專練14-30題（二次函數(shù)壓軸大題）2022中考數(shù)學(xué)考點必殺500題（江蘇專用）（解析版）

2022中考考點必殺500題專練14（二次函數(shù)壓軸大題）（30道）1.（2021?江蘇揚州?二模）如圖,在酎8c中,a45C=90°,點尸從點8向點ス運動,點0從點ス向點C運動,兩點同時出發(fā),當點P到達點ス時停止（同時點。也停止）,連接尸。,4以尸。為邊順時針方向作正方形2?！辚?已知/18=10,tan/=§,BP=AQ.備用圖 備用圖（1）若點尸運動到ス8中點處，求正方形尸。丹'的邊長;（2）若點E落在a48c的ー邊上，求8P長;（3）在點尸、。的運動過程中，曲尸。的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）2g；（2）丁或マ；（3）存在，104 7【解析】【分析】（1）如圖1中，過點。作。，丄AB于〃.利用勾股定理求解即可.（2）分兩種情形:如圖2—1中,當點E落在4c上時,AQA.PQ.證明尸8:AP=3:5,由此構(gòu)建方程求解即可.如圖2-2中,過點Q作。，丄A8;，Qア丄BCrT.設(shè)A。=PB=x.由QT//AB,推出空=2，由此構(gòu)建方程求解即可.（3）如圖3中，設(shè)ん。=28=',過點。作Q“丄A8于”.構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.【詳解】解:（1）如圖1中,過點。作。，丄AB于Z/.Q匕 X/1\ ゝ/1\/1\AHPB圖1.?AQ=PB=AP=5,tanZA—=—,AH3??QH=4,AH=3,PH=AP-AH=5-3=2f：.PQ={qHヽPH?=V42+22=2石,??正方形PQEド的邊長為26.(2)如圖2-1中,當點E落在AC上時,AQ1PQ.??AQ:AP=3:5,/.PB:AP=3:5,??陶(10一依)=3:5,如圖2—2中,過點。作?！▉AAB于”，Qア丄BC于ア.設(shè)AQ=尸5ニス.圖2?2ご/QHB=NQTB=/B=90。,???四邊形?！˙ア是矩形,：.ZTQH=ZEQP=90°,QH=BT,；"PQH=/EQT,?;QP=QE,...△?！ㄊ鼳07E(A4S),：.QT=QH,在RtAABC中,AB=10?tanzS4= =—,AC3ABC=—,34 4在RtAAHQ中,HQ=BT=-AQ=-xt?:QT//ABt,QT_CTAB~CB'TOC\o"1-5"\h\z4 404—x x.5_35,,10" 40 ，T50x=—,7：.PB=—,7綜上所述,滿足條件的陽的值為E或?qū)W.4 7（3）存在.理山:如圖3中,設(shè)AQ=PB=x,過點。作QH丄AB于”.

TOC\o"1-5"\h\zQ匕 \l/：\ 尸A^~一trp b圖3在RtAAQH中,QH=-x,?'1^mqp=—■AP-QH=-(lO-x)x—x=-—(x-5)'+10,，x=5時,AAQP的面積最大,最大值為10.【點睛】本題屬于?四邊形綜合題，考査「正方形的性質(zhì),解直角三角形,平行線分線段成比例定理,全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造宜角三角形解決問題,學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題,屬于中考壓軸題.2.(2021?江蘇鹽城?三模)【閱讀理解】設(shè)點尸在矩形A88內(nèi)部，當點P到矩形的一條邊的兩個端點距離相等時,稱點P為該邊的"和諧點”.例如:如圖1,矩形んBC。中，若PA=PD,則稱「為邊AD的"和諧點".D CD CA BA - h圖1 圖2(1)設(shè)P是邊D CD CA BA - h圖1 圖2(1)設(shè)P是邊A。的"和諧點"，則P—^SiUKAPCB=4s”也,求れ4的值.(2)若P是邊BC的"和諧點",連接上4(3)如圖2,若尸是邊A￡)的"和諧點"，_邊8。的"和諧點"(填"是"或"不是"):連接PC,,PB,當/AP8=90。時，求R4的值;連接E4：PB,PD,求————=的最大值.【答案】(1)是:四=5；(2)24或4有:(3)—.16【解析】【分析】(1)連接PB、PC,根據(jù)"和諧點”的定義及矩形的性質(zhì)可得=利用MS可證明△BAPwz^COP,得PB=PC,即可得出結(jié)論：過點P作尸皿。于E,延長EP交BC于G,作P皿8于ド,根據(jù)"和諧點"的定義可得EG為ス。的垂直平分線,可得PF=4,PG=10-PE,根據(jù)SmniAPCB=4sL列方程可求出PE的長,利用勾股定理即可得答案:(2)先由"和諧點”的定義得PB=PC,必=尸ハ,點尸在AD和BC的垂直平分線上,過點尸作PE丄ADfE,PFA.AB]^F,求出AE=Pb=3,再證△4Z乎'?APB尸,可得PF2=AFBF＜設(shè)A/=x,則BF=10-x,解得:x=2或x=8,再利用勾股定理,即可求解:(3)過點尸作PN丄(3)過點尸作PN丄AB于N,再證明1 tanZ.PAB-tanZ.PBA———,設(shè)/W=x,則16BN=10-x,得到AM8N關(guān)于x的二次函數(shù),根據(jù):次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【詳解】(1)P是邊BC的"和諧點”，理由如下:如圖!,連接尸8、PC,同尸是邊AO的"和諧點"，^PA=PD,^ZPDA=ZPAD,山四邊形ABCC是矩形,團AB=C。,"。4=/84。=90°,⑦ZBAP=NCDP,[PA=PD在へBAP和ム。?！钢?BAP=ZCDP,[AB=CD0ABAPsACDP(S4S),aPB=PC,團尸是邊BC的"和諧點"，故答案為:是過點尸作于E,延長E尸交8c于G,作尸/立48于廠,回戶是邊A。的"和諧點"，0￡G為イ。的垂直平分線，團產(chǎn)ド=4,PG=10-PE,倒S四邊形APS=4s“p。，^-ABPF+-BCPG=4x-ADPE,即20+4(10-PE)=16尸ど,2 2 2解得:PE=3,^PA=y/pE2+AE2=ガ+42=5>D CAF B圖1(2)回尸是邊BC的"和諧點"，由(1)可知:P也是邊的"和諧點”，田PB=PC,PA=PD,由點尸在A。和8C的垂直平分線上，如圖2,過點P作尸E丄AD于E,尸ド丄AB于尸，0AE=-AD,ZP￡4=ZPM=90°,2團四邊形ABCク是矩形,0ZBA￡)=9O°,BC=AD=S.團四邊形A￡P(guān)ド是矩形,AE=4,^AE=PF^4.0ZAPfi=9O°,且タ在矩形內(nèi)部,0ZAPF+ZfiPF-9O°,0PF丄AB，0ZAFP=ZPFB=9O°,0ZAPF+Z/W:,=90°,eZPAF=ZBPF,0AApF?AP8F,0AF:PF=PF:BF,^pf2=afbf^0PF2=AF(AB-AF),設(shè)AF=x,則8F=10—x,0x(lO-x)=42,解得:x=2或x=8,

