排列組合用A還是C的技巧

排列組合用A還是C的技巧排列組合用A還是C的技巧排列組合用A還是C的技巧排列組合用A還是C的技巧編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:排列組合用A還是C的技巧．解答排列組合問題，首先必須認(rèn)真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質(zhì)特征，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析，同時(shí)還要注意講究一些策略和方法技巧。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。一、合理分類與準(zhǔn)確分步法(利用計(jì)數(shù)原理)解含有約束條件的排列組合問題，應(yīng)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，保證每步獨(dú)立，達(dá)到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。例1、五個(gè)人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有(）A．120種B．96種C．78種D．72種分析：由題意可先安排甲，并按其分類討論：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有P(4,4)=24種排法；2）若甲在第二，三，四位上，則有C(3,1)*C(3,1)*P(3,3)=54種排法，由分類計(jì)數(shù)原理，排法共有78種，選C。解排列與組合并存的問題時(shí)，一般采用先選（組合）后排（排列）的方法解答。例2、4個(gè)不同小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，恰有一空盒的方法有多少種？分析：因恰有一空盒，故必有一盒子放兩球。1）選：從四個(gè)球中選2個(gè)有C(4,2)種，從4個(gè)盒中選3個(gè)盒有C(4,3)種；2）排：把選出的2個(gè)球看作一個(gè)元素與其余2球共3個(gè)元素，對(duì)選出的3盒作全排列有P(3,3)種，故所求放法有C(4,2)*C(4,3)*P(3,3)=144種。二、特殊元素與特殊位置優(yōu)待法對(duì)于有附加條件的排列組合問題，一般采用：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。例3、用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（）。A．24個(gè)B。30個(gè)C。40個(gè)D。60個(gè)[分析]由于該三位數(shù)為偶數(shù)，故末尾數(shù)字必為偶數(shù)，又因?yàn)?不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，應(yīng)該優(yōu)先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分兩類：1）0排末尾時(shí)，有P(4,2)=12個(gè)，2）0不排在末尾時(shí)，則有C(2,1)C(3,1)C(3,1)=18個(gè)，由分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)原理，共有偶數(shù)30個(gè)，選B。例4、馬路上有8只路燈，為節(jié)約用電又不影響正常的照明，可把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，那么滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種？分析：表面上看關(guān)掉第1只燈的方法有6種，關(guān)第二只，第三只時(shí)需分類討論，十分復(fù)雜。若從反面入手考慮，每一種關(guān)燈的方法對(duì)應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與關(guān)燈的排列，于是問題轉(zhuǎn)化為“在5只亮燈的4個(gè)空中插入3只暗燈”的問題。故關(guān)燈方法種數(shù)為C(4,3)=4。三、插空法、捆綁法對(duì)于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。例5、7人站成一排照相，若要求甲、乙、丙不相鄰，則有多少種不同的排法？分析：先將其余四人排好有P(4,4)種排法，再在這人之間及兩端的5個(gè)“空”中選三個(gè)位置讓甲乙丙插入，則有P(5,3)種方法，這樣共有P(4,4)*P(5,3)=1440種不同排法。對(duì)于局部“小整體”的排列問題，可先將局部元素捆綁在一起看作一個(gè)元，與其余元素一同排列，然后在進(jìn)行局部排列。例6、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相鄰，有多少種不同排法？分析：把甲、乙、丙三人看作一個(gè)“元”，與其余4人共5個(gè)元作全排列，有P(5,5)種排法，而甲乙、丙、之間又有P(3,3)種排法，故共有P(5,5)*P(3,3)=720種排法。四、排除法對(duì)于含有否定字眼的問題，可以從總體中把不符合要求的除去，此時(shí)需注意不能多減，也不能少減。例如在例3中，也可用此法解答：五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有C(4,1)P(4,2)=48個(gè)，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要除去，故有C(4,1)p(4,2)-C(2,1)C(3,1)P(3,1)=30個(gè)偶數(shù)。五、順序固定問題用“除法”(對(duì)等法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例7、6個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？分析：不考慮附加條件，排隊(duì)方法有P(6,6)種，而其中甲、乙、丙的種排法中只有一種符合條件。故符合條件的排法有P(6,6)/P(3,3)=120種。六、構(gòu)造模型“擋板法”對(duì)于較復(fù)雜的排列問題，可通過設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔板模型來解決問題。例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？分析：建立隔板模型：將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)間隙中任意插入3塊隔板，把球分成4堆，每一種分法所得4堆球的各堆球的數(shù)目，對(duì)應(yīng)為a、b、c、d的一組正整解，故原方程的正整數(shù)解的組數(shù)共有C(11,3)=165。例9、把10本相同的書發(fā)給編號(hào)為1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室，每個(gè)閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，試求不同分法的種數(shù)？解：先讓2、3號(hào)閱覽室依次分得1本書、2本書；再對(duì)余下的7本書進(jìn)行分配，保證每個(gè)閱覽室至少得一本書，這相當(dāng)于在7本相同書之間的6個(gè)“空檔”內(nèi)插入2塊隔板共有C(6,2)=15種插法。又如六個(gè)“優(yōu)秀示范員”的名額分配給四個(gè)班級(jí)，有多少種不同的分配方法經(jīng)過轉(zhuǎn)化后都可用此法解。七、分排問題“直排法”把幾個(gè)元素排成前后若干排的排列問題，若沒有其它的特殊要求，可采取統(tǒng)一排成一排的方法來處理。例9、7個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？分析：7個(gè)人可以在前兩排隨意就坐，再無其它條件，故兩排可看作一排來處理，不同的坐法共有P(7,7)=5040種。八、構(gòu)造方程或不等式例10：某賽季足球比賽的記分規(guī)則是：勝一場(chǎng)得3分；平一場(chǎng)得1分；負(fù)一場(chǎng)得0分。一球隊(duì)打完15場(chǎng)積33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平情況共有（）種種種種解析：設(shè)該隊(duì)勝x場(chǎng)，平y(tǒng)場(chǎng)，則負(fù)(15-x-y)場(chǎng)，由題意得3x+y=33y=33-3x(0≤x≤11且x+y≤15)因此，有以下三種情況：x=11,y=0或x=10,y=3或x=9,y=6故選A例12、把一張20元面值的人民幣換成1元、2元或5元面值的人民幣，有多少種不同的換法？解：設(shè)對(duì)換成1元的人民幣x張，2元的人民幣y張，5元的人民幣z張，則x+2y+5z=20當(dāng)z=0時(shí)，x+2y=20,x可以取0、2、4…20，有11種方法。當(dāng)z=1時(shí)，x+2y=15,x可以取1、3、5…15，有8種方法。當(dāng)z=2時(shí)，x+2y=10,x可以取0、2、4…10，有6種方法。當(dāng)z=3時(shí)，x+2y=5,x可以取1、3、5有3種方法。當(dāng)z=4時(shí)，x+2y=0,x=0，y=0,1種方法。故共有11+8+6+3+1=29種方法。九、枚舉法：有些計(jì)數(shù)問題由于條件過多，從排列或組合的角度思考不太方便，可以嘗試用枚舉法，枚舉時(shí)也要按照一定的思路進(jìn)行，才能做到不重不漏。例11：某寢室4名同學(xué)各寫了一張新年賀卡，先集中起來，然后每人從中取走一張別人寫的賀卡，問有多少種不同的取法？解：設(shè)4位同學(xué)分別為A、B、C、D，各人取別人賀卡的不同取法可羅列成下表：同學(xué)A同學(xué)B同學(xué)C同學(xué)D1BADC2BCDA3BDAC4CADB5CDA