什么？大數(shù)定律中心極限定理33第六章大數(shù)定律與中心極限定理本章要解決的問題為何能以設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量

X的期望E(X)存在，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)

>0,馬爾可夫（Markov）不等式證

僅證連續(xù)型隨機(jī)變量的情形

重要不等式

6.1大數(shù)定律34設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量X的期望E(X)存在，馬爾可夫（Ma設(shè)隨機(jī)變量

X的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩E(|X|k)存在，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)

>0,推論1設(shè)隨機(jī)變量

X的方差D(X)存在，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)

>0,推論2

——切貝雪夫（chebyshev）不等式或35設(shè)隨機(jī)變量X的k階絕對(duì)原點(diǎn)矩E(|X|k)存在，推例1

設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.試估計(jì)在任選的6000粒種子中,良種所占比例與

1/6比較上下小于1%的概率.解

設(shè)

X

表示6000粒種子中的良種數(shù),X~B(6000,1/6)36例1設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.試估計(jì)解設(shè)實(shí)際精確計(jì)算：用Poisson分布近似計(jì)算：取=100037實(shí)際精確計(jì)算：用Poisson分布近似計(jì)算：取=10例2

設(shè)每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.75,

試用Chebyshev不等式估計(jì),n

多大時(shí),才能在

n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件

A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率大于0.90?解設(shè)

X

表示

n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),則X~B(n,0.75)要使，求n38例2設(shè)每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.75,解即即由Chebyshev不等式，=0.01n,故令解得39即即由Chebyshev不等式，=0.01n,故若E(X)=,D(X)=2,類似于正態(tài)分布的3原理，由Chebyshev不等式可估計(jì)由Chebyshev不等式，可看出D(X)反映了X偏離E(X)的程度.固定，較小者，較小.Chebyshev不等式對(duì)于22無實(shí)際意義40若E(X)=,D(X)=2,類似于大數(shù)定律貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律設(shè)

nA

是n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p

是每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率，則有或41大數(shù)定律貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律設(shè)nA是證引入隨機(jī)變量序列{Xk}設(shè)則相互獨(dú)立，記由Chebyshev不等式42證引入隨機(jī)變量序列{Xk}設(shè)則相互獨(dú)立，記由Chebys故43故11在概率的統(tǒng)計(jì)定義中，事件A

發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：頻率與

p

有較大偏差是小概率事件,因而在n

足夠大時(shí),可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律的意義：44在概率的統(tǒng)計(jì)定義中，事件A發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A定義a

是一常數(shù)，(或則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)a,記作故是一系列隨機(jī)變量，設(shè)有若45定義a是一常數(shù)，(或則稱隨機(jī)變量序列依概率收斂于常數(shù)a在Bernoulli定理的證明過程中，

Yn

是相互獨(dú)立的服從0-1分布的隨機(jī)變量序列{Xk}的算術(shù)平均值,Yn

依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望p.

結(jié)果同樣適用于服從其它分布的獨(dú)立隨機(jī)變量序列.46在Bernoulli定理的證明過程中，Yn是相互的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)為有Chebyshev大數(shù)定律相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量序列(指任意給定n>1,相互獨(dú)立)，證明：由chebyshev不等式可得。47的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)為有Chebyshev大數(shù)定律相互獨(dú)立，推論：獨(dú)立同分布時(shí)的Chebyshev大數(shù)定律相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量序列則有或且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差48推論：獨(dú)立同分布時(shí)的Chebyshev大數(shù)定律相互獨(dú)定理的意義：當(dāng)

n

足夠大時(shí)，算術(shù)平均值幾乎就是一個(gè)常數(shù),可以用算術(shù)平均值近似地代替數(shù)學(xué)期望.具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨(dú)立隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.49定理的意義：當(dāng)n足夠大時(shí)，算術(shù)平均值幾乎就是一個(gè)常數(shù),具§6.2中心極限定理定理1獨(dú)立同分布的中心極限定理

設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立，服從同一分布，且有期望和方差：則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,50§6.2中心極限定理定理1獨(dú)立同分布的中心極限注：則

Yn

為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.即n

足夠大時(shí)，Yn

的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù)記近似近似服從51注：則Yn為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.即n足夠大時(shí)，Yn定理2德莫佛—拉普拉斯中心極限定理（DeMoivre-Laplace）

Yn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…則對(duì)任一實(shí)數(shù)x，有是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，p為A發(fā)生概率，即52定理2德莫佛—拉普拉斯中心極限定理即對(duì)任意的a<b,Yn

~N(np,np(1-p))(近似)證明：53即對(duì)任意的a<b,Yn~N(np,np(1例1

設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.試估計(jì)在任選的6000粒種子中，良種所占比例與

1/6比較上下不超過1%的概率.解設(shè)

X

表示6000粒種子中的良種數(shù),則X~B(6000,1/6)中心極限定理的應(yīng)用54例1設(shè)有一大批種子，其中良種占1/6.試估計(jì)解設(shè)近似55近似23比較幾個(gè)近似計(jì)算的結(jié)果用中心極限定理用二項(xiàng)分布(精確結(jié)果)用Poisson分布用Chebyshev不等式56比較幾個(gè)近似計(jì)算的結(jié)果用中心極限定理用二項(xiàng)分布(精確結(jié)果)用例2

某車間有200臺(tái)車床，每臺(tái)獨(dú)立工作，開工率為0.6.開工時(shí)每臺(tái)耗電量為r

千瓦.問供電所至少要供給這個(gè)車間多少電力,才能以

99.9%的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)？解設(shè)至少要供給這個(gè)車間

a千瓦的電力設(shè)