當AF=2時，PA=>jAF2+PF2=V22+42=275*當AF=8時，%="尸+?尸=ノ82+，=4^，例外的值為2番或4番.（3）如圖3,過點尸作タN丄A8干N，由（2）知:點尸在AD和8c的垂直平分線上,^PN=-BC=4,2,ゝPN,へPN0tanZPAB=——，tanZPBA=——AN BNPN2_PN2_ANBN16ANBN0tanZPAB-tanZ.PBA= ANBN1 ANBN0 = ，tanZ.PABtanZ.PBA 16設(shè)んV=%，則8N=10t，0AN-BN=x(10-x)=-x2+1Ox=-(x—5)2+25,當x=5時，AN?8N有最大值25,0---有最大值77，16 10【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義,熟練掌握相關(guān)性質(zhì)、定義及判定定理是解題關(guān)鍵.（2021?江蘇蘇州?ー模）對于二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4,把y=f(x2-3x+2)+(l-，)(-2x+4)稱為這兩個函數(shù)的"再生二次函數(shù)",其中,是不為零的實數(shù),其圖像記作拋物線￡,現(xiàn)有點42,0)和拋物線E上的點8(-1,〃),請完成下列任務(wù):【嘗試】判斷點ス是否在拋物線E上.【發(fā)現(xiàn)】對于才取任何不為零的實數(shù),拋物線E總過定點,坐標為.【應(yīng)用】以AB為邊作矩形ABC￡>,使得其中一個頂點落在y軸上:若拋物線E經(jīng)過んB,C,O其中的三點,求出所有符合條件的，的值.【答案】(1)在拋物線上,(2)(2,0)和(-1,6).(3)ーよ或ー或ー;或ー.4 8 2 2【解析】【分析】【嘗試】把點ス坐標代入即可判斷;【發(fā)現(xiàn)】把點代入y=f(J-3x+2)+(l—)(-2x+4),求出"是定值,可判斷拋物線所過定點:【發(fā)現(xiàn)】如圖,作矩形ス8。ハノ和矩形ス806,過點8作BKゆ軸于K,過點。ノ作ハ/3軸于G,過點。2作C2砌軸于〃,過點8作8Ame軸于M,C2H與BM交于點,T.分兩種情形求出C、。兩點坐標,再利用待定系數(shù)法求出，的值即可.【詳解】【嘗試】在拋物線上,Sx=2時，y=t(4-6+2)+(17)(-4+4)=0,13點ス(2,0)在拋物線E上.【發(fā)現(xiàn)】由y=/(V-3x+2)+(l-，)(-2x+4)得,y=r(x-l)(x-2)-2(1-t)(x-2),即y=t(x+l)(x-2)-2x+4,團對于，取任何不為零的實數(shù),拋物線と總過定點,團(x+1)(x-2)=0,gp%)=-1,x2=2,將(-1,〃)代入(/-3x+2)+(1-/)(-2r+4),

得〃=t(1+3+2)+(1-Z)(2+4)=6,刖的值為6.結(jié)合【嘗試】,拋物線E總過定點ス(2,0)和8(-1,6).故答案為:A(2.0)和8(-1,6).【應(yīng)用】如圖,作矩形スBC/Q/和矩形/8002,過點8作身恤軸于M過點の/作ハ/QSr軸于G,過點C2作C2M效軸于〃,過點8作8加西軸于M,C2H與BM交于點T.HJM=3,8M=6,HJM=3,8M=6,BN=1,aaNBC/+圓V84=90°,國ル?1+囲V84=90°,WBNCi=SBMA=90",^NBCi^MBA,AMBM山互二而,即AMBM山互二而,即m1mc,N=-,130C/(0,—),2由平移可得。，(3,g),,AMBM一(廠，同ハ/B,4,得到スス?ニフ萬",可得。。2=1，皿(0,-1),由平移可得C2(-3,5),團拋物線總是經(jīng)過z1、B,團符合條件的三點只可能是Z＜、B、?；?、B、D.①當拋物線經(jīng)過ZI、B、C/時，將。(0,—)代入y=f(/-3x+2)+(1-Z)(-2x+4),得到『エ②當拋物線經(jīng)過イ、B、0/時,將ハ/(3,y)代入ッ=,(X:-3x+2)+(1-r)(-2r+4),得到せ，③當拋物線經(jīng)過ス、B、C2時,將C2(-3,5)代入(x2-3x+2)+(1-/)(-2x+4),得到，=-ラ④當拋物線經(jīng)過イ、B、ハ2時,將ハ2(0,-1)代入ッ="ズー3x+2)+(1-/)(-2x+4),得到t=I"'綜上所述,滿足條件的r的值為ー:或|或ーラ或ヨ.【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、一次函數(shù)的應(yīng)用、矩形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是理解題意,學(xué)會用分類討論的思想思考問題,靈活應(yīng)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,屬丁一中考壓軸題.(2021?江蘇無錫?ー模)如圖,拋物線ッ=加ゴ-4機(zn>0)與え軸交于ス,B兩點,點8在點ス的右側(cè),拋物線與ヅ軸正半軸交于點C,連接CA、CB,已知tan團。0=3,sin團。80=立2'(1)求拋物線的對稱軸與拋物線的解析式:(2)設(shè)ハ為拋物線對稱軸上一點.①當!28cパ的外接圓的圓心在回8cパ的邊上時,求點パ的坐標;②若鼬Cハ是銳角三角形,直接寫出點。的縱坐標〃的取值范圍.【答案】(1)y=x2-4x+3.對稱軸是直線x=2：(2)①。(2,5)或ハ(2,史二叵)或(〇, )或ハ(2,-1)；②3±后<“<5或-1<“<3二亞2 2 2【解析】【分析】(1)先根據(jù)tan/CAO=—=3,sinZCBO=—，得至リOC=3OA,團C8O=45°,則OC=OB,OA 2再求出拋物線對稱軸為x= 2,OC=n,OA=—n,OB-n,A(—n,0),B(〃,2m 3 30),由此求出"的值即可求出拋物線的解析式:(2)①當05。的外接圓圓心在!3BC。邊上時,MC￡>是直角三角形,設(shè)。(2,t),則CD2=(2-0)2+(a-3)2=a2-6a+13,BD2=(2-3)2+(a-0)2=a2+1,BC-=(3-O)2+(O-3)2=18,然后分別討論當8、C、ハ為直角頂點時,利用勾股定理求解:②由圖形可知當。在。和ハ3之間或“與。2之間時，蛇8是銳角三角形,其中。ノ是。為直角頂點時。點的位置,。フ是。為直角頂點。的位置，。,和。2分別是以8和。為直角頂角的位置.【詳解】解：(1)由題意可知，0COJ=9O",0tanZC4O=—=3,sinZCBO=—OA 2&OC=3OA,0C5O=45°,SOC=OB,國拋物線ッ="小一4"[x+"(m>0)與x軸交于ん8兩點,點8在點ス的右側(cè)，拋物線與ッ軸正半軸交于點C,0C(〇,"),拋物線対稱軸為x=--—=2,0OC=",0OA=-w,OB=n3077=3,0C(0,3),B(3,0),A(1,0),團把メ(1,0)代入拋物線解析式得：m-4/n+3=0,0/77=1,團拋物線解析式為y=/-4x+3；(2)①當[必C。的外接圓圓心在團8C。邊上時，回8。。是直角三角形,回。為拋物線對稱軸上的一點,團設(shè)ハ(2,a)0C(0,3)B(3,0),BCD2=(2-O)2+(a-3)2=a2-6a+13,BD2=(2-3)2+(a-0)2=a2+1,BC2=(3-0)2+(0-3)2=18,當C為直角頂點時,DC2+BC2=BD2B|Ja2-6a+13+18=a2+l，解得a=5,0D(2,5)；當ハ為直角頂點時,DC2+BD2=BC2HPa2-6a+13+a2+l=l8，解得a=ユ叵,20D(2,3+折)或(°,上2叵)；TOC\o"1-5"\h\z2 2當B為直角頂點時，BC2+BD2=CD2BPa2-6a+13=18+a2+l,解得。=-1,0。(2,-1)；團綜上所述:D(2,5)或。(2,ニ舊)或(0,三叵)或。(2,-1)；2 2②由圖形可知當ハ在ハノ和ハ3之間或な與02之間時，助C。是銳角三角形,其中。/是C為直角頂點時。點的位置，。,是。為直角頂點。的位置，。,和。2分別是以8和。為直角頂角的位置，.3+717〇飛. 3-V170 <n<5BX-1<n< .2 2【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,兩點距離公式,勾股定理,二次函數(shù)與直角三角形的綜合，解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.5.(2021?江蘇?一模)如圖，在平面直角坐標系中，已知菱形Z188,小-3,0),8(2,0),。在ッ軸上.直線/從8c出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿C。向左平移，分別與CD,BD交于E,F.設(shè)aOE尸的面積為S,直線/平移時間為，(s)(0<，<5).(1)求點C的坐標(2)求S與，的函數(shù)表達式;(3)過點8作8G丄ん垂足為G,連接Af;AG,設(shè)ハんドG的面積為的面積為邑，當5+§2=ヌ5時,若點尸(1ー。,。+3)在△ハEF內(nèi)部(不包括邊),求。的取值范圍.【答案】(1)C(5,4)；(2)S=—廣ー4/+10；(3)—<a<\5 7【解析】【分析】(1)J5=2-(-3)=5=JD=CZ)?則 ={5?-3N=4,即可求解;(2)由皿江:刖0C8,則一--=(-1=f-,即可求解:SaDBCyCD)I5丿(3)5/+S?=—GFx/?=~fx~x4=—/=-S?求得』=2.5,得到直線，的表達式為產(chǎn)ズ丫+マ①,由厶 ノ4 JJ JJ點尸的坐標知，點P在直線產(chǎn)ーx+4②上，聯(lián)立①②求出交點坐標，進而求解.【詳解】解:(1)a4(-3,0),3(2,0),團。/1=3,08=2,團菱形ABCD,0J8=2-(-3)=5=/￡>=C0,團。慶バー32=4,BC(5,4)；(2)由題意可知:CE=t,DE=5-t,5zj￡>5C=--CDxO￡)=—x5x4=10,2 20/05C,mDEF^DCB,^EFD^CBD^CDB,團EF=DE=5-t,團個ス。,故回GK8=E1￡%O,4 4 3則/a〃團GK8,4〃0￡MO=3,sin^GKB--?則sin^GBK--,則KG=BKsinBGBK=-t932則GF=5-（5ー。ーアニニ?，設(shè)點B到ス。的距離為萬,TOC\o"1-5"\h\z1則Sa48。ニーx/fBxOハニー/。X/?,則萬ニ。ハ二4,221 44團S/+Sユ二—GFxh二—/X—x4=—ZニーS,52 552由（2）得:S=-t2-4t+]O；2ウ團，=—1-41+10,5解得:，=10（舍去）或，=g,5 5 1此時,CE;BKニー,0K二2■—=ーー,2 2 2故點E（一?4）,K（ ?,0）：設(shè)直線/的表達式為產(chǎn)んx+んTOC\o"1-5"\h\z,5,, [ 44=—セ+b /=—. I,解得イ2，O=--Jt+Z? h=-2 I3故直線/的表達式為產(chǎn)デ+ラ①，硏1-54+3）,團設(shè)x=1-Q,y=o+ろ,可得產(chǎn)ーx+4,當ボ=0時,產(chǎn)4.即點尸在函數(shù)產(chǎn)づ+4②的圖像上,且圖像經(jīng)過點。.聯(lián)".①②并解得 1兩個函數(shù)的交點坐標為（二,—）,7 7則0<xP<二,7則〇<l-a<斤,解得一,<a<L【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與兒何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.6.（2021?江蘇蘇州?ー模）題ー:已知二次函數(shù):y=^（x-zn）2-2;n-1（m為常數(shù)）,當m取不同的值時，其圖像構(gòu)成一個"拋物線系".我們發(fā)現(xiàn):是當加取不同數(shù)值時,此二次函數(shù)的圖像的頂點在同一條直線上，那么這條直線的表達式是.問題ニ:已知直線/：y=二X-2交X軸于點A.交ア軸于點B,拋物線L:y=w（x-,"）~-2/n-§（所為常數(shù)）圖像的頂點為C.（1）如圖1,若點C在WaAOB的內(nèi)部（不包括邊界）,求加的取值范圍;（2）如圖2,當拋物線L的圖像經(jīng)過點ん區(qū)時,在拋物線上（A8的下方）是否存在點P,使ZA3O=NABP?若存在,求出點尸的橫坐標;若不存在,請說明理由.【答案】問題ー:y=-2x--Z問題ニ:（1）根的取值范圍是。くか（]：（2）存在,點P的橫坐標為!.〇【解析】【分析】問題由拋物線的表達式知,頂點的坐標為（"?，-2ni--）,故設(shè)ス=加,則ア=-2〃[-（=ー〃ー;,即可求解;問題:：（1）當頂點在尸?2.v--」:和直線ス8的交點左側(cè)時,點C在的內(nèi)部（不包括邊界）,即可求解:（2）證明魴0尸=匹48。=包則即可求解.【詳解】解:冋題ー:由拋物線的表達式知,頂點的坐標為（加,-2m--）,故設(shè)x=mf則y=-2/w--=-2x--,故答案為:y=-2.r--；問題ニ:砂=§x-2交x軸于點ス,交ブ軸于點8,團點ス、8的坐標分別為（3,0）、（0,-2）.（1）由問題一知，頂點在ッ=-Zr-y上，則當頂點在y=-2x-§上和直線ス8的交點左側(cè)時，點C在Rta4O8的內(nèi)部（不包括邊界），

1X——.，.25l3故m的取值范圍為0＜加＜1:-m"-2m—=—23 32c4國拋物線レy=~x一ススー2,3 3過點p作y軸平行線尸。交ab丁?點Q,又/ABO=NABP,団厶BP=NPQB,6BP=PQ,設(shè)點尸的坐標為（レラ2ーチー2）,則點Q的坐標為（し*-2尸。二一2產(chǎn)+2，過點尸作y軸的垂線,垂足為“，c「224ハ2,41HB=-2--V——1-2=——廠+T,HP=3由BP2=PQ2得,

一ー/+2/2,43 3一ー/+2/2,43 3解得,"リ或?=o（舍去）8所以，點”的橫坐標為ユ.【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來,利用點的坐標的意義表示線段的長度,從而求出線段之間的關(guān)系.7.（2021?江蘇常州?ー模）如圖,在平面直角坐標系X0y中，已知二次函數(shù)y=!（x-2）ユ的圖像與ッ軸交于點B,拋物線的對稱軸是直線Z,頂點是ス,過點8作CD丄區(qū)4交x軸于點C,交拋物線于點。，連接AO.將線段A8沿線段A。平移得到EF（點E與點ス對應(yīng)、點ド與點8對應(yīng)），連接BF.填空:線段。4=與點8對應(yīng)），連接BF.填空:線段。4=(1)(2)若點尸恰好落在直線/上,求AF的長;(3)連接ハド并延長交拋物線于點。,若tanNAOF=g,求點。的坐標.(3)（125【答案】（1）〇A=2；（2）6；（3）。ーアマI2〇【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式求出ス點的坐標，即可求出。ル的長;（2）添加輔助線過點￡作EG丄，于G,根據(jù)已知點,求出宜線CO和宜線ス。的解析式.線段AB沿線段A。平移得到E尸，可通過求AB得到E尸，進而得到E點的坐標，求AF=AG+GF=AG+EG.（3）添加輔助線過點ハ作O〃丄，于〃,由三角函數(shù)值得到/DAG=NA￡>G,再利用勾股定理求出G點坐標,得到直線ハド的解析式,與二次函數(shù)解析式聯(lián)立,即可求出交點。.【詳解】解:(1)團二次函數(shù)y=g(x-2)2頂點是ス団A(2,0)團線段。4=2.(2)如圖,過點石作EG丄，于G.vy=—(x-2)~=-x1-2x+2,，80,2).:.OA^OB=2:,ZABO=ZOAB=45Q.,;CD丄BA,?,.NCBO=NOCB=45。.OC=OB=2..，.以ー2,0).設(shè)直線CD的函數(shù)表達式是丫=履也把ス=0,y=2和ス=—2,y=o代入得(b=2 ん,\k=1...ハ解得しッ[-2攵+0=0 [b=2y=x+2..T1v=-x2-2x+2解,2y=x+2[x=6[x=0人丄得Q或□(舍去).し=8[y=2

設(shè)宜線A。的函數(shù)表達式是N=履+b,把x=2,y=0和x=6,y=8代入得2た2た+b=06A+b=8解得いy=2x-4.ZEFG=y=2x-4.ZEFG=ZBAF=4501線段AB沿線段A￡＞平移得到EF包AB=EF=24:.FG=GE=2,回點E的橫坐標是4.把x=4,代入y=2x-4得y=4,二A尸=4+2=6.(3)如圖,設(shè)￡>F交直線/于點G,過點ハ作の"丄，于〃.,.,D(6,8),.?.DH=4,AH=S.z.tanZDAH=-.2?/tanZADF=—,2:.ZDAG=ZADG.?,.AG=DG,設(shè)AG—DG—m?則HG=8—m.在RlaDHG中,DH2+HG2=DG2.則42(8-tn)2=tn2,解得m=5./.G(2,5).設(shè)直線DF的函數(shù)表達式是ア=ほ+〃,把ス=2,y=5和エ=6,y=8代入得

2k+b=56k+6=8j3k=—4b=L2=-x2-2x+22TOC\o"1-5"\h\z7=—X4-—22或25dy=—2或25dy=—? 8,（舍去）.y=8【點睛】本題考査的是二次函數(shù)綜合運用,涉及到ー次函數(shù)、勾股定理、解直角三角形等.綜合性較強,屬壓軸題.(2021?江蘇蘇州?ー模)如圖，二次函數(shù)ド=0^+桁+4的圖像與x軸交于點A(-LO),3(4,0),與ッ軸交于點C,。為線段上ー動點，將射線PB繞。逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。后與函數(shù)圖像交于點Q.(1)求二次函數(shù)ギ=以2+灰+4的表達式;(2)當尸在二次函數(shù)對稱軸上時,求此時PQ的長;(3)求線段PQ的最大值;(4)拋物線對稱軸上是否存在。,使尸、0、B、ハ四點能構(gòu)成平行四邊形,若存在,請求出點O的坐標,若不存在,請說明理由.【答案】⑴ナーバ+3ス+4；(2)一乎+行;(3)40バ4)存在;嗎ー|)或g穹ーう.【解析】【分析】(1)將ス(-1,0),B(4,0)代入ッ=奴2+か+4,列方程組求〇、h的值;(2)作直線y=x+l,證明直線P0與直線y=x+l平行,由ス(-1,0),B(4,0)求出拋物線的對稱軸為直線x=1,再求出點P在直線x=1上時宜線PQ的解析式且與拋物線的解析式組成方程組,由此求出點。的坐標,再求出線段P。的長:(3)先說明點P與點力重合時，線段タ。的長最大,用此時直線尸。的解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出點。的坐標，再求出線段尸。的長:(4)存在符合條件的點,分兩種情況,ー是以尸。為平行四邊形的ー邊，另一是以P。為平行四邊形的對角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，用直線尸。的解析式與拋物線的解析式組成方程組，用解方程組的方法求解.【詳解】(1)把メ(-1,0),B(4,0)代入y=ay2+6x+4,+4=0 [?=-1得し彳解得人,,[16a+4b+4=0 [b=3團該二次函數(shù)的表達式為y=-x?+3x+4.(2)如圖1,作?！?改軸于點E,作直線y=x+l交ヅ軸于點ド，則ド(0,:1),且該直線過點ス(-1,0),回。ス=。ド,酎OF=90°,00。ス尸=骷?。=45°,^PQHAF,

設(shè)直線PQ的解析式為直線y=x+c,由ス(-1,0),B(4,0)得,拋物線的對稱軸為直線ズ=；,當點尸落在直線x=!上,則ハ(h,0),30—Fc=0,2解得C=-/,由,3y=x由,3y=x—? 2y——x2+3x+4當二^^(不符合題意,舍去),№。№。=&E0= =ー蟲+を.(3)如圖2,當ー：LU44時,E。的長隨x的增大而減小.團當點尸與點ス(-1,團當點尸與點ス(-1,0)重合時,￡。的長最大，尸。的長也最大,此時直線PQ的解析式為ソ=x+l,=3二4y=x+l二+3X+4，得為>?!%c(不符合題意,舍去),y2=°此時此時と。=4,PQ=五EQ=A五,⑦P。的最大值為4忘.(4)存在.如圖3,PQ為以P、0、B、ハ四點為頂點的四邊形的ー邊,則8Q0P。.00G80=45°,設(shè)直線x=三交x軸于點G,1338G。=90°,配)G=8G?tan45*=8G=4—=-,2 2此時BD=歷DG=172，在拋物線上一定存在點0,其縱坐標為!",作。硒r軸于點E,在x軸上取點P,使則亂P0=45°,且尸0="I血,山四邊形PQBD是平行四邊形,此時0(—,~t);22如圖4,DQ//PB,DQ=PB.設(shè)尸"0)(-1944),設(shè)直線尸。的解析式為ッ=ゝ+ル則r+d=0,即d=-r,0y=x-r,fy=x-r x=l+Jr+5 蒼=1ー，ア+5由,，，,得 I—, I— (不符合題意,舍去),[y=r+3x+4 [メ=]+“+5—,也=]_/+5ー/團0(14-yJr+5?1+>/^+5—r)>⑦PD=BQ,GD=EQ,^PGD=^BEQ=90°9^Rt^PDGWt^BQE(HL),亜G=BE,解得「で’「呼（不符合題意,舍去）,即（ユ,回」）.2 2 2綜上所述,點D的坐標為《,白或（:【點睛】此題重點考査二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的解法、二次根式的化簡等知識，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線，還要特別注重數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法的運用.此題綜合性強,計算煩瑣，使用的方法較多，屬于考試壓軸題.(2021?江蘇南通?二模)定義:有一條邊等于這條邊上高的兩倍的三角形叫做底倍高三角形,這條邊叫做這個三角形的倍底.在平面直角坐標系xの中,已知點イ(-2,-2),點B(4,-8),W18C是以/18為倍底的底倍高三角形.(1)概念理解請你根據(jù)上述定義舉ー個底倍高三角形的例子:(2)問題探究設(shè)點尸(m,ー丄加2),其中一2cm<4,當PC取最小值時，求點C的坐標;(3)應(yīng)用拓展已知(3Z的半徑為1,圓心/在直線y=x-6上，且點C在0Z上，設(shè)圓心/的橫坐標為a,試直接寫出a的取值范圍.【答案】⑴等腰直角三角形:(2)メムI］；(3)一也-24a4也ー2或一立+44a4也+4.(44丿 2 2 2 2【解析】【分析】(1)由題中所給定義可直接進行求解；(2)過點ス作AG〃x軸，AG〃y軸,使得ん￡=472=6,連接AB、C,CrBCPBC2t由題意易得四邊形AC/G是正方形,則有。2(-2,-8),。"4,-2),進而可得點C在經(jīng)過點儲目.與AB平行的直線m上或經(jīng)過點C2且與AB平行的直線〃上,然后可得直線m的解析式為.y=ーイ+2,直線”的解析式為y=-X-10,所以可得點P的軌跡為.次函數(shù),即為y=-g.r2,且ー2Vx<4,設(shè)點C(a-a+2),分別過點C作x軸、y軸的平行線，交于一點ハ,最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；(3)由(2)可得C?(—2,-8)<(4,-2),由題意易得直線y=x-6經(jīng)過點じ2，￡,則有點/(a,fl-6),進而可分當0Z與直線機時,則由兩點距離公式可得(a-4)2+(a-4『=l,當皿與直線〃時，則由兩點距離公式可得(4+2)2+(“+2)2=1,最后問題可求解.【詳解】解:(1)如圖,0/J8C是等腰直角三角形,CD^AB,^CD=-AB,2團等腰直角三角形是底倍高三角形:（2）過點ス作4G〃x軸,AC?”〉軸,使得A￡=AC2=6,連接AB、C,CrBgBC2,如圖所示:HAC2丄BC2,ACx丄AC2,ACt丄BC,,團四邊形AGBG是正方形,0A（-2,-2）,B（4,-8）,0C2（-2,-8）,C,（4,-2）,0aABC“aA8G都為底倍高三角形,能U8C是以AB為倍底的底倍高三角形,回點C在經(jīng)過點G且與AB怖的直線加上或經(jīng)過點G且與AB平行的直線"上，如圖所示,設(shè)宜線用的解析式為y=-x+6,把點Ci代入得:-4+b=-2,解得:b=2,0直線m的解析式為y=-x+2,同理可得直線"的解析式為y=-X-10,田點P（機,-gル。），-2</n<4,回點P的軌跡為二次函數(shù),即為y=-;メユ，且-2Vx<4,如圖，

由圖象可得點P到直線機的距離最小,則設(shè)點。(スー。+2),分別過點C作x軸、.「釉的平行線,交于一點ハ,如圖所示,的。C是等腰直角三角形，0—>0，4由當/71=!時，PC的值為最小,(3)由題可得如圖所示的圖像:由(2)可得G(-2-8)，G(4,—2),團圓心，在直線y=x-6,田直線y=x-6經(jīng)過點C”￡,倒點C在皿上,半徑為1,圓心/的橫坐標為a,回點，(a,a—6),山當即與直線〃，時,則由兩點距離公式可得(a—4y+(a-4)2=l,解得:q=4+也嗎=4ー3，1 2 2 2當即與直線〃時,則由兩點距離公式可得（a+2『+（a+2『=l,解得:V2忘回。的取值范圍為一セ一2444也ー2或一セ+44。4立+4.【點睛】本題主要考査二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及切線的性質(zhì)定理,熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.（2021?江蘇南京"二模）已知二次函數(shù)y=-〃?-4〃zx-4m+4（〃?為常數(shù),且m>0）.（1）求二次函數(shù)的頂點坐標;（2）設(shè)該二次函數(shù)圖像上兩點A（a,以）、B（a+2,%）,點A和點5間（含點A、B）的圖像上有一點C,將點C縱坐標的最大值和最小值的差記為h.①當m=l時，若點A和點8關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱，求〃的值:②若存在點A和點8使得h的值是4,則用的取值范圍是.【答案】（1）二次函數(shù)的頂點坐標為（一2,4）；（2）①ム=1；?0</n<4.【解析】【分析】（1）通過對解析式提取公因式、配方,化成頂點式,即可得到頂點坐標;（2）①根據(jù)點A和點B關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱,求出。的值，再利用函數(shù)圖象開口向ド及對稱性,求出點C縱坐標的最大值和最小值即可;②先驗證當ん8兩點關(guān)于對稱軸對稱時不成立，再在兩邊及關(guān)于對稱軸進行分四類討論.【詳解】（1）y=-nvc2-4gー4m+4=ーm（ゼ+4x+4）+4=-/n（x+2）?+4.團二次函數(shù)的頂點坐標為（-2,4）.（2）①團點A、8關(guān)于對稱軸對稱,0 =-22田。=一3.當機=1時,y=-x2-4x-4+4=-x2-4x.則當ス=一3或ス=一1時,ymin=3；當x=-2時,^=4.②由ん8兩點使??的值為4,則當。=—3時,ん8關(guān)于x=_2軸對稱,"=1*4,則若%-%=4或％-y“=4,1。當aN—2時，-ma2-4ma-4m+4-F-/n(a+2)2-4m(a+2)-4m+4^|=4(m>0),tna+3m=1,/.a= >-2,m：.m<l,0<,n<1,2。當i+ -2時,即。エY時,第ーy。=4,-m{u+2+2)?+4—[―zn(a+2)~+4]=4,:.ma+3m=—\,a= <-4,m：.m<]???力>0,/.0<m<1,3。當イ<〃エ-3時,h=4-ya=4-[一加(4+2)2+4]=〃?(。+2)ユ?/-4<a<-3,，1V(。+2ド<4,ッ4(a+2)*=—,mI4 4/.1<—<4,m解得:lv機W4,4。當ー3<。<一2時,h=4-yh=4一[一か(4+4)2+4]=〃，(〃+4尸，?:—3<〃<—2,1v(a+4)~<4,解得:lvm<4.綜上所述,加的取值范圍為〇<機44.【點睛】本題考查了二次函數(shù),解題的關(guān)鍵是:確定二次函數(shù)的對稱軸,充分利用函數(shù)的對稱性來解題，難點在于要進行分類討論.11.(2021?江蘇南京?二模)已知二次函數(shù)y=，71￥ユ+wx+〃.(1)若圖像經(jīng)過點(0,2).①〃的值為；②無論加為何值，圖像一定經(jīng)過另一個定點.(2)若圖像與x軸只有1個公共點，求機與"的數(shù)量關(guān)系.(3)若該函數(shù)圖像經(jīng)過(1,3),寫出函數(shù)圖像與坐標軸的公共點個數(shù)及對應(yīng)的機的取值范圍.【答案】(1)①2；②(-1,2)；(2)m=4〃;(3)圖像與坐標軸有1個公共點時,圖像與坐標軸有2個公共點時,w=-oJcnz=-:圖像與坐標軸有3個公共點時,m<0或〃?〉可,, 3【解析】【分析】(1)①把點(。,2)代入y=mx2+mx+n即可求得;②把ス=—1代入y=〃?^+〃?x+れ求得y=2,即可證明圖像一定過另ー個定點(-1,2)；(2)根據(jù)題意力2—4"c=〃??-4〃?〃=0,即可得到か=4〃;(3)由題意得y=〃い+爾+3-2〃?,計算出△,分三種情況得到關(guān)于ノ〃的不等式組,和方程組,即可.【詳解】(1)①團二次函數(shù)y=〃zx?+〃優(yōu)+〃過點(0,2),0/?=2,故填:2；②當ス=T時,y=nvC+rnx+2=2,團無論Z"為何值,圖像一定經(jīng)過另ー個定點(-1,2),故答案為:(-1,2)：(2)團圖像與x軸有1個公共點，團當y=0時，方程/nrユ+〃!r+〃=0有兩個相等的實數(shù)根,0mヰ〇,曰，/—4ac=m2-4mn=0，即m(m-4n)=0,團"？ギ〇,團"z-4n=0,團〃ス=4〃;(3)國函數(shù)圖像經(jīng)過(1,3),団2機+n-3,即れ=3-2m,0y=nvc2+inx+3—2m,0V=b2-4ac=m2-4〃@3-2m)=m(9m-12),①當圖像與坐標軸有1個公共點時,即與X軸沒有交點,V=m(9/n-12)<0,(m>0 、]mく0則b〃[-12<0或19,〃ー12>0'4解得〇<〃2<§,②當圖像與坐標軸有2個公共點時,即與x軸只有1個交點或者函數(shù)過原點,當函數(shù)與x軸只有1個交點時,m(9m-12)=0,解得〃?=g，當函數(shù)過原點時,3-2m=0,3解的m=2，故當加二:或"?=:時,函數(shù)與坐標軸有2個交點;③當圖像與坐標軸有3個公共點時,即與x軸有2個不同的交點,且函數(shù)不過原點,TOC\o"1-5"\h\zm>0 (m<0貝I卜3—2mエ0 或(3—2mヰ0 ,△=m(9m-12)>0 ]△=m(9m-12)>04 3解得也<0或"2>§ロ."b。ラ,綜上所述:4圖像與坐標軸有1個公共點時,。く"2〈二,圖像與坐標軸有2個公共點時,巾=3或6="|,

圖像ら坐標軸有3個公共點時,機＜0或"且mk］.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系,二次函數(shù)圖像上點的坐標特征,拋物線與x軸的交點,熟練掌握二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，拋物線與x軸的交點，分類討論是解題的關(guān)鍵.12.(2021,江蘇連云港?ー模)拋物線丫=ーバ+法+，與x軸交于48兩點(點ス在點8的左邊)，與ッ軸正半軸交于點C.(1)如圖1,若A(—l,0),8(3,0),①求拋物線アー/+灰+。的解析式;②P為拋物線上一點,連接AC、PC,若AC丄PC,求點P的坐標;(2)如圖2,ハ為x軸下方拋物線上一點，連ハA,DB,若/BD4+2/540=90。，求點ハ的縱坐標.【答案】(【答案】(1)(1)y=—x'+2x+3；②P(§,豆)；(2)-1【解析】【分析】(1)①將點ス、8坐標代入解析式求出Z)、c的值即可得:②過點C作直線〃伏5,過點し作A￡丄［交!.干點E,過點尸作PF丄，交I干點ア:可得AAEC^ACFP,設(shè)點P坐標為("1,ーガ+2"1+3),列出比例式，求出〃［即可；(2)作ハ威軸,證皿8?；亍￥笤O(shè)。點坐標為(〃,ーガ+2〃+3),列出比例式,求出(n+l)(n-3)=l?變形即可.【詳解】解:(1)①A(-1,0),8(3,0)代入丫=ーゼ+法+,得:一l-b+c=0一l-b+c=0一9+3/?+c=0解得[c=3團y=—+2x+3②過點。作直線〃/AB,過點ス作AE丄Z交ん于點￡過點尸作尸ド丄/交/于點ハ團/PCF+厶CE=90。,ZPCF+ZFPC=90°,團ZACE=NFPC,0ZA￡C=ZPFC=9O°團ムAECsムCFPAECF0——=——ECFP設(shè)尸點坐標為（丸ーオ+26+3）3 m同一= 13-（ーい+26+3）廠3m團ー=つ 1m—2m7 7 7 7 20解得,"㈣=0（舍去）,把〃％=ー代入,-m2+2/n+3=-（-）24-2x-+3=—,團P（謂）（2）作ハ/丄ス軸,垂足為/0ZBDA4-2ZBAD=90°,ZDBI=ZBAD+ZBDA0ZDB/+ZBA￡）=9OO0ZBD/+ZDB/=90°^ZBAD=ZBDI中々BID=/DIA團^IBD^^IDABlID0——=——IDAI設(shè)ハ點坐標為（〃,ーガ+2〃+3）n-3 -(-n2+2n+3)皿〃-3 =("+l)(〃-3)-(-n2+2n+3) n+1 ''(n+l)(n-3) n+1ハ為x軸下方拋物線上一點,即“K-1且“#3化簡得,(〃+1)(〃ー3)=1,團ガー2〃-3=1團—n~+2n+3=—10D的縱坐標-1.【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題,解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點.13.(2021?江蘇泰州?二模)在平面直角坐標系ス”中，點4(m,乂)、B(m+4,%)是二次函數(shù)y=cuc2-2atx-3a(a>0)圖像上的兩個點.(1)當?=2時,求該二次函數(shù)圖像與x軸的交點坐標:(2)當y=M時,①判斷”機的值是否隨著a的變化而變化?若不變，求，ー機的值;若變化,說明理由:②若％=必=0,求t的值;(3)若，=2mー3,且あ<當，求出所有符合條件的正整數(shù)m的值;【答案】(1)(2+77,0),(2-77,0)；(2)①不變，，一加=2；②1或-1；(3)1、2、3、4【解析】【分析】(1)令二次函數(shù)ブ=。進行計算即可；(2)①根據(jù)二次函數(shù)的對稱性計算即可；②將點A的坐標代入函數(shù)解析式計算即可；(3)根據(jù)條件列出不等式計算.【詳解】(1)當f=2時，y=ax2-4ax-3a-a(x2-4x-3)令y=0,BPx2-4x-3^0解得:內(nèi)=2+>/7,x2=2-'J1故二次函數(shù)圖像與X軸的交點坐標為:(2+近,0),(2—",0).(2)①不變.???％ヲ2，由對稱軸知,該二次函數(shù)的對稱軸為:x=](機+w+4)=m+2又函數(shù)解析式:y=ax2-2atx-3a,其對稱軸為:x=—^=/2a.?/=m+2即[ー〃!=2.②r=%=。設(shè)4肛〇)在二次困數(shù)圖像上,又f=m+2代入函數(shù)解析式得:am2-2a(m+2)m-3a=0解得:班=-3,“=-1，，=1或-1(3)若，=2機ー3,則y-cur-2atx-3a=a[x2-2(2/n-3)x-3]其對稱軸為直線：x=2m-3"<〉2.?.x=2+か位于對稱軸的右側(cè),即2/n+3cm+2解得m<5故符合條件的正整數(shù)機的值有1,2,3,4.【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,二次函數(shù)圖像的性質(zhì),計算求解是解題的關(guān)鍵.(2021?江蘇鎮(zhèn)江?二模)如圖1,在平面直角坐標系中拋物線y=a%2+瓜+3(aw0)與x軸交于點ん3，0)、B(-1,0).與ッ軸交于點C,點P是該拋物線的對稱軸(x軸上方部分)上的ー個動點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式:(2)連接ル尸、8尸將八4BP沿直線ス尸翻折,得到am尸,當點8’落在該拋物線的對稱軸上時,求點尸的坐標:(3)如圖2,過點尸作E尸”x軸交拋物線于點E、ド,連接/C,交線段Eド于河,AC.OF交于點N.求總的最大值.ON【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)?(エお)；(3)|【解析】【分析】￠1)利用待定系數(shù)法把點43,0)、BI-1,0)代入二次函數(shù)解析式即可求解;(2)根據(jù)cosNZM8'=—；=一得到/ZWT=60。,則/P4B=NW30。,解直角::角形ABf2PAD即可;FNMF FN(3)通過證明aMFNsaAon得到黑=*,即當“ド的值最大時, 有最大值即可求ONAO ON解.【詳解】解:(1)把點43,〇)、8(-1,0)代入二次函數(shù)解析式,可得:儼+3。+3=0[a-b+3=0國拋物線解析式為y=ーズ+2ス+3；(2)設(shè)對稱軸ス=ー一^=1與ス軸交于點。,則AD=2,

^AB'=AB=4,B'P=BP,ZPAB=ZPAB\0cosND4^AB'=AB=4,B'P=BP,ZPAB=ZPAB\0cosND4ダAD1AB'~2團/D?=60。,ZPAB^ZPAB'=30°,團PO=AD*tan300=—63(3)團?/?軸,國，MFN=NAON,ZFMN=ZNAO.山厶MFNs^AON,FNMF回 = ONAO團AO=3,團當が的值最大時,爵有最大值’設(shè)ス。的函數(shù)解析式為メ=丘+c，把｛3,0),。(0,3)代入可得的。的函數(shù)解析式為》=ー工+3,設(shè)尸(1,〃?)?則M(3—m,tn),F(l+ノ4—-,/n),團MF=1+〃ー〃ス-3+m=7れ一2+Jiー〃7,令，=〃一"2,則"2=4—",

團MF=4ード-2+/=ー/+「+2=ーレー丄1+二,I2 4當，=5時,〃,；,此時M尸マ取得最大值,此時而二あ〈為最大值.【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)、解宜角三角形等內(nèi)容,靈活運用上述性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.（2021?江蘇連云港?二模）如圖,二次函數(shù)y=-x?+6x+c的圖像與x軸交于點4、B,已知ん（-1,0）已知ん（-1,0）與ッ軸交于點C（0,3）,該拋物線的頂點為點D.（1）二次函數(shù)的表達式為.,點ハ的坐標為.（2）連接8c.①在拋物線上存在一點尸，使得DP//CB,求點P的坐標;②若。是拋物線上動點，則是否存在點。，使得/。ん8-/8。。＞45。?若存在，直接寫出點Q的橫坐標的取值范圍:若不存在,說明理由.【答案】(1)y=-x2+2x+3,(1,4)；(2)①(2,3)；②存在，-</<4【解析】【分析】（1）把スC兩個點坐標代入解析式即可求出二次函數(shù)解析式和頂點。的坐標:（2）①由直線平行則k相等即可求出DP解析式，再求與拋物線交點即可:②找點。,使得田。ス8-128。。＞45。,即關(guān)鍵是找到點。,使得（3。ス8福8。0=45，注意到第①問中點P的坐標為（2,3）,且叫8=45。，所以關(guān)鍵是找點。，使得m。CB=0。ス尸，進而把原問題轉(zhuǎn)化為探究兩個角相等問題.

【詳解】(1)團二次函數(shù)y=—/+か:+c的圖像過ん(t,0)、C(O,3)j-\-b+c=O(c=3b=2c=3回二次函數(shù)的表達式為y=-/+2x+3頂點ハ的坐標為(1,4)(2)①由(1)可知拋物線的對稱軸為直線x=l,所以易得點8坐標為(3,0).設(shè)直線8C的函數(shù)表達式為丫=履+6.則有3k+則有3k+b=0,b=3.k=-l,b=3.田直線8c的函數(shù)表達式為y=-x+3.0DP//CB團設(shè)ハP解析式為メ=ース+加代入。(1,4)得:4=-l+m,m=5團直線E。的函數(shù)表達式為y=-x+5.令一f+2x+3=-x+5,解得士=1(。點舍去)，X2=2.當x=2時,ア=3,所以點P坐標為(2,3).(3)設(shè)點。的橫坐標為ム所以關(guān)鍵是找點Q,使得回0c8=皿2,過フ作尸M3/18于M團點尸的坐標為(2,3),A(-1,0)SPM=AM=303/^8=45°,13找點Q,使得0。ス8-MCQ>45。,良找到點。,使得0。ス8ー團8。。=45°.題。ス8-(3。ス尸=45°.回找點。，使得團。C8=0。ス尸,田。(1,4)回尸。=應(yīng),ん。=2栃,PA=3y/20PEr+Pfic=A。2幽玄。是立角三角形當。在8c上方時,過8作8605。交C0于G,過G作于〃則△80C?qHBBCOCOB0 = = GBHBGH^QCB=^DAPr\p1團tanZ0CB=—=tanZDAP=—=-BC AP3國GH=BH=1回G點坐標（4,1）團CG的解析式為y=—gx+3團。為拋物線與CG交點田令一ザ+2x+3=-gx+3,解得キ=0,ム=—當ズ:0時為。點自。點橫坐標ヨ同理:當。在8c下方時,求得。點橫坐標為4綜上存在點。,使得/D4B-ZBq2>45。,點。的橫坐標的取值范圍是;<r<4【點睛】本題考査二次函數(shù)與相似綜合,難度比較大，解題的關(guān)鍵是能察覺隱藏條件回印8=45。，最終利用ー線三垂直模型構(gòu)造相似.（2021?江蘇徐州?二模）如圖，在平面直角坐標系中,拋物線ヅ=の、収+<7經(jīng)過イ（3,0）,5（-1,〇）、C（0,3）.（1）求拋物線的函數(shù)表達式;

(2)點ハ是線段8c上ー動點,點D關(guān)于AC、ス8的對稱點分別為點M、N,連接交線段スC、4B于E、F.求A/QNE最小值:(3)點ノ是拋物線頂點,連接ノC、JA,點〃為拋物線對稱軸上ー動點,設(shè)縱坐標為布，過點H的直線交邊C/于P,交邊JA于0,若對于每個確定的Z?值,有且只有一個△ノ。尸與△?/口相似,請直接寫出"的取值范圍.【答案】(1)y=~x^+ir+S；(2) ；(3)2<m<—【解析】【分析】(1)設(shè)拋物線為交點式,代入點C坐標即可求得表達式;(2)由軸對稱性質(zhì)可證得へHW是等腰直角二角形,再證明aAEN?得到ANFN——=——,即MFNE=AMAN=AD2.當AD丄8c時，AD最小，利用三角形的面積公FMAM式BGAO=ABOC求出AD的長,從而求得M尸NE的最小值;(3)當，在スC上時,容易證得臨界值m=2,此時有且只有一ー個EL/QP與回ノ。相似:當，在スC上方時，過點C作CRISAJア點R,交直線x=l于點H,過點R作直線R/迥)，軸于點ド,過點A作ス￡0火ド于點E.可證國?ド。?從而得到點R坐標,由此知直線CR的解析式,令x=l,即可得，點的縱坐標加=丄,此為另ー臨界值,若mN：,則不存在唯一2 2的團ノ0P與S/C4相似.根據(jù)"［的兩個臨界值,可得，"的取值范圍.【詳解】解:(1)團拋物線與x軸交于點ス(3,0),B(-1,0),團設(shè)拋物線表達式為y=a(x+l)(x-3),山點C(0,3)在拋物線上,加(0+1)(0-3)=3,解得，a=-1.團該拋物線表達式為y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.(2)如圖，連接AO,

EL4(3,0),B(-1,0),團OC=O4=3,OB=lf團團〇。=團0スc=45。，BC==y]oB2+oc2=Vl'+32=V10-團點D與點、M關(guān)于直線スC對稱,^AM=AD,^\MAC=^DAC.同理:AN=AD,^BAN=^BAD,IHAM=AN二AD.^MAN=2^0AC=2x45°=90°.回んiN為等腰直角三角形.^MMN=^ANM=45°.困AEN為AAEM的外角,皿￡7V=a4A/E+lW/E=45°+aM4E,^MAO=^CAO^MAE=^5^^MAE,^AEN=^MAO.函4EN?AE4M.ANEN0 = ，BPMF?NE=AN?AM=AD?FMAM田點。在線段8Cヒ,團當ス/WC時,ス。最小,此時,13s.e=gADBC=lABOC,AB=|—1—3|-4yOC-13|=3?SBCAD^AB-OC.叩けABOC4x36，10SW= =-==——.BC回572T（3）團拋物線解析式y(tǒng)=-/+2x+3,b2 , .團當x=ー丁=ーつ（ハ=1時，y=-l2+2xl-i-3=4.2a2x（-1） /回拋物線的對稱軸為直線x=l,頂點ノ（1,4）.^4（3.〇）、C（0,3）,a/C2=ド+(4-3)2=2,02=32+32=18,*=4+16=20,[MJ2=CA2+JC2,故a/C4為宜角三角形,a7C/=9(r.若a/QP與a/。相似,則a/0尸也為直角三角形.設(shè)直線スノ的解析式為ぎ=匕+ん根據(jù)題意,得,fO=3k+h fjt=-2\ ,＞解得:ムム.[4=k+b ル=6故直線4Z解析式為ッ=-2r+6.同理可得直線スC的解析式為ッ=-x+3.①當//在直線スC上時,此時作為ー個臨界條件（若“在スC下方,則過點〃的直線必有ー邊不與C/或ン相交）.回拋物線對稱軸為x=L點〃在スC上,團當x=l時，y=-l+3=2.山〃(1,2).此時m=2；②當〃在直線スC的上方時，過點C作CR四し7于點R,交直線x=l于點〃,過點Z?作直線R時軸于點に過點イ作ス￡M尸于點E.如圖（為了避免干擾，略去了拋物線圖象）.豳t?￡仁90°.團點Z?在直線AJ:產(chǎn)2丫+6上,團設(shè)點R坐標為（。,-2?+6）.團團。シ=90。=甑ド。,00F/?C+0E/?J=9O°.又?R+國項ひ=90。mFRC=^EAR.^RFC^^AER.RFFCRna -2〃+6—3TOC\o"1-5"\h\z團一=—,即 = ,AEER -2a+6 3-a整理得,5歩ー21a+18=0,解得:0,=|,の=3（不合題意,舍去）.6_ _ _6_18團。=—,-2a+6=-2x—+6=—.5 5 5山點R（-t-）.設(shè)直線CH解析式為產(chǎn)=シ什タ,根據(jù)題意,得,186 [ 1?ヌ=ダ+、解得，ハ六.3=q レ=3團直線CK解析式為〉=；x+3?令x=l,得ッ=1Xl+3=一團點H的縱坐標m=y.此時"[的值為另ー臨界值,若，再向上（包含此點（1,-））?則不存在唯?的如。。與a/。相似.團符合條件的"I的取值范圍為2,m<ス.2【點睛】本題考査了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對稱、最值、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點,求函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ),而第（2）題求MFNE的最小值,將解題H標鎖定在證明△A￡N△?れ4"上是關(guān)鍵;第（3）題求"1的取值范圍，將目標鎖定在求"?的兩個臨界值上是關(guān)鍵.（2021?江蘇揚州?二模）小明在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中遇到這樣ー個函數(shù):y=[x],若應(yīng)0時，[x]=x2-l;若xVO時,x=-x+1.小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對該函數(shù)進行了探究.（1）下列關(guān)于該函數(shù)圖像的性質(zhì)正確的是;（填序號）①y隨x的增大而增大;②該函數(shù)圖像關(guān)于ッ軸對稱:③當x=0時,函數(shù)有最小值為ー1；④該函數(shù)圖像不經(jīng)過第三象限.（2）①在平面直角坐標系xQy中畫出該函數(shù)圖像;②若關(guān)于x的方程2x+c=印有兩個互不相等的實數(shù)根,請結(jié)合函數(shù)圖像,直接寫出c的取值范圍是:（3）若點（a,b）在函數(shù)ッ=x-3圖像上,且ーラ<⑷42,則b的取值范圍是.【答案】（1）③④；（2）①見解析；②c>l或-2<g,-1;（3）T,b<-3或—？"ーコ（ム,6-3【解析】【分析】(1)畫出圖象,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.(2)①根據(jù)題意列表、描點、連線即可.②將2x+c看成是一次函數(shù)y=2x+c,此函數(shù)與ぎ軸的交點是c,因此要與國圖像有兩個交點,則需要分情況討論.當C>1時,滿足兩個交點的要求;當ー1<cG時,與圖像沒有兩個交點:“時,可以有兩個交點,此種情況要代入2x+c=x=l,根據(jù)根的判別式求出c的范圍即可.(3)因為ー3<回42,所以根據(jù)分段函數(shù)的圖像,求解取值在ー;到2之間的自變量的范圍,分情況討論即可.再根據(jù)點(。向在函數(shù)"x-3圖象上,則b=a-3,即a=6+3,代入到”的取值范圍中求解即可.【詳解】解:(1)畫出圖象,根據(jù)圖象可知，①當X..0時,y隨X的增大而增大,故錯誤;②該函數(shù)圖象關(guān)于ソ軸不對稱，故錯誤;③當x=o時,函數(shù)有最小值為ー1,正確;④該函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限,正確;故答案為:(3)0.(2)①在平面直角坐標系xOy中畫出該函數(shù)圖象，②?.?關(guān)于x的方程2x+c=［x］有兩個互不相等的實數(shù)根,，可以看成是ソ=は］和y=2x+c有兩個交點.:y=2x+c是一次函數(shù)，與y軸的交點為c,.?.當c>l時,滿足兩個交點的條件.若將)，=2x+c向卜平移與圖像有兩個交點,則G,-1.???方程為2x+c=x?-l,即x2-2x-(1+c)=0..*.0=4+4(l+c)>O,c>-2,???一2vg,-1.故答案為:c>l或-2<G,-1.(3)?.:<[磯,2,??.當avO時,卜[仇,2,1<-?+1,,2,解出一L,。<〇.當。..0時,—gv[a],2,——<a2—1,,2?解出一—<>[3..,.一L,a<0或セ<a,6.2,??點(ス萬)在函數(shù)y=%-3圖象匕.",h=a—3,.?.。=み+3,~4?b<—3或———3<h,,>/3—3.2故答案為:Y,わ<一3或二ー3vb,,-3.【點睛】此題考查的是分段函數(shù),用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵.18.(2021?江蘇鹽城?二模)如圖坐標系中,矩形《8C。的邊8c在?軸上,B(0,8),BC=10,CD=5t將矩形/8c。繞點6逆時針旋轉(zhuǎn)使點。落在x軸上,現(xiàn)已知拋物線ヅ=バ2+bx+c)過點ハ、C和原點〇.(1)求拋物線的解析式;(2)將矩形スBC。沿直線8。翻折,點ス的對應(yīng)點為請判斷點”是否在所給拋物線上,并簡述理由;(3)在拋物線上是否存在一點P,使朋OC=2團。8。,若存在,求出點尸的坐標,若不存在,請說明理由;【答案】（l）y=|/-￡x：（2）點ル不在拋物線上,見解析:（3）尸坐標為（g,與）,（8_32（一, ）3 9【解析】【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得8。=8c=10,由勾股定理求。。的長,得到點。的坐標，將。、。、O的坐標代入產(chǎn)のなか+小列方程組求出。、b、C的值:（2）由相似三角形的性質(zhì)求出點M的坐標即可判斷點”是否在拋物線上:（3）先證明團。。6=2（3C8￡>,然后過點。作射線交拋物線與另?點P,使郵。。=團。。8,再求射線。P所在直線的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立方程組，解方程組求出點P的坐標.【詳解】解:（1）由旋轉(zhuǎn)得BC=BC=10,回。8=8,回8。。=90°,0OC=71O2-82=6?團。（6,0）,0OC=lO-8=2,CD=5,D（5,-2）；把。（0,0）、C（6?〇）、D（5,-2）代入產(chǎn)のAOx+c,|c=0得<36a+6。+c=0125〃+5b+c==-2解得,Qー弓,c=0團拋物線的解析式為メ=ジー當.(2)點M不在所給拋物線上.理由:如圖1,作M￡1肛軸于點E,則0A/E8ニ魴0。二90。,團團七A78=90°?團ど8河二團。8。,0SA/=CD=5,3團的一x5=3,50.EM貝5?-3?=4,OE=8-3=5?1W(45).當x=-4時,y=-x(^l)2——x(~4)=16h5,團點M不在所給拋物線上.(3)如圖2,作Cド平分團OCB交OB于點、F,作RWC于點G,則OF=GF=BF*si向OBC=3のロ—BF,SBF=-OF,3國OF+2OF=8,3解得。尸=3；OFCD107==—,OCBC2團必成OC/二心血。8。ニラ,mOCF^CBD,WOC'B^CBD.①取8c中點。,作射線0。交拋物線于另一點ら,E1O0=；8C=C。,^PiOC^OCB=2^CBD.設(shè)直線。。的解析式為ア:px,團。(3,4),03p=4?眇二￡,34@y=—X.TOC\o"1-5"\h\z4 f28y=ミx (x=0 ち=ス由イつ1。，得イハ， in2212 y,=0 112y=x x11y9=——1/5 5 ピ9バス8112、0P/(y,—);②過點。作。尸四。交拋物線于另一點P2,則朋2。。二回。。8=2團。8D設(shè)直線8?！慕馕鍪綖楫a(chǎn)な+8,則&サ8二0,解得片一二,40y=—x+8,團直線。尸?的解析式為產(chǎn)ーgx,綜上所述,拋物線上存在使郵0（7=21388的點P,點、P的坐標為（今,三）或《,一三）?【點睛】此題重點考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、用解方程組的方法求函數(shù)圖象的交點坐標等知識與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需的輔助線，解第（3）題時要分類討論,此題難度較大，屬于考試壓軸題.19.（2021?江蘇淮安?二模）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=or2+2x+c與x軸交于4（一1,0）,8（3,0）兩點，與ッ軸交于點C.⑴求拋物線的解析式:（2）求直線スC的解析式;（3）試探究:在拋物線上是否存在一點尸,使ふん「じ是以ルC為直角邊的直角三角形?若存在,請求出符合條件的點尸的坐標;若不存在，請說明理由;⑷如圖2,點。是X軸上ー動點,將a4C。沿C。翻折，得團。C。，連接8。,請直接寫出8。的最小值.【答案】（1）片ーズ+シ+3（2）產(chǎn)3x+3,、七公（720ゝ.710 13）（3）存在，［了?或（デー旬

【解析】【分析】⑴設(shè)交點式產(chǎn)a(x+lゆー3),展開得到ー2a=2,可求得a,即可得到拋物線解析式;(2)根據(jù)二次函數(shù)的解析式可求得C(0,3).再利用待定系數(shù)法即可求得直線イC的解析式;(3)過點C、點ス分別作スC的垂線交拋物線于另一點ア,利用兩直線垂直一次項系數(shù)互為負倒數(shù),設(shè)直線PC的解析式為y=-1x+シ,把C點、イ點的坐標分別代入,求出ん即可分別求得直線FC的解析式，再分別與二次函數(shù)的解析聯(lián)立成方程組,分別解方程組,即可分別求得:⑷根據(jù)題意可得。(=8,可知點。的路徑,再根據(jù)圓外一點與圓上任意一點的最短距離為該點與圓心的距離與半徑的差,即可求得.(1)解:設(shè)拋物線解析式為尸!(x+l乂x-3),即產(chǎn)。デ-2収一3。，l3-2a=2,解得a=-l.田拋物線解析式為y=-x2+2x+3t⑵解:當x=0時，y=-N+2x+3=3,則C(0,3),設(shè)直線スC的解析式為.尸px+q,把/l(-l,O),C(0,3)代入得團宜線AC的解析式為y=3x+3：(3)解：存在:理由如下:過點C作スC的垂線交拋物線于另一點尸，如圖,團直線AC的解析式為ヅ=3x+3,山直線PC的解析式可設(shè)為y= +厶把C(0,3)代入得ろ=3,由直線尸C的解析式為y=-§X+3解方程組y=-x2+2x+31へ,解得20~9則此時點P的坐標為過點ス作スc的垂線交拋物線于另一點尸’,如圖:直線円C的解析式可設(shè)為y=-；x+4，把ズ(-1,0)代入得:+ム=0,解得ム=-；,10x=—313y=--「10x=—313y=--「9fy=-x2+2x+3=3解方程組 1 1,解得y=——x——13 3則此時點P的